§ 17. Координаталық түзудегі нүктелердің арақашықтығы

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 120–122-беттер.

Нені үйренесің

• Екі нүктенің арақашықтығын координаталары бойынша табуды.
• $|a - b|$ формуласын қолдануды және онда модуль неге керек екенін түсінуді.
• Берілген нүктеден белгілі қашықтықта орналасқан нүктелерді табуды.
• Температура, биіктік және жол туралы есептерді координаталық түзудің көмегімен шығаруды.

Ой қозғау

Өткен сабақтағы № 570 және 571 тапсырмаларын еске түсір.

• Түзудегі $B(-8{,}5)$ нүктесі қайда орналасқан? Нөлден сол жаққа қарай 8,5 бірлік жерде.
• $A(2)$ нүктесінен оңға қарай 6 тор көз жердегі нүктенің координатасы қандай? $2 + 6 = 8$.
• Ал солға қарай 6,5 тор көз жердегісі ше? $2 - 6{,}5 = -4{,}5$.
• $OA = 7$ см, $OB = 4$ см, нүктелер $O$ нүктесінің бір жағында жатыр. $AB$ неге тең? $7 - 4 = 3$ см.
• $|-3|$ неге тең? 3. Модуль — санның нөлге дейінгі қашықтығы, ол теріс болмайды.

Тақырыпты талдаймыз

Екі нүкте де нөлдің оң жағында болса

$K(3)$ және $M(7)$ нүктелерін алайық. Нөлден $M$ нүктесіне дейін жеті бірлік, $K$ нүктесіне дейін үш бірлік. Демек, олардың арасы $7 - 3 = 4$ бірлік. Үлкен координатадан кішісін азайта салсақ болғаны.

Ал нүктелер нөлдің сол жағында болса?

$F(-8)$ және $E(-5)$ болсын. Бөліктерді санап көр: $-8$-ден $-5$-ке дейін дәл 3 қадам. Формуламен: $-5 - (-8) = -5 + 8 = 3$.

Керісінше азайтсақ, $-8 - (-5) = -3$ шығады. Бірақ арақашықтық теріс болмайды! Сондықтан модульді аламыз: $|-3| = 3$.

Барлық жағдайға арналған бір формула

📌 $A(a)$ және $B(b)$ болса, $A$ және $B$ нүктелерінің арақашықтығы $|a - b|$ өрнегіне тең.

Модуль қайсысы үлкен екенін ойлап әуре болмау үшін керек. Азайтуды қалаған ретпен орындай бер, ал модуль белгісі минусты «жеп қояды».

• $E(-5)$ және $K(3)$: $|-5 - 3| = |-8| = 8$.
• $F(-8)$ және $M(7)$: $|-8 - 7| = |-15| = 15$.
• $A(13)$ және $B(-7)$: $|13 - (-7)| = |20| = 20$.

💡 Нүктелер нөлдің екі жағында жатса, олардың нөлге дейінгі қашықтықтары қосылады: $-8$-ден $7$-ге дейін $8 + 7 = 15$.

⚠️ Жиі кететін қате. $|13 - (-7)|$ өрнегін $|13 - 7| = 6$ деп есептейді. Минус пен минус плюс береді: $13 - (-7) = 13 + 7 = 20$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Жақсы тұрмыстық мысал — термометр. «Таңертең −8° болды, түсте +3°. Қанша градусқа жылыды?» Бала бөліктерді санап та, $|3 - (-8)| = 11$ формуласымен де есептеп көрсін.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $D(d)$ және $F(f)$ нүктелерінің арақашықтығын қандай формуламен табады? $|d - f|$ (немесе $|f - d|$ — бұл бір нәрсе).
• Ұштарының координаталары 4 және $-9$ болатын кесіндінің ұзындығын қалай табады? $|4 - (-9)| = |13| = 13$ бірлік.
• $E(-5)$ және $K(3)$ нүктелерінің арақашықтығын қалай табады? $|-5 - 3| = 8$.
• $F(-8)$ және $M(7)$ нүктелерінің арақашықтығы неге тең? $|-8 - 7| = 15$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 572

Координаталық түзуге мына нүктелерді салып, арақашықтығын табыңдар: 1) $A(8)$ және $B(3)$; 2) $C(-8)$ және $D(-3)$; 3) $M(8)$ және $K(-3)$; 4) $F(-8)$ және $E(3)$.

Қалай ойлаймыз. Бөліктерді санауға да болады, не болмаса бірден формуламен есептеуге болады.

Шешуі.

1. $|8 - 3| = 5$.
2. $|-8 - (-3)| = |-5| = 5$.
3. $|8 - (-3)| = 11$.
4. $|-8 - 3| = |-11| = 11$.

Жауабы: 1) 5 бірл.; 2) 5 бірл.; 3) 11 бірл.; 4) 11 бірл.

💡 1 және 2-жұптар бір-бірінің айнадағы бейнесі, сондықтан арақашықтықтары бірдей. 3 және 4-жұптар да солай.

№ 573

$A(a)$ және $B(b)$ нүктелерінің арақашықтығын $l = |a - b|$ формуласымен есептеңдер: 1) $A(12)$ және $B(36)$; 2) $A(-40)$ және $B(53)$; 3) $A(70)$ және $B(-34)$; 4) $A(-538)$ және $B(-479)$.

Шешуі.

1. $|12 - 36| = |-24| = 24$.
2. $|-40 - 53| = |-93| = 93$.
3. $|70 - (-34)| = |104| = 104$.
4. $|-538 - (-479)| = |-59| = 59$.

Жауабы: 1) 24; 2) 93; 3) 104; 4) 59.

№ 574

Формуланың көмегімен арақашықтығын табыңдар: 1) $M(82{,}6)$ және $K(-39{,}74)$; 2) $M(-34{,}72)$ және $K(-873{,}5)$; 3) $M(-932{,}1)$ және $K(67{,}3)$; 4) $M(0{,}432)$ және $K(0{,}567)$.

Шешуі.

1. $|82{,}6 + 39{,}74| = 122{,}34$.
2. $|-34{,}72 + 873{,}5| = 838{,}78$.
3. $|-932{,}1 - 67{,}3| = |-999{,}4| = 999{,}4$.
4. $|0{,}432 - 0{,}567| = |-0{,}135| = 0{,}135$.

Жауабы: 1) 122,34; 2) 838,78; 3) 999,4; 4) 0,135.

№ 575

Мына нүктелердің арақашықтығын табыңдар: 1) $C\left(-\frac{2}{3}\right)$ және $D\left(-3\frac{7}{9}\right)$; 2) $C\left(\frac{3}{8}\right)$ және $D\left(-\frac{2}{3}\right)$; 3) $C(-0{,}6)$ және $D\left(-\frac{2}{5}\right)$; 4) $C(0{,}25)$ және $D\left(-\frac{3}{4}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Жай бөлшек пен ондық бөлшек қатар келсе, оларды бір түрге келтір: $\frac{2}{5} = 0{,}4$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$.

Шешуі.

1. $\left|-\frac{6}{9} + 3\frac{7}{9}\right| = 3\frac{1}{9}$.
2. $\left|\frac{3}{8} + \frac{2}{3}\right| = \frac{9 + 16}{24} = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24}$.
3. $|-0{,}6 + 0{,}4| = |-0{,}2| = 0{,}2$.
4. $|0{,}25 + 0{,}75| = 1$.

Жауабы: 1) $3\frac{1}{9}$; 2) $1\frac{1}{24}$; 3) 0,2; 4) 1.

№ 576

Кестені толтырыңдар. $F$ және $E$ нүктелерінің арақашықтығы: $F\left(\frac{7}{8}\right)$ және $E(-0{,}125)$; $F(-0{,}375)$ және $E\left(\frac{5}{8}\right)$; $F\left(\frac{3}{8}\right)$ және $E(0{,}25)$; $F(-0{,}75)$ және $E\left(-\frac{5}{8}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда бәрі сегізден бір үлеспен жазылады: $0{,}125 = \frac{1}{8}$, $0{,}25 = \frac{2}{8}$, $0{,}375 = \frac{3}{8}$, $0{,}75 = \frac{6}{8}$.

Шешуі.

Жауабы: 1; 1; $\frac{1}{8}$ (0,125); $\frac{1}{8}$ (0,125).

B деңгейі

№ 577

Арақашықтығы 2-ге тең нүктелер жұбының үшеуін координаталық түзуге салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кез келген нүктені ал да, одан оңға немесе солға 2 бірлікке шегін.

Шешуі. Мысалы: $A(-5)$ және $B(-3)$; $C(-1)$ және $D(1)$; $E(3)$ және $F(5)$. Тексеру: $|-5 - (-3)| = 2$, $|-1 - 1| = 2$, $|3 - 5| = 2$.

Жауабы: мысалы, $(-5; -3)$, $(-1; 1)$, $(3; 5)$. Басқа жұптар да болуы мүмкін.

№ 578

Координаталар басынан: 1) 4-тен кіші; 2) 6-дан үлкен қашықтықта орналасқан 0 санының оң жағынан және сол жағынан бірнеше нүктенің координатасын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x$ нүктесінен нөлге дейінгі қашықтық — $|x|$. Бізге $|x| < 4$ немесе $|x| > 6$ керек.

Шешуі.

1. $|x| < 4$: $-3{,}5$; $-2$; $-0{,}5$; $1$; $2{,}7$; $3{,}9$. $-4$ пен $4$-тің қатаң арасындағының бәрі келеді.
2. $|x| > 6$: $-100$; $-7$; $-6{,}1$; $6{,}5$; $8$; $20$. $-6$-дан солға және $6$-дан оңға жатқанның бәрі келеді.

Жауабы: мысалы, 1) $-3$; $-1$; $2$; $3{,}5$; 2) $-10$; $-7$; $6{,}5$; $9$.

№ 579

$B$ және $P$ нүктелері координаталық түзуде: 1) $A(7)$; 2) $C(2)$; 3) $M(4{,}5)$; 4) $K(-3{,}5)$ нүктесінен 4 бірлік қашықтықта орналасса, берілген нүктелердің координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұндай нүктелер әрдайым екеу: бірі 4 бірлік солда, екіншісі 4 бірлік оңда.

Шешуі.

1. $7 - 4 = 3$; $7 + 4 = 11$.
2. $2 - 4 = -2$; $2 + 4 = 6$.
3. $4{,}5 - 4 = 0{,}5$; $4{,}5 + 4 = 8{,}5$.
4. $-3{,}5 - 4 = -7{,}5$; $-3{,}5 + 4 = 0{,}5$.

Жауабы: 1) $B(3)$, $P(11)$; 2) $B(-2)$, $P(6)$; 3) $B(0{,}5)$, $P(8{,}5)$; 4) $B(-7{,}5)$, $P(0{,}5)$.

C деңгейі

№ 580

$M$ және $K$ нүктелері координаталық түзуде: 1) $A\left(\frac{5}{6}\right)$; 2) $C\left(-\frac{2}{3}\right)$; 3) $B\left(\frac{7}{9}\right)$; 4) $P\left(-\frac{3}{4}\right)$ нүктесінен $\frac{1}{6}$ бірлік қашықтықта орналасқан болса, берілген нүктелердің координаталарын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. № 579-дағыдай: $\frac{1}{6}$-ді азайтамыз да, қосамыз. Ортақ бөлім керек болады.

Шешуі.

1. $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$; $\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1$.
2. $-\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = -\frac{5}{6}$; $-\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.
3. $\frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$; $\frac{14}{18} + \frac{3}{18} = \frac{17}{18}$.
4. $-\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = -\frac{11}{12}$; $-\frac{9}{12} + \frac{2}{12} = -\frac{7}{12}$.

Жауабы: 1) $M\left(\frac{2}{3}\right)$, $K(1)$; 2) $M\left(-\frac{5}{6}\right)$, $K\left(-\frac{1}{2}\right)$; 3) $M\left(\frac{11}{18}\right)$, $K\left(\frac{17}{18}\right)$; 4) $M\left(-\frac{11}{12}\right)$, $K\left(-\frac{7}{12}\right)$.

№ 581

Координаталық түзуде $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ нүктелері орналасқан (51-сурет). Арақашықтығы 2 бірлікке тең нүктелердің жұптарын табыңдар, олардың координаталарын жазыңдар.

Суретте $O(0)$ және $E(1)$ нүктелерінің арасында екі бөлік бар, яғни бір бөлік 0,5-ке тең. $A$ нүктесі $O$-дан 9 бөлік солда, $B$ — 5 бөлік, $C$ — 1 бөлік солда; $D$ нүктесі $O$-дан 5 бөлік оңда, $F$ — 9 бөлік оңда.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөліктерді координатаға айналдырамыз: әр бөлік — 0,5. 2 бірлік арақашықтық — 4 бөлік.

Шешуі.

1. Координаталары: $A(-4{,}5)$, $B(-2{,}5)$, $C(-0{,}5)$, $O(0)$, $E(1)$, $D(2{,}5)$, $F(4{,}5)$.
2. Айырымы 2 болатындарды іздейміз: $|-4{,}5 - (-2{,}5)| = 2$; $|-2{,}5 - (-0{,}5)| = 2$; $|2{,}5 - 4{,}5| = 2$.
3. Қалған жұптар келмейді: мысалы, $|-0{,}5 - 1| = 1{,}5$, $|1 - 2{,}5| = 1{,}5$.

Жауабы: $A(-4{,}5)$ және $B(-2{,}5)$; $B(-2{,}5)$ және $C(-0{,}5)$; $D(2{,}5)$ және $F(4{,}5)$.

Қайталау

№ 582

$\pi \approx 3{,}14$ деп алып, 1) ұзындығы 157 м шеңбермен шектелген дөңгелектің ауданын; 2) ауданы 28,26 м² дөңгелекті шектейтін шеңбердің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен радиусты табамыз, қалғанының бәрі соның арқасында шығады.

Шешуі.

1. $r = 25$ м, $S = 1962{,}5$ м² (қадамдар жоғарыда).
2. $r^2 = 28{,}26 : 3{,}14 = 9$, $r = 3$ м; $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 = 18{,}84$ м.

Жауабы: 1) 1962,5 м²; 2) 18,84 м.

№ 583

Теңдеудегі белгісіз қосылғышты табыңдар: 1) $x + |-1754| = 1754$; 2) $\left|2\frac{1}{3}\right| + \left|-2\frac{1}{3}\right| + x = 100\frac{2}{3}$.

Шешуі.

1. $|-1754| = 1754$; $x + 1754 = 1754$; $x = 0$.
2. $2\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3} = 4\frac{2}{3}$; $x = 100\frac{2}{3} - 4\frac{2}{3} = 96$.

Жауабы: 1) 0; 2) 96.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 584

Көбейтудің қасиетін қолданып, өрнектің мәнін табыңдар: 1) $|-8| \cdot |0{,}01| \cdot |125| \cdot 0{,}1$; 2) $0{,}1 \cdot |-62{,}5| \cdot |16| \cdot 0{,}01$.

Қалай ойлаймыз. Модульдер оң сандар береді. Одан әрі ыңғайлы жұптарды іздейміз: $8 \cdot 125 = 1000$, $62{,}5 \cdot 16 = 1000$.

Шешуі.

1. $8 \cdot 125 = 1000$; $0{,}01 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$; $1000 \cdot 0{,}001 = 1$.
2. $62{,}5 \cdot 16 = 1000$; $0{,}1 \cdot 0{,}01 = 0{,}001$; $1000 \cdot 0{,}001 = 1$.

Жауабы: 1) 1; 2) 1.

№ 585

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $93{,}1a + 16{,}9a - 1{,}1$, мұндағы $a = 0{,}01$; 2) $(9{,}72b + 0{,}28b) : 250$, мұндағы $b = 100$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бірдей әріптерді біріктіреміз: $93{,}1a + 16{,}9a = 110a$. Есептеу әлдеқайда жеңілдейді.

Шешуі.

1. $110a - 1{,}1 = 110 \cdot 0{,}01 - 1{,}1 = 1{,}1 - 1{,}1 = 0$.
2. $10b : 250 = 1000 : 250 = 4$.

Жауабы: 1) 0; 2) 4.

Жадынама

• Нүктелердің арақашықтығы = координаталар айырымының модулі.
• $|-5 - 3| = 8$; $|13 - (-7)| = 20$.
• Кез келген нүктеден берілген қашықтықта дәл екі нүкте жатады: солда және оңда.
• Координаталар жай және ондық бөлшекпен берілсе, алдымен оларды бір түрге келтір.

Шағын тест