§ 30. Айнымалысы модуль таңбасының ішінде берілген бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 4 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу. 23–26-беттер.

Нені үйренесің

• $|x| = a$ түріндегі теңдеулерді шешуді және олардың неге екі түбірі, бір түбірі немесе мүлде түбірі болмайтынын түсінуді.
• $15|x| = 30$ сияқты теңдеулерді қарапайым $|x| = 2$ түріне келтіруді.
• Жауапты жиын түрінде жазуды: ${-2; 2}$.
• Санның модулі бар теңдеудің түбірі болатын-болмайтынын тексеруді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 861 тапсырмалары. Есіңе түсір: санның модулі — нөлден қашықтығы, ол ешқашан теріс болмайды.

• $|7|$, $|-7|$ және $|0|$ неге тең? $7$, $7$ және $0$.
• $a = -8{,}9$ және $b = -6{,}2$ болғанда $|a| + 2|b| - 3|a - b|$ өрнегін тап. $a - b = -2{,}7$. Сонда $8{,}9 + 12{,}4 - 3 \cdot 2{,}7 = 21{,}3 - 8{,}1 = $ 13,2.
• $x = 0{,}5$ болғанда $|-x| + |x| + |-x^2| + |-x^3|$ өрнегін тап. $0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 = $ 1,375.
• Модулі 4 болатын қандай екі сан бар? $4$ және $-4$.

💡 Соңғы сұрақ — дәл $|x| = 4$ теңдеуі! Сен оны жаңа ғана ауызша шештің.

Тақырыпты талдаймыз

Неге $|3| = 3$ және $|-3| = 3$

Модуль — санның координаталық түзудегі нөлден қашықтығы. 0 нүктесінен оңға да 3 қадам, солға да 3 қадам жасауға болады. Қашықтық бірдей — 3. Сондықтан модуль минус таңбасын «өшіреді».

Мына ереже жұмыс істейді:

📌 Егер $x \ge 0$ болса, онда $|x| = x$. Егер $x < 0$ болса, онда $|x| = -x$ (минус пен минус плюс береді: $|-3| = -(-3) = 3$).

Екі жауабы бар теңдеу

$|x| = 7$ теңдеуін шеш. Нөлден 7 қашықтықта қандай нүктелер тұр? Бір нүктені табу оңай, ал екіншісін өзің қой.

Екі жағдайды қарастырамыз:

1. Егер $x \ge 0$ болса, онда $|x| = x$ және теңдеу $x = 7$ болады.
2. Егер $x < 0$ болса, онда $|x| = -x$ және $-x = 7$ шығады, яғни $x = -7$.

Екі түбір бар. Оларды фигуралық жақшада жазады: ${-7; 7}$. Бұл — теңдеудің шешімдер жиыны.

$|x| = a$ теңдеуінің неше түбірі бар

• $a > 0$ — екі түбір: $a$ және $-a$. Мысалы, $|x| = 5$ теңдеуінің жауабы ${-5; 5}$.
• $a = 0$ — бір түбір: $x = 0$.
• $a < 0$ — түбірі жоқ. Қашықтық теріс болмайды!

⚠️ Жиі кететін қате. $|x| = 2$ теңдеуін шығарып, тек $x = 2$ деп жазады да, $-2$-ні жоғалтып алады. Әр жолы өзіңнен сұра: «Минуспен де жарай ма?»

Модульдер бірнешеу болғанда

Мысал: $-|x| + 12|x| - 24{,}3 = 5{,}7 - 4|x|$. $|x|$-ке бір «қорап» ретінде қара. Онымен сызықтық теңдеудегі айнымалымен істейтіннің бәрін істеуге болады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан алдымен теңдеуді $|x| = \text{сан}$ түріне келтіріп, содан кейін ғана модульді «ашуын» сұраңыз. Оң жақтағы сан теріс болса, түбірі жоқ — бұл зейінді тексерудің жақсы тәсілі.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Теріс санның модулі неге оң сан болады? Модуль — нүктенің нөлден қашықтығы, ал қашықтық әрқашан оң (немесе 0). Мысалы, $|-5| = 5$: нөлге дейін 5 қадам.
• $x$-тің қандай мәндерінде $|x| = x$ тура болады? Барлық $x \ge 0$ үшін: нөл және оң сандар.
• **$a > 0$, $a < 0$, $a = 0$ болғанда $|x| = a$ теңдеуінің неше шешімі бар?** $a > 0$ болғанда — екеу ($a$ және $-a$), $a < 0$ болғанда — ешқайсысы жоқ, $a = 0$ болғанда — біреу ($x = 0$).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 862

1; $1{,}7$; $5{,}7$; $-1{,}7$; $-5{,}7$; 2 сандарының арасынан: 1) $|x| = 1{,}7$; 2) $|x + 2| = 3{,}7$ теңдеуінің түбірлері болатын сандарды теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр санды қойып, модульді есептейміз.

Шешуі.

1. $|x| = 1{,}7$ — $1{,}7$ және $-1{,}7$ жарайды.
2. $|x + 2| = 3{,}7$: $x = 1{,}7$ болғанда $|3{,}7| = 3{,}7$ ✓; $x = -5{,}7$ болғанда $|-3{,}7| = 3{,}7$ ✓. Қалғандары жарамайды: мысалы, $|1 + 2| = 3$.

Жауабы: 1) $1{,}7$ және $-1{,}7$; 2) $1{,}7$ және $-5{,}7$.

№ 863

Қай теңдеудің түбірі 5 болады: 1) $|x| = 5$; 2) $|x| = 0{,}5$; 3) $|x| = \frac{1}{5}$; 4) $|x + 3| = 8$; 5) $|11 - x| = 6$; 6) $|x + 1| = 5$?

Қалай ойлаймыз. $x = 5$ қойып, сол жағын оң жағымен салыстырамыз.

Шешуі.

1. $|5| = 5$ — иә.
2. $5 \ne 0{,}5$ — жоқ.
3. $5 \ne \frac{1}{5}$ — жоқ.
4. $|5 + 3| = 8$ — иә.
5. $|11 - 5| = 6$ — иә.
6. $|5 + 1| = 6 \ne 5$ — жоқ.

Жауабы: иә — 1), 4), 5); жоқ — 2), 3), 6).

№ 864

Қай теңдеудің түбірі $-\frac{8}{11}$-ге тең: 1) $|x| = \frac{8}{11}$; 2) $|x| = \frac{11}{8}$; 3) $\left|x - \frac{3}{11}\right| = 1$; 4) $|11x| = 8$; 5) $|x + 1| = \frac{3}{11}$; 6) $|x - 1| = \frac{3}{11}$?

Шешуі.

1. $\left|-\frac{8}{11}\right| = \frac{8}{11}$ — иә.
2. $\frac{8}{11} \ne \frac{11}{8}$ — жоқ.
3. $-\frac{8}{11} - \frac{3}{11} = -1$, $|-1| = 1$ — иә.
4. $11 \cdot \left(-\frac{8}{11}\right) = -8$, $|-8| = 8$ — иә.
5. $-\frac{8}{11} + 1 = \frac{3}{11}$ — иә.
6. $-\frac{8}{11} - 1 = -1\frac{8}{11}$, модулі $1\frac{8}{11} \ne \frac{3}{11}$ — жоқ.

Жауабы: иә — 1), 3), 4), 5); жоқ — 2), 6).

№ 865

Теңдеуді шешіңдер: 1) $|x| = 53$; 2) $|x| = 300{,}7$; 3) $|x| = 19\frac{7}{17}$.

Қалай ойлаймыз. Оң жағында оң сан тұр — демек, екі түбір бар, олар тек таңбасымен ерекшеленеді.

Шешуі. 1) ${-53; 53}$; 2) ${-300{,}7; 300{,}7}$; 3) $\left{-19\frac{7}{17}; 19\frac{7}{17}\right}$.

Жауабы: 1) $\pm 53$; 2) $\pm 300{,}7$; 3) $\pm 19\frac{7}{17}$.

№ 866

Қай теңдеудің түбірі болмайды: 1) $|x| = 3\frac{11}{18}$; 2) $|x| - 19{,}2 = 0$; 3) $|x| + 45 = 0$?

Қалай ойлаймыз. Алдымен $|x|$-ті жалғыз қалдыр, сосын оң жақтағы санның таңбасына қара.

Шешуі.

1. Оң жақтағы сан оң — екі түбір бар: $\pm 3\frac{11}{18}$.
2. $|x| = 19{,}2$ — екі түбір бар: $\pm 19{,}2$.
3. $|x| = -45$ — модуль теріс болмайды, түбірі жоқ.

Жауабы: 3) теңдеудің түбірі болмайды; 1) және 2) теңдеулердің түбірлері бар.

№ 867

Теңдеудің түбірлерін табыңдар: 1) $|x| + 20{,}9 = 22$; 2) $315 - |x| = 288$; 3) $|x| - 74{,}6 = 9{,}4$; 4) $15\frac{2}{15} - |x| = 7\frac{1}{12}$; 5) $|x| - 21{,}9 = 6\frac{2}{3}$; 6) $100{,}3 + |x| = 101\frac{8}{9}$.

Қалай ойлаймыз. $|x|$ — белгісіз қосылғыш немесе азайтқыш. Оны тауып, содан кейін екі түбірді жазамыз.

Шешуі.

1. $|x| = 22 - 20{,}9 = 1{,}1$; $x = \pm 1{,}1$.
2. $|x| = 315 - 288 = 27$; $x = \pm 27$.
3. $|x| = 9{,}4 + 74{,}6 = 84$; $x = \pm 84$.
4. $|x| = 15\frac{2}{15} - 7\frac{1}{12} = 15\frac{8}{60} - 7\frac{5}{60} = 8\frac{3}{60} = 8\frac{1}{20} = 8{,}05$; $x = \pm 8{,}05$.
5. $|x| = 21\frac{9}{10} + 6\frac{2}{3} = 27\frac{47}{30} = 28\frac{17}{30}$; $x = \pm 28\frac{17}{30}$.
6. $|x| = 101\frac{8}{9} - 100\frac{3}{10} = 1\frac{80 - 27}{90} = 1\frac{53}{90}$; $x = \pm 1\frac{53}{90}$.

Жауабы: 1) $\pm 1{,}1$; 2) $\pm 27$; 3) $\pm 84$; 4) $\pm 8{,}05$; 5) $\pm 28\frac{17}{30}$; 6) $\pm 1\frac{53}{90}$.

№ 868

Теңдеуді шешіңдер: 1) $12|x| = 1{,}2$; 2) $225 : |x| = 1{,}5$; 3) $-4{,}84 : |x| = -4{,}4$; 4) $5|x| + 6\frac{11}{26} = 7$; 5) $3|x| : 13{,}2 = \frac{1}{33}$; 6) $79 + 4 : |x| = 81{,}8$.

Қалай ойлаймыз. Кәдімгі белгісіз көбейткіш немесе бөлгіш сияқты әрекет етеміз.

Шешуі.

1. $|x| = 1{,}2 : 12 = 0{,}1$.
2. $|x| = 225 : 1{,}5 = 150$.
3. $|x| = -4{,}84 : (-4{,}4) = 1{,}1$.
4. $5|x| = 7 - 6\frac{11}{26} = \frac{15}{26}$, $|x| = \frac{15}{26} : 5 = \frac{3}{26}$.
5. $3|x| = 13{,}2 \cdot \frac{1}{33} = 0{,}4$, $|x| = \frac{0{,}4}{3} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.
6. $4 : |x| = 81{,}8 - 79 = 2{,}8$, $|x| = 4 : 2{,}8 = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.

Жауабы: 1) ${-0{,}1; 0{,}1}$; 2) ${-150; 150}$; 3) ${-1{,}1; 1{,}1}$; 4) $\left{-\frac{3}{26}; \frac{3}{26}\right}$; 5) $\left{-\frac{2}{15}; \frac{2}{15}\right}$; 6) $\left{-1\frac{3}{7}; 1\frac{3}{7}\right}$.

B деңгейі

№ 869

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3|x| + |x| = 20$; 2) $5|x| - 3|x| = 33$; 3) $19|x| - 17 = 16|x|$; 4) $42 - 63|x| = 65|x|$.

Қалай ойлаймыз. Ұқсастарын біріктіреміз: $|x|$ кәдімгі айнымалы сияқты жүреді.

Шешуі.

1. $4|x| = 20$, $|x| = 5$.
2. $2|x| = 33$, $|x| = 16{,}5$.
3. $19|x| - 16|x| = 17$, $3|x| = 17$, $|x| = 5\frac{2}{3}$.
4. $42 = 65|x| + 63|x|$, $128|x| = 42$, $|x| = \frac{42}{128} = \frac{21}{64}$.

Жауабы: 1) ${-5; 5}$; 2) ${-16{,}5; 16{,}5}$; 3) $\left{-5\frac{2}{3}; 5\frac{2}{3}\right}$; 4) $\left{-\frac{21}{64}; \frac{21}{64}\right}$.

№ 870

Теңдеудің түбірлер жиынын табыңдар: 1) $|x| + 5|x| - 40 = 4|x|$; 2) $100 - |x| = -49|x| + 124$; 3) $6|x| - 2|x| = 35 - 16|x|$; 4) $29|x| - |x| - 13 = -22|x|$.

Шешуі.

1. $6|x| - 4|x| = 40$, $2|x| = 40$, $|x| = 20$.
2. $48|x| = 24$, $|x| = \frac{1}{2}$.
3. $4|x| + 16|x| = 35$, $20|x| = 35$, $|x| = 1{,}75$.
4. $28|x| + 22|x| = 13$, $50|x| = 13$, $|x| = 0{,}26$.

Жауабы: 1) ${-20; 20}$; 2) $\left{-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right}$; 3) ${-1{,}75; 1{,}75}$; 4) ${-0{,}26; 0{,}26}$.

№ 871

$x$-тің қандай мәндерінде теңдік тура болады: 1) $|x + 1| = x + 1$; 2) $|2 - x| = 2 - x$?

Қалай ойлаймыз. $|A| = A$ тек $A \ge 0$ болғанда ғана (сабақтың басындағы ережені қара).

Шешуі.

1. $x + 1 \ge 0$ керек, яғни $x \ge -1$.
2. $2 - x \ge 0$ керек, яғни $x \le 2$.

Жауабы: 1) $x \ge -1$ болғанда; 2) $x \le 2$ болғанда.

C деңгейі

№ 872

$a$-ның қандай мәнінде $|10 - x| = a$ теңдеуінің: 1) түбірі болады; 2) түбірі болмайды; 3) түбірі нөлге тең; 4) түбірі 10-ға тең болады?

Қалай ойлаймыз. Қиындығы жоғары есеп. $|10 - x|$ — $x$ және $10$ нүктелерінің арасындағы қашықтық. Ол теріс болмайды.

Шешуі.

1. Түбірлер болады, егер $a \ge 0$ (мұнда $a > 0$ болғанда — екеу, $a = 0$ болғанда — біреу).
2. Түбірлер болмайды, егер $a < 0$.
3. $x = 0$ қоямыз: $|10 - 0| = 10$, демек $a = 10$. (Сонда екінші түбір 20.)
4. $x = 10$ қоямыз: $|10 - 10| = 0$, демек $a = 0$. Түбір жалғыз.

Жауабы: 1) $a \ge 0$; 2) $a < 0$; 3) $a = 10$; 4) $a = 0$.

Қайталаймыз

№ 873

$\left(4\frac{5}{12} : 44\frac{1}{6} - 2{,}6\right) : 7{,}5 - 2{,}25 \cdot 2\frac{4}{9}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $4\frac{5}{12} : 44\frac{1}{6} = \frac{53}{12} \cdot \frac{6}{265} = \frac{53}{530} = 0{,}1$.
2. $0{,}1 - 2{,}6 = -2{,}5$.
3. $-2{,}5 : 7{,}5 = -\frac{1}{3}$.
4. $2{,}25 \cdot 2\frac{4}{9} = \frac{9}{4} \cdot \frac{22}{9} = \frac{22}{4} = 5{,}5$.
5. $-\frac{1}{3} - 5\frac{1}{2} = -\frac{2}{6} - 5\frac{3}{6} = -5\frac{5}{6}$.

Жауабы: $-5\frac{5}{6}$.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда $-5\frac{1}{6}$ тұр, бірақ дұрысы — $-5\frac{5}{6}$: $-5\frac{1}{6}$ амалдардың ешбір ретімен шықпайды.

№ 874

$x$ айнымалысының орнына қойғанда $8{,}13 < x \le 13{,}909$ теңсіздігі тура болатындай барлық: 1) натурал сандарды; 2) жұп сандарды; 3) тақ сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 8,13-тен қатаң үлкен бүтін сандар 9-дан басталады, ал 13,909-дан аспайтындары 13-пен бітеді.

Шешуі. Натурал сандар: 9, 10, 11, 12, 13. Олардың ішінде жұптары: 10, 12. Тақтары: 9, 11, 13.

Жауабы: 1) 9; 10; 11; 12; 13; 2) 10; 12; 3) 9; 11; 13.

№ 875

57-суретте көрсетілген нүктелердің координаталары неге тең? Суретте көрсетілген: 1) $A$ және $D$ нүктелерінің арасында; 2) $B$ нүктесінің сол жағында; 3) $C$ нүктесінің оң жағында орналасқан екі нүктенің координатасын жазыңдар.

Суретте бірлік кесінді — 2 тор көз. $A$ — нөлден 6 тор көз солда, $B$ — 3 тор көз солда, $D$ — 6 тор көз оңда, $C$ — 9 тор көз оңда.

Қалай ойлаймыз. Тор көздің санын 2-ге бөлеміз — координата шығады.

Шешуі. $A(-3)$, $B(-1{,}5)$, $O(0)$, $D(3)$, $C(4{,}5)$. Нүктелердің мысалдары:

1. $A$ мен $D$ арасында: $-1$ және $2$.
2. $B$-дан солда: $-2$ және $-4$.
3. $C$-дан оңда: $5$ және $6$.

Жауабы: $A(-3)$, $B(-1{,}5)$, $D(3)$, $C(4{,}5)$; мысалы, 1) $-1$; $2$; 2) $-2$; $-4$; 3) $5$; $6$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 876

1) 2007 жылы Жамбыл облысында $302,433{,}231$ т қант өндірілген. Бұл сол жылы республикада өндірілген қант мөлшерінің $77{,}1%$-ын құрайды. 2007 жылы елімізде қанша тонна қант өндірілген? 2) Апалы-сіңлілі үш қыз 12 кәмпитті бөлгенде ең кішісіне ең үлкен апасына қарағанда 3 есе артық, ортаңғы сіңлісіне 2 есе артық кәмпит келді. Қыздардың әрқайсысында қанша кәмпит бар? 3) Аралығы 200 км екі мекеннен бір-біріне қарама-қарсы бағытта екі көлік шықты. Бірінші көліктің жылдамдығы $a$ км/сағ, екінші көліктің жылдамдығы $b$ км/сағ. а) $3a$; ә) $2b$; б) $a + b$; в) $200 : a$; г) $200 : b$; ғ) $200 : (a + b)$ өрнектері нені білдіреді? 4) Бірінші бригада $x$ тетік, екінші бригада біріншіге қарағанда 7 тетікке артық, үшінші бригада екі бригаданың жасаған тетіктер санынан 10 тетік кем дайындаған. Келесі өрнектерді жазыңдар: а) екінші бригаданың дайындаған тетіктер саны; ә) үшінші бригаданың дайындаған тетіктер саны; б) барлық дайындалған тетіктер саны.

Қалай ойлаймыз. Бұл — келесі сабаққа ой қозғау: есептің сөздерін өрнектер тіліне қалай аударамыз.

Шешуі.

1. Барлық мөлшер — 100%. Санды оның пайызы бойынша табамыз: $302,433{,}231 : 0{,}771 = 392,261$ т.
2. Үлкені — $x$, ортаңғысы — $2x$, кішісі — $3x$: $x + 2x + 3x = 12$, $6x = 12$, $x = 2$. Үлкен апада — 2, ортаңғысында — 4, кішісінде — 6 кәмпит.
3. а) $3a$ — бірінші көліктің 3 сағатта жүрген жолы; ә) $2b$ — екінші көліктің 2 сағатта жүрген жолы; б) $a + b$ — жақындасу жылдамдығы; в) $200 : a$ — бірінші көліктің барлық 200 км-ді неше сағатта жүріп өтетіні; г) $200 : b$ — екінші көлік үшін де осы; ғ) $200 : (a + b)$ — көліктердің неше сағаттан кейін кездесетіні.
4. а) $x + 7$; ә) $x + (x + 7) - 10 = 2x - 3$; б) $x + (x + 7) + (2x - 3) = 4x + 4$.

Жауабы: 1) 392 261 т; 2) 2, 4 және 6 кәмпит; 3) шешуін қара; 4) $x + 7$; $2x - 3$; $4x + 4$.

Жадынама

• Алдымен теңдеуді $|x| = \text{сан}$ түріне келтіреміз, $|x|$-пен айнымалымен істегендей жұмыс істейміз.
• Оң жақтағы сан оң болса — екі түбір, нөл болса — бір түбір, теріс болса — түбірі жоқ.
• Жауапты фигуралық жақшадағы жиын түрінде жазамыз: ${-2; 2}$.
• $|A| = A$ тек $A \ge 0$ болғанда ғана тура.

Шағын тест