§ 15. Рационал сандарды азайту

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 106–112-беттер.

Нені үйренесің

• Азайтуды қарама-қарсы санды қосумен алмастыруды.
• Кез келген рационал сандарды азайтуды: оң сандарды да, теріс сандарды да.
• Айырымның таңбасын алдын ала болжауды.
• Белгісізі азайғыш, азайтқыш немесе $-x$ болатын теңдеулерді шешуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 479 және 480 тапсырмалары. Алдымен өзің жауап бер, сонан соң жауабын аш.

• $13{,}79 - 1{,}29$ неше болады? 12,5. Ыңғайлы жұп!
• Ал $2\frac{1}{3} + \frac{5}{6}$ ше? $2\frac{2}{6} + \frac{5}{6} = 3\frac{1}{6}$.
• Демек, $13{,}79 - 2\frac{1}{3} - 1{,}29 - \frac{5}{6} = ?$ $12\frac{1}{2} - 3\frac{1}{6} =$ $9\frac{1}{3}$.
• $202{,}5 - \left(79\frac{1}{7} - 8\frac{1}{2}\right) - 3\frac{6}{7}$ натурал сан ба? Иә: $211 - 83 =$ 128.

💡 Ой қозғауда біз азайттық, бірақ сандарды қосудағыдай топтадық. Бүгін мұның неге болатынын білесің: азайту — киімін ауыстырған қосу.

Тақырыпты талдаймыз

Азайту — солға қадам жасау

$3 - 8$ неше болады? 3-те тұр да, солға қарай 8 қадам жаса.

$-5$ шықты. Ал 3-ке $-8$ санын қосса қайтеміз? Минус сегізді қосу да солға қарай 8 қадам. Тағы да $-5$!

$3 - 8 = 3 + (-8) = -5$.

Сабақтың басты қулығы

📌 Санды азайту үшін оған қарама-қарсы санды қос: $a - b = a + (-b)$.

Бұл әрдайым орындалады:

• $-8 - 6 = -8 + (-6) = -14$;
• $9 - b = 9 + (-b)$;
• $5 - (-2) = 5 + 2 = 7$.

Соңғы мысал ең қызығы. Минус екіні азайту — екіні қосумен бірдей!

💡 Былай ойлап көр: сенің 2000 теңге қарызыңды кешіп жіберсе, саған 2000 теңгеге жақсы болады. «Минусты алып тастау» — қосу деген сөз.

Әр рационал санның қарама-қарсы саны бар. Сондықтан енді азайтуды әрдайым орындауға болады, тіпті кіші саннан үлкенін де.

⚠️ Жиі кететін қате. $7 - (-3)$ өрнегінде екі минустың біреуінің ғана таңбасын өзгертіп, $7 - 3 = 4$ деп жазады. Дұрысы: минус пен минус плюс береді, $7 - (-3) = 7 + 3 = 10$.

Таңба қандай болады

$-2{,}5 - (-1{,}5)$ айырымына қара. Түрлендіреміз: $-2{,}5 + 1{,}5 = -1$. Теріс сан! Ал азайғыш $-2{,}5$ азайтқыш $-1{,}5$-тен кіші еді.

Енді керісінше: $-1{,}5 - (-2{,}5) = -1{,}5 + 2{,}5 = 1$. Оң сан. Азайғыш үлкен болды.

📌 Азайғыш азайтқыштан үлкен болса, айырым оң сан болады. Кіші болса — теріс сан. Тең болса — айырым нөлге тең.

Таңбалары әртүрлі тағы бір мысал: $4 - (-1) = 5 > 0$, өйткені $4 > -1$. Ал $-4 - 1 = -5 < 0$, өйткені $-4 < 1$.

💡 Дұрыс сөйлеп үйрен. $\left(-2\frac{3}{4}\right) - (-1{,}4)$ өрнегі былай оқылады: «минус екі бүтін төрттен үш пен минус бір бүтін оннан төрттің айырымы» немесе «минус екі бүтін төрттен үштен минус бір бүтін оннан төртті азайту».

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Алғашқы 10–15 мысалда бала азайтуды қосуға адал түрде қайта жазсын: $-6 - 9 = -6 + (-9)$. Бұл артық сияқты көрінеді, бірақ таңбаға қатысты қателер дәл осылай жоғалады. Кейін бұл қадам өздігінен ойда орындалатын болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $b$ санынан $a$ санын азайту мен $b$ санына $-a$ санын қосу неліктен бірдей? Координаталық түзуде екі жағдайда да $b$ нүктесінен солға қарай $a$ бірлік жүріп, бір нүктеге келеміз.
• Азайтуды неліктен қосумен алмастыруға болады? Себебі $a - b = a + (-b)$, ал кез келген рационал санның қарама-қарсы саны бар.
• Айырым қашан оң, қашан теріс болады? Азайғыш азайтқыштан үлкен болса, оң. Кіші болса, теріс.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 481

Берілген айырымды қосынды түрінде жазып, қосындының мәнін табыңдар: 1) $8 - 18$; $8 - (-18)$; $-8 - 18$; $-8 - (-18)$; 2) $13 - 9$; $13 - (-9)$; $-13 - 9$; $-13 - (-9)$.

Қалай ойлаймыз. Сандар арасындағы «минус» белгісін «плюс» белгісіне айналдырамыз, ал азайтқыштың таңбасын өзгертеміз.

Шешуі.

1. $8 + (-18) = -10$; $8 + 18 = 26$; $-8 + (-18) = -26$; $-8 + 18 = 10$.
2. $13 + (-9) = 4$; $13 + 9 = 22$; $-13 + (-9) = -22$; $-13 + 9 = -4$.

Жауабы: 1) $-10$; 26; $-26$; 10; 2) 4; 22; $-22$; $-4$.

№ 482

Айырымның мәнін табыңдар: $-60 - 24$; $12 - 35$; $37 - 43$; $-45 - 55$; $-302 - (-200)$; $134 - (-400)$.

Шешуі. 1) $-60 + (-24) = -84$; 2) $12 + (-35) = -23$; 3) $37 + (-43) = -6$; 4) $-45 + (-55) = -100$; 5) $-302 + 200 = -102$; 6) $134 + 400 = 534$.

Жауабы: $-84$; $-23$; $-6$; $-100$; $-102$; 534.

№ 483

Өрнектің мәнін табыңдар: $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$; $-\frac{5}{9} - \frac{1}{3}$; $-\frac{7}{10} - \frac{3}{5}$; $\frac{16}{27} - \left(-\frac{1}{9}\right)$.

Шешуі.

1. $-\frac{2}{4} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{3}{4}$.
2. $-\frac{5}{9} + (-\frac{3}{9}) = -\frac{8}{9}$.
3. $-\frac{7}{10} + (-\frac{6}{10}) = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10}$.
4. $\frac{16}{27} + \frac{3}{27} = \frac{19}{27}$.

Жауабы: $-\frac{3}{4}$; $-\frac{8}{9}$; $-1\frac{3}{10}$; $\frac{19}{27}$.

№ 484

Айырымның мәнін табыңдар: $2\frac{1}{2} - 3\frac{1}{3}$; $-\frac{3}{5} - 1\frac{1}{3}$; $5\frac{7}{8} - \left(-2\frac{5}{12}\right)$; $-2\frac{3}{4} - \left(-\frac{4}{7}\right)$; $3\frac{9}{6} - 4\frac{11}{24}$; $-4\frac{11}{12} - \left(-\frac{11}{18}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Бесінші мысалда бөлшек бөлігі бұрыс: $3\frac{9}{6} = 4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2}$.

Шешуі.

1. $2\frac{3}{6} + (-3\frac{2}{6}) = -\frac{5}{6}$.
2. $-(\frac{9}{15} + 1\frac{5}{15}) = -1\frac{14}{15}$.
3. $5\frac{21}{24} + 2\frac{10}{24} = 7\frac{31}{24} = 8\frac{7}{24}$.
4. $-2\frac{21}{28} + \frac{16}{28} = -2\frac{5}{28}$.
5. $4\frac{12}{24} - 4\frac{11}{24} = \frac{1}{24}$.
6. $-4\frac{33}{36} + \frac{22}{36} = -4\frac{11}{36}$.

Жауабы: $-\frac{5}{6}$; $-1\frac{14}{15}$; $8\frac{7}{24}$; $-2\frac{5}{28}$; $\frac{1}{24}$; $-4\frac{11}{36}$.

№ 485

Айырымның мәнін тауып, қосынды арқылы тексеріңдер: $7{,}8 - (-6{,}9)$; $-6{,}7 - (-7{,}6)$; $-5{,}4 - 6{,}8$; $-15\frac{4}{5} - \left(-20\frac{3}{5}\right)$; $-1\frac{7}{9} - 3\frac{5}{6}$; $\frac{16}{21} - 5\frac{1}{3}$.

Шешуі.

1. $7{,}8 + 6{,}9 = 14{,}7$.
2. $-6{,}7 + 7{,}6 = 0{,}9$.
3. $-5{,}4 + (-6{,}8) = -12{,}2$.
4. $-15\frac{4}{5} + 20\frac{3}{5} = 4\frac{4}{5}$.
5. $-(1\frac{14}{18} + 3\frac{15}{18}) = -4\frac{29}{18} = -5\frac{11}{18}$.
6. $\frac{16}{21} - 5\frac{7}{21} = -4\frac{12}{21} = -4\frac{4}{7}$.

Жауабы: 14,7; 0,9; $-12{,}2$; $4\frac{4}{5}$; $-5\frac{11}{18}$; $-4\frac{4}{7}$.

№ 486

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $a - 3487$, мұндағы $a = 689$; $-6578$; 2) $-23,654 - y$, мұндағы $y = 5478$; $-16,234$; 3) $(a - b) - 369$, мұндағы $a = 832$; $b = 1812$.

Шешуі.

1. $689 - 3487 = -2798$; $-6578 - 3487 = -10,065$.
2. $-23,654 - 5478 = -29,132$; $-23,654 + 16,234 = -7420$.
3. $832 - 1812 = -980$; $-980 - 369 = -1349$.

Жауабы: 1) $-2798$; $-10,065$; 2) $-29,132$; $-7420$; 3) $-1349$.

№ 487

1) $x = 18{,}5$; $y = -22{,}5$; 2) $x = -3{,}4$; $y = 2{,}46$; 3) $x = -9{,}87$; $y = -4{,}89$; 4) $x = -61{,}75$; $y = 42{,}45$ болса, $x - y$ өрнегінің мәні қандай?

Шешуі. 1) $18{,}5 + 22{,}5 = 41$; 2) $-3{,}4 + (-2{,}46) = -5{,}86$; 3) $-9{,}87 + 4{,}89 = -4{,}98$; 4) $-61{,}75 + (-42{,}45) = -104{,}2$.

Жауабы: 41; $-5{,}86$; $-4{,}98$; $-104{,}2$.

№ 488

1) $a = 5{,}8$; $b = 3{,}6$; $c = -2{,}5$; 2) $a = -23{,}3$; $b = -8{,}9$; $c = -47{,}6$; 3) $a = \frac{1}{5}$; $b = 1\frac{7}{10}$; $c = 2\frac{14}{15}$; 4) $a = -3\frac{5}{8}$; $b = 2\frac{5}{12}$; $c = -2\frac{3}{4}$ болса, $(a + b) - c$ өрнегінің мәні қандай?

Шешуі.

1. $9{,}4 + 2{,}5 = 11{,}9$.
2. $-32{,}2 + 47{,}6 = 15{,}4$.
3. $\frac{1}{5} + 1\frac{7}{10} = 1\frac{9}{10} = 1\frac{27}{30}$; $1\frac{27}{30} - 2\frac{28}{30} = -1\frac{1}{30}$.
4. $-3\frac{15}{24} + 2\frac{10}{24} = -1\frac{5}{24}$; $-1\frac{5}{24} + 2\frac{18}{24} = 1\frac{13}{24}$.

Жауабы: 11,9; 15,4; $-1\frac{1}{30}$; $1\frac{13}{24}$.

№ 489

Ең үлкен үштаңбалы натурал сан мен ең кіші бестаңбалы натурал санның айырымын табыңдар.

Шешуі. $999 - 10,000 = -(10,000 - 999) = -9001$.

Жауабы: $-9001$.

№ 490

Теңдікте қандай сан жазылмаған: 1) $-20 - \ldots = -40$; 2) $\ldots - 58 = 60$; 3) $60 - \ldots = 33$; 4) $\ldots - (-33) = 10$?

Қалай ойлаймыз. Белгісіз азайтқыш = азайғыш − айырым. Белгісіз азайғыш = айырым + азайтқыш.

Шешуі. 1) $-20 - (-40) = 20$; 2) $60 + 58 = 118$; 3) $60 - 33 = 27$; 4) $10 + (-33) = -23$.

Жауабы: 20; 118; 27; $-23$.

№ 491

Қосуды орындаңдар және нәтижесін азайту арқылы тексеріңдер: 1) $92{,}43 + (-17{,}24)$; 2) $-18{,}64 + 19{,}48$; 3) $86{,}1 + (-12{,}87)$; 4) $-91{,}98 + (-36{,}66)$.

Қалай ойлаймыз. Тексеру: қосындыдан екінші қосылғышты азайтамыз — бірінші қосылғыш шығуы керек.

Шешуі.

1. $75{,}19$. Тексеру: $75{,}19 - (-17{,}24) = 92{,}43$ ✓.
2. $0{,}84$. Тексеру: $0{,}84 - 19{,}48 = -18{,}64$ ✓.
3. $73{,}23$. Тексеру: $73{,}23 - (-12{,}87) = 86{,}1$ ✓.
4. $-128{,}64$. Тексеру: $-128{,}64 - (-36{,}66) = -91{,}98$ ✓.

Жауабы: 75,19; 0,84; 73,23; $-128{,}64$.

№ 492

1) $x = 11{,}5$; $y = -2{,}2$; 2) $x = 3{,}5$; $y = -2{,}25$; 3) $x = 2{,}8$; $y = -3{,}19$; 4) $x = 0{,}45$; $y = -4{,}5$ болса, $3{,}5 - (-x + y)$ өрнегінің мәні қандай?

Шешуі.

1. $-11{,}5 + (-2{,}2) = -13{,}7$; $3{,}5 + 13{,}7 = 17{,}2$.
2. $-3{,}5 + (-2{,}25) = -5{,}75$; $3{,}5 + 5{,}75 = 9{,}25$.
3. $-2{,}8 + (-3{,}19) = -5{,}99$; $3{,}5 + 5{,}99 = 9{,}49$.
4. $-0{,}45 + (-4{,}5) = -4{,}95$; $3{,}5 + 4{,}95 = 8{,}45$.

Жауабы: 17,2; 9,25; 9,49; 8,45.

№ 493

1) $a = 5{,}6$; $b = 7{,}6$; $c = -4{,}8$; 2) $a = 52{,}3$; $b = -18{,}9$; $c = 24{,}5$; 3) $a = -\frac{5}{6}$; $b = -\frac{7}{9}$; $c = -\frac{5}{8}$; 4) $a = -7\frac{3}{16}$; $b = 2\frac{1}{8}$; $c = -7\frac{7}{12}$ болса, $a - (b - c)$ өрнегінің мәні қандай?

Шешуі.

1. $b - c = 7{,}6 + 4{,}8 = 12{,}4$; $5{,}6 - 12{,}4 = -6{,}8$.
2. $b - c = -18{,}9 - 24{,}5 = -43{,}4$; $52{,}3 + 43{,}4 = 95{,}7$.
3. $b - c = -\frac{56}{72} + \frac{45}{72} = -\frac{11}{72}$; $-\frac{60}{72} + \frac{11}{72} = -\frac{49}{72}$.
4. $b - c = 2\frac{1}{8} + 7\frac{7}{12} = 9\frac{17}{24}$; $-7\frac{9}{48} - 9\frac{34}{48} = -16\frac{43}{48}$.

Жауабы: $-6{,}8$; 95,7; $-\frac{49}{72}$; $-16\frac{43}{48}$.

№ 494

Өрнекті жазыңдар және оның мәнін табыңдар: 1) $-389$ санын 37-ге азайтыңдар; 2) 426 санын 820-ға азайтыңдар; 3) 99 999 санынан $-919$ және 10 сандарының айырымын азайтыңдар; 4) 9999 және 999 сандарының айырымын 99-ға кемітіңдер; 5) 1026 және $-572$ сандарының айырымының мәнін 10 000 санынан азайтыңдар; 6) 357 санынан 152 және $-348$ сандарының айырымының мәнін азайтыңдар.

Шешуі.

1. $-389 - 37 = -426$.
2. $426 - 820 = -394$.
3. $-919 - 10 = -929$; $99,999 - (-929) = 100,928$.
4. $9999 - 999 - 99 = 8901$.
5. $1026 - (-572) = 1598$; $10,000 - 1598 = 8402$.
6. $152 - (-348) = 500$; $357 - 500 = -143$.

Жауабы: $-426$; $-394$; 100 928; 8901; 8402; $-143$.

№ 495

Теңдеудегі белгісіз қосылғышты табыңдар: 1) $x + 24 = -126$; 2) $42{,}4 + y = 23{,}2$; 3) $x + 327 = -820$; 4) $y + (-19{,}6) = 11{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Қосылғыш = қосынды − екінші қосылғыш. Енді бұл ереже теріс сандармен де орындалады.

Шешуі. 1) $x = -126 - 24 = -150$; 2) $y = 23{,}2 - 42{,}4 = -19{,}2$; 3) $x = -820 - 327 = -1147$; 4) $y = 11{,}5 - (-19{,}6) = 31{,}1$.

Жауабы: $-150$; $-19{,}2$; $-1147$; 31,1.

№ 496

Теңдеудегі белгісіз азайтқышты табыңдар: 1) $321 - x = 450$; 2) $122 - y = -200$; 3) $20{,}4 - x = -13{,}6$; 4) $50{,}3 - y = 72{,}4$.

Шешуі. 1) $x = 321 - 450 = -129$; 2) $y = 122 - (-200) = 322$; 3) $x = 20{,}4 - (-13{,}6) = 34$; 4) $y = 50{,}3 - 72{,}4 = -22{,}1$.

Жауабы: $-129$; 322; 34; $-22{,}1$.

№ 497

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $\frac{2}{5} - y = -\frac{3}{7}$; 2) $a + 4\frac{5}{12} = -3\frac{1}{9}$; 3) $b + 2\frac{4}{11} = \frac{2}{3}$; 4) $1\frac{4}{15} - x = 2\frac{5}{8}$.

Шешуі.

1. $y = \frac{2}{5} + \frac{3}{7} = \frac{14 + 15}{35} = \frac{29}{35}$.
2. $a = -3\frac{1}{9} - 4\frac{5}{12} = -(3\frac{4}{36} + 4\frac{15}{36}) = -7\frac{19}{36}$.
3. $b = \frac{2}{3} - 2\frac{4}{11} = \frac{22}{33} - 2\frac{12}{33} = -1\frac{23}{33}$.
4. $x = 1\frac{4}{15} - 2\frac{5}{8} = 1\frac{32}{120} - 2\frac{75}{120} = -1\frac{43}{120}$.

Жауабы: $\frac{29}{35}$; $-7\frac{19}{36}$; $-1\frac{23}{33}$; $-1\frac{43}{120}$.

№ 498

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x + 0{,}25 = -0{,}02$; 2) $-x + (-10{,}05) = -0{,}996$; 3) $x + 0{,}3 = -0{,}15$; 4) $-x + 1{,}452 = 1{,}06$.

Қалай ойлаймыз. Теңдеуде $-x$ болса, алдымен $-x$-ті табамыз, содан кейін таңбасын өзгертеміз.

Шешуі.

1. $x = -0{,}02 - 0{,}25 = -0{,}27$.
2. $-x = -0{,}996 + 10{,}05 = 9{,}054$, демек, $x = -9{,}054$.
3. $x = -0{,}15 - 0{,}3 = -0{,}45$.
4. $-x = 1{,}06 - 1{,}452 = -0{,}392$, демек, $x = 0{,}392$.

Жауабы: $-0{,}27$; $-9{,}054$; $-0{,}45$; 0,392.

№ 499

Салыстырыңдар: 1) $26{,}4 - 97{,}83$ және $-71{,}78$; 2) $-47{,}3 - 17{,}72$ және $-65{,}32$.

Қалай ойлаймыз. Екі теріс саннан модулі кіші болғаны үлкен.

Шешуі.

1. $26{,}4 - 97{,}83 = -71{,}43$. $|-71{,}43| < |-71{,}78|$, демек, $-71{,}43 > -71{,}78$.
2. $-47{,}3 - 17{,}72 = -65{,}02 > -65{,}32$.

Жауабы: 1)

№ 500

Салыстырыңдар: 1) $-18{,}85 - (-24{,}36)$ және $6{,}2$; 2) $-14{,}2 - 56{,}81$ және $71{,}02$.

Шешуі.

1. $-18{,}85 + 24{,}36 = 5{,}51 < 6{,}2$.
2. $-14{,}2 - 56{,}81 = -71{,}01 < 71{,}02$ (теріс сан оң саннан кіші).

Жауабы: 1)

B деңгейі

№ 501

Дұрыс теңдіктегі белгісіз қосылғышты табыңдар: 1) $x + (-13{,}85 - 4{,}2) = -12{,}3$; 2) $c + (-12{,}76 - 26{,}69) = -40{,}8$; 3) $(-27{,}31 - 15{,}9) + y = -62{,}7$; 4) $(-1{,}3 - 4{,}75) + n = -7{,}4$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаның мәнін есепте — қарапайым теңдеу шығады.

Шешуі.

1. Жақша: $-18{,}05$. $x = -12{,}3 + 18{,}05 = 5{,}75$.
2. Жақша: $-39{,}45$. $c = -40{,}8 + 39{,}45 = -1{,}35$.
3. Жақша: $-43{,}21$. $y = -62{,}7 + 43{,}21 = -19{,}49$.
4. Жақша: $-6{,}05$. $n = -7{,}4 + 6{,}05 = -1{,}35$.

Жауабы: 5,75; $-1{,}35$; $-19{,}49$; $-1{,}35$.

№ 502

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x + 4\frac{1}{8} = -7\frac{3}{5}$; 2) $-x + \left(-31\frac{1}{3}\right) = 40\frac{5}{12}$; 3) $-5\frac{3}{20} - x = 3\frac{1}{8}$; 4) $-29\frac{3}{7} - x = -11\frac{4}{21}$.

Шешуі.

1. $x = -7\frac{3}{5} - 4\frac{1}{8} = -(7{,}6 + 4{,}125) = -11{,}725$.
2. $-x = 40\frac{5}{12} + 31\frac{1}{3} = 71\frac{9}{12} = 71\frac{3}{4}$, демек, $x = -71\frac{3}{4}$.
3. $x = -5\frac{3}{20} - 3\frac{1}{8} = -(5{,}15 + 3{,}125) = -8{,}275$.
4. $x = -29\frac{3}{7} + 11\frac{4}{21} = -(29\frac{9}{21} - 11\frac{4}{21}) = -18\frac{5}{21}$.

Жауабы: $-11{,}725$; $-71\frac{3}{4}$; $-8{,}275$; $-18\frac{5}{21}$.

№ 503

Тура теңдіктегі көп нүктенің орнына сан қойыңдар: 1) $-30 - (-(-\ldots)) = -40$; 2) $-(-(-\ldots)) - (-18) = -57$; 3) $-52 - (-(-\ldots)) = -34$; 4) $-(-(-(-\ldots))) - 33 = -25$.

Қалай ойлаймыз. Санның алдындағы минус саны жұп болса, олар «қысқарады», тақ болса — бір минус қалады.

Шешуі.

1. $-(-a) = a$: $-30 - a = -40$, $a = 10$.
2. Үш минус: $-a + 18 = -57$, $a = 75$.
3. $-52 - a = -34$, $a = -18$.
4. Төрт минус — олар жоқ болып кетеді: $a - 33 = -25$, $a = 8$.

Жауабы: 10; 75; $-18$; 8.

№ 504

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $-13{,}24 - 4{,}7$ және $-8{,}84$; 2) $-82{,}09 - 2{,}7$ және $84{,}79$; 3) $-67{,}45 - 23{,}7$ және $-91{,}15$; 4) $-83{,}03 - 24{,}8$ және $-108$.

Шешуі.

1. $-17{,}94 < -8{,}84$.
2. $-84{,}79 < 84{,}79$.
3. $-91{,}15 = -91{,}15$.
4. $-107{,}83 > -108$.

Жауабы:

№ 505

Салыстырыңдар: 1) $725{,}3 - 978{,}6$ және $-253{,}3$; 2) $-46{,}8 - 77{,}5$ және $-124{,}2$; 3) $-179{,}25 - (-200)$ және $20{,}08$; 4) $-(-63{,}78) + 7{,}53$ және $770{,}31$.

Шешуі.

1. $725{,}3 - 978{,}6 = -253{,}3$ — тең.
2. $-124{,}3 < -124{,}2$.
3. $-179{,}25 + 200 = 20{,}75 > 20{,}08$.
4. $63{,}78 + 7{,}53 = 71{,}31 < 770{,}31$.

Жауабы: $=$;

№ 506

Сөйлемді өрнек түрінде жазыңдар және оның мәнін табыңдар: 1) 3874 санынан $-593$ және 77 сандарының айырымының мәнін азайтыңдар; 2) 8118 және 292 сандарының айырымының мәнінен 68-ді азайтыңдар; 3) $-914$ және $-815$ сандарының айырымының мәнін 654 санынан азайтыңдар; 4) 712 және $-137$ сандарының айырымының мәнін 598 санынан азайтыңдар.

Шешуі.

1. $-593 - 77 = -670$; $3874 - (-670) = 4544$.
2. $8118 - 292 = 7826$; $7826 - 68 = 7758$.
3. $-914 - (-815) = -99$; $654 - (-99) = 753$.
4. $712 - (-137) = 849$; $598 - 849 = -251$.

Жауабы: 4544; 7758; 753; $-251$.

№ 507

Теңдеуді шешіңдер: 1) $-x + 3{,}9 = 2{,}1$; 2) $-x + (-5{,}16) = 6{,}01$; 3) $-x + 2{,}9 = -8{,}7$; 4) $-x + (-5{,}88) = -7{,}17$.

Шешуі.

1. $-x = 2{,}1 - 3{,}9 = -1{,}8$; $x = 1{,}8$.
2. $-x = 6{,}01 + 5{,}16 = 11{,}17$; $x = -11{,}17$.
3. $-x = -8{,}7 - 2{,}9 = -11{,}6$; $x = 11{,}6$.
4. $-x = -7{,}17 + 5{,}88 = -1{,}29$; $x = 1{,}29$.

Жауабы: 1,8; $-11{,}17$; 11,6; 1,29.

№ 508

Теңдеуді шешіңдер: 1) $-x + 19\frac{1}{3} = 10\frac{3}{7}$; 2) $-x + \left(-22\frac{1}{4}\right) = -30{,}2$; 3) $-x + 27\frac{1}{3} = -20\frac{5}{9}$; 4) $-x + (-5{,}5) = -17\frac{1}{7}$.

Шешуі.

1. $-x = 10\frac{9}{21} - 19\frac{7}{21} = -8\frac{19}{21}$; $x = 8\frac{19}{21}$.
2. $-x = -30{,}2 + 22{,}25 = -7{,}95$; $x = 7{,}95$.
3. $-x = -20\frac{5}{9} - 27\frac{3}{9} = -47\frac{8}{9}$; $x = 47\frac{8}{9}$.
4. $-x = -17\frac{2}{14} + 5\frac{7}{14} = -11\frac{9}{14}$; $x = 11\frac{9}{14}$.

Жауабы: $8\frac{19}{21}$; 7,95; $47\frac{8}{9}$; $11\frac{9}{14}$.

№ 509

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3\frac{2}{20} - x = 18\frac{1}{8}$; 2) $-10\frac{3}{7} - x = -9\frac{2}{3}$; 3) $3\frac{1}{2} - x = 7\frac{1}{5}$; 4) $40\frac{5}{9} - x = 63\frac{4}{5}$.

Қалай ойлаймыз. $x$ — азайтқыш: $x$ = азайғыш − айырым.

Шешуі.

1. $3\frac{2}{20} = 3{,}1$, $18\frac{1}{8} = 18{,}125$. $x = 3{,}1 - 18{,}125 = -15{,}025$.
2. $x = -10\frac{9}{21} + 9\frac{14}{21} = -\frac{16}{21}$.
3. $x = 3{,}5 - 7{,}2 = -3{,}7$.
4. $x = 40\frac{25}{45} - 63\frac{36}{45} = -23\frac{11}{45}$.

Жауабы: $-15{,}025$; $-\frac{16}{21}$; $-3{,}7$; $-23\frac{11}{45}$.

№ 510

Есептеңдер: 1) $-21{,}1 - (9{,}9 - 10{,}2) - 67{,}8$; 2) $(43{,}8 - 50{,}05) - (24{,}1 - 22{,}6)$.

Шешуі.

1. $9{,}9 - 10{,}2 = -0{,}3$; $-21{,}1 + 0{,}3 - 67{,}8 = -88{,}6$.
2. $-6{,}25 - 1{,}5 = -7{,}75$.

Жауабы: $-88{,}6$; $-7{,}75$.

№ 511

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\left(8\frac{1}{42} - 12\frac{4}{21}\right) - \left(5\frac{1}{42} - 3\frac{3}{7}\right)$; 2) $-19\frac{7}{16} - \left(25\frac{5}{8} - 28\frac{1}{2}\right) - \frac{3}{4}$.

Шешуі.

1. $8\frac{1}{42} - 12\frac{8}{42} = -4\frac{7}{42}$; $5\frac{1}{42} - 3\frac{18}{42} = 1\frac{25}{42}$; $-4\frac{7}{42} - 1\frac{25}{42} = -5\frac{32}{42} = -5\frac{16}{21}$.
2. $25\frac{5}{8} - 28\frac{4}{8} = -2\frac{7}{8}$; $-19\frac{7}{16} + 2\frac{14}{16} - \frac{12}{16} = -19\frac{7}{16} + 2\frac{2}{16} = -17\frac{5}{16}$.

Жауабы: $-5\frac{16}{21}$; $-17\frac{5}{16}$.

№ 512

1) $a = 123$; $b = 91$; $c = 26{,}1$; 2) $a = -7{,}3$; $b = -1{,}5$; $c = 6{,}6$; 3) $a = -\frac{1}{12}$; $b = -\frac{3}{8}$; $c = -\frac{1}{6}$; 4) $a = -9\frac{3}{20}$; $b = -8\frac{3}{4}$; $c = -5{,}4$ болса, $a - (b - c)$ өрнегінің мәні қандай?

Шешуі.

1. $91 - 26{,}1 = 64{,}9$; $123 - 64{,}9 = 58{,}1$.
2. $-1{,}5 - 6{,}6 = -8{,}1$; $-7{,}3 + 8{,}1 = 0{,}8$.
3. $-\frac{9}{24} + \frac{4}{24} = -\frac{5}{24}$; $-\frac{2}{24} + \frac{5}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
4. $-8{,}75 + 5{,}4 = -3{,}35$; $-9{,}15 + 3{,}35 = -5{,}8$.

Жауабы: 58,1; 0,8; $\frac{1}{8}$; $-5{,}8$.

№ 513

1) $a = -10{,}1$; $b = 9{,}9$; $c = -20{,}2$; 2) $a = -\frac{1}{4}$; $b = \frac{5}{7}$; $c = -\frac{3}{7}$; 3) $a = 55{,}23$; $b = -60{,}1$; $c = -5{,}13$; 4) $a = -7\frac{4}{9}$; $b = -13\frac{1}{6}$; $c = -10\frac{5}{18}$ болса, $(a + b) - c$ өрнегінің мәні қандай?

Шешуі.

1. $-0{,}2 + 20{,}2 = 20$.
2. $-\frac{1}{4} + \frac{5}{7} + \frac{3}{7} = -\frac{7}{28} + \frac{32}{28} = \frac{25}{28}$.
3. $-4{,}87 + 5{,}13 = 0{,}26$.
4. $-7\frac{8}{18} - 13\frac{3}{18} = -20\frac{11}{18}$; $-20\frac{11}{18} + 10\frac{5}{18} = -10\frac{6}{18} = -10\frac{1}{3}$.

Жауабы: 20; $\frac{25}{28}$; 0,26; $-10\frac{1}{3}$.

№ 514

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(-40{,}5 - 39{,}5) + x = 18{,}3$; 2) $x + (21{,}8 - 30) = 1{,}2$; 3) $(79{,}7 - 100) - x = 29$; 4) $(-0{,}28 - 9{,}82) - x = -6{,}11$.

Шешуі.

1. $-80 + x = 18{,}3$; $x = 98{,}3$.
2. $x - 8{,}2 = 1{,}2$; $x = 9{,}4$.
3. $-20{,}3 - x = 29$; $x = -20{,}3 - 29 = -49{,}3$.
4. $-10{,}1 - x = -6{,}11$; $x = -10{,}1 + 6{,}11 = -3{,}99$.

Жауабы: 98,3; 9,4; $-49{,}3$; $-3{,}99$.

№ 515

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\left(-\frac{1}{3} - \frac{2}{5}\right) - x = \frac{1}{15}$; 2) $\left(\frac{7}{9} - \frac{8}{27}\right) - x = \frac{2}{3}$; 3) $\left(\frac{1}{4} - \frac{5}{11}\right) - x = \frac{43}{44}$; 4) $\left(\frac{7}{30} - \frac{1}{6}\right) - x = -\frac{3}{10}$.

Шешуі.

1. Жақша $-\frac{11}{15}$; $x = -\frac{11}{15} - \frac{1}{15} = -\frac{12}{15} = -\frac{4}{5}$.
2. Жақша $\frac{13}{27}$; $x = \frac{13}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{5}{27}$.
3. Жақша $-\frac{9}{44}$; $x = -\frac{9}{44} - \frac{43}{44} = -\frac{52}{44} = -1\frac{2}{11}$.
4. Жақша $\frac{2}{30} = \frac{1}{15}$; $x = \frac{2}{30} + \frac{9}{30} = \frac{11}{30}$.

Жауабы: $-\frac{4}{5}$; $-\frac{5}{27}$; $-1\frac{2}{11}$; $\frac{11}{30}$.

№ 516

Айырымның мәнін табыңдар: 1) ең кіші екітаңбалы натурал сан мен ең үлкен үштаңбалы натурал санның; 2) ең кіші үштаңбалы натурал сан мен ең үлкен төрттаңбалы натурал санның; 3) ең үлкен екітаңбалы натурал сан мен ең кіші төрттаңбалы натурал санның; 4) ең үлкен бестаңбалы натурал сан мен ең кіші алтытаңбалы натурал санның.

Шешуі. 1) $10 - 999 = -989$; 2) $100 - 9999 = -9899$; 3) $99 - 1000 = -901$; 4) $99,999 - 100,000 = -1$.

Жауабы: $-989$; $-9899$; $-901$; $-1$.

C деңгейі

№ 517

Жұлдызшаның орнына теңдікті тура теңдікке айналдыратын сан қойыңдар: 1) $-7 - 20 = 7 - $; 2) $-9 - * = * - 8$; 3) $ - 30 = 29 - $; 4) $ - 51 = * - 49$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші тармақта жұлдызша біреу — жауап жалғыз. Қалғандарында жұлдызша екеу, сондықтан көп жұп келеді. Әрқайсысына бір-бір мысал келтірейік.

Шешуі.

1. $-27 = 7 - $, демек, $ = 7 + 27 = 34$.
2. Мысалы, $-9 - 1 = -2 - 8$ (екі жағы да $-10$). Жұлдызшалар бірдей болса: $-9 - (-0{,}5) = -0{,}5 - 8 = -8{,}5$.
3. Мысалы, $30 - 30 = 29 - 29$ (екі жағы да 0). Бірдей болса: $29{,}5 - 30 = 29 - 29{,}5 = -0{,}5$.
4. Мысалы, $51 - 51 = 49 - 49$ немесе $52 - 51 = 50 - 49$. Бірінші сан әрдайым екіншіден 2-ге артық.

Жауабы: 1) 34; 2)–4) мысалы: $1$ және $-2$; $30$ және $29$; $52$ және $50$.

№ 518

Қосындыны айырым түрінде жазыңдар: 1) $a + (-b) + (-c) + (-d)$; 2) $(-m) + n + (-t) + (-k)$.

Шешуі. Қарама-қарсы санды қосу — азайтумен бірдей.

1. $a - b - c - d$.
2. $n - m - t - k$ (немесе $-m + n - t - k$).

Жауабы: $a - b - c - d$; $n - m - t - k$.

№ 519

Теңдеуді шешіңдер: 1) $-x - \left(41\frac{3}{5} - 45\frac{1}{3}\right) = -9\frac{7}{15}$; 2) $\left(20{,}2 - 27\frac{3}{7}\right) - y = 19\frac{32}{35}$.

Шешуі.

1. Жақша: $41\frac{9}{15} - 45\frac{5}{15} = -3\frac{11}{15}$. Теңдеу: $-x + 3\frac{11}{15} = -9\frac{7}{15}$. $-x = -13\frac{3}{15}$, $x = 13\frac{1}{5} = 13{,}2$.
2. Жақша: $20\frac{7}{35} - 27\frac{15}{35} = -7\frac{8}{35}$. $y = -7\frac{8}{35} - 19\frac{32}{35} = -26\frac{40}{35} = -27\frac{1}{7}$.

Жауабы: 13,2; $-27\frac{1}{7}$.

№ 520

$a$ және $b$ екі натурал сан берілген. $-a + b$; $a - b$; $-b - a$; $a + b$ өрнектерінің арасынан мәні: 1) $b - a$ өрнегінің мәніне тең; 2) $b - a$ өрнегінің мәніне қарама-қарсы болатын өрнектерді табыңдар.

Шешуі.

1. $-a + b = b + (-a) = b - a$ — тең.
2. $a - b = -(b - a)$ — қарама-қарсы.

Жауабы: 1) $-a + b$; 2) $a - b$.

№ 521

$a$, $b$, $c$ — натурал сандар және $a < b < c$. 1) $b - a < c$; 2) $c - a < b - c$ теңсіздігінің ақиқаттығын тексеріңдер.

Қалай ойлаймыз. Сандармен тексер: $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$. Сонан соң жалпы түрде түсіндір.

Шешуі.

1. $b - a$ саны $b$-дан кіші (өйткені $a > 0$), ал $b < c$. Демек, $b - a < c$ — ақиқат.
2. $c - a > 0$, себебі $c > a$. Ал $b - c < 0$, себебі $b < c$. Оң сан теріс саннан кіші бола алмайды — ақиқат емес.

Жауабы: 1) ақиқат; 2) ақиқат емес.

Қайталау

№ 522

Қайықтың меншікті жылдамдығы 3,5 км/сағ. Қайықтың өзен ағысына қарсы жылдамдығы 0,9 км/сағ. Қайықтың өзен ағысы бойымен жылдамдығын табыңдар.

Шешуі.

1. Өзен ағысының жылдамдығы: $3{,}5 - 0{,}9 = 2{,}6$ км/сағ.
2. Ағыс бойымен: $3{,}5 + 2{,}6 = 6{,}1$ км/сағ.

Жауабы: 6,1 км/сағ.

№ 523

Картадағы екі елді мекеннің арақашықтығы 4,2 см. Картаның масштабы 1 : 100 000 болса, осы екі елді мекеннің жергілікті жердегі нақты арақашықтығы қандай?

Шешуі. $4{,}2 \cdot 100,000 = 420,000$ см $= 4200$ м $= 4{,}2$ км.

Жауабы: 4,2 км.

№ 524

$\frac{33}{41} \cdot \left|\frac{5}{21}\right| \cdot |-1{,}4| \cdot 3\frac{8}{11}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі. $|-1{,}4| = \frac{7}{5}$, $3\frac{8}{11} = \frac{41}{11}$. $\frac{33}{41} \cdot \frac{5}{21} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{41}{11} = \frac{33 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 41}{41 \cdot 21 \cdot 5 \cdot 11} = \frac{33 \cdot 7}{21 \cdot 11} = 1$.

Жауабы: 1.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 525

$17\frac{1}{6} + 3\frac{1}{3} - 9{,}4 - 8\frac{2}{9} + \frac{11}{90}$ өрнегінің мәні нөлге тең болатынын тексеріңдер.

Қалай ойлаймыз. Топтаймыз: алдымен бөлімдері «татуласатын» бөлшектерді аламыз.

Шешуі.

1. $17\frac{1}{6} + 3\frac{2}{6} = 20\frac{1}{2} = 20{,}5$.
2. $20{,}5 - 9{,}4 = 11{,}1$.
3. $-8\frac{2}{9} + \frac{11}{90} = -8\frac{20}{90} + \frac{11}{90} = -8\frac{9}{90} = -8{,}1$.
4. $11{,}1 - 8{,}1 = 3$.

Жауабы: жоқ, мәні 3-ке тең, нөлге тең емес.

📕 Оқулықта № 525 бойынша «мәні нөлге тең болатынын тексеріңдер» деп тұр, бірақ өрнектің мәні 3.

№ 526

$100{,}19 - \left(23{,}5 - 20\frac{1}{3}\right) + \frac{14}{15} - \frac{281}{300}$ өрнегінің мәні оң бүтін сан болатынын көрсетіңдер.

Шешуі.

1. $23\frac{1}{2} - 20\frac{1}{3} = 3\frac{1}{6}$.
2. $\frac{14}{15} - \frac{281}{300} = \frac{280}{300} - \frac{281}{300} = -\frac{1}{300}$.
3. $100\frac{57}{300} - 3\frac{50}{300} - \frac{1}{300} = 97\frac{6}{300} = 97{,}02$.

Жауабы: жоқ, 97,02 шығады — ол оң сан, бірақ бүтін емес.

📕 Оқулықта № 526 бойынша «мәні оң бүтін сан болатынын көрсетіңдер» деп тұр, бірақ өрнектің мәні 97,02 — бүтін емес.

Жадынама

• Санды азайту — қарама-қарсы санды қосу деген сөз.
• Қатарынан екі минус, $-(-a)$, плюс береді.
• Айырымның таңбасы: үлкенінен кішісін азайтсақ — плюс; кішісінен үлкенін азайтсақ — минус.
• $-x$ бар теңдеуде алдымен $-x$-ті тап, сонан соң таңбасын өзгерт.
• Азайтуды тексеру: айырым + азайтқыш = азайғыш.

Шағын тест