§ 27. Санды теңдіктер және олардың қасиеттері

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 4 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу. 4–8-беттер.

Нені үйренесің

• Тура санды теңдікті тура емес теңдіктен ажыратуды.
• Теңдікті тексеруді: сол және оң жағын бөлек есептеуді.
• Тура теңдіктердің бес қасиетін қолдануды.
• Жетпейтін санды табуды және жақша қойып, теңдікті тура етуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 798 тапсырмалары. Ауызша шығар.

• Қай теңдік тура: $5 \cdot 0{,}05 = 0{,}25$; $5 \cdot 0{,}02 = 10$; $5 \cdot 0{,}4 = 2$? Бірінші және үшінші. Ал $5 \cdot 0{,}02 = 0{,}1$, 10 емес.
• $7{,}4 : 0{,}2$ неше болады? 37.
• Ал $-80 + 20 : 2$? Алдымен бөлу: $-80 + 10 = $ −70.
• Ал $90 : 2 - 50$? $45 - 50 = $ −5.

💡 Байқадың ба? Ой қозғауда сен теңдіктің тура екенін тексердің. Ол үшін екі жағын да есептеп, салыстырасың. Сабақтың басты тәсілі осы.

Тақырыпты талдаймыз

Санды теңдік дегеніміз не

Санды теңдік — «=» таңбасымен жалғанған екі сандық өрнек. Мысалы: $2 + 3 = 5$, $(-0{,}3 - 0{,}7) \cdot 3 = -3$, $4{,}5 + 6{,}3 = 6{,}3 + 4{,}5$ және тіпті $7{,}01 = 7{,}01$. Онда әріп жоқ, тек сандар, амал таңбалары және, мүмкін, жақшалар бар.

Теңдік тура немесе тура емес болады. Алдыңда қандай теңдік тұрғанын білу үшін алдымен сол жағын, сосын оң жағын есепте.

• $7 - 6 = 101 - 100$: сол жағы 1, оң жағы 1. Тура теңдік.
• $7 - 6 = 24 - 8$: сол жағы 1, оң жағы 16. Тура емес, дегенмен барлық ережемен жазылған.

⚠️ Жиі кететін қате. «=» таңбасы тұрса, бәрі дұрыс деп ойлайды. Олай емес! Не болса да жазуға болады. Теңдіктің тура екенін тек есептеу шешеді.

Теңдікпен істейтін бес «қауіпсіз» әрекет

Тепе-теңдікте тұрған таразыны елестет. Ол тепе-теңдігін жоғалтпауы үшін не істеуге болады? $22 - 6 = 24 - 8$ мысалында тексерейік (екі жағы да 16-ға тең).

📌 1. $a = b$ болса, онда $a + c = b + c$. Екі жағына да бірдей санды қосуға (немесе одан азайтуға) болады.

📌 2. $a = b$ болса, онда $a \cdot c = b \cdot c$ және $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ (тек $c \ne 0$ болғанда бөлуге болады). Екі жағын да бірдей санға көбейтуге немесе бөлуге болады.

📌 3. $a = b$ және $b = c$ болса, онда $a = c$. Мысалы, $22 - 9 = 24 - 11$ және $24 - 11 = 45 - 32$, демек $22 - 9 = 45 - 32$ (бәрінде 13).

📌 4. $a = b$ және $c = d$ болса, онда $a + c = b + d$. Тура теңдіктерді «бағана» қылып қосуға болады: сол жағын сол жағымен, оң жағын оң жағымен.

📌 5. $a = b$ және $c = d$ болса, онда $a \cdot c = b \cdot d$. Оларды дәл солай көбейтуге де болады.

4-қасиет пен 5-қасиетті $67 - 62 = 5$ және $12 - 7 = 13 - 8$ теңдіктерінде тексерейік. Біріншісінің екі жағы да 5-ке, екіншісінікі де 5-ке тең. Қосамыз: $(67 - 62) + (12 - 7) = 5 + (13 - 8)$, яғни $10 = 10$. Көбейтеміз: $5 \cdot 5 = 5 \cdot 5$, яғни $25 = 25$. Бәрі дұрыс.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл қасиеттер «Теңдеулер» тақырыбының бүкіл негізі. Баладан үй таразысында түсіндіріп беруін сұраңыз: «Бір табаққа алма салып, екіншісіне ештеңе салмасақ, не болады?» Жауабы сенімді болса, тақырып меңгерілген.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Екі тура санды теңдікке қандай амалдар қолдануға болады? Оларды мүшелеп қосуға (сол жағын сол жағымен, оң жағын оң жағымен) және мүшелеп көбейтуге болады. Тура теңдік шығады.
• Бір тура теңдіктің сол және оң жақ бөліктеріне қандай амалдар қолдануға болады? Екі жағына да бірдей санды қосуға немесе одан азайтуға; бірдей санға көбейтуге; нөлге тең емес бірдей санға бөлуге болады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 799

Берілген санды теңдіктердің қайсысы тура санды теңдік болады: 1) $101 - 98 = 3$; 2) $202 : 2 = 100$; 3) $86 + 87 = 173$; 4) $106 \cdot 5 = 530$?

Қалай ойлаймыз. Сол жағын есептеп, оң жағымен салыстырамыз.

Шешуі.

1. $101 - 98 = 3$ — тура.
2. $202 : 2 = 101$, 100 емес — тура емес.
3. $86 + 87 = 173$ — тура.
4. $106 \cdot 5 = 530$ — тура.

Жауабы: 1) тура; 2) тура емес; 3) тура; 4) тура.

№ 800

Жұлдызшаның орнына қандай санды қойғанда тура санды теңдік шығады: 1) $ + 69 = 190$; 2) $503 - * = 377$; 3) $4422 : * = 402$; 4) $25 \cdot * = 900$?*

Қалай ойлаймыз. Жұлдызша — амалдың белгісіз компоненті. 5-сыныптағы ережелерді еске түсіреміз.

Шешуі.

1. Белгісіз қосылғыш: $190 - 69 = 121$.
2. Белгісіз азайтқыш: $503 - 377 = 126$.
3. Белгісіз бөлгіш: $4422 : 402 = 11$.
4. Белгісіз көбейткіш: $900 : 25 = 36$.

Жауабы: 1) 121; 2) 126; 3) 11; 4) 36.

№ 801

Берілген санды теңдіктердің қайсысы тура теңдік болады: 1) $41 + 59 = 50 \cdot 2$; 2) $79 - 57 = 66 : 2$; 3) $600 - 480 = 15 \cdot 8$; 4) $909 : 3 = 199 + 104$?

Шешуі.

1. $100 = 100$ — тура.
2. $22 \ne 33$ — тура емес.
3. $120 = 120$ — тура.
4. $303 = 303$ — тура.

Жауабы: 1), 3), 4) тура; 2) тура емес.

№ 802

Құрамында арифметикалық амалдардың: 1) үш таңбасы; 2) екі таңбасы және жақшалары бар тура санды теңдік жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен өрнекті ойлап тап, оны есепте де, нәтижесін «=» таңбасынан кейін жаз.

Шешуі. Мысалы:

1. $2 + 3 \cdot 4 - 5 = 9$ (таңбалары +, ·, −).
2. $(8 - 2) \cdot 3 = 18$ (таңбалары −, · және жақшалар).

Жауабы: мысалы, $2 + 3 \cdot 4 - 5 = 9$; $(8 - 2) \cdot 3 = 18$.

B деңгейі

№ 803

Берілген санды теңдіктердің қайсысы тура теңдік болады: 1) $999 + 434 - 829 + 77 - 666 = -15$; 2) $2000 : 0{,}2 - 0{,}654 \cdot 1000 = 364$?

Шешуі.

1. $999 + 434 = 1433$; $1433 - 829 = 604$; $604 + 77 = 681$; $681 - 666 = 15$. 15 шықты, −15 емес — тура емес.
2. $2000 : 0{,}2 = 10,000$; $0{,}654 \cdot 1000 = 654$; $10,000 - 654 = 9346 \ne 364$ — тура емес.

Жауабы: екі теңдік те тура емес.

⚠️ Жиі кететін қате. Бірінші мысалда таңбаны «жоғалтып» алу оңай. 15 және −15 — әртүрлі сандар!

№ 804

Тура теңдік алу үшін жұлдызшаның орнына сан қойыңдар: 1) $\frac{13}{15} \cdot \frac{75}{91} + * = 2$; 2) $\frac{25}{33} : \frac{5}{33} - 3\frac{11}{15} = $; 3) $-0{,}45 \cdot \frac{8}{9} + 0{,}31 = $; 4) $ - \frac{20}{77} \cdot \frac{77}{80} = 3{,}5$; 5) $\frac{2^5}{343} \cdot \frac{7^3}{96} + * = 1$; 6) $\frac{448}{3^4} \cdot \frac{81}{4^3} + * = 10$; 7) $\frac{5^3}{216} : \frac{1000}{6^3} + * = -\frac{1}{8}$; 8) $ - \frac{2^{10}}{4^4} \cdot \frac{16^2}{4^5} = 1\frac{2}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен көбейтіндіні немесе бөліндіні есептейміз — қарапайым сан шығады. Содан кейін жұлдызшаны белгісіз қосылғыш, азайғыш немесе айырым ретінде табамыз.

Шешуі.

1. $\frac{13 \cdot 75}{15 \cdot 91} = \frac{5}{7}$; $* = 2 - \frac{5}{7} = 1\frac{2}{7}$.
2. $\frac{25}{33} : \frac{5}{33} = 5$; $* = 5 - 3\frac{11}{15} = 1\frac{4}{15}$.
3. $-0{,}45 \cdot \frac{8}{9} = -0{,}4$; $* = -0{,}4 + 0{,}31 = -0{,}09$.
4. $\frac{20}{77} \cdot \frac{77}{80} = \frac{1}{4}$; $* = 3{,}5 + 0{,}25 = 3{,}75$.
5. $\frac{32}{343} \cdot \frac{343}{96} = \frac{1}{3}$; $* = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
6. $\frac{448}{81} \cdot \frac{81}{64} = 7$; $* = 10 - 7 = 3$.
7. $\frac{125}{216} : \frac{1000}{216} = \frac{1}{8}$; $* = -\frac{1}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{4}$.
8. $\frac{1024}{256} \cdot \frac{256}{1024} = 1$; $* = 1\frac{2}{7} + 1 = 2\frac{2}{7}$.

Жауабы: 1) $1\frac{2}{7}$; 2) $1\frac{4}{15}$; 3) $-0{,}09$; 4) $3{,}75$; 5) $\frac{2}{3}$; 6) 3; 7) $-\frac{1}{4}$; 8) $2\frac{2}{7}$.

C деңгейі

№ 805

Тура теңдік алу үшін қажет жерге жақшалар қойыңдар: 1) $600 - 400 - 500 = 700$; 2) $20 \cdot 3 - 404 : 4 = -1960$; 3) $200 \cdot 3 - 404 : 4 = 49$; 4) $555 : 5 + 39 \cdot 4 = 600$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалар амалдардың орындалу ретін өзгертеді. Әртүрлі нұсқаларды байқап көреміз және «жауаптан» бастаймыз.

Шешуі.

1. $600 - (400 - 500) = 600 - (-100) = 700$.
2. $20 \cdot (3 - 404 : 4) = 20 \cdot (-98) = -1960$.
3. $(200 \cdot 3 - 404) : 4 = 196 : 4 = 49$.
4. $(555 : 5 + 39) \cdot 4 = (111 + 39) \cdot 4 = 600$.

Жауабы: 1) $600 - (400 - 500)$; 2) $20 \cdot (3 - 404 : 4)$; 3) $(200 \cdot 3 - 404) : 4$; 4) $(555 : 5 + 39) \cdot 4$.

Қайталаймыз

№ 806

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(19 - 18\frac{1}{3}\right) \cdot (7{,}13 - 8{,}03) + 8\frac{1}{4}$; 2) $\left(0{,}8 + \frac{1}{20}\right) : \left(21\frac{1}{3} - 19\frac{1}{15}\right) - 4{,}1$.

Шешуі.

1. $19 - 18\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$; $7{,}13 - 8{,}03 = -0{,}9$; $\frac{2}{3} \cdot (-0{,}9) = -0{,}6$; $-0{,}6 + 8{,}25 = 7{,}65$.
2. $0{,}8 + 0{,}05 = 0{,}85 = \frac{17}{20}$; $21\frac{5}{15} - 19\frac{1}{15} = 2\frac{4}{15} = \frac{34}{15}$; $\frac{17}{20} \cdot \frac{15}{34} = \frac{3}{8} = 0{,}375$; $0{,}375 - 4{,}1 = -3{,}725$.

Жауабы: 1) $7{,}65$; 2) $-3{,}725$.

№ 807

Алтын адам — Тәуелсіздік монументінің басты элементі. 1) Алтын адамның киімі алтын әшекеймен безендірілген. Олардың саны $2^2 \cdot 10^3$ көбейтіндісінің мәніне тең. Алтын адамның киімінде қанша алтын әшекей бар? 2) Алтын адамның бас киімінің биіктігі сантиметрмен алынған $5 \cdot (2^2 \cdot 3 + 1)$ өрнегінің мәніне тең. Бас киімнің биіктігін табыңдар. 3) Бас киім саны $2^3 \cdot 5^2$ өрнегінің мәнінен артық және ол барыстың, аркардың, тауешкінің, жылқының, құстың бейнелері салынған алтын заттармен әшекейленген. Бас киімде қанша алтын зат бар?

🌟 Алтын адам 1969 жылы Алматы маңындағы Есік қорғанынан табылды. Оның киімі мыңдаған алтын пластинамен өрнектелген. Бүгін ол — тәуелсіз Қазақстанның символы, оны Алматыдағы Тәуелсіздік монументінен көруге болады.

Шешуі.

1. $2^2 \cdot 10^3 = 4 \cdot 1000 = 4000$. Әшекейлер — 4000-нан астам.
2. $5 \cdot (4 \cdot 3 + 1) = 5 \cdot 13 = 65$ см. $2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$ — алтын заттар 200-ден астам.

Жауабы: 1) 4000-нан астам әшекей; 2) биіктігі 65 см; 3) 200-ден астам алтын зат.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 808

3 саны қай теңдеулердің түбірі болады: 1) $x : 7 = 21$; 2) $-10 \cdot x = -30$; 3) $x - 40 = -37$?

Қалай ойлаймыз. $x$ орнына 3 қойып, тура теңдік шыққан-шықпағанын қараймыз.

Шешуі.

1. $3 : 7 \ne 21$ — жоқ (мұнда түбір 147).
2. $-10 \cdot 3 = -30$ — иә.
3. $3 - 40 = -37$ — иә.

Жауабы: 2) және 3) теңдеулердің.

№ 809

$(x + 4)(x - 5)(x - 7) = 0$ теңдеуінің түбірлерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көбейткіштердің бірі нөл болса, көбейтінді нөлге тең. Әр жақшаны нөлге теңестіреміз.

Шешуі. $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$; $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$; $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$. 7 үшін тексеру: $11 \cdot 2 \cdot 0 = 0$ ✓.

Жауабы: $-4$; 5; 7.

Жадынама

• Теңдіктің екі жағы да бірдей санды берсе, теңдік тура.
• Екі жағына да бірдей санды қосуға болады.
• Екі жағын да бірдей санға көбейтуге немесе бөлуге болады (нөлге емес).
• Екі тура теңдікті мүшелеп қосуға немесе көбейтуге болады.

Шағын тест