§ 35. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 5 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер және олардың жүйесі. 55–58-беттер.

Нені үйренесің

• Басқа жазбалардың ішінен бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздікті тануды.
• Теңсіздіктің шешімі не екенін және «теңсіздікті шешу» нені білдіретінін түсінуді.
• Екі теңсіздіктің мәндес екенін тексеруді.
• Теңсіздікті бұзбайтын төрт ережені қолдануды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 971 тапсырмасы: түзуде 3-тен үлкен және $-2$-ден кіші сандарды көрсет.

• 3-тен үлкен сандардың аралығы қандай? $(3; +\infty)$ — ашық сәуле.
• $-2$-ден кіші сандардікі ше? $(-\infty; -2)$.
• $x + 5 = 12$ теңдеуін шеш. $x = 7$.
• $-2x = 8$ теңдеуін шеш. $x = -4$.

Тақырыпты талдаймыз

«Икс» бар теңсіздік

Батыр 4000 теңгелік доп алу үшін ақша жинап жатыр. Оның қазір 1500 теңгесі бар. Тағы қанша жинау керек? Кем дегенде 2500. Бұл былай жазылады: $1500 + x \ge 4000$.

Мұндағы $x$ — айнымалы, белгісіз сан. $ax < b$, $ax > b$, $ax \le b$, $ax \ge b$ түріндегі теңсіздіктерді бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер деп атайды. Мысалы: $7x > -2$, $x \ge -4$, $0{,}5x \le 3$.

📌 «Сызықтық» дегеніміз — $x$ бірінші дәрежеде тұр: квадраты жоқ, $x$-ке бөлу жоқ және екінші әріп жоқ.

Бөліктер және мүшелер

Таңбаның сол жағындағысы — сол жақ бөлігі, оң жағындағысы — оң жақ бөлігі. Әр қосылғыш — теңсіздіктің мүшесі. $0{,}8x - 1{,}6 > 3{,}5 + 7x$ теңсіздігінің мүшелері мыналар: $0{,}8x$, $-1{,}6$, $3{,}5$, $7x$.

«Шешу» дегеніміз не

Теңсіздіктің шешімі — қойғанда тура санды теңсіздік беретін сан. $20 + x > 24$ теңсіздігі үшін шешімі, мысалы, 8: $20 + 8 = 28 > 24$ ✓. Ал 3 — шешім емес: $23 > 24$ тура емес.

Теңсіздікті шешу — оның барлық шешімін табу немесе шешімі жоқ екенін көрсету. Әдетте шешімі шексіз көп, сондықтан жауапты аралықпен жазады. $20 + x > 24$ үшін бұл — $(4; +\infty)$.

Мәндес теңсіздіктер

Екі теңсіздіктің шешімдері бірдей болса (немесе екеуінің де шешімі болмаса), олар мәндес деп аталады. $x + 3 > 5$ және $x > 2$ мәндес: екеуі де $x$ 2-ден үлкен болғанда ғана тура.

$x > 2$ сияқты қарапайым теңсіздіктен жауап бірден көрінеді. Сондықтан күрделі теңсіздікті қадам сайын мәндес, одан қарапайымымен ауыстырады. Мұны төрт ереже бойынша жасауға болады.

📌 Төрт ереже.

1. Екі жағына да бірдей санды қосуға болады.
2. Қосылғышты теңсіздіктің басқа жағына таңбасын өзгертіп көшіруге болады.
3. Екі жағын да бірдей оң санға көбейтуге немесе бөлуге болады.
4. Екі жағын да бірдей теріс санға көбейтуге немесе бөлуге болады, бірақ теңсіздік таңбасын аудару керек.

⚠️ Жиі кететін қате. 4-ережені ұмытады. $-2x < 6$ теңсіздігін $-2$-ге бөліп, $x < -3$ деп жазады. Тексеріп көр: $x = 0$ $-2x < 6$ теңсіздігіне сәйкес келеді ($0 < 6$), ал $x < -3$ теңсіздігіне — келмейді. Дұрысы: $x > -3$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. 4-ережені «нөлді қою» немесе кез келген қарапайым санды қою арқылы тексерген ыңғайлы: оны теңсіздікке түрлендіруге дейін және кейін қойып көріңіз. Біреуінде тура, екіншісінде тура емес болса — таңбаны аудару бір жерде жіберіліп кеткен.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• **$\frac{x}{7} > 5$; $\frac{7}{x} > 5$; $x - 7 \le 2x$; $x + 7 < 0$; $(x - 7)(x + 7) < 0$; $x^2 - 7 < 0$ теңсіздіктерінің қайсысы бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік болады?** Сызықтық: $\frac{x}{7} > 5$, $x - 7 \le 2x$ (көшірумен $-x \le 7$ түріне келеді) және $x + 7 < 0$ (бұл $x < -7$). Сызықтық емес: $\frac{7}{x}$ теңсіздігінде $x$-ке бөледі, ал соңғы екеуінде $x^2$ шығады.
• $x - 7 > 2x$; $x > 2x + 7$; $x - 7 + 7 > 2x + 7$; $3x - 21 > 6x$ теңсіздіктері неге мәндес? Екіншісі біріншісінен $-7$-ні оң жағына көшіру арқылы шығады (2-ереже). Үшіншісі — біріншісінің екі жағына 7-ні қосу (1-ереже), ықшамдағаннан кейін ол екіншісі болады. Төртіншісі — біріншісін 3-ке көбейту (3-ереже).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 972

Берілген теңсіздіктердің қайсысы бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік болады: $x \ge -4$; $y < 2{,}5$; $x + 1 \ge y$; $3 + 15 < 20$; $xy \le \frac{1}{3}$; $7x > -2$?

Қалай ойлаймыз. Дәл бір әріп керек, және ол бірінші дәрежеде болуы тиіс.

Шешуі.

1. $x \ge -4$ — иә ($1 \cdot x \ge -4$).
2. $y < 2{,}5$ — иә.
3. $x + 1 \ge y$ — жоқ: екі айнымалы.
4. $3 + 15 < 20$ — жоқ: айнымалы жоқ, бұл санды теңсіздік.
5. $xy \le \frac{1}{3}$ — жоқ: екі айнымалы.
6. $7x > -2$ — иә.

Жауабы: сызықтықтары — 1, 2, 6.

№ 973

$x$ кіші 10-нан; $x$ үлкен немесе тең 4,9-ға; $x$ кіші немесе тең $-15\frac{2}{13}$-ге; $x$ кіші $-7{,}191$-ден тұжырымдарын теңсіздік түрінде жазыңдар.

Шешуі. 1) $x < 10$; 2) $x \ge 4{,}9$; 3) $x \le -15\frac{2}{13}$; 4) $x < -7{,}191$.

Жауабы: $x < 10$; $x \ge 4{,}9$; $x \le -15\frac{2}{13}$; $x < -7{,}191$.

№ 974

1) $y < 25{,}4$; 2) $y > -\frac{5}{17}$; 3) $y \le -1{,}8$; 4) $y \ge 33$; 5) $y > 0{,}19$; 6) $y < 10{,}1$ теңсіздігі тура болатындай $y$ айнымалысының үш мәнін атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Шекаранан қажетті жағындағы кез келген сан сәйкес келеді. Таңба қатаң емес болса, шекараның өзін де алуға болады.

Шешуі. Мысалдар:

1. $y < 25{,}4$: 0; 10; 25.
2. $y > -\frac{5}{17}$: 0; 1; 5.
3. $y \le -1{,}8$: $-1{,}8$; $-2$; $-10$.
4. $y \ge 33$: 33; 34; 100.
5. $y > 0{,}19$: 0,2; 1; 7.
6. $y < 10{,}1$: 10; 0; $-5$.

Жауабы: әрқайсысында әртүрлі; мысал жоғарыда.

№ 975

Берілген теңсіздіктер мәндес теңсіздіктер бола ма: 1) $x \ge -8$ және $x + 3 \ge -5$; 2) $y \le 10$ және $y - 1 \le 9$; 3) $x > 5$ және $5x > 25$; 4) $x < 3$ және $-3x > -9$; 5) $x < 20$ және $\frac{1}{2}x + 3 > 10$; 6) $y \ge -16$ және $-\frac{1}{4}y \le 4$?

Қалай ойлаймыз. Екінші теңсіздікті ережелер бойынша ықшамдап, біріншісімен салыстырамыз.

Шешуі.

1. $x + 3 \ge -5 \Rightarrow x \ge -8$ — иә.
2. $y - 1 \le 9 \Rightarrow y \le 10$ — иә.
3. $5x > 25 \Rightarrow x > 5$ — иә.
4. $-3x > -9$, $-3$-ке бөліп, таңбаны аударамыз: $x < 3$ — иә.
5. $\frac{1}{2}x > 7 \Rightarrow x > 14$. Ал біріншісі $x < 20$. Мысалы, $x = 0$ біріншіге сәйкес келеді, бірақ екіншіге — келмейді — жоқ.
6. $-\frac{1}{4}y \le 4$, $-4$-ке көбейтіп, таңбаны аударамыз: $y \ge -16$ — иә.

Жауабы: 1, 2, 3, 4, 6 мәндес; 5 мәндес емес.

№ 976

Мәндес теңсіздіктерді атаңдар: 1) $x < 12$ және $x - 5 < 7$; 2) $y \ge -4$ және $x + 7 \ge -11$; 3) $x - 4 > 9$ және $x > 13$; 4) $13 + x \le 10$ және $x \ge -3$.

Шешуі.

1. $x - 5 < 7 \Rightarrow x < 12$ — мәндес.
2. $x + 7 \ge -11 \Rightarrow x \ge -18$. Оның шешімдері — $-18$-ден бастап, ал біріншісінікі — $-4$-тен. $-10$ саны екіншіге сәйкес келеді, бірақ біріншіге — келмейді. Мәндес емес.
3. $x - 4 > 9 \Rightarrow x > 13$ — мәндес.
4. $13 + x \le 10 \Rightarrow x \le -3$, ал $x \ge -3$ емес. Мәндес емес.

Жауабы: 1 және 3 жұптары мәндес.

№ 977

Мәндес теңсіздіктерді көрсетіңдер: 1) $x + 4 > 5$ және $x > 1$; 2) $9 - x \le 10$ және $-x \le 1$; 3) $6y > -12$ және $y > -2$; 4) $-7x < 21$ және $x > -3$.

Шешуі.

1. 4-ті көшіреміз: $x > 1$ — иә.
2. 9-ды көшіреміз: $-x \le 1$ — иә.
3. 6-ға бөлеміз: $y > -2$ — иә.
4. $-7$-ге бөліп, таңбаны аударамыз: $x > -3$ — иә.

Жауабы: төрт жұп та мәндес.

B деңгейі

№ 978

1) $x$ пен $-18{,}5$-тің қосындысы 18,7-ден кіші немесе тең; 2) 20 және $9x$-тің айырымы 41,2-ден үлкен; 3) 61 мен $-y$-тің қосындысы $-0{,}01$-ден үлкен немесе тең; 4) 13 пен $7y$-тің айырымы 2,2 мен $-11y$-тің қосындысынан кіші деген тұжырымды теңсіздік арқылы жазыңдар.

Шешуі.

1. $x + (-18{,}5) \le 18{,}7$.
2. $20 - 9x > 41{,}2$.
3. $61 + (-y) \ge -0{,}01$.
4. $13 - 7y < 2{,}2 + (-11y)$.

Жауабы: 1) $x + (-18{,}5) \le 18{,}7$; 2) $20 - 9x > 41{,}2$; 3) $61 + (-y) \ge -0{,}01$; 4) $13 - 7y < 2{,}2 + (-11y)$.

№ 979

1) $7x - 4 \ge 0$; 2) $10 - 3x < 1{,}5$; 3) $4\frac{2}{3}x + 7{,}8 < -2{,}9$; 4) $20x - 3\frac{1}{7} \le 8\frac{2}{5}$ теңсіздігіне мәндес болатын қандай да бір теңсіздікті атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Ережені бір рет қолдану жеткілікті — мысалы, санды оң жағына көшіру.

Шешуі. Мысалдар:

1. $7x \ge 4$.
2. $-3x < -8{,}5$ (немесе $-1$-ге көбейткеннен кейін $3x > 8{,}5$).
3. $4\frac{2}{3}x < -10{,}7$.
4. $20x \le 8\frac{2}{5} + 3\frac{1}{7} = 11\frac{19}{35}$.

Жауабы: мысалы, $7x \ge 4$; $3x > 8{,}5$; $4\frac{2}{3}x < -10{,}7$; $20x \le 11\frac{19}{35}$.

№ 980

Берілген теңсіздіктердің мәндес болатынын дәлелдеңдер: 1) $20x - 11 \ge 19x + 18$ және $13x - 2 \ge 12x + 27$; 2) $35y - 12{,}8 < 1{,}2$ және $5y < 2$.

Қалай ойлаймыз. Екі теңсіздікті де «$x$ … сан» түріне дейін ықшамдаймыз. Бірдей шықса — олар мәндес.

Шешуі.

1. Біріншісі: $20x - 19x \ge 18 + 11$, $x \ge 29$. Екіншісі: $13x - 12x \ge 27 + 2$, $x \ge 29$. Бірдей.
2. Біріншісі: $35y < 14$, $y < 0{,}4$. Екіншісі: $y < 0{,}4$. Бірдей.

Жауабы: екі жағдайда да теңсіздіктер бір теңсіздікке келеді: $x \ge 29$ және $y < 0{,}4$.

C деңгейі

№ 981

$a$-ның қандай мәнінде берілген теңсіздіктер мәндес болады: 1) $15 + 5x \le x$ және $4x \le a$; 2) $-9y + 27 > 3$ және $3y < a$; 3) $14z + 40 < 41$ және $7z < a$; 4) $63 - 10t \ge 65$ және $5t \le a$?

Қалай ойлаймыз. Бірінші теңсіздікті екіншісінің түріне — әріптің алдындағы коэффициенті сондай болатындай етіп — келтіреміз. Сонда $a$ бірден көрінеді.

Шешуі.

1. $5x - x \le -15$, $4x \le -15$. Демек, $a = -15$.
2. $-9y > -24$, $-3$-ке бөліп, таңбаны аударамыз: $3y < 8$. $a = 8$.
3. $14z < 1$, 2-ге бөлеміз: $7z < 0{,}5$. $a = 0{,}5$.
4. $-10t \ge 2$, $-2$-ге бөліп, таңбаны аударамыз: $5t \le -1$. $a = -1$.

Жауабы: 1) $-15$; 2) 8; 3) 0,5; 4) $-1$.

№ 982

$a$-ның қандай мәнінде берілген теңсіздіктер мәндес болады: 1) $\frac{4}{7} + 13x \ge 10x + 3\frac{4}{7}$ және $2{,}5x + a \ge 1 - 0{,}5x$; 2) $19\frac{2}{9}y - 40 < 20y - 55$ және $\frac{2}{9}y + 7 < y + a$?

Қалай ойлаймыз. Екі теңсіздікті де «әріпі бар бірдей бөлік … сан» түріне келтіреміз. Сосын сандарды теңестіреміз.

Шешуі.

1. Біріншісі: $13x - 10x \ge 3\frac{4}{7} - \frac{4}{7}$, $3x \ge 3$, $x \ge 1$. Екіншісі: $2{,}5x + 0{,}5x \ge 1 - a$, $3x \ge 1 - a$. $1 - a = 3$ болуы керек, $a = -2$.
2. Жоғарыдағы қадамдар бойынша: $a = -8$.

Жауабы: 1) $-2$; 2) $-8$.

Қайталау

№ 983

Қайықтың меншікті жылдамдығы 7 км/сағ, өзен ағысының жылдамдығы 2,5 км/сағ. Қайық өзен ағысымен 3 сағ және өзен ағысына қарсы 2 сағ жүзді. Қайықтың жүзіп өткен жолын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жүргенде қайықтың және өзеннің жылдамдығы қосылады, ағысқа қарсы жүргенде — азайтылады.

Шешуі.

1. Ағыспен жылдамдығы: $7 + 2{,}5 = 9{,}5$ км/сағ. Жолы: $9{,}5 \cdot 3 = 28{,}5$ км.
2. Ағысқа қарсы жылдамдығы: $7 - 2{,}5 = 4{,}5$ км/сағ. Жолы: $4{,}5 \cdot 2 = 9$ км.
3. Барлық жолы: $28{,}5 + 9 = 37{,}5$ км.

Жауабы: 37,5 км.

№ 984

Төменде берілген кестені қолданып, әр жылдары республикамызда өсірілген ауылшаруашылық дақылдарының өнімділігін (ц/га) анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Дәрежелерді есептейміз, сосын қосамыз немесе азайтамыз.

Шешуі.

Жауабы: картоп — 139, 134, 150, 154, 159, 144 ц/га; көкөністер — 177, 186, 196, 201, 211, 188 ц/га.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 985

Теңдеуді шешіңдер: 1) $16{,}8x - 41 = 17x + 19$; 2) $31{,}6y + 93 = 32{,}1y - 2$.

Қалай ойлаймыз. Әріптерді сол жаққа, сандарды оң жаққа таңбасын өзгертіп көшіреміз. Теңсіздіктерді де жақында дәл солай шығарамыз.

Шешуі.

1. $16{,}8x - 17x = 19 + 41$; $-0{,}2x = 60$; $x = -300$.
2. $31{,}6y - 32{,}1y = -2 - 93$; $-0{,}5y = -95$; $y = 190$.

Жауабы: 1) $-300$; 2) 190.

Жадынама

• Сызықтық теңсіздікте бір айнымалы болады және ол бірінші дәрежеде тұрады.
• Қосу, көшіру, оң санға көбейту — таңба өзгермейді.
• Теріс санға көбейту немесе бөлу — таңба аударылады.
• Жауап әдетте — аралық.

Шағын тест