§ 28. Теңдеуді шешу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 4 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу. 9–14-беттер.

Нені үйренесің

• Қосылғыштарды теңдеудің бір жағынан екінші жағына таңбасын өзгертіп көшіруді.
• Жақшалары және ұқсас қосылғыштары бар теңдеулерді нақты жоспармен шешуді.
• Санның теңдеудің түбірі болатын-болмайтынын тексеруді.
• Пропорция түріндегі теңдеулерді шешуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 808–809 тапсырмалары.

• 3 саны $-10 \cdot x = -30$ теңдеуінің түбірі ме? Иә: $-10 \cdot 3 = -30$.
• Ал $x - 40 = -37$ теңдеуінің ше? Иә: $3 - 40 = -37$.
• Ал $x : 7 = 21$ теңдеуінің ше? Жоқ: мұнда түбір 147.
• $(x + 4)(x - 5)(x - 7) = 0$ теңдеуінің түбірлері? $-4$, 5 және 7. Әр жақша кезекпен нөл бола алады.

Тағы төрт қарапайым теңдеуді ауызша шығар:

• $x + 5 = 20$? $x = 15$.
• $13 + x = 31$? $x = 18$.
• $x - 17 = 30$? $x = 47$.
• $15 - x = 8$? $x = 7$.

Тақырыпты талдаймыз

Ескі тәсіл тұйыққа тіреледі

Қарапайым теңдеулерді сен ережемен шығарғансың: «Белгісіз қосылғышты табу үшін қосындыдан белгілі қосылғышты азайтамыз». Ал енді $20 \cdot \left(-x + 1\frac{1}{2}\right) - 3{,}2 = 6x - 1$ теңдеуін солай шығарып көр. Белгісіз екі жақта да тұр — «компоненттер туралы» ережелер мұнда көмектеспейді.

Жаңа құрал керек. Ең қарапайым теңдеулерді шешкенде не болатынын қарайық.

Қосылғыш «секіріп» өтіп, таңбасын өзгертеді

📌 Қосылғышты теңдеудің бір жағынан екінші жағына таңбасын қарама-қарсы таңбаға өзгертіп көшіруге болады.

Бұл неге заңды? Бұл — өткен сабақтағы теңдіктердің бірінші қасиеті. $+5$-ті оңға көшіру — екі жағынан да 5 азайтумен бірдей.

⚠️ Жиі кететін қате. Қосылғышты көшіріп, таңбасын өзгертуді ұмытады: $x + 7 = 10$ теңдеуінен $x = 10 + 7$ деп жазады. Ереже қарапайым: «=» таңбасынан өтті — қарама-қарсы таңбаға «киінді».

Кез келген теңдеуге арналған жоспар

1. Жақшаларды аш.
2. $x$-тері бар қосылғыштарды солға, сандарды оңға көшір (таңбасын өзгертіп).
3. Ұқсас қосылғыштарды біріктір.
4. Түбірді белгісіз көбейткіш ретінде тап.
5. Тексеру жүргіз.

Үлкен мысалды қарайық: $\frac{4}{27}\left(6\frac{3}{4}x - 2{,}7\right) = 17 + 2{,}7\left(-\frac{20}{27}x - 2\right)$.

1. Жақшаларды ашамыз: $\frac{4}{27} \cdot \frac{27}{4}x = x$, $\frac{4}{27} \cdot 2{,}7 = 0{,}4$, $2{,}7 \cdot \frac{20}{27} = 2$, $2{,}7 \cdot 2 = 5{,}4$. Шығады: $x - 0{,}4 = 17 - 2x - 5{,}4$.
2. Көшіреміз: $x + 2x = 17 - 5{,}4 + 0{,}4$.
3. Ұқсастарын біріктіреміз: $3x = 12$.
4. Түбірі: $x = 4$.
5. Тексеру: сол жағы $\frac{4}{27} \cdot (27 - 2{,}7) = 4 - 0{,}4 = 3{,}6$; оң жағы $17 - 8 - 5{,}4 = 3{,}6$ ✓.

🌟 Бұл тәсілдің жасы мыңнан асады. 825 жылы шамасында Хорезмнен шыққан ғалым әл-Хорезми «Қалпына келтіру және қарсы қою туралы кітап» жазды. Ол қосылғышты таңбасын өзгертіп көшіруді дәл «қалпына келтіру» (арабша «әл-жәбр») деп атады. Ғылымның аты — алгебра — осы сөзден шыққан.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан дауыстап айтып отыруын сұраңыз: «Плюс жетіні оңға көшіремін — минус жеті болады». Дауыстап айту таңбадан кететін қателерді сенімді түрде жояды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қосылғыштарды көшіру қандай ережелерге негізделген? Белгісіз қосылғышты, азайғышты және азайтқышты табу ережелеріне. Мысалы, $x + a = b$ теңдеуінен $x = b - a$ шығады — $a$ қосылғышы басқа таңбамен «көшті».
• Теңдеулерді шешудің қандай тәсілдерін білесің? Амалдардың белгісіз компоненттерін табу ережелері бойынша; қосылғыштарды көшіру және ұқсастарын біріктіру арқылы; пропорциялар үшін — пропорцияның негізгі қасиеті арқылы.
• Бір теңдеуді әртүрлі тәсілмен шешуге бола ма? Болады. Мысалы, $x + 5 = 20$: «белгісіз қосылғыш» ережесімен немесе 5-ті оңға көшіру арқылы. Жауабы бір — 15.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 810

1) $-3$ саны $x - 5 = 2x + 10$; 2) $-5$ саны $|y| = -y$; 3) 0 саны $k = 2k$; 4) $-2$ саны $a(a - 1)(a + 1) = 0$ теңдеуінің түбірі бола ма?

Қалай ойлаймыз. Санды қойып, екі жағын да есептейміз.

Шешуі.

1. Сол жағы $-3 - 5 = -8$, оң жағы $-6 + 10 = 4$. Тең емес — жоқ.
2. Сол жағы $|-5| = 5$, оң жағы $-(-5) = 5$ — иә.
3. $0 = 2 \cdot 0$ — иә.
4. $-2 \cdot (-3) \cdot (-1) = -6 \ne 0$ — жоқ.

Жауабы: 1) жоқ; 2) иә; 3) иә; 4) жоқ.

№ 811

1) 2; 2) $-2$; 3) $\frac{1}{2}$; 4) $-\frac{1}{2}$ саны $4x + 2 = 8 + 7x$ теңдеуінің түбірі бола ма?

Қалай ойлаймыз. Теңдеуді шығарып, нәтижесін санмен салыстырған тезірек.

Шешуі. $4x - 7x = 8 - 2$; $-3x = 6$; $x = -2$. Тексеру: $4 \cdot (-2) + 2 = -6$ және $8 - 14 = -6$ ✓.

Жауабы: тек $-2$.

№ 812

5 саны теңдеудің түбірі бола ма: 1) $x + 6 = 2x + 1$; 2) $0{,}2 + x = 5{,}2$; 3) $\frac{1}{5}x + 1 = 3x - 13$; 4) $6x - 4 = x + 20$?

Шешуі.

1. $11 = 11$ — иә.
2. $5{,}2 = 5{,}2$ — иә.
3. $1 + 1 = 2$, $15 - 13 = 2$ — иә.
4. $26 \ne 25$ — жоқ.

Жауабы: 1)–3) иә; 4) жоқ.

№ 813

Теңдеуді шешіңдер: 1) $9 - 4y = -5y$; 2) $4n = -2 + 6n$; 3) $2x + 4 = 6$; 4) $3x + 7 = x$; 5) $-5m + 24 = m$; 6) $-16 - m = -2m$.

Шешуі.

1. $-4y + 5y = -9$; $y = -9$.
2. $4n - 6n = -2$; $-2n = -2$; $n = 1$.
3. $2x = 2$; $x = 1$.
4. $3x - x = -7$; $2x = -7$; $x = -3{,}5$.
5. $-6m = -24$; $m = 4$.
6. $-m + 2m = 16$; $m = 16$.

Жауабы: 1) $-9$; 2) 1; 3) 1; 4) $-3{,}5$; 5) 4; 6) 16.

№ 814

Теңдеуді шешіңдер: 1) $12a - 1 = -a + 25$; 2) $2 - c = 5c + 1$; 3) $8 + 3b = -7 + 2b$; 4) $-3d - 10 = 3d - 6$; 5) $3y - 3 = 5 - y$; 6) $-7 - 4x = -7x + 5$.

Шешуі.

1. $13a = 26$; $a = 2$.
2. $-6c = -1$; $c = \frac{1}{6}$.
3. $b = -15$.
4. $-6d = 4$; $d = -\frac{2}{3}$.
5. $4y = 8$; $y = 2$.
6. $3x = 12$; $x = 4$.

Жауабы: 1) 2; 2) $\frac{1}{6}$; 3) $-15$; 4) $-\frac{2}{3}$; 5) 2; 6) 4.

№ 815

Теңдеуді шешіңдер: 1) $2x + 3 = x - 6$; 2) $z + 4 - 3 = 2z$; 3) $5 - 3y = 4 - 2y$; 4) $7 - 3x = 4x - 9$; 5) $6a - 1 = 3a + 7$; 6) $10y - 3 = 5 + 3y$.

Шешуі.

1. $x = -9$.
2. $z + 1 = 2z$; $z = 1$.
3. $-y = -1$; $y = 1$.
4. $-7x = -16$; $x = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7}$.
5. $3a = 8$; $a = 2\frac{2}{3}$.
6. $7y = 8$; $y = 1\frac{1}{7}$.

Жауабы: 1) $-9$; 2) 1; 3) 1; 4) $2\frac{2}{7}$; 5) $2\frac{2}{3}$; 6) $1\frac{1}{7}$.

№ 816

Теңдеуді шешіңдер: 1) $9 - 7y = 2{,}5 - 3y$; 2) $3{,}2 - 5a = -1{,}8a + 4$; 3) $0{,}8x - 3{,}5 = -1{,}2x + 0{,}5$; 4) $8{,}6x - 3{,}7 = 7{,}6x - 5$.

Шешуі.

1. $-4y = -6{,}5$; $y = 1{,}625$.
2. $-3{,}2a = 0{,}8$; $a = -0{,}25$.
3. $2x = 4$; $x = 2$.
4. $x = -5 + 3{,}7 = -1{,}3$.

Жауабы: 1) $1{,}625$; 2) $-0{,}25$; 3) 2; 4) $-1{,}3$.

№ 817

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $\frac{x}{5} - 4 = -0{,}1x + 2$; 2) $\frac{11}{12}x - \frac{2}{3} = -0{,}5 - \frac{3}{4}x$; 3) $4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3}x = 4x + 3\frac{5}{18}$; 4) $\frac{x}{3} + 5 = \frac{x}{4} + 3$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерден қорықпа: жоспар сол күйінде. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп қосып-азайта бер.

Шешуі.

1. $0{,}2x + 0{,}1x = 6$; $0{,}3x = 6$; $x = 20$.
2. $\frac{11}{12}x + \frac{9}{12}x = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$; $\frac{20}{12}x = \frac{1}{6}$; $x = \frac{1}{6} \cdot \frac{12}{20} = \frac{1}{10}$.
3. $4\frac{1}{6} - 3\frac{5}{18} = \frac{75 - 59}{18} = \frac{8}{9}$; $4x + 1\frac{1}{3}x = \frac{16}{3}x$; $x = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{1}{6}$.
4. $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = -2$; $\frac{x}{12} = -2$; $x = -24$.

Жауабы: 1) 20; 2) $0{,}1$; 3) $\frac{1}{6}$; 4) $-24$.

№ 818

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{2}{5} - \frac{3}{5}x = \frac{2}{5} - \frac{1}{10}x + 3$; 2) $\frac{5}{6}m + 2 = \frac{1}{3}m - 0{,}8$; 3) $\frac{3}{4}y - 12 = 5 - \frac{1}{4} - 12$; 4) $\frac{7}{12}n - 3 = \frac{1}{2}n + 0{,}7$.

Шешуі.

1. $-\frac{3}{5}x + \frac{1}{10}x = 3$; $-\frac{1}{2}x = 3$; $x = -6$.
2. $\frac{5}{6}m - \frac{2}{6}m = -2{,}8$; $\frac{1}{2}m = -2{,}8$; $m = -5{,}6$.
3. $-12$ екі жақта да бар — олар «қысқарады»: $\frac{3}{4}y = 4\frac{3}{4} = \frac{19}{4}$; $y = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$.
4. $\frac{1}{12}n = 3{,}7$; $n = 44{,}4$.

Жауабы: 1) $-6$; 2) $-5{,}6$; 3) $6\frac{1}{3}$; 4) $44{,}4$.

№ 819

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3(x - 2) = 4x$; 2) $6(z - 1) = 18$; 3) $5(y + 3) = 10$; 4) $3(2x - 7) = 9$; 5) $-4(x - 2) = -6$; 6) $3(x - 5) = x + 3$.

Қалай ойлаймыз. 2)–5) мысалдарда екі жағын да жақша алдындағы санға бірден бөлген ыңғайлы.

Шешуі.

1. $3x - 6 = 4x$; $-x = 6$; $x = -6$.
2. $z - 1 = 3$; $z = 4$.
3. $y + 3 = 2$; $y = -1$.
4. $2x - 7 = 3$; $x = 5$.
5. $x - 2 = 1{,}5$; $x = 3{,}5$.
6. $3x - 15 = x + 3$; $2x = 18$; $x = 9$.

Жауабы: 1) $-6$; 2) 4; 3) $-1$; 4) 5; 5) $3{,}5$; 6) 9.

№ 820

Теңдеуді шешіңдер: 1) $-2(x + 3) = 2x - 1$; 2) $2(2 - y) = y - 5$; 3) $-(3x - 4) = 3x - 8$; 4) $2a - (14 - 3a) = -10$.

⚠️ Жиі кететін қате. Жақша алдындағы минус жақшадағы барлық қосылғыштың таңбасын өзгертеді: $-(3x - 4) = -3x + 4$, ал $-3x - 4$ емес.

Шешуі.

1. $-2x - 6 = 2x - 1$; $-4x = 5$; $x = -1{,}25$.
2. $4 - 2y = y - 5$; $-3y = -9$; $y = 3$.
3. $-3x + 4 = 3x - 8$; $-6x = -12$; $x = 2$.
4. $2a - 14 + 3a = -10$; $5a = 4$; $a = 0{,}8$.

Жауабы: 1) $-1{,}25$; 2) 3; 3) 2; 4) $0{,}8$.

№ 821

Теңдеуді шешіңдер: 1) $-(2x + 1) = 1 - x$; 2) $\frac{1}{2}(4x - 2) = -7$; 3) $\frac{5}{6}x + 3 = \frac{1}{6}x$; 4) $3(x + 6) = 2(x - 3)$.

Шешуі.

1. $-2x - 1 = 1 - x$; $-x = 2$; $x = -2$.
2. $2x - 1 = -7$; $2x = -6$; $x = -3$.
3. $\frac{4}{6}x = -3$; $x = -3 \cdot \frac{3}{2} = -4{,}5$.
4. $3x + 18 = 2x - 6$; $x = -24$.

Жауабы: 1) $-2$; 2) $-3$; 3) $-4{,}5$; 4) $-24$.

B деңгейі

№ 822

Пропорциядағы $x$-тің мәнін табыңдар: 1) $\frac{x - 3}{6} = \frac{7}{3}$; 2) $\frac{x + 7}{3} = \frac{2x - 3}{5}$; 3) $\frac{5}{2x + 3} = \frac{2{,}5}{4{,}5}$; 4) $\frac{0{,}2}{x + 3} = \frac{0{,}7}{x - 2}$.

Қалай ойлаймыз. Пропорцияның негізгі қасиеті: шеткі мүшелерінің көбейтіндісі ортаңғы мүшелерінің көбейтіндісіне тең. «Айқастыра» көбейтеміз — қарапайым теңдеу шығады.

Шешуі.

1. $3(x - 3) = 42$; $x - 3 = 14$; $x = 17$.
2. $5(x + 7) = 3(2x - 3)$; $5x + 35 = 6x - 9$; $x = 44$.
3. $5 \cdot 4{,}5 = 2{,}5(2x + 3)$; $22{,}5 = 5x + 7{,}5$; $x = 3$.
4. $0{,}2(x - 2) = 0{,}7(x + 3)$; $0{,}2x - 0{,}4 = 0{,}7x + 2{,}1$; $-0{,}5x = 2{,}5$; $x = -5$.

Жауабы: 1) 17; 2) 44; 3) 3; 4) $-5$.

№ 823

Теңдеуді шешіңдер: 1) $1{,}2(x - 5) = 0{,}2x + 6$; 2) $1{,}3(t - 0{,}6) = 1{,}8t$; 3) $\frac{5}{7}(x + 3) = -2(1 - x)$; 4) $6(4x - 7) - 3(5 - 8x) = 0$.

Шешуі.

1. $1{,}2x - 6 = 0{,}2x + 6$; $x = 12$.
2. $1{,}3t - 0{,}78 = 1{,}8t$; $-0{,}5t = 0{,}78$; $t = -1{,}56$.
3. $\frac{5}{7}x + \frac{15}{7} = -2 + 2x$; $\frac{15}{7} + 2 = 2x - \frac{5}{7}x$; $\frac{29}{7} = \frac{9}{7}x$; $x = \frac{29}{9} = 3\frac{2}{9}$.
4. $24x - 42 - 15 + 24x = 0$; $48x = 57$; $x = \frac{57}{48} = 1\frac{3}{16}$.

Жауабы: 1) 12; 2) $-1{,}56$; 3) $3\frac{2}{9}$; 4) $1\frac{3}{16}$.

№ 824

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3x - 4 + 2x = 6 + 2x - 4$; 2) $50 - 7e - 16 = 3e - 16$; 3) $-6a + 16 = 4a - 6a - 24$; 4) $5x - 6 + x = 2(x - 1)$; 5) $2(x - 6) - x = 3x + 4x$; 6) $-(9 - 2b) - (b + 5) = 16$.

Шешуі.

1. $5x - 4 = 2x + 2$; $3x = 6$; $x = 2$.
2. $34 - 7e = 3e - 16$; $-10e = -50$; $e = 5$.
3. $-6a + 16 = -2a - 24$; $-4a = -40$; $a = 10$.
4. $6x - 6 = 2x - 2$; $4x = 4$; $x = 1$.
5. $x - 12 = 7x$; $-6x = 12$; $x = -2$.
6. $b - 14 = 16$; $b = 30$.

Жауабы: 1) 2; 2) 5; 3) 10; 4) 1; 5) $-2$; 6) 30.

№ 825

Теңдеуді шешіңдер: 1) $2{,}6a - 0{,}2(3a - 9) = -0{,}5(-2a + 6)$; 2) $0{,}6(-2y + 3) - 0{,}4(9 - y) = -0{,}3(y - 9)$.

Шешуі.

1. $2{,}6a - 0{,}6a + 1{,}8 = a - 3$; $2a + 1{,}8 = a - 3$; $a = -4{,}8$.
2. $-1{,}2y + 1{,}8 - 3{,}6 + 0{,}4y = -0{,}3y + 2{,}7$; $-0{,}8y - 1{,}8 = -0{,}3y + 2{,}7$; $-0{,}5y = 4{,}5$; $y = -9$.

Жауабы: 1) $-4{,}8$; 2) $-9$.

№ 826

Теңдеуді шешіңдер: 1) $1{,}2d - 0{,}5(4d - 1) = -0{,}7(d - 2)$; 2) $0{,}3n - (2{,}6 - 0{,}9n) = 1{,}2n + 3$.

Шешуі.

1. $1{,}2d - 2d + 0{,}5 = -0{,}7d + 1{,}4$; $-0{,}8d + 0{,}7d = 1{,}4 - 0{,}5$; $-0{,}1d = 0{,}9$; $d = -9$.
2. $0{,}3n - 2{,}6 + 0{,}9n = 1{,}2n + 3$; $1{,}2n - 1{,}2n = 3 + 2{,}6$; $0 \cdot n = 5{,}6$. Бұл ешбір $n$ үшін болмайды.

Жауабы: 1) $-9$; 2) түбірі жоқ.

💡 Түбірі жоқ теңдеулер де болады! Бұл туралы келесі параграфта толығырақ айтылады.

№ 827

Теңдеуді шешіңдер: 1) $0{,}8(0{,}5 + 2x) = 2x + 0{,}4$; 2) $0{,}2(x - 3) - 1 = 0{,}5(x + 3) - 0{,}4$.

Шешуі.

1. $0{,}4 + 1{,}6x = 2x + 0{,}4$; $-0{,}4x = 0$; $x = 0$.
2. $0{,}2x - 1{,}6 = 0{,}5x + 1{,}1$; $-0{,}3x = 2{,}7$; $x = -9$.

Жауабы: 1) 0; 2) $-9$.

C деңгейі

№ 828

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{y}{9} - \left(y + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6} - \left(\frac{8y}{9} + 0{,}5\right)$; 2) $3 - \left(\frac{2}{9}m + \frac{1}{6}\right) = \frac{m}{3} + 1{,}5$; 3) $\frac{5}{12}(c - 3) - \frac{1}{6}(2c - 7) = 2$; 4) $\frac{2}{15}(b + 5) - \frac{3}{10}(5b - 1) = 4$.

Қалай ойлаймыз. Сабақтағы ең ұзын теңдеулер. Асықпа: жақшаларды аш та, бөлшектерді ортақ бөлімге келтір.

Шешуі.

1. Сол жағы $\frac{y}{9} - y - \frac{1}{3} = -\frac{8}{9}y - \frac{1}{3}$. Оң жағы $\frac{1}{6} - \frac{8}{9}y - \frac{1}{2} = -\frac{8}{9}y - \frac{1}{3}$. Екі жағы кез келген $y$ үшін бірдей — кез келген сан жарайды.
2. $3 - \frac{1}{6} - 1{,}5 = \frac{m}{3} + \frac{2}{9}m$; $\frac{4}{3} = \frac{5}{9}m$; $m = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{5} = 2{,}4$.
3. $\frac{5}{12}c - \frac{15}{12} - \frac{4}{12}c + \frac{14}{12} = 2$; $\frac{c}{12} - \frac{1}{12} = 2$; $c - 1 = 24$; $c = 25$.
4. Жоғарыдағы қадамдар бойынша: $b = -2\frac{9}{41}$.

Жауабы: 1) кез келген сан; 2) $2{,}4$; 3) 25; 4) $-2\frac{9}{41}$.

№ 829

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{0{,}14}{0{,}35}$; 2) $\frac{a - 3{,}2}{2a + 1{,}4} = \frac{0{,}9}{2{,}7}$; 3) $\frac{-3}{9 - 4a} = \frac{40}{200}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен оң жақтағы бөлшекті ықшамдаймыз: $\frac{0{,}14}{0{,}35} = 0{,}4$, $\frac{0{,}9}{2{,}7} = \frac{1}{3}$, $\frac{40}{200} = 0{,}2$.

Шешуі.

1. $4x - 3 = 0{,}4(3 - 5x) = 1{,}2 - 2x$; $6x = 4{,}2$; $x = 0{,}7$.
2. $3(a - 3{,}2) = 2a + 1{,}4$; $3a - 9{,}6 = 2a + 1{,}4$; $a = 11$.
3. $-3 = 0{,}2(9 - 4a) = 1{,}8 - 0{,}8a$; $0{,}8a = 4{,}8$; $a = 6$.

Жауабы: 1) $0{,}7$; 2) 11; 3) 6.

🌟 Хабарлама дайында: математикада теңдеу қалай пайда болған. Мысал: «Теңдеулерді Ежелгі Мысыр мен Вавилонда да шешкен. Бірақ қосылғыштарды көшіру ережесін алғаш рет нақты сипаттаған — қазіргі Қазақстанмен шекаралас Хорезм жерінен шыққан әл-Хорезми (783–850). Оның «Қалпына келтіру және қарсы қою туралы кітабы» бүкіл бір ғылымға ат берді: «әл-жәбр» сөзінен «алгебра» шықты. Ал ғалымның өз есімінен «алгоритм» сөзі туды».

Қайталаймыз

№ 830

$10,025 + (15,009 - 14,584) - (2397 + 14,296)$ өрнегіндегі жақшаларды ашып, мәнін табыңдар.

Шешуі. $10025 + 15009 - 14584 - 2397 - 14296$. Былай ыңғайлы: $10025 + 425 - 16693 = 10450 - 16693 = -6243$.

Жауабы: $-6243$.

№ 831

$200,000 + (49,000 - 48,989) - (190,001 + 180,999)$ өрнегіндегі жақшаларды ашып, мәнін табыңдар.

Шешуі. $200,000 + 11 - 371,000 = -170,989$.

Жауабы: $-170,989$.

№ 832

Бір пункттен бір мезгілде бір бағытта $a$ км/сағ жылдамдықпен мотоциклші және $b$ км/сағ жылдамдықпен велосипедші шықты. $t$ сағ өткен соң олардың арақашықтығы қандай болды? Есепті шығару үшін формула жазып, оның көмегімен: 1) $a = 39$; $b = 12$; $t = 0{,}15$; 2) $a = 40$; $b = 13$; $t = \frac{2}{3}$ деп алып, есептің сұрағына жауап беріңдер.

Қалай ойлаймыз. Мотоциклші әр сағат сайын $a - b$ км-ге алға озады. Бұл — алыстау жылдамдығы.

Шешуі. Формула: $s = (a - b) \cdot t$.

1. $(39 - 12) \cdot 0{,}15 = 27 \cdot 0{,}15 = 4{,}05$ км.
2. $(40 - 13) \cdot \frac{2}{3} = 27 \cdot \frac{2}{3} = 18$ км.

Жауабы: $s = (a - b)t$; 1) $4{,}05$ км; 2) 18 км.

№ 833

$AB$ қабырғасының ұзындығы 9 см, $AC$ қабырғасының ұзындығы оның 80%-ына және $BC$ қабырғасының ұзындығы 60%-ына тең. $ABC$ үшбұрышының периметрін табыңдар.

Шешуі. $AC = 0{,}8 \cdot 9 = 7{,}2$ см; $BC = 0{,}6 \cdot 9 = 5{,}4$ см; $P = 9 + 7{,}2 + 5{,}4 = 21{,}6$ см.

Жауабы: $21{,}6$ см.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 834

Теңдеудің қанша түбірі бар: 1) $x(x - 5) = 0$; 2) $2(y - 3)(y - 6) = 0$?

Шешуі.

1. $x = 0$ немесе $x = 5$ — екі түбір.
2. 2 көбейткіші нөл бола алмайды. $y = 3$ немесе $y = 6$ — екі түбір.

Жауабы: 1) екі (0 және 5); 2) екі (3 және 6).

№ 835

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x - 10) \cdot 13 = 52 \cdot (-27)$; 2) $54(x - 50) = 26 \cdot 162$.

Қалай ойлаймыз. Бірден көбейтпе! Екі жағын да жақшадағы көбейткішке бөл — сандар қысқарады.

Шешуі.

1. $x - 10 = \frac{52 \cdot (-27)}{13} = 4 \cdot (-27) = -108$; $x = -98$.
2. $x - 50 = \frac{26 \cdot 162}{54} = 26 \cdot 3 = 78$; $x = 128$.

Жауабы: 1) $-98$; 2) 128.

Жадынама

• Қосылғыш теңдеудің екінші жағына өткенде таңбасын өзгертеді.
• Жақша алдындағы минус жақшадағы барлық қосылғыштың таңбасын өзгертеді.
• Жоспар: жақшалар → көшіру → ұқсастар → түбір → тексеру.
• Пропорцияны «айқастыра» көбейтіп шешеміз.

Шағын тест