§ 25. Тепе-теңдік. Өрнектерді тепе-тең түрлендіру

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 3 тарау: Алгебралық өрнектер. 168–174-беттер.

Нені үйренесің

• Екі өрнектің «тепе-тең» болатынын, яғни әріптердің кез келген мәнінде мәндері бірдей болатынын түсінуді.
• Тепе-теңдікті айнымалысы бар қарапайым теңдіктен ажыратуды.
• Өрнекті қарапайымырақ өрнекке алмастыруды, бір де бір мәнді жоғалтпай.
• Тепе-теңдікті дәлелдеуді: бір жағын немесе екі жағын да олар сәйкес келгенше ықшамдау.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 754 және 755 тапсырмалары. Ойша есепте.

• $2{,}5 \cdot 100 - 75$ және $52{,}5 : 0{,}03$ тең бе? Жоқ: біріншісі 175, екіншісі 1750. Бір нөл «қашып кеткен».
• $4\frac{1}{3} \cdot 0{,}15 + 0{,}37$ және $-17 + 10 + 18$ тең бе? Жоқ: $0{,}65 + 0{,}37 = 1{,}02$, ал оң жағы 11.
• $-20 + 30 - 40 - 60 = -90$ дұрыс па? Иә: $10 - 40 = -30$, $-30 - 60 = -90$.
• $-20 - 30 + 40 + 60 = -150$ дұрыс па? Жоқ, $-50 + 100 = 50$ шығады.
• $-20 - 30 + 40 + 60 = 50$ дұрыс па? Иә.
• $20 + 30 - 40 - 60 = 50$ дұрыс па? Жоқ, $-50$ шығады: таңбаны жоғалтып алдық.

💡 Сандық теңдік не дұрыс, не бұрыс. Ал әріптер болса қызығырақ: бір теңдік кейбір сандарда дұрыс, кейбірінде бұрыс болуы мүмкін. Бірақ әрқашан дұрыс болатын теңдіктер де бар. Бүгінгі сабақ — солар туралы.

Тақырыпты талдаймыз

Екі өрнек — бір жауап

$x + 8$ және $8 + x$ өрнектерін алайық. $x = 0$ қояйық: екеуі де 8 береді. $x = -2$: екеуі де 6. $x = 10$: екеуі де 18. $x = -5$: екеуі де 3.

Қандай сан алсаң да, жауаптар сәйкес келеді: қосылғыштардың орнын ауыстырғаннан қосынды өзгермейді. Мұндай өрнектер тепе-тең өрнектер деп аталады.

📌 Айнымалылардың кез келген мәнінде мәндері бірдей болатын екі өрнек тепе-тең өрнектер деп аталады.

Тағы мысалдар: $a \cdot 0$ және $0$; $a(b + c)$ және $ab + ac$; $-m \cdot (-n)$ және $mn$. Ал $2x^2 + 3xy$ және $x(2x + 3y)$ ше? Екіншісіндегі жақшаны аш: $x \cdot 2x + x \cdot 3y = 2x^2 + 3xy$. Сәйкес келді — демек, бұлар да тепе-тең.

Тепе-теңдік деген не

Екі тепе-тең өрнекті «=» таңбасымен қоссаң, тепе-теңдік шығады. Мысалы, $x + 8 = 8 + x$ немесе $x + y = y + x$. Қандай сан қойсаң да, теңдік дұрыс болып қалады.

📌 Тепе-теңдік — айнымалының кез келген мәнінде дұрыс болатын, айнымалысы бар теңдік.

Өзің білетін амалдардың барлық қасиеттері — тепе-теңдіктер: $xy = yx$, $(x + y) + z = x + (y + z)$, $(x + y)z = xz + yz$, $a + 0 = a$, $a \cdot 1 = a$, $a \cdot 0 = 0$.

Ал $x + 5 = 8$ — тепе-теңдік емес. Ол тек $x = 3$ болғанда дұрыс. Бұл — теңдеу.

⚠️ Жиі кететін қате. Бір санды тексеріп, «бұл тепе-теңдік» деп шешіп қояды. Мысалы, $x \cdot x = x$ теңдігі $x = 1$ болғанда дұрыс, ал $x = 2$ болғанда — жоқ. Тепе-теңдікті жоққа шығару үшін теңдік бұзылатын бір сан жеткілікті. Ал дәлелдеу үшін түрлендірулер керек.

Түрлендіру — «егізге» алмастыру

$6 \cdot (100 + 70)$ өрнегін ойша қалай есептейміз? Жақшаны ашамыз: $6 \cdot 100 + 6 \cdot 70 = 600 + 420 = 1020$. Біз өрнекті оған тепе-тең өрнекке алмастырдық. Міне, осы — тепе-тең түрлендіру.

Сен мұндай түрлендірулерді өткен сабақтарда да істедің: жақшаны аштың, ұқсас қосылғыштарды біріктірдің. Енді оларға «ресми» атау берілді.

📌 Тепе-тең түрлендіру — өрнекті оған тепе-тең екінші өрнекпен алмастыру.

Тепе-теңдікті қалай дәлелдейміз

Тепе-теңдікті дәлелдеу — сол жақ және оң жақ бөліктерінің тепе-тең өрнектер болатынын көрсету. Үш жол бар:

1. Оң жағы шыққанша сол жағын түрлендіру.
2. Сол жағы шыққанша оң жағын түрлендіру.
3. Бірдей өрнек шыққанша теңдіктің екі жағын да түрлендіру.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан екі жағына да, мысалы, $a = 1$ және $a = -2$ қойып көруін сұраңыз. Сәйкес келуі тепе-теңдікті дәлелдемейді, бірақ түрлендірудегі қателерді жақсы ұстайды. Бұл — өзін-өзі тексерудің жақсы әдеті.

⚠️ Жиі кететін қате. $-(a + b)$ өрнегін $-a + b$ деп алмастырады. Жақша алдындағы минус әрбір қосылғыштың таңбасын өзгертеді: $-(a + b) = -a - b$. Сандармен тексер: $a = 1$, $b = 1$ болғанда $-2$ шығады, ал «қате» нұсқада 0.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $5 + x = 5$; $5 + x = 5 + x$; $x = 5$; $5 = 5$; $x = x$ теңдіктерінің қайсысы тепе-теңдік? $5 + x = 5 + x$ және $x = x$ кез келген $x$ үшін дұрыс. $5 = 5$ — дұрыс сандық теңдік, оны да тепе-теңдікке жатқызады. Ал $5 + x = 5$ және $x = 5$ тек $x$-тің бір мәнінде дұрыс.
• $m \cdot (-n)$ өрнегіне қандай өрнек тепе-тең? $-(a - b)$ ше? $m \cdot (-n) = -mn$; $-(a - b) = -a + b = b - a$.
• $-(a + b)$ өрнегін $-a + b$ деп алмастыру неге тепе-тең түрлендіру болмайды? Себебі $-(a + b) = -a - b$. $a = 1$, $b = 2$ болғанда $-3$ және $1$ шығады — мәндері әртүрлі.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 756

Қандай қасиеттерге сүйеніп өрнектерді тепе-тең деп айтуға болады: 1) $a + 20$ және $20 + a$; 2) $bc + 7{,}1$ және $7{,}1 + bc$; 3) $19 + (a + b)$ және $(a + b) + 19$; 4) $9(c + d)$ және $9c + 9d$?

Қалай ойлаймыз. Не өзгергенін қара: қосылғыштардың орны ауысты ма, әлде жақша көбейту арқылы ашылды ма.

Шешуі.

1. Қосылғыштардың орны ауысты — қосудың ауыстырымдылық қасиеті.
2. Дәл солай: $bc$ және $7{,}1$ орындарын ауыстырды — қосудың ауыстырымдылық қасиеті.
3. $(a + b)$ қосындысы — бір қосылғыш, ол 19-бен орнын ауыстырды — қосудың ауыстырымдылық қасиеті.
4. 9 әр қосылғышқа көбейтілді — көбейтудің үлестірімділік қасиеті.

Жауабы: 1)–3) қосудың ауыстырымдылық қасиеті; 4) көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділік қасиеті.

№ 757

Өрнектері тепе-тең өрнектер бола ма: 1) $15 + 2a - 3$ және $12 + 2a$; 2) $4{,}7 - a$ және $a - 4{,}7$; 3) $(1{,}5a) \cdot (2b)$ және $30ab$; 4) $(40x) \cdot y$ және $(5x) \cdot (8y)$?

Қалай ойлаймыз. Екі өрнекті де ықшамда. Күмән болса — мәндері әртүрлі болатын сан тап.

Шешуі.

1. $15 - 3 = 12$, демек, $15 + 2a - 3 = 12 + 2a$. Иә.
2. $a = 0$ болғанда: $4{,}7$ және $-4{,}7$. Әртүрлі. Жоқ.
3. $1{,}5 \cdot 2 = 3$, яғни $(1{,}5a)(2b) = 3ab$, ал $30ab$ емес. Жоқ.
4. $5 \cdot 8 = 40$, яғни $(5x)(8y) = 40xy = (40x)y$. Иә.

Жауабы: 1) иә; 2) жоқ; 3) жоқ; 4) иә.

№ 758

Өрнекті оған тепе-тең өрнекке түрлендіріңдер: 1) $31a \cdot (-6)$; 2) $\frac{5}{9} \cdot (-45c)$; 3) $0{,}36x \cdot (-y)$; 4) $-20 \cdot (0{,}7b)$; 5) $\frac{7}{11} \cdot \left(\frac{3}{7}d\right)$; 6) $-1{,}2 \cdot (-5z)$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды бөлек көбейтеміз, әріптерді қалдырамыз. Таңбасы: «плюс пен минус» — минус, «минус пен минус» — плюс.

Шешуі.

1. $31 \cdot (-6) = -186$ → $-186a$.
2. $\frac{5}{9} \cdot (-45) = -25$ → $-25c$.
3. $0{,}36 \cdot (-1) = -0{,}36$ → $-0{,}36xy$.
4. $-20 \cdot 0{,}7 = -14$ → $-14b$.
5. $\frac{7}{11} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{11}$ → $\frac{3}{11}d$.
6. $-1{,}2 \cdot (-5) = 6$ → $6z$.

Жауабы: 1) $-186a$; 2) $-25c$; 3) $-0{,}36xy$; 4) $-14b$; 5) $\frac{3}{11}d$; 6) $6z$.

№ 759

Өрнекті оған тепе-тең өрнекке түрлендіріңдер: 1) $6x \cdot (-10y)$; 2) $-3{,}4a \cdot (80b)$; 3) $7\frac{1}{12}c \cdot 1\frac{5}{7}d$; 4) $2{,}7mn \cdot \left(2\frac{1}{9}t\right)$; 5) $-1{,}1(50a - c)$; 6) $\left(23{,}5x - \frac{1}{6}y\right) \cdot (-6)$.

Қалай ойлаймыз. 1)–4)-те коэффициенттерді көбейтіп, әріптерді қатар жазамыз. 5)–6)-да жақшаны ашамыз: әр қосылғышқа көбейтеміз.

Шешуі.

1. $6 \cdot (-10) = -60$ → $-60xy$.
2. $-3{,}4 \cdot 80 = -272$ → $-272ab$.
3. $\frac{85}{12} \cdot \frac{12}{7} = \frac{85}{7} = 12\frac{1}{7}$ → $12\frac{1}{7}cd$.
4. $\frac{27}{10} \cdot \frac{19}{9} = \frac{57}{10} = 5{,}7$ → $5{,}7mnt$.
5. $-1{,}1 \cdot 50a = -55a$, $-1{,}1 \cdot (-c) = 1{,}1c$ → $-55a + 1{,}1c$.
6. $23{,}5x \cdot (-6) = -141x$, $-\frac{1}{6}y \cdot (-6) = y$ → $-141x + y$.

Жауабы: 1) $-60xy$; 2) $-272ab$; 3) $12\frac{1}{7}cd$; 4) $5{,}7mnt$; 5) $-55a + 1{,}1c$; 6) $-141x + y$.

№ 760

Ұқсас қосылғыштарды біріктіріңдер: 1) $245x - 100{,}1 + 265x + 99{,}9$; 2) $\frac{2}{3}y + 48 + 2\frac{1}{7}y - 51$; 3) $-0{,}09a - 1{,}01b + 0{,}9a + 0{,}9b$; 4) $41\frac{3}{11}n + m - 8\frac{4}{11}n - 22{,}2m$.

Қалай ойлаймыз. «Өзімізді өзімізбен» жинаймыз: әріптері бірдей қосылғыштарды бірге, сандарды бірге.

Шешуі.

1. $245x + 265x = 510x$; $-100{,}1 + 99{,}9 = -0{,}2$ → $510x - 0{,}2$.
2. $\frac{14}{21}y + 2\frac{3}{21}y = 2\frac{17}{21}y$; $48 - 51 = -3$ → $2\frac{17}{21}y - 3$.
3. $-0{,}09a + 0{,}9a = 0{,}81a$; $-1{,}01b + 0{,}9b = -0{,}11b$ → $0{,}81a - 0{,}11b$.
4. $41\frac{3}{11}n - 8\frac{4}{11}n = 32\frac{10}{11}n$; $m - 22{,}2m = -21{,}2m$ → $32\frac{10}{11}n - 21{,}2m$.

Жауабы: 1) $510x - 0{,}2$; 2) $2\frac{17}{21}y - 3$; 3) $0{,}81a - 0{,}11b$; 4) $32\frac{10}{11}n - 21{,}2m$.

№ 761

Ұқсас қосылғыштарды біріктіріңдер: 1) $9\frac{1}{9}a - 20c + \frac{1}{3}a + 18{,}1c$; 2) $6{,}5x - 7{,}1x - 19 + 8\frac{1}{4}x$; 3) $-1{,}6y + 2\frac{3}{7}y - 3y + 2{,}6$; 4) $-4\frac{1}{6}z + 2\frac{1}{3}c - 3c + 5{,}5z$.

Қалай ойлаймыз. Ондық және жай бөлшектер араласса, бәрін бір түрге келтір.

Шешуі.

1. $9\frac{1}{9}a + \frac{3}{9}a = 9\frac{4}{9}a$; $-20c + 18{,}1c = -1{,}9c$ → $9\frac{4}{9}a - 1{,}9c$.
2. $8\frac{1}{4} = 8{,}25$; $6{,}5 - 7{,}1 + 8{,}25 = 7{,}65$ → $7{,}65x - 19$.
3. $-1{,}6 - 3 = -4{,}6 = -\frac{23}{5}$; $\frac{17}{7} - \frac{23}{5} = \frac{85 - 161}{35} = -\frac{76}{35} = -2\frac{6}{35}$ → $-2\frac{6}{35}y + 2{,}6$.
4. $-\frac{25}{6}z + \frac{33}{6}z = \frac{8}{6}z = 1\frac{1}{3}z$; $2\frac{1}{3}c - 3c = -\frac{2}{3}c$ → $1\frac{1}{3}z - \frac{2}{3}c$.

Жауабы: 1) $9\frac{4}{9}a - 1{,}9c$; 2) $7{,}65x - 19$; 3) $-2\frac{6}{35}y + 2{,}6$; 4) $1\frac{1}{3}z - \frac{2}{3}c$.

№ 762

Өрнекті жақшасы болмайтын тепе-тең өрнекпен алмастырыңдар: 1) $3 + (x + y) + t$; 2) $4 + a - (b + c)$; 3) $n - (4 - m + d)$; 4) $-(8 + z) + (s - k)$.

Қалай ойлаймыз. Жақша алдында плюс — жақшаны жай алып тастаймыз. Минус — алып тастап, ішіндегі әр қосылғыштың таңбасын өзгертеміз.

Шешуі.

1. $3 + x + y + t$.
2. $4 + a - b - c$.
3. $n - 4 + m - d$.
4. $-8 - z + s - k$.

Жауабы: 1) $3 + x + y + t$; 2) $4 + a - b - c$; 3) $n - 4 + m - d$; 4) $-8 - z + s - k$.

№ 763

Өрнекті жақшасы болмайтын тепе-тең өрнекпен алмастырып, оны ықшамдаңдар: 1) $10 - (x - 20) + 8x$; 2) $-(15 + 4y) + (2y - 17)$; 3) $9a - (21 - 8a) + 18$; 4) $-(6b - 40) - (38 + 7b)$.

Шешуі.

1. $10 - x + 20 + 8x = 7x + 30$.
2. $-15 - 4y + 2y - 17 = -2y - 32$.
3. $9a - 21 + 8a + 18 = 17a - 3$.
4. $-6b + 40 - 38 - 7b = -13b + 2$.

Жауабы: 1) $7x + 30$; 2) $-2y - 32$; 3) $17a - 3$; 4) $-13b + 2$.

№ 764

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $79 - (20 + 9a) + (11a - 122)$; 2) $-(b + 40) + (28 - 19b) + 11b$.

Шешуі.

1. $79 - 20 - 9a + 11a - 122 = 2a - 63$.
2. $-b - 40 + 28 - 19b + 11b = -9b - 12$.

Жауабы: 1) $2a - 63$; 2) $-9b - 12$.

№ 765

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $-\left(8\frac{1}{3}a - 9b\right) + 7{,}5a - 10\frac{1}{7}b = \left(\frac{5}{6}a + 1\frac{1}{7}b\right)$; 2) $2009{,}1x + 38{,}2y - (210{,}09x + 40{,}1y) = (179,901x - 190y) \cdot 0{,}01$.

Қалай ойлаймыз. Екі жағын да ықшамдап, салыстырамыз.

Шешуі.

1. Сол жағы: $-8\frac{1}{3}a + 9b + 7\frac{1}{2}a - 10\frac{1}{7}b$. $a$ бар қосылғыштар: $-8\frac{2}{6} + 7\frac{3}{6} = -\frac{5}{6}$. $b$ бар қосылғыштар: $9 - 10\frac{1}{7} = -1\frac{1}{7}$. Сол жағы $-\frac{5}{6}a - 1\frac{1}{7}b = -\left(\frac{5}{6}a + 1\frac{1}{7}b\right)$ болды. Демек, оң жақта жақша алдында минус тұруы керек — сонда тепе-теңдік дұрыс.
2. Сол жағы: $2009{,}1x - 210{,}09x + 38{,}2y - 40{,}1y = 1799{,}01x - 1{,}9y$. Оң жағы: $179,901 \cdot 0{,}01 = 1799{,}01$ және $190 \cdot 0{,}01 = 1{,}9$, яғни $1799{,}01x - 1{,}9y$. Сәйкес келді.

Жауабы: 1) екі жағы да $-\frac{5}{6}a - 1\frac{1}{7}b$-ға тең (оң жақта жақша алдында минус керек); 2) екі жағы да $1799{,}01x - 1{,}9y$-ке тең.

📕 № 765 (1) шартында қате бар: оң жақта жақша алдындағы минус түсіп қалған. Сол жағы $-\left(\frac{5}{6}a + 1\frac{1}{7}b\right)$-ке тең. Оқулықтың соңындағы жауаптарда бұл жаттығу жоқ.

№ 766

Өрнекті тепе-тең өрнекке түрлендіріңдер: 1) $1{,}3(x + 20y) - 40(0{,}9y - x) + 63y$; 2) $77(1{,}1a - 3b) - 3{,}2(4{,}5b - 50a) + 99a$.

Шешуі.

1. $1{,}3x + 26y - 36y + 40x + 63y = 41{,}3x + 53y$.
2. $84{,}7a - 231b - 14{,}4b + 160a + 99a = 343{,}7a - 245{,}4b$.

Жауабы: 1) $41{,}3x + 53y$; 2) $343{,}7a - 245{,}4b$.

№ 767

$x$ және $y$-тің кез келген мәндерінде өрнектің мәні натурал сан болатынын дәлелдеңдер: 1) $25(x + 2) - 4(y - 3) - (25x - 4y + 61)$; 2) $7{,}8(3x - 5) + (80 - 39y) - 0{,}3(10 + 78x - 130y)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашамыз. Барлық әріп бір-бірін «жеп қойса», бір сан қалады.

Шешуі.

1. $25x + 50 - 4y + 12 - 25x + 4y - 61 = 1$.
2. $23{,}4x - 39 + 80 - 39y - 3 - 23{,}4x + 39y = 38$.

Әріп қалмады, ал 1 және 38 — натурал сандар.

Жауабы: 1) әрдайым 1; 2) әрдайым 38.

№ 768

$a$-ның қандай да бір мәнінде $-1{,}5a$ өрнегінің мәні 5-ке тең. $a$-ның сол мәнінде: 1) $-4{,}5a$; 2) $7{,}5a$; 3) $-3a$; 4) $-15a$; 5) $60a$; 6) $-0{,}15a$ өрнегінің мәні неге тең?

Қалай ойлаймыз. $a$-ның өзін іздеудің қажеті жоқ. Жаңа өрнек $-1{,}5a$-дан неше есе үлкен екенін және қандай таңбамен екенін анықта.

Шешуі.

1. $-4{,}5a = 3 \cdot (-1{,}5a) = 3 \cdot 5 = 15$.
2. $7{,}5a = -5 \cdot (-1{,}5a) = -25$.
3. $-3a = 2 \cdot (-1{,}5a) = 10$.
4. $-15a = 10 \cdot (-1{,}5a) = 50$.
5. $60a = -40 \cdot (-1{,}5a) = -200$.
6. $-0{,}15a = 0{,}1 \cdot (-1{,}5a) = 0{,}5$.

Жауабы: 1) 15; 2) $-25$; 3) 10; 4) 50; 5) $-200$; 6) $0{,}5$.

№ 769

Өрнектің мәні айнымалының мәніне тәуелді болмайтынын дәлелдеңдер: 1) $50a - (70 - 100a) + (90 - 75a) \cdot 2$; 2) $-\frac{5}{18} \cdot (9c + 4) + 4c - 0{,}5\left(3c - \frac{7}{9}\right)$.

Шешуі.

1. $50a - 70 + 100a + 180 - 150a = 110$.
2. $-2{,}5c - \frac{10}{9} + 4c - 1{,}5c + \frac{7}{18}$. $c$ бар қосылғыштар: $-2{,}5 + 4 - 1{,}5 = 0$. Сандар: $-\frac{20}{18} + \frac{7}{18} = -\frac{13}{18}$.

Жауабы: 1) әрдайым 110; 2) әрдайым $-\frac{13}{18}$.

B деңгейі

№ 770

Өрнектері тепе-тең өрнектер бола ма: 1) $(5a - 6a)c$ және $-ac$; 2) $(11x - 11x)y$ және $xy$; 3) $\left(7\frac{2}{3}n - 8n\right)m$ және $\frac{1}{3}nm$; 4) $\frac{5}{6}x^3\left(x + \frac{1}{5}x\right)$ және $x^4$?

Шешуі.

1. $5a - 6a = -a$, $(-a)c = -ac$. Иә.
2. $11x - 11x = 0$, $0 \cdot y = 0$, ал $xy$ емес. Жоқ.
3. $7\frac{2}{3}n - 8n = -\frac{1}{3}n$, сонда $-\frac{1}{3}nm$ шығады. Таңбасы басқа. Жоқ.
4. $x + \frac{1}{5}x = \frac{6}{5}x$; $\frac{5}{6}x^3 \cdot \frac{6}{5}x = x^4$. Иә.

Жауабы: 1) иә; 2) жоқ; 3) жоқ; 4) иә.

№ 771

$3(0{,}5a - 9b)$; $27b - 1{,}5a$; $5(0{,}5a - 5{,}4b)$; $-(27b - 1{,}5a)$; $10(0{,}15a - 2{,}7b)$; $-3(9b - 0{,}5a)$; $\frac{1}{3}(4{,}5a - 81b)$ өрнектерінің қайсысы $1{,}5a - 27b$ өрнегіне тепе-тең өрнек болады?

Қалай ойлаймыз. Әрқайсысындағы жақшаны аш та, $1{,}5a - 27b$ өрнегімен салыстыр.

Шешуі.

• $3(0{,}5a - 9b) = 1{,}5a - 27b$ ✓
• $27b - 1{,}5a$ — таңбалары қарама-қарсы ✗
• $5(0{,}5a - 5{,}4b) = 2{,}5a - 27b$ ✗
• $-(27b - 1{,}5a) = -27b + 1{,}5a$ ✓
• $10(0{,}15a - 2{,}7b) = 1{,}5a - 27b$ ✓
• $-3(9b - 0{,}5a) = -27b + 1{,}5a$ ✓
• $\frac{1}{3}(4{,}5a - 81b) = 1{,}5a - 27b$ ✓

Жауабы: $3(0{,}5a - 9b)$; $-(27b - 1{,}5a)$; $10(0{,}15a - 2{,}7b)$; $-3(9b - 0{,}5a)$; $\frac{1}{3}(4{,}5a - 81b)$.

№ 772

$c$ және $d$-ның қандай да бір мәндерінде $20(5c - 0{,}7d)$ өрнегінің мәні 11-ге тең. $c$ және $d$-ның сол мәндерінде: 1) $100c - 14d$; 2) $14d - 100c$; 3) $10(10c - d) - 4d$; 4) $60(0{,}7d - 5c)$ өрнегінің мәні неге тең?

Қалай ойлаймыз. Жақшаны аш: $20(5c - 0{,}7d) = 100c - 14d = 11$. Одан әрі әр өрнекті $100c - 14d$ арқылы өрнекте.

Шешуі.

1. $100c - 14d = 11$.
2. $14d - 100c = -(100c - 14d) = -11$.
3. $100c - 10d - 4d = 100c - 14d = 11$.
4. $42d - 300c = -3(100c - 14d) = -33$.

Жауабы: 1) 11; 2) $-11$; 3) 11; 4) $-33$.

№ 773

$a$ және $b$ сандарының көбейтіндісінің мәні $24{,}4$-ке, айырымының мәні $-2{,}5$-ке тең. Берілген өрнектің мәнін табыңдар: 1) $a \cdot b + (a - b)$; 2) $b - a + ab$; 3) $(a - b)ab$; 4) $(b - a + 1{,}5)ab$.

Қалай ойлаймыз. $a$ мен $b$-ның өздері керек емес. $ab = 24{,}4$ және $a - b = -2{,}5$ деп қоямыз. Байқа: $b - a = -(a - b) = 2{,}5$.

Шешуі.

1. $24{,}4 + (-2{,}5) = 21{,}9$.
2. $2{,}5 + 24{,}4 = 26{,}9$.
3. $-2{,}5 \cdot 24{,}4 = -61$.
4. $(2{,}5 + 1{,}5) \cdot 24{,}4 = 4 \cdot 24{,}4 = 97{,}6$.

Жауабы: 1) $21{,}9$; 2) $26{,}9$; 3) $-61$; 4) $97{,}6$.

№ 774

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $10a - (5a - 3(4x + 7(8a - x)) - 19x) - 9x$; 2) $33b - (-80b + 5(5b - 6(11a - 3b)) + 300a) - 30a$.

Қалай ойлаймыз. Жақша көп — матрешка сияқты. Ең кішкентайынан, ішкісінен бастап ашамыз.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $173a + x$.
2. $6(11a - 3b) = 66a - 18b$; $5b - 66a + 18b = 23b - 66a$; $5(23b - 66a) = 115b - 330a$; үлкен жақшада $-80b + 115b - 330a + 300a = 35b - 30a$; қорытынды: $33b - 35b + 30a - 30a = -2b$.

Жауабы: 1) $173a + x$; 2) $-2b$.

№ 775

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{1}{24}x - \left(\frac{1}{3}x + \left(-\frac{2}{9}x - \left(-\frac{4}{9}x + \left(-\frac{5}{12}x\right)\right)\right)\right)$; 2) $-16\frac{11}{36}y + \left(-5\frac{4}{9}y - \left(-7\frac{3}{8}y + \left(-10\frac{5}{18}y\right)\right)\right)$.

Қалай ойлаймыз. Барлық қосылғыш ұқсас, сондықтан іштен бастап тек коэффициенттерді есептейміз. Ыңғайлы бөлімдер — 36 және 72.

Шешуі.

1. $-\frac{16}{36} - \frac{15}{36} = -\frac{31}{36}$; $-\frac{8}{36} + \frac{31}{36} = \frac{23}{36}$; $\frac{12}{36} + \frac{23}{36} = \frac{35}{36}$; $\frac{3}{72} - \frac{70}{72} = -\frac{67}{72}$. Қорытынды: $-\frac{67}{72}x$.
2. $-7\frac{27}{72} - 10\frac{20}{72} = -17\frac{47}{72}$; $-5\frac{32}{72} + 17\frac{47}{72} = 12\frac{15}{72}$; $-16\frac{22}{72} + 12\frac{15}{72} = -4\frac{7}{72}$. Қорытынды: $-4\frac{7}{72}y$.

Жауабы: 1) $-\frac{67}{72}x$; 2) $-4\frac{7}{72}y$.

№ 776

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $8{,}4 - 2{,}7(7b - 1{,}3(10 - 11b)) - 15{,}7b$; 2) $15{,}1c + 0{,}9(4c - 2{,}8(1{,}4 + 0{,}2)) - 20c$.

Шешуі.

1. $1{,}3(10 - 11b) = 13 - 14{,}3b$; $7b - 13 + 14{,}3b = 21{,}3b - 13$; $-2{,}7(21{,}3b - 13) = -57{,}51b + 35{,}1$; қорытынды: $8{,}4 + 35{,}1 - 57{,}51b - 15{,}7b = 43{,}5 - 73{,}21b$.
2. $2{,}8 \cdot 1{,}6 = 4{,}48$; $0{,}9(4c - 4{,}48) = 3{,}6c - 4{,}032$; қорытынды: $15{,}1c + 3{,}6c - 20c - 4{,}032 = -1{,}3c - 4{,}032$.

Жауабы: 1) $43{,}5 - 73{,}21b$; 2) $-1{,}3c - 4{,}032$.

№ 777

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $-\frac{3}{40}\left(-2a - \left(\frac{1}{3} + 12y\right)\right) - \frac{1}{7}\left(-14a - \left(7 + \frac{2}{3}a\right)\right)$; 2) $\frac{2}{15}\left(\frac{3}{4}b + \frac{2}{3}\left(21b - 0{,}5\left(\frac{3}{5} - 4b\right)\right)\right)$.

Шешуі.

1. Бірінші бөлігі: $-\frac{3}{40}\left(-2a - \frac{1}{3} - 12y\right) = \frac{3}{20}a + \frac{1}{40} + \frac{9}{10}y$. Екінші бөлігі: $-14a - 7 - \frac{2}{3}a = -14\frac{2}{3}a - 7$; $-\frac{1}{7}$-ге көбейтеміз: $\frac{44}{21}a + 1$. Қосамыз: $\frac{63}{420}a + \frac{880}{420}a = \frac{943}{420}a = 2\frac{103}{420}a$; сандар $\frac{1}{40} + 1 = 1\frac{1}{40}$. Қорытынды: $2\frac{103}{420}a + 0{,}9y + 1\frac{1}{40}$.
2. $0{,}5\left(\frac{3}{5} - 4b\right) = 0{,}3 - 2b$; $21b - 0{,}3 + 2b = 23b - 0{,}3$; $\frac{2}{3}(23b - 0{,}3) = \frac{46}{3}b - 0{,}2$; $\frac{3}{4}b + \frac{46}{3}b = \frac{9 + 184}{12}b = \frac{193}{12}b$; $\frac{2}{15} \cdot \frac{193}{12}b = \frac{193}{90}b = 2\frac{13}{90}b$; $\frac{2}{15} \cdot (-0{,}2) = -\frac{2}{75}$.

Жауабы: 1) $2\frac{103}{420}a + 0{,}9y + 1\frac{1}{40}$; 2) $2\frac{13}{90}b - \frac{2}{75}$.

№ 778

Өрнектің мәні айнымалының мәніне тәуелді болмайтынын дәлелдеңдер: 1) $0{,}9\left(-2{,}5 + 5\frac{2}{3} : 8{,}5a\right) - \frac{2}{3} \cdot 4{,}5(2{,}5 + 0{,}2a)$; 2) $6{,}75 \cdot 4\frac{8}{9}(1 - 5b) + 68(1 + 2b) + 12\frac{3}{7} : \frac{3}{14} \cdot 0{,}5b$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен сандық көбейткіштерді есепте, сосын жақшаны аш.

Шешуі.

1. $5\frac{2}{3} : 8{,}5 = \frac{17}{3} \cdot \frac{2}{17} = \frac{2}{3}$, демек, жақшада $-2{,}5 + \frac{2}{3}a$; $0{,}9$-ға көбейтеміз: $-2{,}25 + 0{,}6a$. Одан әрі $\frac{2}{3} \cdot 4{,}5 = 3$; $3(2{,}5 + 0{,}2a) = 7{,}5 + 0{,}6a$. Қорытынды: $-2{,}25 + 0{,}6a - 7{,}5 - 0{,}6a = -9{,}75$.
2. $6{,}75 \cdot 4\frac{8}{9} = \frac{27}{4} \cdot \frac{44}{9} = 33$; $33(1 - 5b) = 33 - 165b$; $68(1 + 2b) = 68 + 136b$; $12\frac{3}{7} : \frac{3}{14} = \frac{87}{7} \cdot \frac{14}{3} = 58$, $58 \cdot 0{,}5b = 29b$. $b$ бар қосылғыштар: $-165 + 136 + 29 = 0$. Сандар: $33 + 68 = 101$.

Жауабы: 1) әрдайым $-9{,}75$; 2) әрдайым 101.

№ 779

Айнымалының кез келген мәнінде өрнектің мәні натурал сан болатынын дәлелдеңдер: 1) $1\frac{23}{27}\left(0{,}36a + \frac{3}{5}\right) - \frac{1}{3}\left(2a - \frac{5}{18}\right) + \frac{43}{54}$; 2) $1\frac{1}{3}(1 - 15b) + 4\frac{2}{3} + 2\frac{36}{37}\left(6\frac{8}{11}b + 1{,}85\right) - 5{,}5$.

Шешуі.

1. $\frac{50}{27} \cdot 0{,}36a = \frac{18}{27}a = \frac{2}{3}a$; $\frac{50}{27} \cdot \frac{3}{5} = \frac{10}{9}$; $-\frac{1}{3}\left(2a - \frac{5}{18}\right) = -\frac{2}{3}a + \frac{5}{54}$. Әріптер қысқарады. Сандар: $\frac{60}{54} + \frac{5}{54} + \frac{43}{54} = \frac{108}{54} = 2$.
2. $\frac{4}{3}(1 - 15b) = \frac{4}{3} - 20b$; $\frac{110}{37} \cdot \frac{74}{11}b = 20b$; $\frac{110}{37} \cdot 1{,}85 = 5{,}5$. Әріптер: $-20b + 20b = 0$. Сандар: $\frac{4}{3} + 4\frac{2}{3} + 5{,}5 - 5{,}5 = 6$.

Жауабы: 1) әрдайым 2; 2) әрдайым 6.

C деңгейі

№ 780

Айнымалылардың кез келген мәнінде өрнектің мәні нөлге тең болатынын дәлелдеңдер: 1) $a - (b - (c - (a - b))) + (-c - (a - (a + c))) - c$; 2) $x + (y - (x - (z - y))) - (z - (-x - (x - y))) - y$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды іштен бастап, қадам-қадаммен ашамыз, әр минусты қадағалаймыз.

Шешуі.

1. $c - (a - b) = c - a + b$; $b - (c - a + b) = a - c$; $a - (a - c) = c$. Екінші жақша: $a - (a + c) = -c$; $-c - (-c) = 0$. Қорытынды: $c + 0 - c = 0$. ✓
2. Бірінші бөлігі: $x - (z - y) = x - z + y$; $y - (x - z + y) = z - x$; $x + (z - x) = z$. Екінші жақша: $-x - (x - y) = -2x + y$; $z - (-2x + y) = z + 2x - y$. Қорытынды: $z - (z + 2x - y) - y = -2x$.

Нөл емес, $-2x$ шықты. Егер екінші жақшада $x$ алдында минус болмағанда, $(x - (x - y))$ шығып, $z - (z - y) - y = 0$ болар еді. Бұл — қате болуы мүмкін.

Жауабы: 1) әрдайым 0; 2) басылған шарт бойынша $-2x$ шығады (нөлге тек $x = 0$ болғанда тең); $(z - (x - (x - y)))$ деп түзетсе — әрдайым 0.

📕 № 780 (2) шартында қате бар сияқты: өрнек 0-ге емес, $-2x$-ке ықшамдалады. Нөл шығуы үшін $(z - (x - (x - y)))$ болуы керек. Оқулықтың соңындағы жауаптарда бұл жаттығу жоқ.

№ 781

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $2{,}5 \cdot 0{,}016 \cdot 12{,}5 \cdot 0{,}04 \cdot 700 : 0{,}35 = 40$; 2) $3{,}2 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}075 \cdot 1100 : 0{,}132 = 500$; 3) $4{,}9 \cdot 0{,}02 \cdot 45 : 0{,}5 = 4\frac{8}{23} \cdot 1{,}84 + 0{,}82$; 4) $139{,}25 - 16\frac{8}{21} : \frac{8}{21} = 2{,}3 \cdot 0{,}55 \cdot 60 : 0{,}88$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда әріп жоқ — екі жағын да ретімен есептейміз.

Шешуі.

1. $2{,}5 \cdot 0{,}016 = 0{,}04$; $\cdot 12{,}5 = 0{,}5$; $\cdot 0{,}04 = 0{,}02$; $\cdot 700 = 14$; $: 0{,}35 = 40$. ✓
2. $3{,}2 \cdot 0{,}25 = 0{,}8$; $\cdot 0{,}075 = 0{,}06$; $\cdot 1100 = 66$; $: 0{,}132 = 500$. ✓
3. Сол жағы: $4{,}9 \cdot 0{,}02 = 0{,}098$; $\cdot 45 = 4{,}41$; $: 0{,}5 = 8{,}82$. Оң жағы: $\frac{100}{23} \cdot 1{,}84 = \frac{184}{23} = 8$; $8 + 0{,}82 = 8{,}82$. ✓
4. Сол жағы: $16\frac{8}{21} : \frac{8}{21} = \frac{344}{21} \cdot \frac{21}{8} = 43$; $139{,}25 - 43 = 96{,}25$. Оң жағы: $2{,}3 \cdot 0{,}55 = 1{,}265$; $\cdot 60 = 75{,}9$; $: 0{,}88 = 86{,}25$. Айырмасы дәл 10.

Жауабы: 1)–3) дұрыс; 4) басылған сандар бойынша сол жағы $96{,}25$, оң жағы $86{,}25$ — теңдік орындалмайды (қате болуы мүмкін: $139{,}25$ орнына $129{,}25$ болса, дұрыс болар еді).

📕 № 781 (4) шартында қате бар сияқты: сол жағы $96{,}25$, оң жағы $86{,}25$. $139{,}25$ орнына $129{,}25$ басылса, теңдік дұрыс болар еді. Оқулықтың соңындағы жауаптарда бұл жаттығу жоқ.

№ 782

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $4{,}8(5x - 7y) - \frac{2}{21} \cdot 4{,}9x + \frac{5}{18} \cdot 4{,}5y - 23\frac{8}{15}x = -32{,}35y$; 2) $\frac{8}{15} \cdot 2{,}5a - 1\frac{1}{4} \cdot 4{,}4b - 5{,}6(5a + b) + 26\frac{2}{3}a = -11{,}1b$.

Шешуі.

1. $24x - 33{,}6y - \frac{7}{15}x + 1{,}25y - 23\frac{8}{15}x$. $x$ бар қосылғыштар: $24 - \frac{7}{15} - \frac{353}{15} = 24 - 24 = 0$. $y$ бар қосылғыштар: $-33{,}6 + 1{,}25 = -32{,}35$. Сол жағы $-32{,}35y$. ✓
2. $\frac{4}{3}a - 5{,}5b - 28a - 5{,}6b + \frac{80}{3}a$. $a$ бар қосылғыштар: $\frac{4}{3} + \frac{80}{3} - 28 = 28 - 28 = 0$. $b$ бар қосылғыштар: $-5{,}5 - 5{,}6 = -11{,}1$. Сол жағы $-11{,}1b$. ✓

Жауабы: екі теңдіктің де сол жағы ықшамдағаннан кейін оң жағымен сәйкес келеді — тепе-теңдіктер дәлелденді.

Қайталау

№ 783

Картада көрсетілген мәліметтерді қолданып, 2010 жылдың 6 ақпанында: 1) елімізде облыс орталықтарында, Астана мен Алматы қалаларында күндіз және түнде болған орташа температураны табыңдар; 2) Петропавл мен Шымкент, Атырау мен Өскемен қалаларындағы күндізгі температураны салыстырыңдар; 3) Астана қаласындағы күндізгі температура Алматы қаласындағы күндізгі температурадан қанша градусқа төмен және Алматы қаласындағы түнгі температура Астана қаласындағы түнгі температурадан қанша градусқа жоғары екенін табыңдар (55-сурет).

Картада әр қаланың жанында екі сан тұр: күндіз және түнде (°C).

Қалай ойлаймыз. Орташа температура = температуралардың қосындысы : қалалар саны. Қала саны 16: Астана, Алматы және 14 облыс орталығы. Картада Семей де бар, бірақ 2010 жылы ол облыс орталығы болмаған.

Шешуі.

1. Күндізгілердің қосындысы: $-261$. Орташасы: $-261 : 16 \approx -16{,}3$ °C. Түнгілердің қосындысы: $-349$. Орташасы: $-349 : 16 \approx -21{,}8$ °C.
2. Петропавл $-23$ °C
   lt;$ Шымкент $+2$ °C. Атырау $-17$ °C
   gt;$ Өскемен $-24$ °C.
3. Күндіз: $-3 - (-25) = 22$, Астанада 22° салқын. Түнде: $-6 - (-31) = 25$, Алматыда 25° жылы.

Жауабы: 1) күндіз шамамен $-16{,}3$ °C, түнде шамамен $-21{,}8$ °C; 2) Петропавлда Шымкентке қарағанда салқын; Атырауда Өскеменге қарағанда жылы; 3) 22° және 25°.

🌟 Сол күні Шымкент пен Қостанайдың арасы 33 градус болды! Оңтүстікте көктем дерлік келіп қалғанда, солтүстікте нағыз сібірлік қыс болды.

№ 784

Төмендегі теңдеулерді шығарып, Павлодар облысының оңтүстік-шығысында орналасқан Баянауыл ұлттық табиғи саябағы туралы мәліметтер аласыңдар. 1) $10x = 2^3 \cdot 5^3$ теңдеуінің түбірі — Екібастұздан саябаққа дейінгі километрмен алынған жолын; 2) $15 + x = 2 \cdot 10^3$ теңдеуінің түбірі — саябақтың құрылған жылын; 3) $7 \cdot 10^4 - x = 1547$ теңдеуінің түбірі — гектармен алынған саябақтың жалпы ауданын; 4) $x - 10^3 = 3^3$ теңдеуінің түбірі — Баянауылдағы метрмен алынған ең биік нүкте Ақбет тауының биіктігін; 5) $30^2 - x = 21^2 - 1$ теңдеуінің түбірі — саябақтағы өсімдік түрінің санын; оның ішінде: 6) $20 \cdot x = 10^3$ теңдеуінің түбірі — өсімдіктер түрін; 7) $5000 : x = 10^2$ теңдеуінің түбірі — құстардың түрін; 8) $x : 10 = 2^2$ теңдеуінің түбірі жануарлар түрінің санын береді.

Шешуі.

1. $10x = 8 \cdot 125 = 1000$, $x = 100$.
2. $x = 2000 - 15 = 1985$.
3. $x = 70,000 - 1547 = 68,453$.
4. $x = 1000 + 27 = 1027$.
5. $900 - x = 441 - 1 = 440$, $x = 460$.
6. $x = 1000 : 20 = 50$.
7. $x = 5000 : 100 = 50$.
8. $x = 4 \cdot 10 = 40$.

Жауабы: 100 км; 1985 ж.; 68 453 га; 1027 м; 460 түр; 50 түр; құстардың 50 түрі; жануарлардың 40 түрі.

🌟 Баянауылда арқар мекендейді — үлкен бұралған мүйізді тау қойы. Ол Қызыл кітапқа енген, оны аулауға тыйым салынған.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 785

Марат 510 теңгеге 5 қалың дәптер және бояу сатып алды. Бір қалың дәптердің бағасы 78 тг болса, бояу қанша тұрады?

Шешуі.

1. Дәптерлер: $5 \cdot 78 = 390$ (тг).
2. Бояу: $510 - 390 = 120$ (тг).

Жауабы: 120 тг.

№ 786

Қайық көлмен 2,3 сағатта 13,8 км жүріп өтті. Тура осындай жолды сал өзенмен 6 сағатта өтеді. Қайық өзен ағысына қарсы жүргенде ұзындығы 14,8 км жолға қанша уақыт жіберді?

Қалай ойлаймыз. Көлде ағыс жоқ — онда қайықтың өзіндік жылдамдығы көрінеді. Сал ағыстың жылдамдығымен жүзеді.

Шешуі.

1. Қайықтың өзіндік жылдамдығы: $13{,}8 : 2{,}3 = 6$ (км/сағ).
2. Ағыстың жылдамдығы: $13{,}8 : 6 = 2{,}3$ (км/сағ).
3. Ағысқа қарсы: $6 - 2{,}3 = 3{,}7$ (км/сағ).
4. Уақыты: $14{,}8 : 3{,}7 = 4$ (сағ).

Жауабы: 4 сағ.

Жадынама

• Тепе-теңдік әріптердің кез келген мәнінде дұрыс; теңдеу — тек кейбір мәндерде.
• Амалдардың барлық қасиеті — тепе-теңдіктер.
• Тепе-тең түрлендірулер: жақшаны ашу, ұқсас қосылғыштарды біріктіру.
• Тепе-теңдікті дәлелдеу: бөліктерін сәйкес келгенше ықшамдаймыз.
• Барлық әріп қысқарса — өрнектің мәні айнымалыға тәуелді емес.

Шағын тест