§ 34. Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 5 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер және олардың жүйесі. 50–54-беттер.

Нені үйренесің

• Аралықтардың бірігуін табуды — кемінде біреуінде бар сандар.
• Қиылысуын табуды — екеуінде де бірдей бар сандар.
• $\cup$, $\cap$ және $\varnothing$ белгілерін қолдануды.
• Бір түзудегі екі штрихтау арқылы осындай есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 950 тапсырмасы: $A = {1; 3; 9; 13}$, $B = {2; 9; 10; 13; 15}$.

• $A$ және $B$ жиындарының бірігуі деген не? Екі жиынның да барлық элементтері, қайталанбай: ${1; 2; 3; 9; 10; 13; 15}$.
• Ал қиылысуы ше? Тек ортақ элементтері: ${9; 13}$.
• $\varnothing$ нені білдіреді? Бос жиын — онда бірде-бір элемент жоқ.
• 3 саны $[3; 5)$ аралығына кіре ме? Ал 5 ше? 3 — иә (тік жақша), 5 — жоқ (дөңгелек жақша).

💡 Аралықтармен де дәл солай, тек олардағы сандар шексіз көп. Сондықтан тізіммен емес, суретпен санаймыз.

Тақырыпты талдаймыз

Бір түзудегі екі штрихтау

Футболға оралайық. Арман $[14; 18]$ аралығында бос, Дана — $[16; 20]$ аралығында. Бір түзу сызайық. Арманның уақытын үстінен, Дананың уақытын астынан штрихтаймыз.

Екі штрихтау да бар жерде — ортақ уақыт: 16-дан 18-ге дейін. Бұл — қиылысу: $[14; 18] \cap [16; 20] = [16; 18]$.

Кем дегенде бір штрихтау бар жерде — екеуінің ең болмағанда біреуі бос уақыт: 14-тен 20-ға дейін. Бұл — бірігу: $[14; 18] \cup [16; 20] = [14; 20]$.

📌 Бірігу ($\cup$) — ең болмағанда бір аралыққа тиісті сандар. Қиылысу ($\cap$) — әр аралыққа бірдей тиісті сандар.

Ортақ сан болмаса

Қиылысу бос болуы мүмкін. Мысалы, $[-5; 2]$ және $[4; 9)$ түзуде кездеспейді: 2 мен 4 арасында саңылау бар. Былай жазады: $[-5; 2] \cap [4; 9) = \varnothing$, ал аралықтар қиылыспайды дейді.

Ал бірігу сонда екі бөлік күйінде қалады: $[-5; 2] \cup [4; 9)$. Оны бір жақшамен жазу мүмкін емес.

Ортақ жері бір нүкте болса

$[-4; 1]$ және $[1; 2]$ аралықтары 1 нүктесінде түйіседі. Бірігуі — тұтас кесінді $[-4; 2]$. Ал қиылысуы — жалғыз ғана сан: $[-4; 1] \cap [1; 2] = {1}$. Фигуралық жақшалар бұл — бір саннан тұратын жиын екенін көрсетеді.

⚠️ Жиі кететін қате. $[-4; 1)$ және $[1; 2]$ — бұл басқа жағдай. Біріншісінде бір кірмейді, сондықтан қиылысуы бос: $\varnothing$. Ортақ шеттегі жақшаларға әрдайым қара.

Шексіздігі бар мысалдар

• $(-\infty; 1] \cup [-2; +\infty) = (-\infty; +\infty)$ — сәулелер бүкіл түзуді жауып тұр.
• $(-\infty; 6) \cap [-1; +\infty) = [-1; 6)$ — сәулелерден ортасындағы кесек қалады.
• $[-6; 1] \cup (-2; 7] = [-6; 7]$; $[-4; 3) \cap [-1; 6) = [-1; 3)$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Мына ережені ұсыныңыз: «қиылысу — ЖӘНЕ (мұнда да, мұнда да), бірігу — НЕМЕСЕ (мұнда немесе мұнда)». Бала әрдайым екі штрихтауды әртүрлі түспен сызсын — қателер бірнеше есе азаяды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Екі аралықтың бірігуінде бірде-бір сан болмауы мүмкін бе? Жоқ. Әр аралықта сандар бар, олардың бәрі бірігуге түседі.
• Екі сәуленің бірігуі кесінді бола ала ма? Сәуле ме? Түзу ме? Кесінді — жоқ: сәулелер шексіз, бірігуі де шексіз. Сәуле — иә: $(-\infty; 1] \cup (-\infty; 3] = (-\infty; 3]$. Түзу — иә: $(-\infty; 1] \cup [-2; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.
• Екі сәуленің қиылысуы кесінді бола ала ма? Сәуле ме? Түзу ме? Кесінді — иә: $[1; +\infty) \cap (-\infty; 5] = [1; 5]$. Сәуле — иә: $[1; +\infty) \cap [3; +\infty) = [3; +\infty)$. Түзу — жоқ: әр сәуле түзуден тар.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 951

76-суретте кескінделген сан аралықтарының бірігуін табыңдар: 1) $[-6; 1]$ және 3-тен оңдағы сәуле (дөңгелекше); 2) $-1$-ден солдағы сәуле (боялған) және 5-тен 9-ға дейін (дөңгелекше); 3) $[-2; 2]$ және 0-ден 4-ке дейін (дөңгелекше); 4) $-10$-нан $-7$-ге дейін (дөңгелекше) және $-7$-ден (дөңгелекше) 11-ге дейін (боялған).

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр суретті жақшалы жазбаға айналдырамыз. Сосын бөліктердің бір болып қосылатынын-қосылмайтынын қараймыз.

Шешуі.

1. $[-6; 1] \cup (3; +\infty)$ — бөліктер тимейді, жауап екі бөліктен тұрады.
2. $(-\infty; -1] \cup (5; 9)$ — бұл да екі кесек.
3. $[-2; 2] \cup (0; 4) = [-2; 4)$: кесектер бір-біріне түседі. Сол жағында $-2$ шеті кіреді, оң жағында 4 — кірмейді.
4. $(-10; -7) \cup (-7; 11]$: кесектер $-7$ нүктесінде түйіседі, бірақ бұл нүкте екеуінде де алынып тасталған. Сондықтан оны бір аралықпен жазуға болмайды.

Жауабы: 1) $[-6; 1] \cup (3; +\infty)$; 2) $(-\infty; -1] \cup (5; 9)$; 3) $[-2; 4)$; 4) $(-10; -7) \cup (-7; 11]$.

⚠️ Жиі кететін қате. № 951.4-те $(-10; 11]$ деп жазады. Бірақ $-7$ саны ешбір кесекке кірмейді, демек, бірігуге де кірмейді.

№ 952

77-суретте кескінделген сан аралықтарының қиылысуын табыңдар: 1) $(-\infty; 6]$ және $(-8; +\infty)$; 2) $[-11; 5]$ және $(-5; +\infty)$; 3) $(-6; 0]$ және $(3; 9]$; 4) $[-7; 4]$ және $(-5; 0)$.

Қалай ойлаймыз. Екі штрихтау да жатқан жерді іздейміз. Ортақ бөліктің сол шеті — екі сол шеттің оңдағысы. Оң шеті — екі оң шеттің солдағысы.

Шешуі.

1. Ортақ бөлігі: $-8$-ден (кірмейді) 6-ға дейін (кіреді) — $(-8; 6]$.
2. $-5$-тен (кірмейді) 5-ке дейін (кіреді) — $(-5; 5]$.
3. Біріншісі 0-де бітеді, екіншісі 3-тен кейін басталады — ортақ жоқ: $\varnothing$.
4. Екіншісі түгелдей біріншісінің ішінде — $(-5; 0)$.

Жауабы: 1) $(-8; 6]$; 2) $(-5; 5]$; 3) $\varnothing$; 4) $(-5; 0)$.

№ 953

Сан аралықтарының бірігуін табыңдар (953–954): 1) $(-\infty; 7)$ және $(6; +\infty)$; 2) $(-\infty; -4]$ және $(-5; 2)$; 3) $\left[-\frac{2}{3}; 10\right)$ және $[0; 8)$; 4) $\left(15\frac{1}{14}; 20\right]$ және $(0; +\infty)$.

Шешуі.

1. Сәулелер $(6; 7)$ аралығында бір-біріне түсіп, бірге бәрін жауып тұр: $(-\infty; +\infty)$.
2. Сол жағы — шексіздік, оң жағы — 2 шеті (кірмейді): $(-\infty; 2)$.
3. $[0; 8)$ түгелдей біріншісінің ішінде: $\left[-\frac{2}{3}; 10\right)$.
4. Біріншісі түгелдей сәуленің ішінде: $(0; +\infty)$.

Жауабы: 1) $(-\infty; +\infty)$; 2) $(-\infty; 2)$; 3) $\left[-\frac{2}{3}; 10\right)$; 4) $(0; +\infty)$.

№ 954

1) $(-\infty; 10)$ және $(-3; 6)$; 2) $(-\infty; 8]$ және $[7; +\infty)$; 3) $[2{,}4; 5)$ және $(4; 11]$; 4) $[-1{,}8; 0)$ және $[-1; 14]$ сан аралықтарының бірігуін табыңдар.

Шешуі.

1. Екіншісі біріншісінің ішінде: $(-\infty; 10)$.
2. Сәулелер $[7; 8]$ аралығында қабаттасады: $(-\infty; +\infty)$.
3. $(4; 5)$ аралығында қабаттасады: $[2{,}4; 11]$.
4. $[-1; 0)$ аралығында қабаттасады: $[-1{,}8; 14]$.

Жауабы: 1) $(-\infty; 10)$; 2) $(-\infty; +\infty)$; 3) $[2{,}4; 11]$; 4) $[-1{,}8; 14]$.

№ 955

Сан аралықтарының қиылысуын табыңдар (955–957): 1) $(-5; 1]$ және $[-6; 0)$; 2) $\left[-7\frac{1}{3}; 11\right)$ және $[-3; 5)$; 3) $\left(-\infty; 4\frac{2}{3}\right)$ және $[4; +\infty)$; 4) $(-19{,}2; 0)$ және $[-8; 8)$.

Қалай ойлаймыз. Сол шеті — сол шеттердің оңдағысы, оң шеті — оң шеттердің солдағысы. Жақшаны шеті таңдалған аралықтан аламыз.

Шешуі.

1. Сол шеттері $-5$ және $-6$ → $-5$ (дөңгелек). Оң шеттері 1 және 0 → 0 (дөңгелек). $(-5; 0)$.
2. $[-3; 5)$ біріншісінің ішінде жатыр — жауап сол.
3. 4-тен (кіреді) $4\frac{2}{3}$-ке дейін (кірмейді): $\left[4; 4\frac{2}{3}\right)$.
4. $-8$-ден (кіреді) 0-ге дейін (кірмейді): $[-8; 0)$.

Жауабы: 1) $(-5; 0)$; 2) $[-3; 5)$; 3) $\left[4; 4\frac{2}{3}\right)$; 4) $[-8; 0)$.

№ 956

1) $(-\infty; -7{,}9)$ және $(-12; 3)$; 2) $(-20; 1]$ және $[-1{,}9; +\infty)$; 3) $\left[8\frac{1}{9}; 35\right)$ және $(-7{,}5; 10]$; 4) $\left(\frac{7}{15}; 9\right]$ және $\left[-6; 5\frac{1}{2}\right)$ сан аралықтарының қиылысуын табыңдар.

Шешуі.

1. $-12$-ден $-7{,}9$-ға дейін, екеуі де кірмейді: $(-12; -7{,}9)$.
2. $-1{,}9$-дан (кіреді) 1-ге дейін (кіреді): $[-1{,}9; 1]$.
3. $8\frac{1}{9}$-дан (кіреді) 10-ға дейін (кіреді): $\left[8\frac{1}{9}; 10\right]$.
4. $\frac{7}{15}$-тен (кірмейді) $5\frac{1}{2}$-ге дейін (кірмейді): $\left(\frac{7}{15}; 5\frac{1}{2}\right)$.

Жауабы: 1) $(-12; -7{,}9)$; 2) $[-1{,}9; 1]$; 3) $\left[8\frac{1}{9}; 10\right]$; 4) $\left(\frac{7}{15}; 5\frac{1}{2}\right)$.

№ 957

1) $(-8; 13)$ және $(-3{,}7; 5)$; 2) $\left[-6\frac{2}{3}; 17{,}3\right]$ және $(-1; 0)$; 3) $\left(9\frac{3}{5}; 18\right]$ және $\left[-12; 4\frac{1}{2}\right)$; 4) $[-13; 5)$ және $[6; 12)$ сан аралықтарының қиылысуын табыңдар.

Шешуі.

1. Екіншісі біріншісінің ішінде: $(-3{,}7; 5)$.
2. Екіншісі біріншісінің ішінде: $(-1; 0)$.
3. Біріншісі $9\frac{3}{5}$-тен кейін басталады, екіншісі $4\frac{1}{2}$-ден бұрын бітеді — ортақ жоқ: $\varnothing$.
4. Біріншісі 5-ке дейін бітеді, екіншісі 6-дан басталады: $\varnothing$.

Жауабы: 1) $(-3{,}7; 5)$; 2) $(-1; 0)$; 3) $\varnothing$; 4) $\varnothing$.

№ 958

Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуын табыңдар (958–959): 1) $(-\infty; 3]$ және $[1; +\infty)$; 2) $(-4; 0]$ және $[4; 7)$; 3) $\left(-16\frac{3}{7}; 16\right]$ және $[-6; 6)$; 4) $\left(-\infty; \frac{1}{2}\right]$ және $\left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$.

Шешуі.

1. Қиылысуы $[1; 3]$; бірігуі $(-\infty; +\infty)$.
2. Тимейді: қиылысуы $\varnothing$; бірігуі $(-4; 0] \cup [4; 7)$.
3. Екіншісі біріншісінің ішінде: қиылысуы $[-6; 6)$; бірігуі $\left(-16\frac{3}{7}; 16\right]$.
4. $\frac{1}{2}$ саны тек біріншісінде бар. Ортақ сан жоқ: $\varnothing$. Бірге олар бүкіл түзуді жауып тұр: $(-\infty; +\infty)$.

Жауабы: 1) $[1; 3]$ және $(-\infty; +\infty)$; 2) $\varnothing$ және $(-4; 0] \cup [4; 7)$; 3) $[-6; 6)$ және $\left(-16\frac{3}{7}; 16\right]$; 4) $\varnothing$ және $(-\infty; +\infty)$.

№ 959

1) $(-5; 15)$ және $[4; 13)$; 2) $(-\infty; 4{,}5]$ және $[-4{,}5; +\infty)$; 3) $\left[-8\frac{3}{5}; 11\right]$ және $(-9; 2)$; 4) $\left[\frac{2}{3}; 5\right)$ және $(2; 6{,}7)$ сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 3-тармақта $-8\frac{3}{5} = -8{,}6$ мен $-9$ санын салыстыр: $-9$ солда жатыр.

Шешуі.

1. Қиылысуы $[4; 13)$; бірігуі $(-5; 15)$.
2. Қиылысуы $[-4{,}5; 4{,}5]$; бірігуі $(-\infty; +\infty)$.
3. Қиылысуы $\left[-8\frac{3}{5}; 2\right)$; бірігуі $(-9; 11]$.
4. Қиылысуы $(2; 5)$; бірігуі $\left[\frac{2}{3}; 6{,}7\right)$.

Жауабы: 1) $[4; 13)$ және $(-5; 15)$; 2) $[-4{,}5; 4{,}5]$ және $(-\infty; +\infty)$; 3) $\left[-8\frac{3}{5}; 2\right)$ және $(-9; 11]$; 4) $(2; 5)$ және $\left[\frac{2}{3}; 6{,}7\right)$.

№ 960

78-суретте кескінделген сан аралықтарының қиылысына $-10$; $-5$; 0; 4; 5 сандарының қайсысы тиісті: 1) $(-\infty; 7]$ және $(-9; +\infty)$; 2) $[-6; 6]$ және $(-11; 11)$; 3) $(-\infty; 13]$ және $(-\infty; -4)$; 4) $(-20; 8]$ және $(-11; 14)$?

Қалай ойлаймыз. Алдымен қиылысуды табамыз, сосын сандарды тексереміз.

Шешуі.

1. Қиылысуы $(-9; 7]$: $-5$, 0, 4, 5. Сан $-10$ кірмейді — ол $-9$-дан солда.
2. Қиылысуы $[-6; 6]$: $-5$, 0, 4, 5.
3. Қиылысуы $(-\infty; -4)$: $-10$, $-5$. Сандар 0, 4, 5 кірмейді.
4. Қиылысуы $(-11; 8]$: $-10$, $-5$, 0, 4, 5.

Жауабы: 1) $-5$, 0, 4, 5; 2) $-5$, 0, 4, 5; 3) $-10$, $-5$; 4) $-10$, $-5$, 0, 4, 5.

B деңгейі

№ 961

Бір координаталық түзуде: 1) санды интервал мен санды сәуле; 2) санды кесінді мен санды ашық сәуле салыңдар. Мүмкін болатын жағдайларды қарастырып, әр жағдай үшін сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сәуле интервалға «жетпеуі», оны жартылай қиып өтуі немесе түгелдей жауып тұруы мүмкін. $(2; 6)$ интервалы мен оңға қарай бағытталған сәуле арқылы талдайық.

Шешуі.

1. $(2; 6)$ интервалы және $[a; +\infty)$ сәулесі:
   • $[8; +\infty)$ — сәуле оңда: $\cap = \varnothing$, $\cup = (2; 6) \cup [8; +\infty)$;
   • $[6; +\infty)$ — түйіседі, бірақ 6 интервалда жоқ: $\cap = \varnothing$, $\cup = (2; 6) \cup [6; +\infty) = (2; +\infty)$;
   • $[4; +\infty)$ — жартылай: $\cap = [4; 6)$, $\cup = (2; +\infty)$;
   • $[1; +\infty)$ — сәуле интервалды жауып тұр: $\cap = (2; 6)$, $\cup = [1; +\infty)$. Солға қарай бағытталған сәулемен де бәрі солай, тек айна көрінісінде.
2. $[2; 6]$ кесіндісі және $(a; +\infty)$ ашық сәулесі:
   • $(8; +\infty)$: $\cap = \varnothing$, $\cup = [2; 6] \cup (8; +\infty)$;
   • $(6; +\infty)$: $\cap = \varnothing$, $\cup = [2; 6] \cup (6; +\infty) = [2; +\infty)$;
   • $(4; +\infty)$: $\cap = (4; 6]$, $\cup = [2; +\infty)$;
   • $(1; +\infty)$: $\cap = [2; 6]$, $\cup = (1; +\infty)$.

Жауабы: жағдайлар мен жауаптар — жоғарыдағы тізімде.

№ 962

1) $[-3; 3]$; 2) $\left(-\infty; 9\frac{1}{3}\right]$; 3) $\left[1\frac{2}{3}; 10\right)$ сан аралығы берілген. Қиылысуы жарты интервал болатындай етіп бір координаталық түзуде берілген сан аралығын және интервал салыңдар. Шыққан санды интервалды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Интервал аралықтың ішіне бір ұшымен «кіріп», екінші ұшымен шеттен шығып кетуі керек. Сонда қиылысудың бір шеті интервалдан (дөңгелек жақша), екіншісі берілген аралықтан келеді.

Шешуі. Мысалдар:

1. $(0; 5)$: $[-3; 3] \cap (0; 5) = (0; 3]$.
2. $(5; 12)$: $\left(-\infty; 9\frac{1}{3}\right] \cap (5; 12) = \left(5; 9\frac{1}{3}\right]$.
3. $(0; 5)$: $\left[1\frac{2}{3}; 10\right) \cap (0; 5) = \left[1\frac{2}{3}; 5\right)$.

Жауабы: мысалы, $(0; 5)$; $(5; 12)$; $(0; 5)$.

№ 963

1) $(1; 8)$ және $(-5; 7]$; 2) $[-2; 3]$ және $(-1; 5)$; 3) $(-\infty; 6]$ және $[4; +\infty)$; 4) $(-10; -2]$ және $[-7; 1)$ сан аралығының қиылысуына тиісті болатын барлық натурал сандарды табыңдар.

Шешуі.

1. $(1; 7]$: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
2. $(-1; 3]$: 1, 2, 3.
3. $[4; 6]$: 4, 5, 6.
4. $[-7; -2]$: натурал сан жоқ.

Жауабы: 1) 2, 3, 4, 5, 6, 7; 2) 1, 2, 3; 3) 4, 5, 6; 4) $\varnothing$.

№ 964

1) $(-3{,}4; 3]$ және $[-4; 5)$; 2) $(-9; 11]$ және $[-4; 3{,}1]$; 3) $(-\infty; 7{,}9]$ және $[-0{,}5; +\infty)$; 4) $\left(-6\frac{11}{12}; 0\right]$ және $[-8; 1)$ сан аралығының қиылысуына тиісті болатын барлық натурал сандарды табыңдар.

Шешуі.

1. $(-3{,}4; 3]$: 1, 2, 3.
2. $[-4; 3{,}1]$: 1, 2, 3.
3. $[-0{,}5; 7{,}9]$: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
4. $\left(-6\frac{11}{12}; 0\right]$: натурал сан жоқ.

Жауабы: 1) 1, 2, 3; 2) 1, 2, 3; 3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; 4) $\varnothing$.

№ 965

1) $(-10; 6)$ және $(1; +\infty)$; 2) $[5; 29]$ және $[20; +\infty)$; 3) $(-3; 13]$ және $[-4; +\infty)$; 4) $(21; +\infty)$ және $(-20; 21]$ сан аралығының қиылысуына тиісті болатын ең үлкен (ең кіші) натурал санды табыңдар.

Шешуі.

1. $(1; 6)$: ең үлкені 5, ең кішісі 2.
2. $[20; 29]$: 29 және 20.
3. $(-3; 13]$: 13 және 1.
4. Біріншісі — 21-ден үлкен сандар, екіншісі — 21-ден аспайтындар. Ортақ жоқ: $\varnothing$, натурал сан жоқ.

Жауабы: 1) 5 және 2; 2) 29 және 20; 3) 13 және 1; 4) мұндай сан жоқ.

C деңгейі

№ 966

1) $[3{,}5; 7{,}1]$ және $(1; 4{,}9)$; 2) $\left(-\infty; \frac{3}{7}\right]$ және $\left[-\frac{8}{9}; +\infty\right)$; 3) $(-\infty; +\infty)$ және $\left[-7\frac{1}{3}; 8\frac{1}{3}\right]$; 4) $(-5{,}1; 9{,}1)$ және $(-\infty; +\infty)$ сан аралығының қиылысуына тиісті болатын ең үлкен (ең кіші) бүтін санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл түзумен қиылысу — аралықтың өзі.

Шешуі.

1. $[3{,}5; 4{,}9)$: бүтін сан тек 4 — ол ең кіші де, ең үлкен де.
2. $\left[-\frac{8}{9}; \frac{3}{7}\right]$: тек 0.
3. $\left[-7\frac{1}{3}; 8\frac{1}{3}\right]$: ең үлкені 8, ең кішісі $-7$.
4. $(-5{,}1; 9{,}1)$: ең үлкені 9, ең кішісі $-5$.

Жауабы: 1) 4 және 4; 2) 0 және 0; 3) 8 және $-7$; 4) 9 және $-5$.

№ 967

1) $(-10; 5]$ және $(-3; 7]$; 2) $[-11; 9]$ және $[-2{,}5; 6{,}1)$; 3) $(-\infty; 4{,}8]$ және $[3{,}9; +\infty)$; 4) $(-\infty; -5{,}7)$ және $(-6{,}8; +\infty)$ сан аралығының қиылысуына тиісті болатын ең үлкен натурал санды және ең кіші бүтін санды көрсетіңдер.

Шешуі.

1. $(-3; 5]$: натурал сан 5, бүтін сан $-2$.
2. $[-2{,}5; 6{,}1)$: натурал сан 6, бүтін сан $-2$.
3. $[3{,}9; 4{,}8]$: 4 және 4.
4. $(-6{,}8; -5{,}7)$: натурал сан жоқ, бүтін сан $-6$.

Жауабы: 1) 5 және $-2$; 2) 6 және $-2$; 3) 4 және 4; 4) натурал сан жоқ, $-6$.

Қайталау

№ 968

1) $O(0)$; 2) $A(-1)$; 3) $B(3)$ нүктесінен: а) 2-ге тең; ә) 2-ден кіші; б) 2-ден үлкен қашықтықта орналасқан нүктелерді координаталық түзуде кескіндеңдер. Қай жағдайда интервал алынады?

Шешуі.

1. $O(0)$: а) $-2$ және 2; ә) $(-2; 2)$; б) $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
2. $A(-1)$: а) $-3$ және 1; ә) $(-3; 1)$; б) $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.
3. $B(3)$: а) 1 және 5; ә) $(1; 5)$; б) $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

Жауабы: интервал ә) жағдайында шығады: $(-2; 2)$, $(-3; 1)$, $(1; 5)$.

№ 969

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $37{,}6x - (10 - 41{,}2x) + 7{,}13$; 2) $8{,}8 + 13{,}19y - (15{,}1y + 20{,}02)$; 3) $\frac{0{,}3^2 + 0{,}4^2}{0{,}5^3} \cdot x - (200x + 8) \cdot \frac{1}{2^3}$; 4) $\frac{y \cdot (0{,}5^3 - 0{,}1)}{0{,}5^2} - (9y + 0{,}1)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашамыз (жақша алдындағы минус таңбаларды өзгертеді), ұқсас қосылғыштарды біріктіреміз.

Шешуі.

1. $37{,}6x - 10 + 41{,}2x + 7{,}13 = 78{,}8x - 2{,}87$.
2. $8{,}8 + 13{,}19y - 15{,}1y - 20{,}02 = -1{,}91y - 11{,}22$.
3. $\frac{0{,}09 + 0{,}16}{0{,}125} = \frac{0{,}25}{0{,}125} = 2$. Әрі қарай $2x - (25x + 1) = -23x - 1$.
4. $\frac{0{,}125 - 0{,}1}{0{,}25} = \frac{0{,}025}{0{,}25} = 0{,}1$. Әрі қарай $0{,}1y - 9y - 0{,}1 = -8{,}9y - 0{,}1$.

Жауабы: 1) $78{,}8x - 2{,}87$; 2) $-1{,}91y - 11{,}22$; 3) $-23x - 1$; 4) $-8{,}9y - 0{,}1$.

№ 970

2007 жылы Қызылорда облысында жиналған күріш мөлшері сол жылы республика бойынша жиналған күріштің 91,6%-ын құрады. Республикамыздың қалған аумақтарында қанша пайыз күріш өсірілген?

Шешуі. $100% - 91{,}6% = 8{,}4%$.

Жауабы: 8,4%.

🌟 Қызылорда облысы — Қазақстанның басты «күріш өлкесі»: егістіктерді Сырдария суымен суарады.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 971

Координаталық түзуде: 1) 3-тен үлкен; 2) $-2$-ден кіші сандарды көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бұл — ашық сәулелер: шеттері кірмейді, дөңгелекше саламыз.

Шешуі.

1. 3-те дөңгелекше, оңға қарай штрихтау — $(3; +\infty)$.
2. $-2$-де дөңгелекше, солға қарай штрихтау — $(-\infty; -2)$.

Жауабы: $(3; +\infty)$ және $(-\infty; -2)$.

Жадынама

• Бір аралықты үстінен, екіншісін астынан штрихтап сыз.
• Қиылысу — екі штрихтау да бар жер. Бірігу — ең болмағанда біреуі бар жер.
• Ортақ шетте екі аралықтың жақшаларына қара.
• Аралықтар тимесе, бірігуді $\cup$ арқылы екі кесек етіп жазады.

Шағын тест