§ 26. Мәтінді есептерді шығару

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 3 тарау: Алгебралық өрнектер. 175–176-беттер.

Нені үйренесің

• Берілгендері әріптермен белгіленген есептерді шығаруды.
• Жауапты өрнек түрінде жазуды, мысалы $(10 + 6b)$ см.
• Есептің шартына өзің сұрақ ойлап табуды.
• Дайын өрнек бойынша есеп құрастыруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 785 және 786 тапсырмалары. Ойша немесе қара қағазда шығар.

• Марат 510 теңгеге 5 қалың дәптер және бояу сатып алды. Бір дәптердің бағасы 78 тг болса, бояу қанша тұрады? Дәптерлер: $5 \cdot 78 = 390$ тг. Бояу: $510 - 390 = 120$ тг.
• Қайық көлмен 2,3 сағатта 13,8 км жүріп өтті. Оның өзіндік жылдамдығы қандай? $13{,}8 : 2{,}3 = 6$ км/сағ.
• Сал сол 13,8 км-ді өзенмен 6 сағатта өтеді. Ағыстың жылдамдығы қандай? $13{,}8 : 6 = 2{,}3$ км/сағ.
• Қайық ағысқа қарсы 14,8 км-ді қанша сағатта жүріп өтеді? $6 - 2{,}3 = 3{,}7$ км/сағ, $14{,}8 : 3{,}7 = 4$ сағ.

💡 Енді былай елестет: Марат 5 дәптер емес, $n$ дана дәптер алды және 510 тг емес, $S$ тг төледі. Есепті бәрібір шығаруға болады: бояу $(S - 78n)$ тг тұрады. Міне, осы — әріпті есептің шешуі.

Тақырыпты талдаймыз

Сандардың орнында әріптер тұрған есеп

Мұндай есепті де қарапайым есеп сияқты шығарамыз: сол амалдар, сол пайымдаулар. Тек жауабында дайын сан емес, өрнек шығады. Оған кез келген сандарды қойсаң, нақты жағдайға арналған жауап аласың.

Мысал. $a$ және $b$ сандары бар. Олардың қосындысы $a + b$, айырымы $a - b$ (немесе $b - a$), көбейтіндісі $a \cdot b$, бөліндісі $a : b$ (немесе $b : a$). Бүкіл шешуі осы!

Тағы бір мысал. Жәшіктің (тік бұрышты параллелепипедтің) өлшемдері 5 см, $a$ см және $c$ см. Көлемі — үш өлшемнің көбейтіндісі: $V = 5 \cdot a \cdot c = 5ac$ см³.

📌 Шартта берілгендер әріптермен белгіленсе, жауапты сол әріптері бар өрнек түрінде жазады. Өлшем бірлігін жақшаға алынған өрнектен кейін қояды: $(10 + 6b)$ см.

Қадамдап талдайық

Тіктөртбұрыштың ұзындығы 10 см, ені $b$ см. Екінші тіктөртбұрыштың ұзындығы біріншінің ұзындығынан 2 есе кем, ені 3 есе артық. Екінші тіктөртбұрыштың периметрін тап.

Сандармен тексерейік. $b = 2$ болсын. Сонда екінші тіктөртбұрыш 5 см × 6 см, периметрі $2 \cdot (5 + 6) = 22$ см. Формула бойынша: $10 + 6 \cdot 2 = 22$ см. Сәйкес келді!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала әріпті есепте абыржыса, алдымен әріптің орнына түсінікті санды (мысалы, $b = 2$) қойып шығаруды ұсыныңыз. Содан кейін дәл сол амалдарды әріппен қайталасын. Бұл — арифметикадан алгебраға апаратын көпір.

⚠️ Жиі кететін қате. Жауапты жақшасыз жазады: «$10 + 6b$ см». Сонда сантиметр тек $6b$-ға қатысты болып шығады. Дұрысы: $(10 + 6b)$ см.

Сұрақты өзің ойлап тап

Кейбір есептерде сұрақ болмайды — оны өзің ойлап табуың керек. Мысалы: «Себетте $a$ алма, пакетте $b$ алма бар». Сұрақтар мынадай болуы мүмкін:

• Барлығы неше алма? — $a + b$.
• Себетте пакеттегіден қанша алма артық? — $a - b$ (егер $a > b$ болса).
• Себетте пакеттегіден неше есе көп? — $a : b$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Берілгендері әріптермен белгіленген мәтінді есептерді қалай шығарады? Қарапайым есептер сияқты: не белгілі, не табу керек екенін түсініп, амалдарды таңдайды. Тек жауапта сан емес, әріптері бар өрнек шығады.
• Мұндай шешімді қалай тексереді? Әріптердің орнына ыңғайлы сандар қойып, есепті «әдеттегіше» шығарады да, өрнектің беретін мәнімен салыстырады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 787

Сұрақтар құрастырыңдар және есепті шешіңдер: бірінші күні бригада $a$ кг, екінші күні $b$ кг көкөніс жинады.

Қалай ойлаймыз. Екі шама туралы не білуге болады? Олардың қосындысын, айырымын және біреуі екіншісінен неше есе көп екенін.

Шешуі. Сұрақтар мысалы:

1. Екі күнде неше килограмм көкөніс жиналды? — $(a + b)$ кг.
2. Бірінші күні екінші күнге қарағанда неше килограмм артық жиналды ($a > b$ болса)? — $(a - b)$ кг.
3. Бірінші күні екінші күнге қарағанда неше есе көп жиналды? — $a : b$ есе.
4. Күніне орта есеппен қанша жиналды? — $(a + b) : 2$ кг.

Жауабы: мысалы: $(a + b)$ кг; $(a - b)$ кг; $a : b$ есе; $(a + b) : 2$ кг.

№ 788

Бірінші сан 16, екінші сан $-5$, үшінші сан $c$. Осы сандардың қосындысы мен көбейтіндісінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. Қосындысы: $16 + (-5) + c = 11 + c$.
2. Көбейтіндісі: $16 \cdot (-5) \cdot c = -80c$.

Жауабы: қосындысы $11 + c$; көбейтіндісі $-80c$.

№ 789

Шаршы қабырғасының ұзындығы $x$ см. Шаршының периметрі мен ауданын табыңдар.

Шешуі.

1. Периметрі: төрт тең қабырға, $P = 4x$ см.
2. Ауданы: қабырға қабырғаға көбейтіледі, $S = x \cdot x = x^2$ см².

Жауабы: $P = 4x$ см; $S = x^2$ см².

№ 790

Екі жәшікте $a$ кг көкөніс бар. Біріншісінде 5 кг болса, екіншісінде қанша килограмм көкөніс бар?

Қалай ойлаймыз. Бүтін минус белгілі бөлік — белгісіз бөлік.

Шешуі. $a - 5$ (кг).

Жауабы: $(a - 5)$ кг.

№ 791

Шеңбердің ұзындығы $x$ см. Сұрақтар құрастырыңдар және есепті шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. § 6-ны еске түсір: $C = 2\pi r = \pi d$, дөңгелектің ауданы $S = \pi r^2$. Шеңбердің ұзындығын біле отырып, диаметрін, радиусын және дөңгелектің ауданын табуға болады.

Шешуі. Сұрақтар мысалы:

1. Диаметрі неге тең? — $d = C : \pi = \frac{x}{\pi}$ см (шамамен $\frac{x}{3{,}14}$ см).
2. Радиусы неге тең? — $r = \frac{x}{2\pi}$ см.
3. Дөңгелектің ауданы қандай? — $S = \pi r^2 = \pi \cdot \frac{x}{2\pi} \cdot \frac{x}{2\pi} = \frac{x^2}{4\pi}$ см².
4. Радиусы 3 есе үлкен шеңбердің ұзындығы қандай? — $3x$ см.

Жауабы: мысалы: $d = \frac{x}{\pi}$ см; $r = \frac{x}{2\pi}$ см; $S = \frac{x^2}{4\pi}$ см²; $3x$ см.

№ 792

Бірінші автомобильдің жылдамдығы $a$ км/сағ, екіншісінікі $b$ км/сағ. Қозғалыс уақыты 3 сағ. Сұрақтар құрастырыңдар және есепті шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жол = жылдамдық · уақыт. Әр автомобильдің жолын, жалпы жолды, айырманы сұрауға болады.

Шешуі. Сұрақтар мысалы:

1. Бірінші автомобиль қанша жол жүрді? — $3a$ км.
2. Екіншісі қанша жол жүрді? — $3b$ км.
3. Екеуі бірге неше километр жүрді? — $3a + 3b = 3(a + b)$ км.
4. Бірінші автомобиль неше километр артық жүрді ($a > b$ болса)? — $3(a - b)$ км.
5. Олар бір мезгілде бір-біріне қарсы шығып, 3 сағаттан кейін кездесті. Пункттердің арақашықтығы қандай? — $3(a + b)$ км.

Жауабы: мысалы: $3a$ км; $3b$ км; $3(a + b)$ км; $3(a - b)$ км.

№ 793

Өрнектерді қолданып, мәтінді есеп құрастырыңдар: 1) $a + 2b$; 2) $a \cdot b + c$; 3) $3a - b : c$.

Қалай ойлаймыз. Өмірде не қосылатынын, не көбейтілетінін, не бөлінетінін ойла. Дүкендегі сатып алу ыңғайлы.

Шешуі. Есептер мысалы:

1. Қаламның бағасы $a$ тг, дәптердің бағасы $b$ тг. 1 қалам мен 2 дәптер қанша тұрады? — $(a + 2b)$ тг.
2. Айдос $a$ пакет шырынды біреуі $b$ тг-ден және $c$ тг тұратын бір тоқаш сатып алды. Ол қанша төледі? — $(a \cdot b + c)$ тг.
3. Данада 3 қорап бар, әрқайсысында $a$ кәмпит. Оның құрбысы Алия $b$ кәмпитті $c$ досына тең бөліп берді. Данада Алияның бір досына тиген кәмпиттен қанша кәмпит артық? — $3a - b : c$.

Жауабы: есептердің мысалдары жоғарыда берілген; әркімде өз есебі болуы мүмкін.

B деңгейі

№ 794

Дөңгелек ауданы $4\pi$ см². Диаметрі берілген дөңгелек диаметрінен 2 есе кіші екінші дөңгелектің ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Диаметр 2 есе кіші — демек, радиус та 2 есе кіші.

Шешуі.

1. $S = \pi r^2 = 4\pi$, демек, $r^2 = 4$, $r = 2$ см.
2. Екінші дөңгелектің радиусы: $2 : 2 = 1$ см.
3. Екіншісінің ауданы: $\pi \cdot 1^2 = \pi$ см² (шамамен $3{,}14$ см²).

Жауабы: $\pi$ см².

⚠️ Жиі кететін қате. Ауданы да 2 есе кемиді деп ойлайды ($2\pi$). Бірақ формулада радиус квадратта тұр, сондықтан аудан $2 \cdot 2 = 4$ есе кемиді.

№ 795

Сұрақтар құрастырыңдар және есепті шығарыңдар: бірінші жұмысшы 1 сағатта $a$ тетік, екінші жұмысшы $b$ тетік дайындайды.

Шешуі. Сұрақтар мысалы:

1. Екеуі бір сағатта бірге неше тетік дайындайды? — $a + b$.
2. Бірінші жұмысшы бір сағатта неше тетік артық дайындайды ($a > b$ болса)? — $a - b$.
3. Бірінші жұмысшы 8 сағатта неше тетік дайындайды? — $8a$.
4. Екеуі 8 сағатта неше тетік дайындайды? — $8(a + b)$.
5. Бірінші жұмысшы екіншіден неше есе жылдам жұмыс істейді? — $a : b$ есе.

Жауабы: мысалы: $a + b$; $a - b$; $8a$; $8(a + b)$; $a : b$.

C деңгейі

№ 796

1) Бірінші күні $a$ кг, екінші күні $b$ кг көкөніс сатылса, келесі екі күнде алғашқы екі күнде сатылған көкөністен 2 есе артық көкөніс сатылды. Төрт күнде барлығы қанша килограмм көкөніс сатылған? 2) Аралығы 40 км болатын екі ауылдан бір мезгетте жылдамдығы $a$ км/сағ велосипедші және жылдамдығы велосипедшінің жылдамдығының 50%-ына тең жаяу адам шықты. Жарты сағаттан кейін олардың аралығы қанша километрге тең болады?

Қалай ойлаймыз. 1-тармақта алдымен алғашқы екі күнде сатылғанды тап. 2-тармақтың шартында олардың қай бағытқа жүретіні айтылмаған. Ең табиғи нұсқа — бір-біріне қарсы; «қарама-қарсы бағытқа» нұсқасын да қарастырамыз.

Шешуі.

1. Алғашқы екі күнде: $a + b$ кг. Келесі екі күнде: $2(a + b)$ кг. Барлығы: $(a + b) + 2(a + b) = 3(a + b)$ кг.
2. Жаяу адамның жылдамдығы $0{,}5a$ км/сағ. Бір-біріне қарсы: $1{,}5a \cdot 0{,}5 = 0{,}75a$ км-ге жақындайды, арақашықтық $40 - 0{,}75a$ км болады (олар кездеспейінше). Қарама-қарсы бағытқа: $0{,}75a$ км-ге алыстайды, арақашықтық $40 + 0{,}75a$ км болады.

Жауабы: 1) $3(a + b)$ кг; 2) бір-біріне қарсы — $(40 - 0{,}75a)$ км, қарама-қарсы бағытқа — $(40 + 0{,}75a)$ км.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баламен сандармен тексеріңіз: велосипедші 12 км/сағ жылдамдықпен жүрсін. Жаяу адам 6 км/сағ жылдамдықпен жүреді. Жарты сағатта олар 6 км және 3 км жүріп, бірге 9 км жүреді. Формула бойынша $0{,}75 \cdot 12 = 9$. Демек, арасында $40 - 9 = 31$ км қалады.

Қайталау

№ 797

1) $|-5| \cdot \left(10{,}8 - \frac{2}{7} \cdot \left|-\frac{21}{30}\right|\right) + 7{,}25 \cdot |-8|$ өрнегінің мәнін есептеңдер. 2) $a = \frac{9{,}812 + 4{,}188}{-27{,}5 + 28{,}2}$ және $b = \frac{-18{,}347 - 8{,}653}{-31{,}1 + 30{,}2}$ болса, $a$ санының 20%-ы артық па, әлде $b$ санының 40%-ы артық па?

Шешуі.

1. $\left|-\frac{21}{30}\right| = \frac{7}{10} = 0{,}7$; $\frac{2}{7} \cdot 0{,}7 = 0{,}2$; $10{,}8 - 0{,}2 = 10{,}6$; $5 \cdot 10{,}6 = 53$; $7{,}25 \cdot 8 = 58$; $53 + 58 = 111$.
2. $a = \frac{14}{0{,}7} = 20$; $b = \frac{-27}{-0{,}9} = 30$. 20-ның 20%-ы: $0{,}2 \cdot 20 = 4$. 30-ның 40%-ы: $0{,}4 \cdot 30 = 12$. $4 < 12$.

Жауабы: 1) 111; 2) $b$ санының 40%-ы артық: $12 > 4$, яғни $20%,a < 40%,b$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 798

1. Тура теңдікті көрсетіңдер: $5 \cdot 0{,}05 = 0{,}25$; $5 \cdot 0{,}02 = 10$; $5 \cdot 0{,}4 = 2$. 2. Сәйкестікті анықтаңдар: 1) $7{,}4 : 0{,}2$; 2) $-80 + 20 : 2$; 3) $90 : 2 - 50$ өрнектерін A. $-5$; B. 37; C. $-70$ жауаптарымен.

Қалай ойлаймыз. Екінші тармақта амалдардың орындалу реті есіңде болсын: алдымен бөлу, сосын қосу мен азайту.

Шешуі.

1. $5 \cdot 0{,}05 = 0{,}25$ — тура. $5 \cdot 0{,}02 = 0{,}1$, 10 емес — тура емес. $5 \cdot 0{,}4 = 2$ — тура.
2. $7{,}4 : 0{,}2 = 74 : 2 = 37$ → B. $-80 + 20 : 2 = -80 + 10 = -70$ → C. $90 : 2 - 50 = 45 - 50 = -5$ → A.

Жауабы: 1) бірінші және үшінші теңдік тура; 2) 1 — B, 2 — C, 3 — A.

Жадынама

• Шартта сандардың орнына әріптер тұрса — жауапта өрнек болады.
• Амалдарды сандармен берілген есептегідей таңдаймыз.
• Өлшем бірліктерін жақшадан кейін қоямыз: $(a - 5)$ кг.
• Шешімді нақты сандар қойып тексереміз.
• Кез келген өрнек бойынша өз есебіңді құрастыруға болады.

Шағын тест