§ 32. Санды теңсіздіктер және олардың қасиеттері

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 5 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер және олардың жүйесі. 34–41-беттер.

Нені үйренесің

• Тура және тура емес, қатаң және қатаң емес санды теңсіздіктерді ажыратуды.
• Теңсіздіктің екі жағына бірдей санды қосуды және қосылғышты көшіруді.
• Теңсіздікті санға көбейтуді және бөлуді, таңба қашан өзгеретінін білуді.
• Теңсіздіктерді қосуды, көбейтуді және өрнектердің мәндерін бағалауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 910–911 тапсырмалары.

• Қайсысы үлкен: $-10$ ба, $-9$ ба? $-9$: ол нөлге жақынырақ, демек, түзуде оңға қарай орналасқан.
• $-4\frac{1}{3}$ мен $-4{,}5$ сандарын салыстыр. $4\frac{1}{3} < 4{,}5$, сондықтан $-4\frac{1}{3} > -4{,}5$.
• $8 \cdot (-10) + (-20 : 4) + 100$ және $-200 - 10 \cdot (-20) + (-40) : 0{,}4$ өрнектерін салыстыр. Біріншісі $= 15$, екіншісі $= -100$. $15 > -100$.
• Жәшіктерде $x$ және $y$ кг картоп бар. $x + y < 40$ нені білдіреді? Екі жәшікте бірге 40 кг-нан кем картоп бар.

💡 Теңсіздіктер бәрінде кездеседі: «мектепке дейін 2 км-ден аз», «сатып алуға 1000 теңгеден көп емес». Бүгін олармен қандай ережелер бойынша жұмыс істейтінімізді білеміз.

Тақырыпты талдаймыз

Тура, тура емес, қатаң, қатаң емес

Санды теңсіздік —

• $2 + 3 > 4$ — тура: сол жағы 5, ал $5 > 4$.
• $24 - 4 < 10$ — тура емес: сол жағы 20, ал $20 < 10$ — өтірік.

1-қасиет. Бірдей санды қосамыз

$22 - 6 > 24 - 14$ теңсіздігін алайық, яғни $16 > 10$. 8-ді қосамыз: $24 > 18$ ✓. $-4$-ті қосамыз: $12 > 6$ ✓. Түзудегі екі нүктені бірдей қашықтыққа жылжытсақ, олардың реті өзгермейді.

📌 Егер $a > b$ болса, онда кез келген $c$ үшін $a + c > b + c$.

Осыдан көшіру ережесі шығады: қосылғышты теңсіздіктің басқа жағына таңбасын өзгертіп көшіруге болады. Мысалы, $3 < 2 + 5$ теңсіздігінен $3 - 2 < 5$ және $3 - 5 < 2$ аламыз — бәрі де тура.

2-қасиет. Көбейтеміз және бөлеміз — минусқа абай бол!

$22 - 12 > 14 - 10$ теңсіздігін алайық, яғни $10 > 4$.

• 8-ге көбейтеміз: $80 > 32$ ✓. Таңба сол күйінде.
• $-2$-ге көбейтеміз: $-20$ және $-8$. Бірақ $-20 < -8$! Таңбаны аударуға тура келді.

📌 Екі жағын да оң санға көбейтсек немесе бөлсек — таңба сақталады. Теріс санға көбейтсек немесе бөлсек — таңба қарама-қарсы таңбаға ауысады.

⚠️ Жиі кететін қате. $-2x < 6$ теңсіздігін $-2$-ге бөліп, $x < -3$ деп жазады. Дұрысы: $x > -3$. Көбейткіштегі минус — «таңбаны аудар» деген белгі.

3-қасиет. Тізбек

Егер $a > b$ және $b > c$ болса, онда $a > c$. Кезектегідей: Арман Динадан биік, Дина Ерланнан биік — демек, Арман Ерланнан биік. Мысалы: $5 > 3$ және $3 > 1$, демек $5 > 1$.

4–6-қасиеттер. Теңсіздіктерді қосамыз, көбейтеміз, бөлеміз

• Қосуға таңбалары бірдей теңсіздіктерді болады: $7 > -4$ және $3 > 2$ теңсіздіктерінен $10 > -2$ шығады ✓.
• Көбейтуге таңбалары бірдей теңсіздіктерді болады, егер барлық бөліктері оң сан болса: $7 > 6$ және $8 > 3$ теңсіздіктерінен $56 > 18$ шығады ✓.
• Бөлу: егер $a > b > 0$ және $c > d > 0$ болса, онда $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ («айқастыра» бөлеміз). Мысалы: $10 > 6$ және $5 > 2$ теңсіздіктерінен $\frac{10}{2} > \frac{6}{5}$ шығады, яғни $5 > 1{,}2$ ✓.

⚠️ Жиі кететін қате. Теңсіздіктерді «тікелей» азайтуға болмайды. $5 > 1$ және $4 > 0$, бірақ $5 - 4 = 1$ және $1 - 0 = 1$ — $1 > 1$ шықты, бұл тура емес! Азайтуды қарама-қарсы санды қосу арқылы орындаймыз: № 921 жаттығуын қара.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Әр ережені жоғарыдағыдай қарапайым сандармен тексеріп отырыңыз. Бала таңбаны ауыстыру-ауыстырмауға күмәнданса, нақты сандарды қойып көрсін — бұл ең жақсы тексеру.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $a > b$ және $am < bm$ екені белгілі. $m$ саны туралы не айтуға болады? Теңсіздік таңбасы өзгерді, демек, $m$ — теріс сан ($m < 0$).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 912

Сандарды салыстырыңдар: 1) 0,55 және $\frac{5}{12}$; 2) 0,6 және $\frac{1}{6}$; 3) 0,94 және $\frac{15}{16}$; 4) $-\frac{1}{3}$ және 0,3; 5) $-\frac{21}{25}$ және $-0{,}9$; 6) $\frac{41}{64}$ және 0,65.

Қалай ойлаймыз. Бөлшекті ондық бөлшекке айналдырып, салыстырамыз.

Шешуі.

1. $\frac{5}{12} = 0{,}41(6)$, демек $0{,}55 > \frac{5}{12}$.
2. $\frac{1}{6} = 0{,}1(6)$, демек $0{,}6 > \frac{1}{6}$.
3. $\frac{15}{16} = 0{,}9375$, демек $0{,}94 > \frac{15}{16}$.
4. Теріс сан оң саннан кіші: $-\frac{1}{3} < 0{,}3$.
5. $-\frac{21}{25} = -0{,}84$; ол нөлге $-0{,}9$-дан жақын: $-\frac{21}{25} > -0{,}9$.
6. $\frac{41}{64} = 0{,}640625 < 0{,}65$.

Жауабы: 1)

№ 913

1) $x - y = 0$; 2) $x - y = 20$; 3) $y - x = 5{,}8$; 4) $x - y = -\frac{2}{13}$; 5) $y - x = -9{,}9$; 6) $x - y = 0{,}01$ болса, онда $x$ және $y$ сандарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Егер $x - y$ айырымы оң болса, онда $x > y$; теріс болса — $x < y$; нөл болса — тең.

Шешуі.

1. $x = y$.
2. $x - y > 0$, $x > y$.
3. $y - x > 0$, демек $y > x$, яғни $x < y$.
4. $x - y < 0$, $x < y$.
5. $y - x < 0$, демек $y < x$, яғни $x > y$.
6. $x - y > 0$, $x > y$.

Жауабы: 1) $x = y$; 2) $x > y$; 3) $x < y$; 4) $x < y$; 5) $x > y$; 6) $x > y$.

№ 914

$-8{,}5 < 1{,}7$ теңсіздігінің екі жақ бөлігіне 1) $-6$; 2) 10; 3) 2,8; 4) $-9{,}9$ санын қосыңдар.

Қалай ойлаймыз. Таңба өзгермейді — кез келген санды қосуға болады.

Шешуі.

1. $-14{,}5 < -4{,}3$.
2. $1{,}5 < 11{,}7$.
3. $-5{,}7 < 4{,}5$.
4. $-18{,}4 < -8{,}2$.

Жауабы: шешуін қара.

№ 915

$-9\frac{1}{12} < 20$ теңсіздігінің екі жақ бөлігінен 1) $-7$; 2) 16; 3) $4\frac{1}{6}$; 4) $-3\frac{2}{3}$ санын азайтыңдар.

Шешуі.

1. $-7$-ні азайту — 7-ні қосу деген сөз: $-2\frac{1}{12} < 27$.
2. $-25\frac{1}{12} < 4$.
3. $-9\frac{1}{12} - 4\frac{2}{12} = -13\frac{3}{12} = -13\frac{1}{4}$; $20 - 4\frac{1}{6} = 15\frac{5}{6}$. Шығатыны: $-13\frac{1}{4} < 15\frac{5}{6}$.
4. $3\frac{2}{3} = 3\frac{8}{12}$ санын қосамыз: $-9\frac{1}{12} + 3\frac{8}{12} = -5\frac{5}{12}$; $20 + 3\frac{2}{3} = 23\frac{2}{3}$. Шығатыны: $-5\frac{5}{12} < 23\frac{2}{3}$.

Жауабы: 1) $-2\frac{1}{12} < 27$; 2) $-25\frac{1}{12} < 4$; 3) $-13\frac{1}{4} < 15\frac{5}{6}$; 4) $-5\frac{5}{12} < 23\frac{2}{3}$.

№ 916

$-5{,}6 < \frac{7}{24}$ теңсіздігінің екі жақ бөлігін 3; $-2$; 0,5; $-\frac{6}{7}$ санына көбейткенде шығатын тура теңсіздікті жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Оң санға көбейтсек — таңба сол күйінде, теріс санға көбейтсек — аударамыз.

Шешуі.

1. $\cdot 3$: $-16{,}8 < \frac{7}{8}$.
2. $\cdot (-2)$: $11{,}2 > -\frac{7}{12}$.
3. $\cdot 0{,}5$: $-2{,}8 < \frac{7}{48}$.
4. $\cdot \left(-\frac{6}{7}\right)$: $-5{,}6 \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) = 4{,}8$; $\frac{7}{24} \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) = -\frac{1}{4}$. Шығатыны: $4{,}8 > -\frac{1}{4}$.

Жауабы: $-16{,}8 < \frac{7}{8}$; $11{,}2 > -\frac{7}{12}$; $-2{,}8 < \frac{7}{48}$; $4{,}8 > -\frac{1}{4}$.

№ 917

$-\frac{5}{36} < 4{,}8$ теңсіздігінің екі жақ бөлігін 5; $-\frac{1}{9}$; 1,6; $-100$ санына бөлгенде шығатын тура теңсіздікті жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Теріс санға бөлгенде таңба өзгереді. Бөлшекке бөлу — оған кері санға көбейту.

Шешуі.

1. $: 5$: $-\frac{1}{36} < 0{,}96$.
2. $: \left(-\frac{1}{9}\right)$ — бұл $-9$-ға көбейту: $\frac{45}{36} = 1\frac{1}{4}$ және $-43{,}2$. Таңба өзгереді: $1\frac{1}{4} > -43{,}2$.
3. $: 1{,}6$: $-\frac{5}{36} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{25}{288}$; $4{,}8 : 1{,}6 = 3$. Шығатыны: $-\frac{25}{288} < 3$.
4. $: (-100)$: $\frac{5}{3600} = \frac{1}{720}$ және $-0{,}048$. Таңба өзгереді: $\frac{1}{720} > -0{,}048$.

Жауабы: $-\frac{1}{36} < 0{,}96$; $1\frac{1}{4} > -43{,}2$; $-\frac{25}{288} < 3$; $\frac{1}{720} > -0{,}048$.

№ 918

Теңсіздіктерді қосыңдар: 1) $-10 < 3$ және $1{,}1 < 5$; 2) $\frac{4}{15} < 4{,}5$ және $3 < 3{,}2$; 3) $9{,}8 > 0{,}7$ және $8\frac{1}{3} > -\frac{1}{7}$; 4) $-6\frac{9}{13} > -11\frac{2}{3}$ және $4\frac{1}{3} > \frac{69}{70}$.

Қалай ойлаймыз. Таңбалары бірдей — сол жақтарын сол жақтарымен, оң жақтарын оң жақтарымен қосамыз.

Шешуі.

1. $-10 + 1{,}1 = -8{,}9$; $3 + 5 = 8$. Шығатыны: $-8{,}9 < 8$.
2. $\frac{4}{15} + 3 = 3\frac{4}{15}$; $4{,}5 + 3{,}2 = 7{,}7$. Шығатыны: $3\frac{4}{15} < 7{,}7$.
3. $9\frac{4}{5} + 8\frac{1}{3} = 17\frac{17}{15} = 18\frac{2}{15}$; $\frac{7}{10} - \frac{1}{7} = \frac{49 - 10}{70} = \frac{39}{70}$. Шығатыны: $18\frac{2}{15} > \frac{39}{70}$.
4. $-6\frac{9}{13} + 4\frac{1}{3} = -\left(6\frac{27}{39} - 4\frac{13}{39}\right) = -2\frac{14}{39}$; $-11\frac{2}{3} + \frac{69}{70} = -\left(11\frac{140}{210} - \frac{207}{210}\right) = -10\frac{143}{210}$. Шығатыны: $-2\frac{14}{39} > -10\frac{143}{210}$.

Жауабы: 1) $-8{,}9 < 8$; 2) $3\frac{4}{15} < 7{,}7$; 3) $18\frac{2}{15} > \frac{39}{70}$; 4) $-2\frac{14}{39} > -10\frac{143}{210}$.

№ 919

Теңсіздіктерді көбейтіңдер: 1) $0{,}8 < 9$ және $5 < 2{,}02$; 2) $5\frac{3}{11} < 10{,}55$ және $11 < 16$; 3) $1\frac{4}{17} > \frac{9}{13}$ және $\frac{17}{21} > \frac{13}{18}$; 4) $0{,}025 > 0{,}008$ және $1002 > 125$.

Қалай ойлаймыз. Барлық бөліктері оң, таңбалары бірдей — сол жақтарын өзара, оң жақтарын өзара көбейтеміз.

Шешуі.

1. Назар аудар: «$5 < 2{,}02$» — тура емес теңсіздік, оны көбейтуге болмайды. Бұл баспа қатесі сияқты; сірә, $0{,}5 < 2{,}02$ болуы керек еді. Сонда $0{,}8 \cdot 0{,}5 = 0{,}4$, $9 \cdot 2{,}02 = 18{,}18$: $0{,}4 < 18{,}18$.
2. $\frac{58}{11} \cdot 11 = 58$; $10{,}55 \cdot 16 = 168{,}8$. Шығатыны: $58 < 168{,}8$.
3. $\frac{21}{17} \cdot \frac{17}{21} = 1$; $\frac{9}{13} \cdot \frac{13}{18} = \frac{1}{2}$. Шығатыны: $1 > \frac{1}{2}$.
4. $0{,}025 \cdot 1002 = 25{,}05$; $0{,}008 \cdot 125 = 1$. Шығатыны: $25{,}05 > 1$.

Жауабы: 1) $0{,}4 < 18{,}18$ (егер екінші теңсіздік $0{,}5 < 2{,}02$ болса); 2) $58 < 168{,}8$; 3) $1 > \frac{1}{2}$; 4) $25{,}05 > 1$.

📕 Шартта баспа қатесі бар сияқты: «$5 < 2{,}02$» — тура емес теңсіздік. Сірә, $0{,}5 < 2{,}02$ болуы керек еді. Біз осылай шықтық.

№ 920

$6 < x \le 11$ екені белгілі. 1) $x + 5$; 2) $x - 7$; 3) $0{,}4x$; 4) $\frac{1}{6}x$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұнда «мәнін табу» — оның қандай сандардың арасында жататынын көрсету. Қостеңсіздіктің үш бөлігіне де бірдей амал орындаймыз.

Шешуі.

1. $6 + 5 < x + 5 \le 11 + 5$: $11 < x + 5 \le 16$.
2. $6 - 7 < x - 7 \le 11 - 7$: $-1 < x - 7 \le 4$.
3. $0{,}4 \cdot 6 < 0{,}4x \le 0{,}4 \cdot 11$: $2{,}4 < 0{,}4x \le 4{,}4$.
4. $1 < \frac{1}{6}x \le \frac{11}{6}$: $1 < \frac{1}{6}x \le 1\frac{5}{6}$.

Жауабы: 1) $11 < x + 5 \le 16$; 2) $-1 < x - 7 \le 4$; 3) $2{,}4 < 0{,}4x \le 4{,}4$; 4) $1 < \frac{1}{6}x \le 1\frac{5}{6}$.

№ 921

$4 < a < 9$ және $1 < b < 7$ екені белгілі. 1) $a + b$; 2) $ab$; 3) $a - b$; 4) $\frac{a}{b}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. Қосамыз: $5 < a + b < 16$.
2. Барлық бөліктері оң — көбейтеміз: $4 < ab < 63$.
3. Қадамдарды қара: $-3 < a - b < 8$.
4. $1 < b < 7$ теңсіздігінен $\frac{1}{7} < \frac{1}{b} < 1$ шығады. $4 < a < 9$ теңсіздігімен көбейтеміз: $\frac{4}{7} < \frac{a}{b} < 9$.

Жауабы: 1) $5 < a + b < 16$; 2) $4 < ab < 63$; 3) $-3 < a - b < 8$; 4) $\frac{4}{7} < \frac{a}{b} < 9$.

№ 922

$0{,}5 < n < 5\frac{1}{3}$ және $\frac{8}{9} < m < 4{,}5$ екені белгілі. 1) $n + m$; 2) $n - m$; 3) $nm$; 4) $n : m$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. № 921 сияқты: айырымды $-m$ арқылы, бөліндіні $\frac{1}{m}$ арқылы шығарамыз.

Шешуі.

1. $0{,}5 + \frac{8}{9} = 1\frac{7}{18}$; $5\frac{1}{3} + 4\frac{1}{2} = 9\frac{5}{6}$. Шығатыны: $1\frac{7}{18} < n + m < 9\frac{5}{6}$.
2. $-4{,}5 < -m < -\frac{8}{9}$. Қосамыз: $0{,}5 - 4{,}5 = -4$; $5\frac{1}{3} - \frac{8}{9} = 4\frac{4}{9}$. Шығатыны: $-4 < n - m < 4\frac{4}{9}$.
3. $0{,}5 \cdot \frac{8}{9} = \frac{4}{9}$; $\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{2} = 24$. Шығатыны: $\frac{4}{9} < nm < 24$.
4. $\frac{2}{9} < \frac{1}{m} < \frac{9}{8}$. Көбейтеміз: $0{,}5 \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{9}$; $\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8} = 6$. Шығатыны: $\frac{1}{9} < n : m < 6$.

Жауабы: 1) $1\frac{7}{18} < n + m < 9\frac{5}{6}$; 2) $-4 < n - m < 4\frac{4}{9}$; 3) $\frac{4}{9} < nm < 24$; 4) $\frac{1}{9} < n : m < 6$.

B деңгейі

№ 923

а) $a > b$; ә) $a < b$ екені белгілі. 1) $6a$ және $6b$; 2) $-3\frac{4}{9}a$ және $-3\frac{4}{9}b$; 3) $8{,}1a$ және $8{,}1b$; 4) $6a + \frac{3}{5}$ және $6b + \frac{3}{5}$; 5) $5(a + 9)$ және $5(b + 9)$; 6) $-\frac{1}{15}(a - 1)$ және $-\frac{1}{15}(b - 1)$ өрнектерінің мәндерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көбейткішке қараймыз: оң болса — таңба сақталады, теріс болса — өзгереді. Санды қосу таңбаны өзгертпейді.

Шешуі. а) $a > b$ жағдайы:

1. $6a > 6b$.
2. $-3\frac{4}{9}a < -3\frac{4}{9}b$.
3. $8{,}1a > 8{,}1b$.
4. $6a > 6b$, екі жағына $\frac{3}{5}$ қосамыз: $6a + \frac{3}{5} > 6b + \frac{3}{5}$.
5. $a + 9 > b + 9$, 5-ке көбейтеміз: $5(a + 9) > 5(b + 9)$.
6. $a - 1 > b - 1$, $-\frac{1}{15}$-ке көбейтеміз: $-\frac{1}{15}(a - 1) < -\frac{1}{15}(b - 1)$.

ә) $a < b$ жағдайында — барлық таңбалар қарама-қарсы.

Жауабы: а)

C деңгейі

№ 924

Егер $a > 1{,}5$ және $b > 10$ болса, онда 1) $6a + 5b > 49$; 2) $ab + 4{,}4 > 19{,}38$; 3) $4a + b^2 > 105{,}02$ болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Әр қосылғышты бағалап, қосамыз да, қажетті санмен тізбек (3-қасиет) бойынша салыстырамыз.

Шешуі.

1. $6a > 9$, $5b > 50$. Қосамыз: $6a + 5b > 59$. Ал $59 > 49$, демек $6a + 5b > 49$.
2. Сандар оң: $ab > 1{,}5 \cdot 10 = 15$. Сонда $ab + 4{,}4 > 19{,}4 > 19{,}38$.
3. $4a > 6$; $b > 10 > 0$, сондықтан $b^2 = b \cdot b > 100$. Қосамыз: $4a + b^2 > 106 > 105{,}02$.

Жауабы: үш теңсіздік те дәлелденді.

№ 925

1) $0{,}89c - 2d < 13d - 14{,}11c$ болса, онда $c < d$; 2) $x + 8y < 4x + 5y$ болса, онда $x > y$; 3) $\frac{6}{7}n - 6 > m - \frac{1}{7}m - 6$ болса, онда $n > m$; 4) $1{,}2s + 5{,}1t > 2s + 4{,}3t$ болса, онда $s < t$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Теңдеудегідей қосылғыштарды көшіреміз, ұқсас қосылғыштарды біріктіреміз және оң санға бөлеміз.

Шешуі.

1. $0{,}89c + 14{,}11c < 13d + 2d$, $15c < 15d$, 15-ке бөлеміз: $c < d$.
2. $8y - 5y < 4x - x$, $3y < 3x$, $y < x$, яғни $x > y$.
3. 6-ны қосамыз: $\frac{6}{7}n > \frac{6}{7}m$; $\frac{7}{6}$-ға көбейтеміз: $n > m$.
4. $5{,}1t - 4{,}3t > 2s - 1{,}2s$, $0{,}8t > 0{,}8s$, $t > s$, яғни $s < t$.

Жауабы: дәлелденді.

Қайталау

№ 926

1) Автокөлік $a$ км/сағ жылдамдықпен 2 сағ және $b$ км/сағ жылдамдықпен 3 сағ жүрді. Егер $a = 90$ және $b = 110$ болса, онда автокөліктің жүрген жолының ұзындығын табыңдар. 2) Безендіру үшін бір данасы $n$ тг тұратын 50 шар және бір данасы $m$ тг тұратын 60 гүл сатып алынды. Егер $n = 70$ және $m = 90$ болса, онда барлық сатып алынған нәрсенің құнын табыңдар.

Шешуі.

1. $2a + 3b = 2 \cdot 90 + 3 \cdot 110 = 180 + 330 = 510$ км.
2. $50n + 60m = 3500 + 5400 = 8900$ тг.

Жауабы: 1) 510 км; 2) 8900 тг.

№ 927

1) $a = 100$ болса, онда $0{,}85a - 79\frac{1}{3}$; 2) $b = 7$ болса, онда $26\frac{3}{7} + b : \frac{49}{60}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $85 - 79\frac{1}{3} = 5\frac{2}{3}$.
2. $7 : \frac{49}{60} = \frac{7 \cdot 60}{49} = \frac{60}{7} = 8\frac{4}{7}$; $26\frac{3}{7} + 8\frac{4}{7} = 35$.

Жауабы: 1) $5\frac{2}{3}$; 2) 35.

№ 928

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $|87{,}98 - 90|$ және $|4{,}1 - 6{,}12|$; 2) $\left|\frac{2^3}{3^3}\right| \cdot \left|\frac{3}{4}\right|$ және $\left|-\frac{20}{21}\right| : \left|2\frac{6}{7}\right|$.

Шешуі.

1. $|-2{,}02| = 2{,}02$ және $|-2{,}02| = 2{,}02$ — тең.
2. $\frac{8}{27} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{9}$; $\frac{20}{21} : \frac{20}{7} = \frac{1}{3} = \frac{3}{9}$. Демек, $\frac{2}{9} < \frac{1}{3}$.

Жауабы: 1) тең; 2) біріншісі кіші.

№ 929

Моторлы қайықтың меншікті жылдамдығы катер жылдамдығының $\frac{4}{9}$-іне тең. Катердің өзен ағысымен жылдамдығы ағыспен қозғалған моторлы қайықтың жылдамдығынан 16 км/сағ артық. Катердің меншікті жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ағыс екеуіне де бірдей қосады, сондықтан ағыспен жүргендегі жылдамдықтардың айырымы меншікті жылдамдықтардың айырымына тең.

Шешуі.

1. Катер $x$ км/сағ, қайық $\frac{4}{9}x$ км/сағ, ағыс $u$ км/сағ.
2. $(x + u) - \left(\frac{4}{9}x + u\right) = 16$, $\frac{5}{9}x = 16$.
3. $x = 16 \cdot \frac{9}{5} = 28{,}8$.

Жауабы: 28,8 км/сағ.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 930

Сандық түзуде $-4$; 2; $-1{,}5$; 1; 7; $-6{,}5$ сандарын көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бірлік кесіндіні 2 тор көзге тең етіп алған ыңғайлы: сонда жарты сандар тор көздерге дәл келеді.

Шешуі. Теріс сандар нөлден солда: $-6{,}5$ (13 тор көз), $-4$ (8 тор көз), $-1{,}5$ (3 тор көз). Оң сандар оңда: 1 (2 тор көз), 2 (4 тор көз), 7 (14 тор көз). Солдан оңға қарай реті: $-6{,}5$; $-4$; $-1{,}5$; 1; 2; 7.

Жауабы: суретті қара; $-6{,}5 < -4 < -1{,}5 < 1 < 2 < 7$.

Жадынама

• Қосылғышты теңсіздіктің екінші жағына қарама-қарсы таңбамен көшіреміз.
• Теріс санға көбейтсек немесе бөлсек — таңбаны өзгертеміз.
• Егер $a > b$ және $b > c$ болса, онда $a > c$.
• Таңбалары бірдей теңсіздіктерді қосуға болады, азайтуға болмайды ($-b$ қосумен алмастырамыз).
• Тек таңбалары бірдей, бөліктері оң теңсіздіктерді ғана көбейтуге болады.

Шағын тест