§ 3. Тура пропорционалды тәуелділік. Кері пропорционалды тәуелділік

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 1 тарау: Қатынас және пропорция. 32–38-беттер.

Нені үйренесің

• Тура пропорционал шамаларды танып білуді: біреуі неше есе артса, екіншісі сонша есе артады.
• Кері пропорционал шамаларды танып білуді: біреуі артса, екіншісі сонша есе кемиді.
• Кесте бойынша пропорционалдық бар-жоғын тексеруді.
• Сатып алу, қозғалыс, жұмыс және рецепт туралы есептерді пропорциямен немесе «неше есе» арқылы шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 144–147 тапсырмалары. Ойша шығарып көр, содан кейін жауабын аш.

• 5 қаламсап 650 тг тұрады. Біреуі қанша тұрады? Ондай 7 қаламсап ше? $650 : 5 = 130$ тг, ал 7 қаламсап — $130 \cdot 7 = 910$ тг.
• $x = 0{,}8$, $y = 0{,}25$ болса, $x$ пен $y$ шамаларының бөліндісі неге тең? Неше бөлінді құруға болады? $0{,}8 : 0{,}25 = 3{,}2$ және керісінше $0{,}25 : 0{,}8 = 0{,}3125$. Бөлінді екеу.
• Тігінші 3 сағатта 9 бұйым тігеді. 4 сағатта қанша тігеді? 2 сағатта ше? Бір сағатта — 3 бұйым. 4 сағатта — 12, 2 сағатта — 6. Уақыт екі есе артты (2 сағаттан 4 сағатқа) — бұйым да екі есе көп (6-дан 12-ге).
• Шаршының периметрі 17 см. Қабырғасы одан 8 есе ұзын шаршының ауданы қандай? Біріншісінің қабырғасы $17 : 4 = 4{,}25$ см, екіншісінікі — $4{,}25 \cdot 8 = 34$ см. Ауданы $34 \cdot 34 = 1156$ см².

💡 Тігінші туралы қорытындыны байқадың ба? Уақыт неше есе артса, жұмыс та сонша есе артады. Сабақтың басты ойы — осы.

Тақырыпты талдаймыз

Екі шама «қол ұстасып» жүреді

Бір стақан балмұздақ 200 тг тұрады. Бір стақан — 200 тг, екеуі — 400 тг, бесеуі — 1000 тг. Қанша алсаң да, құны әрдайым бағасын санына көбейткенге тең.

$y$ пен $x$ арасындағы байланыс $y = kx$ формуласымен өрнектелсе, мұндағы $k$ — нөлге тең емес тұрақты сан, мұндай шамаларды тура пропорционал шамалар дейді. $k$ саны — тура пропорционалдық коэффициенті.

Өмірден мысалдар:

• құны $y$ = бағасы $k$ · саны $x$;
• жол $y$ = жылдамдық $k$ · уақыт $x$;
• тіктөртбұрыштың ауданы $y$ = ұзындығы $k$ · ені $x$;
• жұмыс $y$ = өнімділік $k$ · уақыт $x$.

📌 Шамалар тура пропорционал болса, біреуін бірнеше есе арттырғанда екіншісі сонша есе артады. Біреуі кемісе, екіншісі де сонша есе кемиді.

Ал керісінше де болады

Талғардағы әжеңе дейінгі жол — 60 км. Жылдамдығың 30 км/сағ болса, 2 сағат жүресің. 60 км/сағ болса — 1 сағат. Жылдамдық екі есе артты, ал уақыт екі есе кеміді.

Байланыс $y = \frac{k}{x}$ формуласымен өрнектелсе ($k$ — нөлге тең емес тұрақты сан), шамаларды кері пропорционал шамалар дейді. Мұнда көбейтінді тұрақты: $x \cdot y = k$.

Мысалдар:

• уақыт = жол : жылдамдық (жол өзгермейді);
• тіктөртбұрыштың ұзындығы = ауданы : ені (аудан өзгермейді);
• жұмыс уақыты = барлық жұмыс : өнімділік.

📌 Шамалар кері пропорционал болса, біреуін бірнеше есе арттырғанда екіншісі сонша есе кемиді.

Графиктерге қарашы. Көк сызық — данасы 2 тг кәмпиттің құны ($y = 2x$). Қызғылт сары сызық — 12 км жолға әртүрлі жылдамдықпен қанша сағат кететіні ($y = \frac{12}{x}$).

⚠️ Жиі кететін қате. «Біреуі артса, екіншісі де артады — демек, тура пропорционал». Әрдайым олай емес! Тіктөртбұрыштың периметрі $P = 2(a + 3)$ $a$-мен бірге артады, бірақ $a = 1$ болғанда ол 8, ал $a = 2$ болғанда — 10. Ұзындық екі есе артты, периметр артқан жоқ. Дәл «сонша есе» дегенді тексер.

Кесте бойынша қалай білеміз

• Әр бағанда $y$-ті $x$-ке бөлеміз. Барлығында бір сан шықса — тура пропорционалдық.
• $x$-ті $y$-ке көбейтеміз. Барлығында бір сан шықса — кері пропорционалдық.

Есепті «неше есе» арқылы шығарамыз

40 кг алмадан 32 кг алма тосабы шығады. 90 кг алмадан қанша тосап шығады?

Алма $90 : 40 = \frac{9}{4}$ есе артты. Тосаптың массасы алманың массасына тура пропорционал, демек, тосап та $\frac{9}{4}$ есе артады: $\frac{x}{32} = \frac{9}{4}$, осыдан $4x = 9 \cdot 32$, $x = 72$ кг.

Енді кері пропорционалдыққа мысал. Алаңды 4 бульдозер 9 сағатта тазалайды. 6 бульдозер қанша сағатта тазалайды?

Машиналар $6 : 4 = \frac{3}{2}$ есе көп, демек, уақыт $\frac{3}{2}$ есе аз: $\frac{9}{x} = \frac{3}{2}$, $3x = 18$, $x = 6$ сағ.

💡 Кері тәуелділікке арналған жылдам тәсіл: «жұмыстың жалпы көлемін» тап. 4 бульдозер · 9 сағ = 36 «бульдозер-сағат». 6 машинаға бөлеміз: $36 : 6 = 6$ сағ.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Есепті шығарар алдында баладан сөзбен жауап беруін сұраңыз: «Шаманы арттырсақ, жауап үлкен бе, кіші ме болады?». Бұл тәуелділіктің тура немесе кері екенін бірден көрсетіп, қателердің жартысынан сақтайды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Шамалар қашан тура пропорционал, қашан кері пропорционал болады? Тура — $y = kx$ болса, яғни $y : x$ бөліндісі тұрақты. Кері — $y = \frac{k}{x}$ болса, яғни $x \cdot y$ көбейтіндісі тұрақты.
• Олардың қандай қасиеті бар? Тура пропорционал шамаларда біреуі бірнеше есе артса (кемісе), екіншісі сонша есе артады (кемиді). Кері пропорционал шамаларда біреуі бірнеше есе артса, екіншісі сонша есе кемиді.
• Неліктен бірдей уақыт аралығында жол мен жылдамдық тура пропорционал, ал бірдей жолда жылдамдық пен уақыт кері пропорционал? Жол = жылдамдық · уақыт. Уақыт тұрақты болса, жол жылдамдықпен бірге сонша есе артады. Жол тұрақты болса, жылдамдық пен уақыттың көбейтіндісі өзгермейді: біреуі артса, екіншісі кемиді.
• Неліктен шаршының периметрі қабырғасына тура пропорционал, ал ауданы емес? $P = 4a$ — $y = kx$ түріндегі формула. Ал $S = a \cdot a$: қабырғасы 2 есе артса, ауданы 4 есе артады. «Сонша есе» шарты орындалмайды.
• Ені тұрақты болғанда тіктөртбұрыштың периметрі неліктен ұзындығына тура пропорционал емес? $P = 2a + 2b$: екі еселенген ұзындыққа тұрақты $2b$ қосылады. Ұзындықты екі есе арттырсаң, периметр екі еседен аз артады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 148

Мына шамаларды тура пропорционал шамалар деп айтуға бола ма: 1) ені 8 см болатын тіктөртбұрыштың ауданы мен ұзындығын; 2) ұзындығы 4 дм және ені 6 дм болатын тікбұрышты параллелепипедтің көлемі мен биіктігін; 3) жылдамдығы 65 км/сағ болатын теплоходтың жүрген жолы мен жолға кеткен уақытын; 4) 70 км жол жүргендегі қозғалыс уақыты мен жылдамдығын? Тексеріп көріңдер.

Қалай ойлаймыз. $y = kx$ түріндегі формула жазып көреміз.

Шешуі.

1. $S = 8a$ — иә.
2. $V = 4 \cdot 6 \cdot h = 24h$ — иә.
3. $s = 65t$ — иә.
4. $v = \frac{70}{t}$ — жоқ, бұл кері пропорционалдық.

Жауабы: 1), 2), 3) — иә; 4) — жоқ (кері тәуелділік).

№ 149

Мына шамалардың қайсысы кері пропорционал: 1) көлемі 180 дм³ және ені 15 дм болатын тікбұрышты параллелепипедтің ұзындығы мен биіктігі; 2) 650 теңгеге сатып алынған матаның ұзындығы мен 1 м матаның бағасы; 3) трактордың жер жыртуға жіберген уақыты мен жұмсалған жанармай көлемі; 4) 900 га жерді жыртуға жіберілген уақыт пен тракторлар саны?

Қалай ойлаймыз. Тұрақты көбейтінді іздейміз.

Шешуі.

1. $a \cdot 15 \cdot h = 180$, демек, $a \cdot h = 12$ — кері.
2. бағасы · ұзындығы = 650 — кері.
3. Ұзақ жыртса — жанармай көп кетеді. Бұл кері емес (тура) тәуелділік.
4. Тракторлар көп болса — уақыт аз кетеді, ал барлық жұмыс (900 га) тұрақты — кері.

Жауабы: 1), 2), 4).

№ 150

Тура пропорционал болатын $x$ және $y$ шамалары қай кестеде берілген? 1) $x$: 1, 2, 3, 4; $y$: 9, 18, 27, 36. 2) $x$: 45, 40, 35, 30; $y$: 9, 8, 7, 6.

Қалай ойлаймыз. Әр бағанда $y$-ті $x$-ке бөлеміз.

Шешуі.

1. $9 : 1 = 18 : 2 = 27 : 3 = 36 : 4 = 9$ — иә, $y = 9x$.
2. $9 : 45 = 8 : 40 = 7 : 35 = 6 : 30 = \frac{1}{5}$ — иә, $y = \frac{1}{5}x$. Сандардың кемігеніне абыржыма: $x$ кемиді — $y$ да сонша есе кемиді.

Жауабы: 1) иә; 2) иә.

№ 151

Кері пропорционал шамалар болатын $x$ және $y$ шамалары қай кестеде берілген? 1) $x$: 4, 8, 16, 32; $y$: 32, 16, 8, 4. 2) $x$: 100, 80, 40, 20; $y$: 10, 8, 4, 2.

Шешуі.

1. $4 \cdot 32 = 8 \cdot 16 = 16 \cdot 8 = 32 \cdot 4 = 128$ — иә.
2. $100 \cdot 10 = 1000$, ал $80 \cdot 8 = 640$ — жоқ. Мұнда бөлінді тұрақты: $y = \frac{x}{10}$, бұл тура пропорционалдық.

Жауабы: 1) иә; 2) жоқ.

№ 152

Ұшақ 30 минутта 300 км ұшып өтті. Осындай жылдамдықпен ол: 1) 1 сағатта; 2) 2 сағатта; 3) 3 сағатта қанша километр ұшады?

Шешуі. 1 сағатта жарты сағаттағыдан екі есе көп: 600 км. Одан әрі көбейтеміз: $600 \cdot 2 = 1200$, $600 \cdot 3 = 1800$.

Жауабы: 600 км; 1200 км; 1800 км.

№ 153

Бір данасы 50 теңгеге тең 8 қарындаш сатып алынды. Бір қарындаш: 1) 10 тг; 2) 20 тг; 3) 40 тг; 4) 80 тг болса, жұмсалған сомаға қанша қарындаш сатып алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Ақша тұрақты, демек, баға мен сан кері пропорционал.

Шешуі. Барлығы $8 \cdot 50 = 400$ тг. $400 : 10 = 40$; $400 : 20 = 20$; $400 : 40 = 10$; $400 : 80 = 5$.

Жауабы: 40; 20; 10; 5 қарындаш.

№ 154

13 кг ауаның көлемі 10 м³ болса, ұзындығы 9 м, ені 4,5 м және биіктігі 2,7 м болатын бөлмедегі ауаның массасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Масса көлемге тура пропорционал.

Шешуі.

1. Көлемі: $9 \cdot 4{,}5 \cdot 2{,}7 = 109{,}35$ м³.
2. 1 м³ ауа $13 : 10 = 1{,}3$ кг тартады.
3. $109{,}35 \cdot 1{,}3 = 142{,}155$ кг.

Жауабы: 142,155 кг (шамамен 142 кг).

🌟 Қарапайым бөлмедегі ауа екі ересек адамдай тартады! Біз оны байқамаймыз ғана.

№ 155

Көлемі 2,5 м³ бетон тактаның массасы 4,75 т. Массасы 6,65 т болатын тактаның көлемін табыңдар.

Шешуі. 1 м³ бетон $4{,}75 : 2{,}5 = 1{,}9$ т тартады. Көлемі: $6{,}65 : 1{,}9 = 3{,}5$ м³.

Жауабы: 3,5 м³.

№ 156

0,8 м матаға 960 тг төленген. 3,25 м матаның құнын есептеңдер.

Шешуі. 1 м мата $960 : 0{,}8 = 1200$ тг тұрады. $3{,}25 \cdot 1200 = 3900$ тг.

Жауабы: 3900 тг.

№ 157

Турист 35 км жолды $\frac{1}{2}$ сағ жүріп өтті. Тұрақты жылдамдықпен турист 1 сағатта, 2,5 сағатта, 4 сағатта қанша жол жүреді?

Шешуі. Жылдамдығы $35 \cdot 2 = 70$ км/сағ. $70 \cdot 1 = 70$; $70 \cdot 2{,}5 = 175$; $70 \cdot 4 = 280$.

Жауабы: 70 км; 175 км; 280 км.

📕 Оқулықтағы санның өзі қызық: жаяу турист жарты сағатта 35 км жүре алмайды (бұл — сағатына 70 км, көлік жылдамдығы). Математикасы дұрыс, тек сан шынайы емес. Тапсырманы «тұрақты жылдамдықпен» дегенді есепке алып шығара бер.

№ 158

Стадион салуға арналған алаңды 5 бульдозер 7 сағ тазалады. Осы алаңды сол еңбек өнімділігін сақтай отырып, 7 бульдозер қанша уақытта тазалайды?

Қалай ойлаймыз. Машина көп — уақыт аз: кері пропорционалдық.

Шешуі. Жұмыс: $5 \cdot 7 = 35$ бульдозер-сағат. $35 : 7 = 5$ сағ.

Жауабы: 5 сағатта.

№ 159

Жүк тасымалдау үшін сыйымдылығы 9 т болатын 16 машина қажет. Осы жүкті тасымалдау үшін сыйымдылығы 12 т болатын қанша машина қажет?

Шешуі. Жүк $16 \cdot 9 = 144$ т. $144 : 12 = 12$ машина.

Жауабы: 12 машина.

№ 160

4 тас қалаушы жұмысты 9 күнде орындайды. Осындай өнімділікпен 6 тас қалаушы осы жұмысты қанша күнде бітіреді?

Шешуі. $4 \cdot 9 = 36$ «адам-күн». $36 : 6 = 6$ күн.

Жауабы: 6 күнде.

№ 161

Жаңа үйдегі сырлау жұмысын 18 жұмысшы 20 күнде бітірді. Осындай өнімділікпен сырлау жұмысын 20 жұмысшы қанша күнде орындайды?

Шешуі. $18 \cdot 20 = 360$ адам-күн. $360 : 20 = 18$ күн.

Жауабы: 18 күнде.

№ 162

Ұшақ 1200 км жолды 1,2 сағ ұшады. Ұшақ жылдамдығын сақтай отырып, 2,2 сағатта қандай қашықтықты ұшып өтеді?

Шешуі. Жылдамдығы $1200 : 1{,}2 = 1000$ км/сағ. $1000 \cdot 2{,}2 = 2200$ км.

Жауабы: 2200 км.

№ 163

1) 39 кг алмұрттан 10,5 кг кептірілген алмұрт шығады. 14,7 кг кептірілген алмұрт алу үшін қанша алмұрт керек? 2) 20 кг алмадан 16 кг алма езбесі алынады. 45 кг алмадан қанша килограмм алма езбесі шығады?

Қалай ойлаймыз. Кептірілген алмұрт $14{,}7 : 10{,}5 = 1{,}4$ есе көп керек — демек, жаңа алмұрт та 1,4 есе көп.

Шешуі.

1. $39 \cdot 1{,}4 = 54{,}6$ кг.
2. 1 кг алмадан — $16 : 20 = 0{,}8$ кг езбе. $45 \cdot 0{,}8 = 36$ кг.

Жауабы: 1) 54,6 кг; 2) 36 кг.

№ 164

1) 3 кг кеппеген кофе дәнінен 2,5 кг кептірілген кофе дәні алынады. 1 кг кептірілген кофе дәнін алу үшін қанша килограмм кеппеген кофе дәні керек? 2) 2,75 т күнбағыс дәнінен 275 кг жануарларға беретін азық алуға болады. 13,5 т күнбағыс дәнінен қанша азық шығады?

Шешуі.

1. Пропорция құрамыз: $\frac{x}{3} = \frac{1}{2{,}5}$, $x = 3 : 2{,}5 = 1{,}2$ кг.
2. 1 т-дан — $275 : 2{,}75 = 100$ кг. $13{,}5 \cdot 100 = 1350$ кг.

Жауабы: 1) 1,2 кг; 2) 1350 кг (1,35 т).

№ 165

Диірменде 5 сағатта 60 т бидай тартылады. Осындай жұмыс өнімділігімен 12 сағатта қанша тонна бидай тартуға болады?

Шешуі. 1 сағатта — $60 : 5 = 12$ т. $12 \cdot 12 = 144$ т.

Жауабы: 144 т.

№ 166

Жаяу адам 3,6 км/сағ жылдамдықпен қозғала отырып, 2,5 сағ жол жүрді. 4,5 км/сағ жылдамдықпен жүргенде осы жолға қанша уақыт жібереді?

Қалай ойлаймыз. Жол сол — жылдамдық пен уақыт кері пропорционал.

Шешуі. Жол $3{,}6 \cdot 2{,}5 = 9$ км. Уақыт $9 : 4{,}5 = 2$ сағ.

Жауабы: 2 сағ.

B деңгейі

№ 167

1) Қабырғасының ұзындығы 3 см; 6 см; 2,5 см; 7,8 см болатын шаршының периметрін есептеңдер. Шаршының периметрі мен қабырғасының ұзындығы тура пропорционал шамалар бола ма? 2) Шаршының қабырғасын 4 есе; 5 есе; 6 есе; 9 есе үлкейтсе (кемітсе), оның периметрі қанша есе үлкейеді (кемиді)? 3) Қабырғасының ұзындығы 2 дм; 4 дм; 7 дм; 10 дм болатын шаршының ауданын табыңдар. Шаршының ауданы мен қабырғасы тура пропорционал шамалар бола ма? Жауабын түсіндіріңдер.

Шешуі.

1. $P = 4a$: 12 см; 24 см; 10 см; 31,2 см. Иә, тура пропорционал, коэффициенті 4.
2. Сонша есе: 4, 5, 6, 9 есе.
3. $S = a \cdot a$: 4 дм²; 16 дм²; 49 дм²; 100 дм². Жоқ: қабырғасы 2-ден 4-ке екі есе артты, ал ауданы 4-тен 16-ға төрт есе артты.

Жауабы: 1) 12; 24; 10; 31,2 см — иә; 2) 4, 5, 6, 9 есе; 3) 4; 16; 49; 100 дм² — жоқ.

Аспаз мамандығындағы математика

🌟 Мейрамханада аспаздар рецептті «бір порцияға» немесе «10 данаға» деп жазады. Содан кейін жай көбейтеді — бұл өмірдегі тура пропорционалдық.

№ 168

Құрмасы бар 10 самса дайындау үшін қамыр илеуге 400 г ұн, 25 г қант, 15 г маргарин, 10 г ашытқы, 200 г су, ал пісіру үшін 150 г құрма, 70 г май, 5 г ұн және 40 г су қажет. 1) 20; 2) 30; 3) 50 құрмасы бар самса дайындау үшін қанша ұн, қант, маргарин, ашытқы, су, құрма, май алу керек?

Қалай ойлаймыз. 20 самса — 10-нан 2 есе көп; 30 — 3 есе; 50 — 5 есе. Әр өнімді 2-ге, 3-ке, 5-ке көбейтеміз.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 169

Бір порция «Дойна» салатын дайындау үшін 1 қияр, 1 қызанақ, 1 тәтті бұрыш, 15 г пияз, 20 г май, 30 г ірімшік қажет. 1) 10; 2) 20; 3) 30 порция «Дойна» салатын жасау үшін қанша қияр, қызанақ, тәтті бұрыш, пияз, май және ірімшік алу керек?

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 170

Бір бөлік құс еті қосылған тағамды дайындау үшін 100 г құс еті, 1 қасық күріш, 1 сәбіз, $\frac{1}{2}$ жасылша тамыры, 1 шайқасық маргарин, 1 пияз, 1 стақан квас, 1 дана жасылша қажет. 1) 10; 2) 20; 3) 30 бөлік құс еті қосылған тағамды дайындау үшін қанша құс еті, күріш, сәбіз, жасылша, маргарин, пияз, квас, жасылша тамыры керек болады?

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

C деңгейі

№ 171

Тікбұрыштың ұзындығы 10 см, ені 8 см. 1) Тіктөртбұрыштың ұзындығын 2,5 есе, енін 2 есе кемітсе, тіктөртбұрыштың ауданы қалай өзгереді? 2) Тіктөртбұрыштың ұзындығын 2 есе, енін 2,5 есе кемітсе, тіктөртбұрыштың ауданы қалай өзгереді? Қорытынды жасаңдар.

Қалай ойлаймыз. Аудан ұзындыққа (ені сол болғанда) және енге (ұзындығы сол болғанда) тура пропорционал. Демек, «кемулер» көбейтіледі.

Шешуі. Екі жағдайда да 80 см² орнына 16 см² шығады, яғни 5 есе аз.

Жауабы: 1) және 2) аудан 5 есе кемиді. Қорытынды: ұзындықты $m$ есе, енді $n$ есе кемітсе, аудан $m \cdot n$ есе кемиді, қай қабырғаны неше есе кемітсең де.

№ 172

40 және 36 сандары берілген. 1) ЕКОЕ (40; 36) бестен бір бөлігін табыңдар. 2) Шыққан санды 2 есе кемітіңдер. 3) Нәтижені берілген сандардың кішісімен салыстырыңдар. Қорытынды жасаңдар.

Шешуі.

1. $40 = 2^3 \cdot 5$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$. ЕКОЕ $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$. $360 : 5 = 72$.
2. $72 : 2 = 36$.
3. $36 = 36$ — кіші санның өзі шықты.

Жауабы: 72; 36; 36 санына тең. Қорытынды: ЕКОЕ (40; 36)-нің $\frac{1}{10}$ бөлігі 36-ға тең, яғни ЕКОЕ 36 санынан 10 есе үлкен.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 173

1) 50-дің 10%-ын; 2) 80-нің 20%-ын; 3) 160-тың 25%-ын; 4) 900-дің 35%-ын; 5) 500-дің 24%-ын; 6) 1000-ның 75%-ын табыңдар. 1) 20%-ы 7-ге; 2) 40%-ы 40-қа; 3) 50%-ы 87-ге; 4) 25%-ы 43-ке; 5) 60%-ы 36-ға; 6) 150%-ы 27-ге тең болатын санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1% — жүзден бір бөлігі. Саннан пайызды табу: 100-ге бөліп, пайызға көбейтеміз. Пайызы бойынша санды табу: пайызға бөліп, 100-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. $50 : 100 \cdot 10 = 5$; $80 : 100 \cdot 20 = 16$; $160 : 100 \cdot 25 = 40$; $900 : 100 \cdot 35 = 315$; $500 : 100 \cdot 24 = 120$; $1000 : 100 \cdot 75 = 750$.
2. $7 : 20 \cdot 100 = 35$; $40 : 40 \cdot 100 = 100$; $87 : 50 \cdot 100 = 174$; $43 : 25 \cdot 100 = 172$; $36 : 60 \cdot 100 = 60$; $27 : 150 \cdot 100 = 18$.

Жауабы: 1) 5; 16; 40; 315; 120; 750. 2) 35; 100; 174; 172; 60; 18.

Күнделікті өмірдегі математика

💡 № 174 және 175 тапсырмалары пайыз бен дөңгелек секторлар туралы. Олар келесі параграфқа керек болады.

№ 174

1) Адам денесінің шамамен 64%-ы судан тұрады. Массасы 50 кг болатын адам денесінде қанша килограмм су бар? 2) Күріштің құрамында 75% крахмал бар. 120 кг күріште қанша килограмм крахмал бар? 3) Арпаның құрамында 60% крахмал бар. 40 кг арпада қанша килограмм крахмал бар?

Шешуі.

1. $50 \cdot 0{,}64 = 32$ кг.
2. $120 \cdot 0{,}75 = 90$ кг.
3. $40 \cdot 0{,}6 = 24$ кг.

Жауабы: 32 кг; 90 кг; 24 кг.

🌟 Сен шамамен үштен екі бөлігіңмен судан тұрасың! Сондықтан су ішу өте маңызды, әсіресе Шымкенттегі жазда.

№ 175

1) $AOB$, $BOM$, $MOT$, $AOT$ бұрыштарын өлшеңдер (4, 5-суреттер). 2) Дөңгелекті бұрыштары 160°, 120°, 50° және 30° болатын төрт секторға бөліңдер.

Қалай ойлаймыз. Транспортирдің центрін $O$ нүктесіне қойып, нөлін бір радиусқа келтіреміз. Тексеру: дөңгелектің барлық сектор бұрыштарының қосындысы — 360°.

Шешуі.

1. 4-сурет: $\angle AOB \approx 40^\circ$, $\angle BOM \approx 130^\circ$, $\angle MOT \approx 115^\circ$, $\angle AOT \approx 75^\circ$. Қосындысы $40 + 130 + 115 + 75 = 360^\circ$ ✓. 5-сурет: $\angle BOM \approx 30^\circ$, $\angle MOT \approx 115^\circ$, $\angle AOT \approx 80^\circ$, $\angle AOB \approx 135^\circ$. Қосындысы $360^\circ$ ✓.
2. Тексереміз: $160 + 120 + 50 + 30 = 360^\circ$ — бүкіл дөңгелек. Радиус жүргіземіз, одан 160°, жаңа радиустан 120°, сонан соң 50° саламыз. Қалған сектор өздігінен 30° болады.

Жауабы: 1) шамамен 40°, 130°, 115°, 75° және 30°, 115°, 80°, 135° (өлшеу 1–2°-қа ерекшеленуі мүмкін); 2) дөңгелек диаграммада.

Жадынама

• Тура пропорционал шамалар: $y = kx$. Кесте бойынша тексеру — $y$-ті $x$-ке бөлеміз.
• Кері пропорционал шамалар: $y = \frac{k}{x}$. Тексеру — $x$-ті $y$-ке көбейтеміз.
• «Екеуі де артады» — әлі тура пропорционалдық емес. «Сонша есе» болуы керек.
• Жұмыс туралы есептерді «жалпы көлем» арқылы шығару ыңғайлы: бульдозер · сағат, адам · күн.
• Шаршының ауданы қабырғасына пропорционал емес: қабырға ×2 — аудан ×4.

Шағын тест