§ 29. Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 4 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу. 15–22-беттер.

Нені үйренесің

• $ax = b$ сызықтық теңдеуін танып білуді.
• Оның қашан бір түбірі болатынын, қашан түбірі болмайтынын, ал қашан кез келген сан жарайтынын түсінуді.
• Қандай теңдеулердің мәндес екенін түсіндіруді.
• Ұзын теңдеулерді $ax = b$ түріне келтіріп шешуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 834–835 тапсырмалары.

• $x(x - 5) = 0$ теңдеуінің неше түбірі бар? Екеу: 0 және 5.
• Ал $2(y - 3)(y - 6) = 0$ теңдеуінің ше? Ол да екеу: 3 және 6.
• $(x - 10) \cdot 13 = 52 \cdot (-27)$ теңдеуін шеш. $x - 10 = -108$, $x = $ −98.
• $54(x - 50) = 26 \cdot 162$ теңдеуін шеш. $x - 50 = 78$, $x = $ 128.

Тақырыпты талдаймыз

Әлемдегі ең қарапайым теңдеу

$ax = b$ түріндегі теңдеу, мұндағы $x$ — айнымалы, ал $a$ мен $b$ — сандар, бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу деп аталады. Мысалы: $-45{,}8x = 9{,}16$; $-x = 10{,}7$; $\frac{34}{35}x = \frac{17}{5}$.

Мұнда $x$ — белгісіз көбейткіш. Демек, $x = b : a$. Бірақ әрқашан бөлуге болмайды! Бәрі $a$ санына байланысты.

$ax = b$ теңдеуінің үш тағдыры

📌 Түбірі болмаса, шешімдер жиыны бос дейді. Бос жиынды $\varnothing$ таңбасымен белгілейді.

⚠️ Жиі кететін қате. «Түбірі нөлге тең» және «түбірі жоқ» дегенді шатастырады. $-2x = 0$ теңдеуінің түбірі бар, ол — 0 саны. Ал $0 \cdot x = 5$ теңдеуінің түбірі мүлде жоқ.

Ұзын теңдеудің де іші — сызықтық

Көптеген теңдеу ықшамдалғаннан кейін $ax = b$ түріне келеді. $(-14x + 0{,}55) : 0{,}5 = \frac{2}{3}x - 170{,}9$ теңдеуін алайық.

Мәндес теңдеулер

Жол бойында біз теңдеулер тізбегін алдық: $-28x + 1{,}1 = \frac{2}{3}x - 170{,}9$, сосын $-28\frac{2}{3}x = -172$ және т.с.с. Барлығының түбірі бір — 6. Мұндай теңдеулерді мәндес деп атайды.

📌 Түбірлері бірдей (немесе екеуінің де түбірі жоқ) теңдеулер мәндес деп аталады.

Мысалы, $x + 8 = 18$ және $x + 8 - 6x = 18 - 6x$ мәндес: екіншісінде екі жағынан да $6x$ азайттық, түбірі сол — 10. Ал $|x| = 7$ және $(x - 7)(x + 7) = 0$ мәндес, өйткені екеуінің де түбірлері $7$ және $-7$.

Теңдеуді шешкенде біз оны барған сайын қарапайым мәндес теңдеулермен алмастырамыз. Мыналарды істеуге болады:

1. қосылғыштарды таңбасын өзгертіп көшіру;
2. екі жағына да бірдей санды қосу;
3. екі жағын да нөлге тең емес бірдей санға көбейту немесе бөлу;
4. жақтарын ықшамдау (жақшаларды ашу, ұқсастарын біріктіру).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балаға ойын ұсыныңыз: сіз теңдеу жазасыз, ол оған бір «рұқсат етілген» әрекет жасап, түбірдің өзгермегенін көрсетеді. Осылай бұл ережелердің неге керегі тез түсініледі.

$x$ «жоғалып» кеткенде

$-5x - 0{,}74 = -5x + 0{,}26$ теңдеуін шешейік. Көшіреміз: $-5x + 5x = 0{,}74 + 0{,}26$, яғни $0 \cdot x = 1$. Түбірі жоқ, жауабы: $\varnothing$.

Ал $(1{,}8x - 4{,}5) : 9 = -0{,}5 + 0{,}2x$ теңдеуінде бөлгеннен кейін $0{,}2x - 0{,}5 = -0{,}5 + 0{,}2x$ шығады. Екі жағы да бірдей! Демек, $0 \cdot x = 0$, кез келген сан жарайды.

💡 $x$-тер қысқарып кетсе, қорықпа. Не қалғанын қара: $0 = 1$ сияқты тура емес теңдік — түбірі жоқ; тура $0 = 0$ — кез келген сан жарайды.

Өзіңді тексер

• $\frac{x}{7} = 5$; $\frac{7}{x} = 5$; $x - 7 = 2x$; $x + 7 = 0$; $(x - 7)(x + 7) = 0$; $x^2 - 7 = 0$ теңдеулерінің қайсысы сызықтық? $\frac{x}{7} = 5$ (бұл $\frac{1}{7}x = 5$), $x - 7 = 2x$ ($-x = 7$ түріне келеді) және $x + 7 = 0$ (бұл $x = -7$). $\frac{7}{x}$ теңдеуінде $x$ бөлімде тұр, ал соңғы екеуінде $x \cdot x$ бар — олар сызықтық емес.
• Сызықтық теңдеудің дәл екі шешімі болуы мүмкін бе? Жоқ. Оның не бір түбірі болады, не түбірі болмайды, не түбірлері шексіз көп.
• $x - 7 = 2x$; $x = 2x + 7$; $x - 7 + 7 = 2x + 7$; $3x - 21 = 6x$ теңдеулері неге мәндес? Екіншісі біріншісінен $-7$-ні оңға көшіру арқылы шықты. Үшіншісі — екі жағына да 7 қосу арқылы. Төртіншісі — біріншісінің екі жағын да 3-ке көбейту арқылы. Бәрінің түбірі бір: $x = -7$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 836

Мына теңдеулердің қайсысы бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу болады: 1) $1{,}5x = 2$; 2) $7x = -1{,}1$; 3) $2\frac{1}{9}y = 0$; 4) $18x - 4 = 0$; 5) $2x - y = 5$; 6) $x + x^2 = 6$?

Қалай ойлаймыз. Айнымалы дәл біреу болуы керек және тек бірінші дәрежеде. Теңдеу $ax = b$ түріне келуі тиіс.

Шешуі. 1)–3) бұрыннан $ax = b$ түрінде. 4) көшіргенде $18x = 4$ болады. 5) — екі айнымалы, $x$ және $y$. 6) — $x^2$ бар.

Жауабы: 1), 2), 3), 4) сызықтық.

№ 837

Берілген теңдеулерді шешіп, әлемнің жеті кереметі туралы мағлұмат аласыңдар. 1) $x \cdot 10^3 = 2 \cdot 10^6$ теңдеуінің түбірі — біздің заманымызға дейінгі Мысыр пирамидалары салынған ғасырды; 2) $1000 - x = 570$ теңдеуінің түбірі — біздің заманымызға дейінгі Галикарнастағы Мавзолей салынған ғасырды; 3) $99x = 693$ теңдеуінің түбірі — біздің заманымызға дейін Эфесте Артемида храмының салынған жылын; 4) $8280 : x = 2070$ теңдеуінің түбірі — біздің заманымызға дейін Олимп жерінде Зевс мүсінінің салынған жылын; 5) $x + 450 = 1000$ теңдеуінің түбірі — біздің заманымызға дейінгі Вавилондағы Семирамида аспалы бағы салынған ғасырды; 6) $x : 73 = 4$ теңдеуінің түбірі — біздің заманымызға дейін Родостағы Гелиос мүсінінің салынған жылын; 7) $x - 188 = 92$ теңдеуінің түбірі — біздің заманымызға дейін Александрия маягінің салынған жылын көрсетеді.

Қалай ойлаймыз. Әр теңдеуде белгісіз компонентті табамыз: қосылғышты, азайтқышты, көбейткішті немесе бөлгішті.

Шешуі.

1. $x = 2,000,000 : 1000 = 2000$ — оқулықтың жауабы бойынша б.з.д. шамамен 2 мың жыл.
2. $x = 1000 - 570 = 430$.
3. $x = 693 : 99 = 7$.
4. $x = 8280 : 2070 = 4$.
5. $x = 1000 - 450 = 550$.
6. $x = 4 \cdot 73 = 292$ — б.з.д. шамамен 292 жыл.
7. $x = 92 + 188 = 280$ — б.з.д. шамамен 280 жыл.

Түбірлерді тарихпен салыстырсақ: 4 — б.з.д. IV ғасыр (Галикарнас Мавзолейі); 7 — б.з.д. VII ғасыр (Семирамида бағы); 550 — б.з.д. шамамен 550 жыл (Артемида храмы); 430 — б.з.д. шамамен 430 жыл (Зевс мүсіні).

Жауабы: 1) 2000; 2) 430; 3) 7; 4) 4; 5) 550; 6) 292; 7) 280. Тарих бойынша: Мавзолей — IV ғасыр, Семирамида бағы — VII ғасыр, Артемида храмы — 550 жыл, Зевс мүсіні — 430 жыл (бәрі б.з.д.).

📕 Қазақша оқулықта 2)–5) теңдеулер керемет атауларымен араласып кеткен. Мысалы, $1000 - x = 570$ (түбірі 430) Мавзолейге жазылған, ал 430 жыл — Зевс мүсінінің жылы; Мавзолей үшін IV ғасыр (түбірі 4) керек. Оқулықтың өз жауаптарында да «2) б.з.д. IV ғасырдың ортасы» деп тұр — бұл $8280 : x = 2070$ теңдеуіне сәйкес келеді, оқулықта ол төртінші болып тұр. Орысша басылымда реті дұрыс.

🌟 Әлемнің жеті кереметінің ішінен бүгінге дейін тек Мысыр пирамидалары жетті. Қалған алтауы жер сілкінісінен, өрттен және соғыстан қирады.

№ 838

$x$-тің қандай мәнінде $5x + 4$ өрнегінің мәні: 1) 20; 2) $-30$; 3) $-3{,}8$; 4) $3\frac{1}{3}$ санына тең болады?

Қалай ойлаймыз. $5x + 4 = \ldots$ теңдеуін құрып, шешеміз.

Шешуі.

1. $5x = 16$; $x = 3{,}2$.
2. $5x = -34$; $x = -6{,}8$.
3. $5x = -7{,}8$; $x = -1{,}56$.
4. $5x = 3\frac{1}{3} - 4 = -\frac{2}{3}$; $x = -\frac{2}{15}$.

Жауабы: 1) $3{,}2$; 2) $-6{,}8$; 3) $-1{,}56$; 4) $-\frac{2}{15}$.

№ 839

$13 - 2y$ өрнегінің мәні: 1) 40; 2) $-25$; 3) $-25{,}12$; 4) $15\frac{5}{7}$ санына тең болатындай $y$ айнымалысының мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $-2y = 27$; $y = -13{,}5$.
2. $-2y = -38$; $y = 19$.
3. $-2y = -38{,}12$; $y = 19{,}06$.
4. $-2y = 2\frac{5}{7} = \frac{19}{7}$; $y = -\frac{19}{14} = -1\frac{5}{14}$.

Жауабы: 1) $-13{,}5$; 2) 19; 3) $19{,}06$; 4) $-1\frac{5}{14}$.

№ 840

Түбірі 1) $\frac{9 \cdot 17^2}{51}$; 2) $-72$; 3) $-\frac{1}{3^2}$; 4) $0{,}33 \cdot 10 + 6$ өрнегінің мәні болатын бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу құрыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен санды тап. Сосын $b : a$ осы санға тең болатын кез келген $ax = b$ теңдеуін ойлап тап.

Шешуі.

1. $\frac{9 \cdot 289}{51} = \frac{2601}{51} = 51$. Теңдеу, мысалы, $2x = 102$.
2. Сан $-72$. Мысалы, $3x = -216$.
3. $-\frac{1}{9}$. Мысалы, $9x = -1$.
4. $3{,}3 + 6 = 9{,}3$. Мысалы, $10x = 93$.

Жауабы: мысалы, $2x = 102$; $3x = -216$; $9x = -1$; $10x = 93$ (нұсқалар көп).

№ 841

$-\frac{3}{7}$ саны берілген теңдеудің түбірі бола ма: 1) $x + 1 = \frac{4}{7}$; 2) $10 - x = 10\frac{3}{7}$; 3) $-2\frac{1}{3}x = 1$; 4) $2\frac{1}{7} : x = -5$; 5) $2x - 1 = \frac{1}{7}$; 6) $\frac{7}{9}x + 24{,}5 = 24\frac{5}{6}$?

Шешуі.

1. $-\frac{3}{7} + 1 = \frac{4}{7}$ — иә.
2. $10 + \frac{3}{7} = 10\frac{3}{7}$ — иә.
3. $-\frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = 1$ — иә.
4. $\frac{15}{7} : \left(-\frac{3}{7}\right) = -5$ — иә.
5. $-\frac{6}{7} - 1 = -1\frac{6}{7} \ne \frac{1}{7}$ — жоқ.
6. $\frac{7}{9} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = -\frac{1}{3}$; $24\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 24\frac{1}{6} \ne 24\frac{5}{6}$ — жоқ.

Жауабы: 1)–4) иә; 5) және 6) жоқ.

№ 842

1) $b + y = 20$; 2) $b \cdot z = 1{,}8$; 3) $t - 1{,}1 = b$; 4) $x : b = -5$ теңдеуінің түбірі оң сан; теріс сан болатындай $b$ әрпінің орнына қоятын санды көрсетіңдер. Теңдеудің түбірі нөлге тең болатындай $b$ әрпінің орнына қоятын санды табуға бола ма?

Қалай ойлаймыз. Түбірді $b$ арқылы өрнектеп, оның $b$-ға қалай тәуелді екенін қарайық.

Шешуі.

1. $y = 20 - b$. а) $b = 5$, $y = 15$; ә) $b = 25$, $y = -5$. Түбір 0 болады, егер $b = 20$.
2. $z = 1{,}8 : b$. а) $b = 0{,}9$, $z = 2$; ә) $b = -0{,}9$, $z = -2$. Түбір 0 болуы мүмкін емес: $b \cdot 0 = 0$, ал 1,8 емес.
3. $t = b + 1{,}1$. а) $b = 1$, $t = 2{,}1$; ә) $b = -2$, $t = -0{,}9$. Түбір 0 болады, егер $b = -1{,}1$.
4. $x = -5b$. а) $b = -1$, $x = 5$; ә) $b = 1$, $x = -5$. Түбір 0 болу үшін $b = 0$ керек еді, бірақ нөлге бөлуге болмайды — мүмкін емес.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағыдай; түбір 0-ді 1) ($b = 20$) және 3) ($b = -1{,}1$) теңдеулерінде алуға болады, 2) және 4) теңдеулерінде болмайды.

№ 843

Берілген теңдеу $x$-тің қандай мәнінде тура санды теңдікке айналады: 1) $10 - x = -8$; 2) $21 + x = 6$; 3) $4 - 5x = 0$; 4) $0{,}5x + 20{,}1 = 0{,}1$; 5) $\frac{x + 3}{2} = -7$; 6) $\frac{9 - x}{7} = -1$?

Шешуі.

1. $x = 18$.
2. $x = -15$.
3. $5x = 4$; $x = 0{,}8$.
4. $0{,}5x = -20$; $x = -40$.
5. $x + 3 = -14$; $x = -17$.
6. $9 - x = -7$; $x = 16$.

Жауабы: 1) 18; 2) $-15$; 3) $0{,}8$; 4) $-40$; 5) $-17$; 6) 16.

№ 844

Теңдеуді шешіңдер: 1) $40 + 2x = 3x - 15$; 2) $16x - 33 = 1 + 13x$; 3) $23{,}8y - 80 - 24{,}3y = 2$; 4) $95y - 4{,}9 = 98y - 1$.

Шешуі.

1. $-x = -55$; $x = 55$.
2. $3x = 34$; $x = 11\frac{1}{3}$.
3. $-0{,}5y = 82$; $y = -164$.
4. $-3y = 3{,}9$; $y = -1{,}3$.

Жауабы: 1) 55; 2) $11\frac{1}{3}$; 3) $-164$; 4) $-1{,}3$.

№ 845

Теңдеуді шешіңдер: 1) $16{,}05x + 1{,}8x = 3{,}63 - 0{,}3x$; 2) $1{,}09 + 5{,}8y = 38{,}29 + 15{,}1y$; 3) $\frac{5}{7}x + 2\frac{1}{7} = 3\frac{3}{28} - \frac{4}{7}x$; 4) $5\frac{1}{6} + \frac{4}{15}t = -\frac{2}{5}t - \frac{2}{3}$.

Шешуі.

1. $18{,}15x = 3{,}63$; $x = 0{,}2$.
2. $-9{,}3y = 37{,}2$; $y = -4$.
3. $\frac{5}{7}x + \frac{4}{7}x = 3\frac{3}{28} - 2\frac{4}{28}$; $\frac{9}{7}x = \frac{27}{28}$; $x = \frac{27}{28} \cdot \frac{7}{9} = \frac{3}{4}$. Тексеру: сол жағы $\frac{15}{28} + \frac{60}{28} = \frac{75}{28}$, оң жағы $\frac{87}{28} - \frac{12}{28} = \frac{75}{28}$ ✓.
4. $\frac{4}{15}t + \frac{6}{15}t = -\frac{2}{3} - 5\frac{1}{6}$; $\frac{2}{3}t = -\frac{35}{6}$; $t = -\frac{35}{4} = -8\frac{3}{4}$.

Жауабы: 1) $0{,}2$; 2) $-4$; 3) $\frac{3}{4}$; 4) $-8\frac{3}{4}$.

№ 846

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $17x - 2{,}6 = 3(0{,}8 + 3x)$; 2) $8 + 5{,}1x = 49(1 + 0{,}1x)$; 3) $38(0{,}1x + 1) = 40 - 3{,}2x$; 4) $63x - 13{,}7 = 13(0{,}1 + 5x)$.

Шешуі.

1. $17x - 2{,}6 = 2{,}4 + 9x$; $8x = 5$; $x = 0{,}625$.
2. $8 + 5{,}1x = 49 + 4{,}9x$; $0{,}2x = 41$; $x = 205$.
3. $3{,}8x + 38 = 40 - 3{,}2x$; $7x = 2$; $x = \frac{2}{7}$.
4. $63x - 13{,}7 = 1{,}3 + 65x$; $-2x = 15$; $x = -7{,}5$.

Жауабы: 1) $0{,}625$; 2) 205; 3) $\frac{2}{7}$; 4) $-7{,}5$.

№ 847

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $\frac{4}{7}(x - 1) = \frac{2}{7} + x$; 2) $4\frac{5}{9} - \frac{1}{6}x = 5(1 + 0{,}1x)$; 3) $5(x - 1{,}5) = 4\frac{2}{3}x - 8\frac{3}{14}$; 4) $1\frac{7}{9}x - 1\frac{1}{9} = 4\frac{2}{9}(1 - x)$.

Шешуі.

1. $\frac{4}{7}x - \frac{4}{7} = \frac{2}{7} + x$; $-\frac{3}{7}x = \frac{6}{7}$; $x = -2$.
2. $4\frac{5}{9} - \frac{1}{6}x = 5 + \frac{1}{2}x$; $-\frac{2}{3}x = \frac{4}{9}$; $x = -\frac{2}{3}$.
3. $5x - 7{,}5 = 4\frac{2}{3}x - 8\frac{3}{14}$; $\frac{1}{3}x = 7\frac{7}{14} - 8\frac{3}{14} = -\frac{5}{7}$; $x = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7}$.
4. $\frac{16}{9}x - \frac{10}{9} = \frac{38}{9} - \frac{38}{9}x$; $\frac{54}{9}x = \frac{48}{9}$; $6x = \frac{16}{3}$; $x = \frac{8}{9}$.

Жауабы: 1) $-2$; 2) $-\frac{2}{3}$; 3) $-2\frac{1}{7}$; 4) $\frac{8}{9}$.

№ 848

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $\frac{23}{40}(8t + 5) - t = 2{,}6t - \left(3t - \frac{3}{4}\right)$; 2) $10\frac{2}{3}(9 - k) + 81 = 107 - \frac{1}{3}(k - 60)$.

Шешуі.

1. $4{,}6t + 2{,}875 - t = 2{,}6t - 3t + 0{,}75$; $3{,}6t + 2{,}875 = -0{,}4t + 0{,}75$; $4t = -2{,}125$; $t = -0{,}53125 = -\frac{17}{32}$.
2. $\frac{32}{3} \cdot 9 = 96$, сондықтан $96 - \frac{32}{3}k + 81 = 107 - \frac{1}{3}k + 20$; $177 - 127 = \frac{32}{3}k - \frac{1}{3}k$; $50 = \frac{31}{3}k$; $k = \frac{150}{31} = 4\frac{26}{31}$.

Жауабы: 1) $-\frac{17}{32}$; 2) $4\frac{26}{31}$.

№ 849

Берілген теңдеулерді шешіп, Шығыс Қазақстан облысында орналасқан Маркакөл қорығы туралы мағлұматтар аласыңдар: 1) $x + 0{,}24 = 20 + 0{,}99x$ теңдеуінің түбірі — қорықтың құрылған жылын; 2) $3y - 2(169{,}9 + y) = 150 - (y + 339{,}8)$ теңдеуінің түбірі — қорықтың ауданын (мың гектар); 3) $50z + (z + 6{,}2) = 200$ теңдеуінің түбірі қорықтағы орманның ауданын (мың гектар) көрсетеді.

Шешуі.

1. $0{,}01x = 19{,}76$; $x = 1976$.
2. $3y - 339{,}8 - 2y = 150 - y - 339{,}8$; $y - 339{,}8 = -189{,}8 - y$; $2y = 150$; $y = 75$.
3. $51z + 6{,}2 = 200$; $51z = 193{,}8$; $z = 3{,}8$.

Жауабы: 1) 1976 жыл; 2) 75 мың га; 3) $3{,}8$ мың га.

🌟 Маркакөл қорығы Алтай тауларында, Маркакөл көлін қоршап жатыр. Көл мөлдір суымен және тек осы жерде мекендейтін үскіш балығымен танымал.

№ 850

Берілген теңдеулерді шешіп, әртүрлі биіктіктегі ауа температурасына сәйкес мәнді аласыңдар: 1) $3x + (x + 2) = 2(3x + 12)$ теңдеуінің түбірі — 4000 м биіктіктегі ауаның температурасын ($x$ °C); 2) $-3(2{,}5 - y) = 28{,}5 + 4{,}5y$ теңдеуінің түбірі — 6000 м биіктіктегі ауаның температурасын ($y$ °C); 3) $25{,}8z - 4{,}3(6z + 300) = 25{,}8z$ теңдеуінің түбірі 10 000 м биіктіктегі ауаның температурасын ($z$ °C) көрсетеді.

Шешуі.

1. $4x + 2 = 6x + 24$; $-2x = 22$; $x = -11$.
2. $-7{,}5 + 3y = 28{,}5 + 4{,}5y$; $-1{,}5y = 36$; $y = -24$.
3. $25{,}8z - 25{,}8z - 1290 = 25{,}8z$; $25{,}8z = -1290$; $z = -50$.

Жауабы: 1) $-11$ °C; 2) $-24$ °C; 3) $-50$ °C.

💡 Таулардың биігіне көтерілген сайын суық болады: әр километрге шамамен 6 градус. Сондықтан Алматыда ыстық болса да, Іле Алатауының шыңдарында жаз бойы қар жатады.

№ 851

Берілген теңдеулерді шешіп, кейбір жануарлардың орташа өмір сүру уақытына сәйкес санды аласыңдар: 1) $12{,}5 - (16x - 28{,}3) = -71{,}2$ теңдеуінің түбірі құмырсқаның ең ұзақ өмір сүру уақытын; 2) $31{,}8 - \left(\frac{1}{7} + \frac{4}{7}y\right) = 1\frac{2}{3}y + 4{,}8$ теңдеуінің түбірі кесірткенің ең ұзақ өмір сүру уақытын; 3) $\frac{13}{15}z - \left(\frac{7}{9} + \frac{1}{3}z\right) = 7\frac{2}{9}$ теңдеуінің түбірі тиіннің ең ұзақ өмір сүру уақытын көрсетеді.

Шешуі.

1. $12{,}5 - 16x + 28{,}3 = -71{,}2$; $40{,}8 + 71{,}2 = 16x$; $x = 112 : 16 = 7$.
2. $31{,}8 - 4{,}8 - \frac{1}{7} = \frac{5}{3}y + \frac{4}{7}y$; $\frac{188}{7} = \frac{47}{21}y$; $y = \frac{188}{7} \cdot \frac{21}{47} = 12$.
3. $\frac{13}{15}z - \frac{5}{15}z = 7\frac{2}{9} + \frac{7}{9}$; $\frac{8}{15}z = 8$; $z = 15$.

Жауабы: 1) 7 жыл; 2) 12 жыл; 3) 15 жыл.

B деңгейі

№ 852

Берілген теңдеудің қанша түбірі бар: 1) $(x - 5)\left(x + \frac{3}{23}\right) = 0$; 2) $5x + 10 = 5x$; 3) $1{,}1y - 0{,}9y + 4 = 4 + 0{,}2y$; 4) $x\left(x + 3\frac{8}{15}\right)(x - 10{,}2) = 0$?

Шешуі.

1. Әр жақша нөл бола алады: $x = 5$ немесе $x = -\frac{3}{23}$ — екі түбір.
2. $0 \cdot x = -10$ — түбірі жоқ.
3. $0{,}2y + 4 = 4 + 0{,}2y$ — екі жағы бірдей, кез келген сан.
4. $x = 0$, $x = -3\frac{8}{15}$, $x = 10{,}2$ — үш түбір.

Жауабы: 1) екі; 2) ешқайсысы жоқ; 3) шексіз көп; 4) үш.

💡 1) және 4) теңдеулер сызықтық емес: жақшаларды ашқанда $x^2$ шығады. Сондықтан оларда бірден көп түбір болады.

№ 853

Айнымалының қандай мәнінде: 1) $6\frac{1}{3}z + 4\frac{1}{7}$ және $3\frac{1}{6} + 5\frac{1}{6}z$; 2) $4{,}05t - \frac{17}{24}$ және $2\frac{5}{12} + 3{,}97t$; 3) $0{,}32x - 0{,}09$ және $0{,}3 - 0{,}2^2x$; 4) $0{,}52 \cdot 10x + 1$ және $0{,}42 \cdot 10x + 0{,}1$ өрнектерінің мәндері тең болады?

Қалай ойлаймыз. Өрнектерді теңестіріп, теңдеуді шешеміз.

Шешуі.

1. $6\frac{2}{6}z - 5\frac{1}{6}z = 3\frac{1}{6} - 4\frac{1}{7}$; $\frac{7}{6}z = \frac{133 - 174}{42} = -\frac{41}{42}$; $z = -\frac{41}{42} \cdot \frac{6}{7} = -\frac{41}{49}$.
2. $0{,}08t = \frac{58}{24} + \frac{17}{24} = \frac{25}{8} = 3{,}125$; $t = 3{,}125 : 0{,}08 = 39{,}0625 = 39\frac{1}{16}$.
3. $0{,}2^2 = 0{,}04$: $0{,}32x + 0{,}04x = 0{,}39$; $0{,}36x = 0{,}39$; $x = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.
4. $5{,}2x + 1 = 4{,}2x + 0{,}1$; $x = -0{,}9$.

Жауабы: 1) $-\frac{41}{49}$; 2) $39\frac{1}{16}$; 3) $1\frac{1}{12}$; 4) $-0{,}9$.

№ 854

Айнымалының қандай мәнінде: 1) $2x - 0{,}5$ өрнегінің мәні $x + 1{,}2$ өрнегінің мәнінен 7-ге артық; 2) $\frac{4}{11}y + 11{,}5$ өрнегінің мәні $y - 1{,}2$ өрнегінің мәнінен $2{,}3$-ке кем; 3) $2\frac{2}{3}t - 10{,}5$ өрнегінің мәні $2t + 9{,}8$ өрнегінің мәнінен 6 есе кем; 4) $42{,}2x - 3$ өрнегінің мәні $x + 10$ өрнегінің мәнінен 5 есе кем болады?

Қалай ойлаймыз. «7-ге артық» — айырымы 7. «6 есе кем» — кішісін 6-ға көбейткенде үлкені шығады.

Шешуі.

1. $(2x - 0{,}5) - (x + 1{,}2) = 7$; $x - 1{,}7 = 7$; $x = 8{,}7$.
2. $\frac{4}{11}y + 11{,}5 + 2{,}3 = y - 1{,}2$; $15 = \frac{7}{11}y$; $y = \frac{165}{7} = 23\frac{4}{7}$.
3. $t = 5{,}2$ (жоғарыдағы қадамдар бойынша).
4. $5(42{,}2x - 3) = x + 10$; $211x - 15 = x + 10$; $210x = 25$; $x = \frac{5}{42}$.

Жауабы: 1) $8{,}7$; 2) $23\frac{4}{7}$; 3) $5{,}2$; 4) $\frac{5}{42}$.

C деңгейі

№ 855

Айнымалының қандай мәнінде $19\frac{7}{8} - (7x + 0{,}125)$ өрнегінің мәні $49{,}75 + 8(x - 37{,}5)$ өрнегінің мәніне тең?

Шешуі. $19{,}875 - 7x - 0{,}125 = 49{,}75 + 8x - 300$; $19{,}75 - 7x = -250{,}25 + 8x$; $270 = 15x$; $x = 18$.

Жауабы: 18.

№ 856

Берілген теңдеулерді шешіп, Ақмола облысында орналасқан Қорғалжын қорығы туралы мәліметтер аласыңдар. 1) $(16x - 170) + 2(7x - 165) = 85x + 1400 - (56x - 58)$ теңдеуінің түбірі — қорықтың құрылған жылын; 2) $1350 + 5(y + 100) = 15(y - 10) - 589$ теңдеуінің түбірі — қорықтың ауданын (мың га); 3) $9(z - 73) - 8(z + 375) = 238 - 11(z - 7)$ теңдеуінің түбірі — қорықтағы өсімдіктер түрінің санын; 4) $17(x + 13) - 19(x - 21) + 249 = 25(5x - 53) - 3(7x + 576)$ теңдеуінің түбірі — қорықтағы бауырымен жорғалаушылар түрінің санын; 5) $8(y - 325) - 17(y + 940) = 6(1096 - y) - 94(y - 17)$ теңдеуінің түбірі — қорықтағы құстар түрінің санын; 6) $85z - 27 - 19(1 + z) = 43(1 - z) + 91 + 91z$ теңдеуінің түбірі қорықтағы балықтар түрінің санын көрсетеді.

Қалай ойлаймыз. Ұзақ, бірақ бәрі жоспар бойынша. Ақыл көмектеседі: жыл жылға ұқсауы керек, ал түрдің саны бүтін сан болуы керек.

Шешуі.

1. $30x - 500 = 29x + 1458$; $x = 1958$.
2. $1850 + 5y = 15y - 739$; $2589 = 10y$; $y = 258{,}9$.
3. $z - 3657 = 315 - 11z$; $12z = 3972$; $z = 331$.
4. $-2x + 869 = 104x - 3053$; $3922 = 106x$; $x = 37$.
5. $-9y - 18,580 = -100y + 8174$; $91y = 26,754$; $y = 294$.
6. $66z - 46 = 48z + 134$; $18z = 180$; $z = 10$.

Жауабы: 1) 1958 жыл; 2) $258{,}9$ мың га; 3) 331 түр өсімдік; 4) 37 түр бауырымен жорғалаушы; 5) 294 түр құс; 6) 10 түр балық.

🌟 Қорғалжын — қызғылт қоқиқаз ұя салатын әлемдегі ең солтүстік орын. Қорық көрші Наурзыммен бірге ЮНЕСКО-ның «Сарыарқа» Дүниежүзілік мұралар тізіміне енген.

№ 857

$a$-ның берілген мәнінде теңдеудің түбірі бола ма: 1) $8x - a = 8x - 9$, мұндағы $a = 9{,}5$; 2) $3{,}6t + a = 0{,}6t + 10$, мұндағы $a = 10$; 3) $ax + 41{,}3 = x + 0{,}3$, мұндағы $a = 1$; 4) $x(x - a) = 0$, мұндағы $a = 4$? Егер теңдеудің түбірі болмаса, онда теңдеудің түбірі болатындай $a$-ның мәнін көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. $a$-ны қойып, көшіргеннен кейін не қалатынын қараймыз.

Шешуі.

1. $8x - 9{,}5 = 8x - 9$; $0 \cdot x = 0{,}5$ — түбірі жоқ. $a = 9$ болғанда $0 \cdot x = 0$ шығады — кез келген $x$ жарайды.
2. $3{,}6t + 10 = 0{,}6t + 10$; $3t = 0$; $t = 0$ — түбірі бар.
3. $x + 41{,}3 = x + 0{,}3$; $0 \cdot x = -41$ — түбірі жоқ. $a \ne 1$ болатын кез келген $a$ үшін түбір бар; мысалы, $a = 2$: $2x - x = 0{,}3 - 41{,}3$, $x = -41$.
4. $x(x - 4) = 0$; түбірлері 0 және 4 — бар.

Жауабы: 1) жоқ, $a = 9$ болғанда түбірлер болады; 2) бар ($t = 0$); 3) жоқ, $a \ne 1$ болатын кез келген $a$ үшін түбір болады, мысалы $a = 2$; 4) бар (0 және 4).

№ 858

Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеулерді шешуді қарастыру тарихы бойынша хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. 2–3 қызықты дерек пен бір көне есепті тап.

Шешуі. Хабарлама үлгісі: «Біздің заманымызға дейінгі 1650 жыл шамасында мысырлық хатшы Ахмес есептер жазылған папирусты көшіріп жазды (Ринд папирусы). Онда белгісізді «хау» — «үйме» деп атаған. Сол папирустағы бір есеп: «Үйме мен оның жетіден бір бөлігі 19 болады. Үйменің мөлшерін тап». Қазір біз оны $x + \frac{1}{7}x = 19$ деп жазар едік, сонда $\frac{8}{7}x = 19$ және $x = 16\frac{5}{8}$. Вавилондықтар мұндай есептерді сазды тақтайшаларда шешкен. Ал белгісізді әріппен белгілеуді тек XVI–XVII ғасырларда енгізді».

Жауабы: хабарлама үлгісі жоғарыда.

Қайталаймыз

№ 859

Координаталық түзуде белгіленген нүктелердің координаталарын жазыңдар (56-сурет). Суретте кескінделген: 1) нүктелердің қайсысы координаталар басына жақын орналасқан? 2) нүктелердің қайсысы координаталар басынан алшақ орналасқан? 3) нүктелердің қайсысы координаталар басынан бірдей қашықтықта орналасқан?

Суретте бірлік кесінді — 3 тор көз (0-ден 3-ке дейін дәл 9 тор көз). Демек, бір тор көз — $\frac{1}{3}$. Кез келген бөлікті басып, координатаны тексер.

Қалай ойлаймыз. $O$ нүктесінен бастап тор көздерді санап, 3-ке бөлеміз. Координаталар басына дейінгі қашықтық — координатаның модулі.

Шешуі. $K\left(-2\frac{2}{3}\right)$, $F\left(-2\frac{1}{3}\right)$, $E\left(-1\frac{1}{3}\right)$, $T\left(-\frac{1}{3}\right)$, $O(0)$, $B\left(\frac{2}{3}\right)$, $C(1)$, $D(2)$, $A\left(3\frac{2}{3}\right)$.

1. Координаталар басына (өзі $O$-дан басқа) ең жақыны — $T$ нүктесі: оған дейін $\frac{1}{3}$.
2. Ең алыс — $A$ нүктесі: оған дейін $3\frac{2}{3}$.
3. Модульдерін салыстырамыз: $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, 1, $1\frac{1}{3}$, 2, $2\frac{1}{3}$, $2\frac{2}{3}$, $3\frac{2}{3}$. Бірдей модуль жоқ, демек суретте мұндай нүктелер жоқ. Нүктелер 0-ге қатысты симметриялы тұрса, жұп болар еді, мысалы $\frac{2}{3}$ және $-\frac{2}{3}$.

Жауабы: $K\left(-2\frac{2}{3}\right)$, $F\left(-2\frac{1}{3}\right)$, $E\left(-1\frac{1}{3}\right)$, $T\left(-\frac{1}{3}\right)$, $O(0)$, $B\left(\frac{2}{3}\right)$, $C(1)$, $D(2)$, $A\left(3\frac{2}{3}\right)$; 1) $T$; 2) $A$; 3) мұндай нүктелер жоқ.

№ 860

1) Ауданы $128$ см$^2$, ені ұзындығының $50%$-ын құрайтын тіктөртбұрыштың ұзындығын табыңдар. 2) Периметрі $11\frac{3}{7}$ см, ені ұзындығының $\frac{1}{7}$-іне тең тіктөртбұрыштың ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ұзындықты әріппен белгіле — теңдеу шығады.

Шешуі.

1. Ұзындығы $a$, ені $0{,}5a$. $a \cdot 0{,}5a = 128$, $a \cdot a = 256$, $a = 16$ см (өйткені $16 \cdot 16 = 256$).
2. Ұзындығы $a$, ені $\frac{1}{7}a$. $2\left(a + \frac{1}{7}a\right) = \frac{80}{7}$; $\frac{16}{7}a = \frac{80}{7}$; $a = 5$ см.

Жауабы: 1) 16 см; 2) 5 см.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 861

1) $a = -8{,}9$ және $b = -6{,}2$ болса, онда $|a| + 2|b| - 3|a - b|$; 2) $x = 0{,}5$ болса, онда $|-x| + |x| + |-x^2| + |-x^3|$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Модуль — нөлге дейінгі қашықтық, ол әрқашан нөлден кем емес. Алдымен ішіндегісін есептейміз, сосын минусты алып тастаймыз.

Шешуі.

1. $|a| = 8{,}9$; $2|b| = 12{,}4$; $a - b = -8{,}9 + 6{,}2 = -2{,}7$, $3 \cdot 2{,}7 = 8{,}1$. Нәтиже: $8{,}9 + 12{,}4 - 8{,}1 = 13{,}2$.
2. $0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 = 1{,}375$.

Жауабы: 1) $13{,}2$; 2) $1{,}375$.

Жадынама

• Сызықтық теңдеу: $ax = b$.
• Сызықтық теңдеудің дәл екі түбірі болмайды.
• $x$-тер қысқарып кетті ме? Қалғанына қара: $0 = 0$ — кез келген сан, $0 = 5$ — түбірі жоқ.
• $\varnothing$ — бос жиын, «түбірі жоқ».

Шағын тест