§ 4. Мәтінді есептерді пропорцияның көмегімен шығару

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 1 тарау: Қатынас және пропорция. 39–48-беттер.

Нені үйренесің

• Пропорцияның көмегімен санның пайызын және пайызы бойынша санды табуды.
• Санды берілген қатынаста бөлуді, мысалы, 80 тетікті $4 : 6$ қатынасында.
• Дөңгелек диаграмма салуды: әр сектордың градустық шамасын есептеуді.
• Санды берілген сандарға кері пропорционал бөліктерге бөлуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 173–175 тапсырмалары. Ойша жауап бер.

• 160-тың 25%-ы неше болады? $160 : 4 = 40$.
• 20%-ы 7-ге тең сан қандай? 20% — бестен бір бөлік, демек, сан $7 \cdot 5 = 35$.
• Массасы 50 кг адам денесінің шамамен 64%-ы судан тұрады. Бұл неше килограмм? $50 \cdot 0{,}64 = 32$ кг.
• Дөңгелекті 160°, 120°, 50° және 30° секторларға бөлуге бола ма? Иә: $160 + 120 + 50 + 30 = 360^\circ$ — бүкіл дөңгелек.

💡 Бүкіл дөңгелек — 360°, яғни 100%. Бүгін осының негізінде дөңгелек диаграммалар саламыз.

Тақырыпты талдаймыз

Пайызды пропорция арқылы табамыз

700 санының 4%-ын қалай табамыз? Екі тәсілді білесің: $700 \cdot 0{,}04 = 28$ немесе $700 : 100 \cdot 4 = 28$. Міне, үшінші тәсіл — пропорция арқылы.

Жауабын $x$ әрпімен белгілейік. 700 саны — 100%, ал $x$ — 4%. 1%-ға $\frac{700}{100}$ да, $\frac{x}{4}$ те сәйкес келеді. Демек:

$\frac{x}{4} = \frac{700}{100}$, осыдан $100x = 4 \cdot 700$, $x = 28$.

Енді керісінше: санның 5%-ы 21-ге тең. Санның өзі $x$ — 100%. 1%-ға $\frac{x}{100} = \frac{21}{5}$ сәйкес келеді. Осыдан $5x = 2100$, $x = 420$.

📌 Пропорция арқылы қалай шығарамыз:

1. ізделінді санды $x$ әрпімен белгілейміз;
2. қай сан 100%-ды құрайтынын анықтаймыз;
3. 1%-ға сәйкес санды екі жолмен жазып, теңестіреміз;
4. пропорцияның негізгі қасиеті бойынша $x$-ті табамыз.

⚠️ Жиі кететін қате. «Жалақы 20%-ға өсіп, 54 000 тг болды — бұрын қанша болған?» Көпшілігі $54,000$-нан оның 20%-ын азайтады. Бұл қате! 100% — бастапқы жалақы, ал 54 000 — оның 120%-ы. Әрдайым өзіңнен сұра: пайызды қай саннан есептеп жатырмыз?

Санды берілген қатынаста бөлеміз

Сыныпта 25 оқушы бар, ұлдар мен қыздар саны $3 : 2$ қатынасындай. Ұлдар мен қыздар қанша?

1. Барлығы бөлік: $3 + 2 = 5$.
2. Бір бөлікке: $25 : 5 = 5$ оқушы.
3. Ұл: $5 \cdot 3 = 15$, қыз: $5 \cdot 2 = 10$.

📌 Санды $a : b$ қатынасында ($a$ және $b$ сандарына пропорционал) бөлу үшін оны $a + b$ қосындысына бөліп, нәтижесін $a$-ға және $b$-ға көбейту керек.

Дөңгелек диаграмма

Дөңгелек диаграммада 40 ц, 8 ц және 32 ц массаларды кескіндейік. Дөңгелекті, яғни 360°-ты, $40 : 8 : 32 = 5 : 1 : 4$ қатынасында бөлеміз.

1. Бөлік саны: $5 + 1 + 4 = 10$.
2. 1 бөлікке сәйкес: $360^\circ : 10 = 36^\circ$.
3. Секторлар: $36^\circ \cdot 5 = 180^\circ$, $36^\circ$ және $36^\circ \cdot 4 = 144^\circ$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Үйде транспортир болса, баламен бірге қағазға диаграмма салып көріңіз: «кім тәулігіне ұйқыға, мектепке, ойынға қанша уақыт жұмсайды». Бұл тақырыпты он есептен де жақсы бекітеді.

Кері пропорционал бөлу

15 адамнан тұратын топ тапсырманы орындау үшін 2 бригадаға бөлінді. Бірінші бригада барлық жұмысты 2 сағатта, екінші бригада 3 сағатта орындайды. Бригадалар бірдей өнімділікпен жұмыс жасаса, әр бригадада қанша адам болған?

Бригада жылдам болған сайын, оның адамы көбірек. Бір сағатта бірінші бригада жұмыстың $\frac{1}{2}$ бөлігін, екіншісі $\frac{1}{3}$ бөлігін орындайды. 15 санын $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 3 : 2$ қатынасында бөлеміз: бір бөлікке $15 : 5 = 3$, демек, 9 және 6 адам.

📌 Санды $a$ және $b$ сандарына кері пропорционал бөліктерге бөлу үшін оны $\frac{1}{a}$ және $\frac{1}{b}$ кері сандарына тура пропорционал бөл.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Пропорция арқылы пайызды тапқанда әріппен нені белгілейді? Ізделінді санды: санның бөлігін немесе санның өзін.
• Мұндай пропорцияның сол және оң жағы нені білдіреді? Екі жағы да бір нәрсені — 1%-ға сәйкес санды көрсетеді. Мысалы, $\frac{x}{4} = \frac{700}{100}$.
• 40 санын $2 : 5$ қатынасында қалай бөлуге болады? Бөлік саны $2 + 5 = 7$. Бір бөлік — $\frac{40}{7}$. Шығады: $\frac{80}{7} = 11\frac{3}{7}$ және $\frac{200}{7} = 28\frac{4}{7}$.
• 40 санын 2 және 5 сандарына тура пропорционал бөліктерге қалай бөлуге болады? Бұл $2 : 5$ қатынасында бөлумен бірдей: $11\frac{3}{7}$ және $28\frac{4}{7}$.
• Ал 2 және 5 сандарына кері пропорционал болса ше? Кері сандарды аламыз: $\frac{1}{2} : \frac{1}{5} = 5 : 2$. Бөліктер: $28\frac{4}{7}$ және $11\frac{3}{7}$ (үлкен бөлік 2 санына тиеді).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 176

Нан пісіруге қажет ұнның массасы піскен нан массасының 75%-ын құрайды. 1) 15 кг; 2) 480 кг; 3) 5 т ұннан қанша килограмм нан пісіруге болады?

Қалай ойлаймыз. 100% — нан, ұн — 75%. Санды пайызы бойынша іздейміз.

Шешуі. Пропорция $\frac{x}{100} = \frac{15}{75}$, яғни нан $=$ ұн $: 0{,}75$.

1. $15 : 0{,}75 = 20$ кг.
2. $480 : 0{,}75 = 640$ кг.
3. $5 : 0{,}75 = 6\frac{2}{3}$ т $\approx 6667$ кг.

Жауабы: 20 кг; 640 кг; $6\frac{2}{3}$ т.

№ 177

1) Үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы 5,5 см, қалған екеуі осы қабырға ұзындығының 75%-ын құрайды. Үшбұрыштың периметрін табыңдар. 2) Тіктөртбұрыштың ені 8 см, оның ұзындығы енінің 150%-ын құрайды. Тіктөртбұрыштың ауданы мен периметрін есептеңдер.

Шешуі.

1. $5{,}5 \cdot 0{,}75 = 4{,}125$ см. $P = 5{,}5 + 4{,}125 + 4{,}125 = 13{,}75$ см.
2. Ұзындығы $8 \cdot 1{,}5 = 12$ см. $P = 2 \cdot (12 + 8) = 40$ см, $S = 12 \cdot 8 = 96$ см².

Жауабы: 1) 13,75 см; 2) 40 см; 96 см².

№ 178

Зауыт он күнде 30 400 тетік шығарды. Бұл айлық жоспардың 38%-ын құрайды. Айлық жоспар бойынша қанша тетік шығарылуы керек?

Шешуі. $\frac{x}{100} = \frac{30,400}{38}$, $x = 30,400 \cdot 100 : 38 = 80,000$.

Жауабы: 80 000 тетік.

№ 179

Пойыз барлық жолдың 79%-ын құрайтын 760 км жол жүріп өтті. Пойыз барлығы қанша километр жол жүруі керек?

Шешуі. $x = 760 \cdot 100 : 79 = 76,000 : 79 \approx 962{,}03$ км.

Жауабы: шамамен 962 км.

№ 180

Жалақысы 20%-ға өскеннен кейін жұмысшы айына 54 000 тг алатын болды. Жұмысшының бастапқы жалақысы қанша болған?

Қалай ойлаймыз. Жаңа жалақы — ескісінің $100% + 20% = 120%$-ы.

Шешуі. $\frac{x}{100} = \frac{54,000}{120}$, $x = 54,000 : 1{,}2 = 45,000$ тг. Тексеру: $45,000 \cdot 1{,}2 = 54,000$ ✓.

Жауабы: 45 000 тг.

№ 181

1800 мектеп оқушыларының 75%-ы әртүрлі үйірмеге қатысады. Олардың 80%-ы спорт секцияларына барады. Қанша оқушы спорт секцияларына қатысады?

Шешуі. Үйірмелерде: $1800 \cdot 0{,}75 = 1350$. Олардың ішінде спортпен: $1350 \cdot 0{,}8 = 1080$.

Жауабы: 1080 оқушы.

⚠️ Жиі кететін қате. 80%-ды 1800-ден емес, үйірмеге қатысатындардан (1350-ден) аламыз.

№ 182

Бір ауысымда екі жұмысшы 80 тетік дайындады. Бірінші жұмысшының дайындаған тетік санының екінші жұмысшының дайындаған тетіктер санына қатынасы $4 : 6$. Әр жұмысшы қанша тетіктен дайындаған?

Шешуі. Бөлік саны $4 + 6 = 10$, біреуі — $80 : 10 = 8$. Біріншісі: $8 \cdot 4 = 32$, екіншісі: $8 \cdot 6 = 48$.

Жауабы: 32 және 48 тетік.

№ 183

Автокөлік бір қаладан екінші қалаға шықты. Бірінші күні ол 640 км, екінші күні бірінші күні жүрген жолдың 60%-ына тең жол жүрді. Автокөлік екі күнде қанша километр жүрген?

Шешуі. Екінші күні: $640 \cdot 0{,}6 = 384$ км. Барлығы $640 + 384 = 1024$ км.

Жауабы: 1024 км.

№ 184

$AOB$ бұрышы 150°. $BCM$ бұрышы $AOB$ бұрышының 30%-ын құрайды. $AOB$ және $BCM$ бұрыштарының қосындысы қанша градус?

Шешуі. $150 \cdot 0{,}3 = 45^\circ$. Қосындысы $150 + 45 = 195^\circ$.

Жауабы: 195°.

№ 185

1. 300 санының 7%-ын есептегенде қандай пропорция шығады? 2. 3%-ы 75-ке тең санды есептеу кезінде қандай пропорция шығады?

Шешуі.

1. $\frac{x}{7} = \frac{300}{100}$, осыдан $x = 21$.
2. $\frac{x}{100} = \frac{75}{3}$, осыдан $x = 2500$.

Жауабы: 1) $\frac{x}{7} = \frac{300}{100}$ ($x = 21$); 2) $\frac{x}{100} = \frac{75}{3}$ ($x = 2500$).

№ 186

1) Өздерің оқитын сыныптағы ұлдар мен қыздардың санын көрсететін дөңгелек диаграмманы салыңдар. 2) а) 25 ц, 40 ц және 15 ц; ә) 16 кг, 54 кг және 20 кг; б) 60 т, 90 т, 60 т, 50 т массаларды дөңгелек диаграммада кескіндеңдер.

Қалай ойлаймыз. 360°-ты берілген сандарға пропорционал бөлеміз: 360°-ты қосындыға бөліп, әр санға көбейтеміз.

Шешуі.

1. Әр сыныпта сандар өзінше. Мысалы, сыныпта 14 ұл және 11 қыз, барлығы 25. Бір оқушыға — $360 : 25 = 14{,}4^\circ$. Ұлдар: $14{,}4 \cdot 14 = 201{,}6^\circ$, қыздар: $14{,}4 \cdot 11 = 158{,}4^\circ$.
2. а) Қосындысы 80 ц, 1 ц-ге — $360 : 80 = 4{,}5^\circ$: $112{,}5^\circ$, $180^\circ$, $67{,}5^\circ$. ә) Қосындысы 90 кг, 1 кг-ға — $4^\circ$: $64^\circ$, $216^\circ$, $80^\circ$. б) Қосындысы 260 т, 1 т-ға — $360 : 260 \approx 1{,}385^\circ$: шамамен $83^\circ$, $125^\circ$, $83^\circ$, $69^\circ$.

Жауабы: а) 112,5°, 180°, 67,5°; ә) 64°, 216°, 80°; б) ≈ 83°, 125°, 83°, 69°.

№ 187

Еліміздің оңтүстігінде әр жылдары каналдар қазылған. Оның ішінде Шу каналының ұзындығы 39 км, Лепсі 70 км және Шыршық 86 км. Берілген шамаларды ондыққа дейін дөңгелектеңдер және оларды қолданып бағанды диаграмма салыңдар.

Шешуі. Дөңгелектейміз: 40 км, 70 км, 90 км. Енді бағандарды $40$, $70$ және $90$ бірлікке сәйкес бірдей масштабта саламыз. Бірақ сабақтың тақырыбына сай сектор бұрыштарын да көрейік: қосындысы 200 км, 1 км-ге — $360 : 200 = 1{,}8^\circ$. Секторлар: $40 \cdot 1{,}8 = 72^\circ$, $70 \cdot 1{,}8 = 126^\circ$, $90 \cdot 1{,}8 = 162^\circ$. Тексеру: $72 + 126 + 162 = 360$ — дұрыс.

Жауабы: дөңгелектенген ұзындықтар 40 км, 70 км, 90 км (бағандар осы биіктікте); дөңгелек диаграммада 72°, 126°, 162°.

№ 188

Турист екі күнде 33 км жол жүрген. Бірінші күні жүрген жолы ұзындығының екінші күні жүрген жолының ұзындығына қатынасы $5 : 6$. Турист әр күні қанша километр жол жүрген?

Шешуі. Бөлік саны $5 + 6 = 11$, бір бөлік — $33 : 11 = 3$ км. Бірінші күні: $3 \cdot 5 = 15$ км, екінші күні: $3 \cdot 6 = 18$ км.

Жауабы: 15 км және 18 км.

№ 189

Республикамыздың аумағында ауданы 54,7 км² болатын Қыпшак, ауданы 159 км² болатын Теңіз, ауданы 62,8 км² болатын Керей көлдері бар. Аталған көлдердің ауданын ондыққа дейін дөңгелектеп, дөңгелек диаграммаға салыңдар.

Шешуі. Дөңгелектейміз: 50, 160, 60 км². Қосындысы 270, 1 км²-ге — $360 : 270 = \frac{4}{3}^\circ$. Секторлар: $50 \cdot \frac{4}{3} = 66\frac{2}{3}^\circ$, $160 \cdot \frac{4}{3} = 213\frac{1}{3}^\circ$, $60 \cdot \frac{4}{3} = 80^\circ$.

Жауабы: шамамен 67°, 213°, 80°.

№ 190

Ақмола облысында ауданы 60 км² болатын Қожакөл, ауданы 58,1 км² болатын Шолақ Шалқар, ауданы 18,3 км² болатын Балықтыкөл, ауданы 16,1 км² болатын Ұялы Шалқар көлдері орналасқан. Аудандарды ондыққа дейін дөңгелектеңдер және осы аудандарды көрсететін дөңгелек диаграмманы салыңдар.

Шешуі. Дөңгелектейміз: 60, 60, 20, 20 км². Қосындысы 160, 1 км²-ге — $360 : 160 = 2{,}25^\circ$. Секторлар: $135^\circ$, $135^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.

Жауабы: 135°, 135°, 45°, 45°.

B деңгейі

№ 191

Бригада мүшелерінің еңбек өнімділігі бірдей. Олардың 4-еуі жұмысты 32 сағ орындайды. Жұмысшылар санын: 1) 2 есе кемітсе; 2) 2 есе арттырса; 3) 4 есе арттырса, жұмысты орындау үшін қанша жұмысшы керек?

Қалай ойлаймыз. Жұмысшылар саны мен уақыт кері пропорционал. Сұрақта «қанша жұмысшы» деп тұр, бірақ жұмысшы санын біз өзіміз өзгертеміз, ал өзгеретін шама — жұмыс уақыты. Сондықтан есепте жұмыстың қанша сағатқа созылатынын табамыз.

Шешуі. 1) Жұмысшы 2 есе аз — уақыт 2 есе көп: 64 сағ. 2) 2 есе көп — 16 сағ. 3) 4 есе көп — 8 сағ.

Жауабы: 64 сағ; 16 сағ; 8 сағ.

№ 192

1) 100 кг арпа 78 кг жүгеріге ауыстырылды. 190 т арпаны қанша тонна жүгеріге ауыстыруға болады? 2) 10 кг жүгеріден 13,4 кг жем дайындалады. 23,5 ц жүгеріден қанша центнер жем шығады?

Шешуі.

1. 100 кг арпа → 78 кг жүгері, демек, әр тонна арпа 0,78 т береді. $190 \cdot 0{,}78 = 148{,}2$ т.
2. 1 ц жүгеріден $13{,}4 : 10 = 1{,}34$ ц жем шығады. $23{,}5 \cdot 1{,}34 = 31{,}49$ ц.

Жауабы: 1) 148,2 т; 2) 31,49 ц.

№ 193

Қайнатпа жасау үшін 3 бөлік жидекке 2 бөлік қант қажет. Жидекті қайнату кезінде массаның 1,5 есе кемитінін ескеріп, 10 кг қайнатпа шығу үшін қанша килограмм қант және қанша килограмм жидек қажет болатынын табыңдар.

Шешуі.

1. Қайнатқанға дейінгі масса $10 \cdot 1{,}5 = 15$ кг болған.
2. Бөлік саны $3 + 2 = 5$, бір бөлік — $15 : 5 = 3$ кг.
3. Жидек $3 \cdot 3 = 9$ кг, қант $3 \cdot 2 = 6$ кг.

Жауабы: 9 кг жидек және 6 кг қант.

№ 194

1) $a = 17\frac{5}{6} : 15\frac{2}{7} : \frac{7}{90} + 25$ және $c = 29\frac{2}{9} : 20\frac{3}{13} \cdot 0{,}45 + 3{,}35$; 2) $a = 5^3 : \frac{5}{19} \cdot 0{,}06 + 31{,}5$ және $c = 4^5 : 146\frac{2}{7} \cdot 9{,}6 - 148{,}8 \cdot 0{,}25$ болса, $c$ саны $a$ санының қандай пайызын құрайды?

Қалай ойлаймыз. Алдымен $a$ мен $c$-ны мұқият есептейміз, сонан соң $\frac{c}{a} \cdot 100%$ табамыз. Аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырған ыңғайлы — алымдары жиі бірдей болады.

Шешуі.

1. $a = 40$, $c = 4$ (жоғарыдағы қадамдармен). $4 : 40 \cdot 100% = 10%$.
2. $a$: $125 : \frac{5}{19} = 125 \cdot \frac{19}{5} = 475$; $475 \cdot 0{,}06 = 28{,}5$; $a = 28{,}5 + 31{,}5 = 60$. $c$: $4^5 = 1024$, $146\frac{2}{7} = \frac{1024}{7}$, $1024 : \frac{1024}{7} = 7$; $7 \cdot 9{,}6 = 67{,}2$; $148{,}8 \cdot 0{,}25 = 37{,}2$; $c = 67{,}2 - 37{,}2 = 30$. $30 : 60 \cdot 100% = 50%$.

Жауабы: 1) 10%; 2) 50%.

№ 195

Салымшы 15% жылдық өсіммен банкке ақша салып, бір жылдан кейін 9090 тг өсім ақша алды. Банкке қанша ақша салынған?

Шешуі. $\frac{x}{100} = \frac{9090}{15}$, $x = 9090 : 0{,}15 = 60,600$ тг.

Жауабы: 60 600 тг.

№ 196

Үшбұрыштың бір қабырғасы 5 см, екінші қабырғасы бірінші қабырғаның 80%-ын, үшінші қабырға біріншісінің 60%-ын құрайды. Үшбұрыштың периметрін табыңдар.

Шешуі. $5 \cdot 0{,}8 = 4$ см, $5 \cdot 0{,}6 = 3$ см. $P = 5 + 4 + 3 = 12$ см.

Жауабы: 12 см.

🌟 Қабырғалары 3, 4 және 5 см болатын үшбұрыш — әйгілі «мысыр үшбұрышы». Оның бір бұрышы тік, ежелгі құрылысшылар түйінді жіппен тік бұрышты осылай белгілеген.

№ 197

Қазақстанда 2007 жылы өндіріс кәсіпорнының көлемі 7703,8 млрд тг, яғни 2006 жылдан 4,5%-ға артық болды. 2006 жылы өндіріс кәсіпорнының көлемі қандай болған?

Қалай ойлаймыз. 2006 жыл — 100%, 2007 жыл — 104,5%.

Шешуі. $x = 7703{,}8 : 1{,}045 \approx 7372{,}1$ млрд тг.

Жауабы: шамамен 7372,1 млрд тг.

№ 198

Қазақстанда 2006 жылы ауылшаруашылық өнімдері 979,7536 млрд тг, 2007 жылы 1069,6 млрд тг болды. 1) Ауылшаруашылық өнімдерінің көлемі қанша пайызға артты? 2) Ауылшаруашылық өнімдерінің көлеміне қарағанда дәнді дақыл өсіру көлемі 4,3%-ға артса, дәнді дақыл өсіру көлемі қанша пайызға артқан? 3) Ауылшаруашылық өнімдерінің көлемімен салыстырғанда малшаруашылық өнімдерінің көлемі 4,4%-ға артса, малшаруашылық өнімдерінің көлемі қалай өзгерген?

Қалай ойлаймыз. Өсім пайызы: қосымшаны өткен жылғы мәнге бөліп, 100%-ға көбейтеміз. «4,3%-ға артса» дегенді былай түсінеміз: өсім 4,3 пайыздық тармаққа артық.

Шешуі.

1. Қосымша $1069{,}6 - 979{,}7536 = 89{,}8464$ млрд тг. $89{,}8464 : 979{,}7536 \cdot 100% \approx 9{,}17% \approx 9{,}2%$.
2. $9{,}17 + 4{,}3 \approx 13{,}5%$.
3. Оқулықтағы жауапқа сай: $9{,}17 - 4{,}4 \approx 4{,}8%$ (малшаруашылық өсімі 4,4 тармаққа аз).

Жауабы: 1) ≈ 9,2%; 2) ≈ 13,5%; 3) ≈ 4,8%.

📕 Оқулықтың соңындағы жауапта 2) үшін 13,6% тұр, ал дұрысы шамамен 13,5%: $9{,}17 + 4{,}3 \approx 13{,}5$. Бәлкім, дөңгелектелген 9,3-ті қосқан болар. Сонымен қатар 3)-тармақта «4,4%-ға артса» деп жазылған, ал жауап (4,8%) өсім 4,4%-ға аз болғанда ғана шығады.

№ 199

Қазақстанда 2007 жылғы дәнді дақылдар өнімділігі 13,6 ц/га болып, 20,1 млн т құрады. Бұл өнімділік 2006 жылға қарағанда 1,6 ц/га артық және түскен пайда 3,6 млн т жоғары. Дәнді дақылдар өнімділігі және одан түскен пайда қанша пайызға артқан?

Шешуі.

1. 2006 жылғы түсім: $20{,}1 - 3{,}6 = 16{,}5$ млн т. Өсімі: $3{,}6 : 16{,}5 \cdot 100% \approx 21{,}8%$.
2. 2006 жылғы өнімділік: $13{,}6 - 1{,}6 = 12$ ц/га. Өсімі: $1{,}6 : 12 \cdot 100% \approx 13{,}3%$.

Жауабы: түсім ≈ 21,8%-ға, өнімділік ≈ 13,3%-ға артқан.

⚠️ Жиі кететін қате. Қосымшаны 2007 жылғы мәнге бөлу. Өсім пайызы өткен жылға қатысты есептеледі — ол 100%.

№ 200

Қазақстанда бидайды шетелге сату 2007 жылы 6,8 млн т, ұнды шетелге сату 1,5 млн т. Бұл көрсеткіштер 2006 жылмен салыстырғанда сәйкесінше 2,2 млн т және 339,9 мың т артық. Бидай мен ұнды шетелге сату қанша пайызға өскен?

Шешуі.

1. Бидай, 2006 жыл: $6{,}8 - 2{,}2 = 4{,}6$ млн т. $2{,}2 : 4{,}6 \cdot 100% \approx 47{,}8%$.
2. Ұн: $1{,}5$ млн т $= 1500$ мың т. 2006 жылы: $1500 - 339{,}9 = 1160{,}1$ мың т. $339{,}9 : 1160{,}1 \cdot 100% \approx 29{,}3%$.

Жауабы: бидай ≈ 47,8%-ға, ұн ≈ 29,3%-ға.

№ 201

Бір жұмыскердің айлық жалақысы 2004 жылы 28 329 тг болса, 2007 жылы 80,384%-ға өскен. 2007 жылы бір жұмыскердің айлық жалақысы қандай болды? Жауабын бүтінге дейін дөңгелектеңдер.

Шешуі. $28,329 \cdot 1{,}80384 \approx 51,100{,}98 \approx 51,101$ тг.

Жауабы: 51 101 тг.

№ 202

Қазақстанда 2007 жылы егістіктің 12 млн гектарын немесе 80%-ына қорғау жұмыстары жүргізілді. Бұл 2006 жылмен салыстырғанда 20%-ға артық. 2006 жылы егістіктің қанша миллион гектары қорғалды?

Қалай ойлаймыз. 80% мұнда артық дерек. Маңыздысы: 2006 жыл — 100%, 2007 жыл — 120%.

Шешуі. $12 : 1{,}2 = 10$ млн га.

Жауабы: 10 млн га.

C деңгейі

№ 203

1,5 сағ-та мотоциклші барлық жолдың 40%-ын жүрді. Оның жылдамдығы өзгермесе, ол жолдың үштен бір бөлігін қанша уақытта жүріп өтеді?

Қалай ойлаймыз. Жолдың $\frac{1}{3}$ бөлігі қалғанда, $\frac{2}{3}$ бөлігі, яғни $66\frac{2}{3}%$ жүріп өтілген болады. Уақыт пен жол тура пропорционал.

Шешуі.

1. Тағы жүру керек: $66\frac{2}{3}% - 40% = 26\frac{2}{3}%$.
2. $26\frac{2}{3} : 40 = \frac{80}{3} \cdot \frac{1}{40} = \frac{2}{3}$ — бұл ол жүріп өткенінің $\frac{2}{3}$ бөлігі.
3. Уақыты: $1{,}5 \cdot \frac{2}{3} = 1$ сағ.

Жауабы: 1 сағаттан кейін.

№ 204

Тастау шынының биіктігі 2950 м, Сауыр тауының төбесі одан 0,856 км жоғары, бірақ Бесбакан тауының төбесінен 806 м, Хан Тәңірі тауынан 3 км 179 м төмен. Сауыр, Бесбакан, Хан Тәңірі тауларының биіктігін тауып, бүтінге дейін дөңгелектеңдер. Дөңгелек диаграммасын салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бәрін метрге аударамыз: 0,856 км = 856 м, 3 км 179 м = 3179 м. Сауыр Бесбаканнан да, Хан Тәңірінен де төмен, сондықтан олардың биіктігін Сауырға қосып табамыз.

Шешуі.

1. Сауыр: $2950 + 856 = 3806$ м $\approx 4$ км.
2. Бесбакан: $3806 + 806 = 4612$ м $\approx 5$ км.
3. Хан Тәңірі: $3806 + 3179 = 6985$ м $\approx 7$ км.
4. Диаграмма: $4 + 5 + 7 = 16$, 1 км-ге — $360 : 16 = 22{,}5^\circ$. Секторлар: $90^\circ$, $112{,}5^\circ$, $157{,}5^\circ$.

Жауабы: Сауыр 3806 м ≈ 4 км; Бесбакан 4612 м ≈ 5 км; Хан Тәңірі 6985 м ≈ 7 км; секторлар 90°, 112,5°, 157,5°.

🌟 Хан Тәңірі — «Көк тәңірісі» деген мағына береді. Күн батқанда оның мәрмәр шыңы қызғылт болып жарқырайды.

№ 205

Дөңгелек сектордың бұрыштарының шамасын өлшеңдер (8-сурет). Ол бұрыштар толық бұрыштың қанша пайызын құрайды? Тексеру жүргізіңдер.

Қалай ойлаймыз. Толық бұрыш 360° — 100%. Сектордың пайызы: бұрыш : 360 · 100%.

Шешуі. Суретте $OB$ радиусы оңға бағытталған, $C$ — жоғарыда оң жақта, $D$ — сол жақта жоғарыда, $A$ — төменде оң жақта. Өлшеулер (шамамен):

1. $\angle BOC \approx 60^\circ$ → $60 : 360 \cdot 100% \approx 16{,}7%$.
2. $\angle COD \approx 95^\circ$ → $\approx 26{,}4%$.
3. $\angle DOA \approx 160^\circ$ → $\approx 44{,}4%$.
4. $\angle AOB \approx 45^\circ$ → $12{,}5%$.

Тексеру: $60 + 95 + 160 + 45 = 360^\circ$; $16{,}7 + 26{,}4 + 44{,}4 + 12{,}5 = 100%$ ✓.

Жауабы: ≈ 16,7%; 26,4%; 44,4%; 12,5% (өлшеу дәлдігіне байланысты).

Бизнестегі математика

№ 206

Кәсіп ашу үшін үш дос сәйкесінше 100 000 тг, 160 000 тг, 140 000 тг ақша қосты. Олардың алған түсімі 960 000 тг болды. Түсімді пропорционал етіп бөлсе, әрқайсысы қанша ақшадан алады?

Шешуі.

1. Салымдар қатынасы: $100 : 160 : 140 = 5 : 8 : 7$. Бөлік саны $5 + 8 + 7 = 20$.
2. Бір бөлік: $960,000 : 20 = 48,000$ тг.
3. $48,000 \cdot 5 = 240,000$; $48,000 \cdot 8 = 384,000$; $48,000 \cdot 7 = 336,000$ тг.

Жауабы: 240 000 тг; 384 000 тг; 336 000 тг.

№ 207

Екі бригада орындалған жұмыс үшін 261 000 тг алды. Бір бригадада 8, екінші бригадада 11 адам болған. Бірінші бригада 4 күн, екіншісі 5 күн жұмыс жасады. Оларға жасалған жағдай бірдей болса, төленген ақшаны бригадалар қалай бөлу керек?

Қалай ойлаймыз. Бәрі бірдей еңбек етті, демек, ақшаны «адам-күндерге» пропорционал бөлеміз.

Шешуі.

1. Бірінші: $8 \cdot 4 = 32$ адам-күн, екінші: $11 \cdot 5 = 55$.
2. Барлығы 87, бір адам-күнге: $261,000 : 87 = 3000$ тг.
3. Біріншіге: $3000 \cdot 32 = 96,000$ тг, екіншіге: $3000 \cdot 55 = 165,000$ тг.

Жауабы: 96 000 тг және 165 000 тг.

Қайталау

№ 208

Жұмысты 3 жұмысшы 3 күнде орындайды. Жұмысшылар саны 2-ге арттырылғаннан кейін осы жұмысты олар қанша күнде орындайтынын табыңдар.

Шешуі. Жұмыс — $3 \cdot 3 = 9$ адам-күн. Жұмысшы 5 болды: $9 : 5 = 1{,}8$ күн.

Жауабы: 1,8 күнде.

№ 209

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{y}{2{,}3 - 0{,}48} = \frac{7}{5{,}52}$; 2) $\frac{2{,}58}{13} = \frac{1{,}076 - 0{,}56}{z}$.

Шешуі.

1. $2{,}3 - 0{,}48 = 1{,}82$. $y = \frac{1{,}82 \cdot 7}{5{,}52} = \frac{12{,}74}{5{,}52} = \frac{637}{276} = 2\frac{85}{276} \approx 2{,}31$.
2. $1{,}076 - 0{,}56 = 0{,}516$. $2{,}58 \cdot z = 13 \cdot 0{,}516 = 6{,}708$, $z = 6{,}708 : 2{,}58 = 2{,}6$.

Жауабы: 1) $y = 2\frac{85}{276} \approx 2{,}31$; 2) $z = 2{,}6$.

№ 210

188-дің 125%-ы, әлде 470-тің 50%-ы үлкен бе?

Шешуі. $188 \cdot 1{,}25 = 235$; $470 \cdot 0{,}5 = 235$.

Жауабы: тең (екеуі де 235).

№ 211

1) $89 : 1000$; 2) $0{,}2356 \cdot 1000$; 3) $78{,}3247 \cdot 1,000,000$ өрнегінің мәнін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. 1000-ға көбейткенде үтір 3 таңба оңға, бөлгенде 3 таңба солға жылжиды.

Шешуі. $0{,}089$; $235{,}6$; $78,324,700$.

Жауабы: 0,089; 235,6; 78 324 700.

№ 212

1) 3,785 және $3\frac{7}{8}$; 2) 8,7 және $8\frac{2}{15}$ бөлшектерді салыстырыңдар.

Шешуі.

1. $\frac{7}{8} = 0{,}875$, демек, $3\frac{7}{8} = 3{,}875 > 3{,}785$.
2. $\frac{2}{15} \approx 0{,}13 < 0{,}7$, демек, $8{,}7 > 8\frac{2}{15}$.

Жауабы: 1) $3{,}785 < 3\frac{7}{8}$; 2) $8{,}7 > 8\frac{2}{15}$.

№ 213

Периметрі қабырғалары 18 см және 24 см болатын тіктөртбұрыштың периметрінен 3 есе кем шаршының ауданын табыңдар.

Шешуі. $P_{тб} = 2 \cdot (18 + 24) = 84$ см. $P_{ш} = 84 : 3 = 28$ см, қабырғасы $28 : 4 = 7$ см, $S = 7 \cdot 7 = 49$ см².

Жауабы: 49 см².

№ 214

$26{,}34 \cdot 12{,}5 + 80{,}75$ және $45\frac{2}{3} : 10\frac{7}{13} \cdot 95\frac{8}{13}$ өрнектерінің мәндерін салыстырыңдар.

Шешуі.

1. $26{,}34 \cdot 12{,}5 = 329{,}25$; $329{,}25 + 80{,}75 = 410$.
2. $45\frac{2}{3} = \frac{137}{3}$, $10\frac{7}{13} = \frac{137}{13}$. Бөлінді $\frac{137}{3} \cdot \frac{13}{137} = \frac{13}{3}$.
3. $95\frac{8}{13} = \frac{1243}{13}$. $\frac{13}{3} \cdot \frac{1243}{13} = \frac{1243}{3} = 414\frac{1}{3}$.

Жауабы: $410 < 414\frac{1}{3}$ — бірінші өрнек кіші.

№ 215

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{x}{1{,}21} = \frac{5}{242}$; 2) $\frac{16{,}9}{y + 1} = \frac{13}{10}$.

Шешуі.

1. $x = \frac{1{,}21 \cdot 5}{242} = \frac{6{,}05}{242} = 0{,}025$.
2. $13(y + 1) = 169$, $y + 1 = 13$, $y = 12$.

Жауабы: 1) $x = 0{,}025$; 2) $y = 12$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 216

Кестені толтырыңдар. Сантиметрмен және дециметрмен өрнектеңдер: 3 м; 21 мм; 0,2 м; 400 мм.

Қалай ойлаймыз. 1 м = 100 см = 10 дм; 1 см = 10 мм; 1 дм = 100 мм.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 217

1) 5; 12; 20; 2) 4; 9; 12 сандарын қолданып, мүмкін болатын пропорцияларды құрыңдар.

Қалай ойлаймыз. Пропорцияда төрт мүше бар, ал сан үшеу. Демек, төртінші мүшені табу керек. Шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең, сондықтан төртінші сан — екі берілген санның көбейтіндісін үшіншісіне бөлгенге тең.

Шешуі.

1. Мүмкін төртінші сандар: $12 \cdot 20 : 5 = 48$; $5 \cdot 20 : 12 = 8\frac{1}{3}$; $5 \cdot 12 : 20 = 3$. Бүтін сандармен пропорциялар: $5 : 12 = 20 : 48$, $5 : 20 = 12 : 48$, $5 : 20 = 3 : 12$, $3 : 5 = 12 : 20$.
2. $9 \cdot 12 : 4 = 27$; $4 \cdot 12 : 9 = 5\frac{1}{3}$; $4 \cdot 9 : 12 = 3$. Пропорциялар: $4 : 9 = 12 : 27$, $4 : 12 = 9 : 27$, $4 : 12 = 3 : 9$, $3 : 4 = 9 : 12$.

Әр пропорцияны ауыстыруға болады: шеткі, ортаңғы мүшелердің немесе екі жақтың орнын алмастырсаң, ол дұрыс күйінде қалады.

Жауабы: мысалы, $5 : 12 = 20 : 48$, $5 : 20 = 3 : 12$; $4 : 9 = 12 : 27$, $4 : 12 = 3 : 9$.

№ 218

300; 888 сандарының оннан бір, жүзден бір бөліктерін табыңдар.

Шешуі. $300 : 10 = 30$, $300 : 100 = 3$; $888 : 10 = 88{,}8$, $888 : 100 = 8{,}88$.

Жауабы: 30 және 3; 88,8 және 8,88.

№ 219

Өлшемдері 0,3 км және 500 м болатын тіктөртбұрышты жер телімінің периметрі мен ауданын табыңдар.

Шешуі. $0{,}3$ км $= 300$ м. $P = 2 \cdot (300 + 500) = 1600$ м. $S = 300 \cdot 500 = 150,000$ м² $= 15$ га.

Жауабы: 1600 м; 150 000 м² (15 га).

Жадынама

• Пропорция арқылы: $x$ белгіле, қай сан 100% екенін тап, «1%-ға қанша» дегенді теңестір.
• Қатынаста бөлу: бөліктерді қос, бір бөлікті тап, көбейт.
• Диаграмма секторы: $360^\circ$ : қосынды · сан. Барлық сектордың қосындысы — 360°.
• Кері пропорционал бөлу — кері сандар арқылы.
• Пайыздық өсімді бұрынғы мәнге қатысты есептейді.

Шағын тест