§ 36. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктерді шешу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 5 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер және олардың жүйесі. 59–64-беттер.

Нені үйренесің

• Теңсіздікті теңдеуге ұқсатып шешуді: қосылғыштарды көшіру, жақшаны ашу, бөлшектерден арылу.
• Негізгі ережені есте сақтауды: теріс санға бөлсең — таңбаны аудар.
• Жауапты сан аралығымен жазуды және оны түзуде салуды.
• Шешімі жоқ теңсіздікті ($\varnothing$) және кез келген сан сәйкес келетін теңсіздікті тануды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 985 тапсырмасы: онда теңдеулер шығардық, ал бүгін сол әдістер теңсіздіктерге керек болады.

• $16{,}8x - 41 = 17x + 19$ теңдеуін шеш. Көшіреміз: $16{,}8x - 17x = 19 + 41$, яғни $-0{,}2x = 60$, $x = 60 : (-0{,}2) = $ $-300$.
• $31{,}6y + 93 = 32{,}1y - 2$ теңдеуін шеш. $31{,}6y - 32{,}1y = -2 - 93$, $-0{,}5y = -95$, $y = $ 190.
• $-5 < -2$ тура ма? Ал $5 < 2$ ше? Біріншісі тура, екіншісі тура емес. Екі жағын да $-1$-ге көбейттік — теңсіздік «бұзылды». Мұны есіңде сақта.
• «4-тен кіші барлық сандар» аралығын қалай жазамыз? $(-\infty; 4)$. Жақша дөңгелек: 4 кірмейді.

💡 Теңдеу мен теңсіздік бірдей дерлік шешіледі. Айырмашылығы біреу ғана, бірақ өте қулық — бүкіл сабақ соның туралы.

Тақырыпты талдаймыз

Теңдеу сияқты, тек «жебемен»

$-4x + 17 > 15 + 6x$ теңсіздігін алайық. Теңдеудегідей істейміз: әріптерді — солға, сандарды — оңға, көшіргенде қосылғыштың таңбасын өзгертеміз.

$-4x - 6x > 15 - 17$, яғни $-10x > -2$.

Енді $-10$-ға бөлеміз. Сан теріс — демек, таңбаны аударамыз: $x < 0{,}2$.

📌 Қосылғыштарды бір бөліктен екіншісіне таңбасын өзгертіп көшіруге болады. Екі жағын да оң санға көбейтуге және бөлуге болады — таңба сақталады. Теріс санға — таңба қарама-қарсы таңбаға ауысады.

⚠️ Жиі кететін қате. $-10x > -2$ теңсіздігінен $x > 0{,}2$ деп жазады. Тексеріп көр: $x = 1$ ал. Сонда $-10 > -2$ — өтірік! Демек, таңбаны аудару керек еді.

Жауапты аралықпен жазамыз: $(-\infty; 0{,}2)$. Түзуден қара: 0,2-ден солдағы барлық сан сәйкес келеді, ал 0,2 нүктесінің өзі «алынып тасталған».

$x$ «жоғалып» кеткенде

Кейде көшіргеннен кейін әріп толық жоғалып кетеді. Мысалы, $9(-2x + 4) - 7(x + 3) < 15x - (40x - 7)$.

Жақшаны ашамыз: сол жағы $-18x + 36 - 7x - 21 = -25x + 15$, оң жағы $15x - 40x + 7 = -25x + 7$. Көшіреміз: $-25x + 25x < 7 - 15$, яғни $0 \cdot x < -8$.

Сол жағы әрдайым нөл. Ал $0 < -8$ — кез келген $x$ үшін өтірік. Демек, шешімі жоқ, $\varnothing$ (бос жиын) деп жазамыз.

Ал, мысалы, $0 \cdot x < 8$ шықса ше? Сонда $0 < 8$ — әрдайым тура. Кез келген сан сәйкес келеді: $(-\infty; +\infty)$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала шешіп болған соң жауаптағы бір санды және жауапқа кірмейтін бір санды қойып көрсін. Біріншісі тура теңсіздік берсе, ал екіншісі тура емес берсе — жауап, сірә, дұрыс. Бұл тақырыптағы ең жақсы өзін-өзі тексеру.

Бөлшектер — жойылсын

Теңсіздікте бөлшектер болса, екі жағын да ортақ бөлімге көбейт. Ол оң, сондықтан таңба өзгермейді.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Теңсіздікті шешу кезінде қандай түрлендірулер орындалады? Қосылғыштарды бөліктен бөлікке таңбасын өзгертіп көшіреді. Екі жағын да бірдей оң санға (таңба сол) немесе теріс санға (таңба қарама-қарсы таңбаға ауысады) көбейтеді не бөледі.
• $-4$; 0; 6 сандарының қайсысы $-9x > 0$ теңсіздігінің шешімі болады? $-9$-ға бөлеміз: $x < 0$. Тек **$-4$** сәйкес келеді. Тексеру: $-9 \cdot (-4) = 36 > 0$.
• $-2x > 8$; $-2x > -8$; $-2x < 8$; $2x < -8$ теңсіздіктерінің шешімі қандай сан аралығы болады? $x < -4$, яғни $(-\infty; -4)$; $x < 4$ — $(-\infty; 4)$; $x > -4$ — $(-4; +\infty)$; $x < -4$ — $(-\infty; -4)$.
• $0 \cdot x < -1$; $0 \cdot x < 1$; $0 \cdot x > -1$; $0 \cdot x > 1$ теңсіздіктерінің қанша шешімі бар? $0 < -1$ тура емес — шешімі жоқ. $0 < 1$ тура — шексіз көп (кез келген сан). $0 > -1$ тура — шексіз көп. $0 > 1$ тура емес — шешімі жоқ.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 986

Теңсіздіктердің шешімін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $y > 0$; 2) $y \le -3$; 3) $x < 3{,}5$; 4) $x \ge 4\frac{1}{2}$; 5) $z < 10$; 6) $z \ge -13\frac{2}{19}$.

Қалай ойлаймыз.

Шешуі.

1. $y > 0$: 0 нүктесі бос, оңға қарай штрихтау — $(0; +\infty)$.
2. $y \le -3$: $-3$ нүктесі боялған, солға қарай штрихтау — $(-\infty; -3]$.
3. $x < 3{,}5$: 3,5 нүктесі бос, солға — $(-\infty; 3{,}5)$.
4. $x \ge 4\frac{1}{2}$: 4,5 нүктесі боялған, оңға — $[4{,}5; +\infty)$.
5. $z < 10$: 10 нүктесі бос, солға — $(-\infty; 10)$.
6. $z \ge -13\frac{2}{19}$: нүкте боялған, оңға — $\left[-13\frac{2}{19}; +\infty\right)$.

Жауабы: $(0; +\infty)$; $(-\infty; -3]$; $(-\infty; 3{,}5)$; $[4{,}5; +\infty)$; $(-\infty; 10)$; $\left[-13\frac{2}{19}; +\infty\right)$.

№ 987

Теңсіздіктердің шешімін кескіндеңдер: 1) $t \ge -8$; 2) $z < 5{,}5$; 3) $k < -9\frac{1}{3}$; 4) $x > 10{,}7$; 5) $y \le 2\frac{1}{7}$; 6) $z < -11{,}1$.

Шешуі.

1. $-8$ нүктесі боялған, оңға: $[-8; +\infty)$.
2. 5,5 нүктесі бос, солға: $(-\infty; 5{,}5)$.
3. $-9\frac{1}{3}$ нүктесі бос, солға: $\left(-\infty; -9\frac{1}{3}\right)$.
4. 10,7 нүктесі бос, оңға: $(10{,}7; +\infty)$.
5. $2\frac{1}{7}$ нүктесі боялған, солға: $\left(-\infty; 2\frac{1}{7}\right]$.
6. $-11{,}1$ нүктесі бос, солға: $(-\infty; -11{,}1)$.

Жауабы: аралықтар жоғарыда.

№ 988

79-суретте кескінделген сан аралығы қандай теңсіздіктердің шешімі болады? Төрт түзуде: 1) $4\frac{1}{7}$ нүктесі боялған, штрихтау солға; 2) $-9\frac{2}{3}$ нүктесі боялған, штрихтау оңға; 3) $25\frac{3}{8}$ нүктесі бос, штрихтау оңға; 4) $-6\frac{5}{11}$ нүктесі бос, штрихтау солға.

Қалай ойлаймыз. Суретті «кері» оқимыз: боялған нүкте — сызықшасы бар таңба ($\le$, $\ge$), бос нүкте — қатаң таңба.

Шешуі. 1) $x \le 4\frac{1}{7}$; 2) $x \ge -9\frac{2}{3}$; 3) $x > 25\frac{3}{8}$; 4) $x < -6\frac{5}{11}$.

Жауабы: $x \le 4\frac{1}{7}$; $x \ge -9\frac{2}{3}$; $x > 25\frac{3}{8}$; $x < -6\frac{5}{11}$.

№ 989

Теңсіздікті шешіңдер (989–991): 1) $x - 3 < 10$; 2) $7 + x > 2$; 3) $x + 41 \le 10$; 4) $3x + 1 \ge -14$; 5) $8x - 5 \le 11$; 6) $1{,}2x + 2 > 0{,}4$.

Шешуі.

1. $x < 10 + 3$, $x < 13$.
2. $x > 2 - 7$, $x > -5$.
3. $x \le 10 - 41$, $x \le -31$.
4. $3x \ge -15$, $x \ge -5$.
5. $8x \le 16$, $x \le 2$.
6. $1{,}2x > -1{,}6$, $x > -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.

Жауабы: $(-\infty; 13)$; $(-5; +\infty)$; $(-\infty; -31]$; $[-5; +\infty)$; $(-\infty; 2]$; $\left(-1\frac{1}{3}; +\infty\right)$.

№ 990

1) $-y > 5$; 2) $-y \le -3$; 3) $-y < \frac{1}{7}$; 4) $-y \ge 6{,}1$; 5) $1 - 2y \ge 16$; 6) $29 > y - 27$ теңсіздігін шешіңдер.

Қалай ойлаймыз. $-y$ — бұл $(-1) \cdot y$. Екі жағын да $-1$-ге көбейтіп, таңбаны аударамыз.

Шешуі.

1. $y < -5$.
2. $y \ge 3$.
3. $y > -\frac{1}{7}$.
4. $y \le -6{,}1$.
5. $-2y \ge 15$, $-2$-ге бөлеміз: $y \le -7{,}5$.
6. $y - 27 < 29$, $y < 56$.

Жауабы: $(-\infty; -5)$; $[3; +\infty)$; $\left(-\frac{1}{7}; +\infty\right)$; $(-\infty; -6{,}1]$; $(-\infty; -7{,}5]$; $(-\infty; 56)$.

№ 991

1) $\frac{x}{5} < 21$; 2) $\frac{x}{4} > 10$; 3) $\frac{y}{3} \le -19$; 4) $8 - \frac{1}{2}y > 8$; 5) $11 + \frac{1}{9}z \ge 5$; 6) $0{,}5 - 10z < 1$ теңсіздігін шешіңдер.

Шешуі.

1. 5-ке көбейтеміз: $x < 105$.
2. 4-ке көбейтеміз: $x > 40$.
3. 3-ке көбейтеміз: $y \le -57$.
4. $-\frac{1}{2}y > 0$, $-2$-ге көбейтеміз: $y < 0$.
5. $\frac{1}{9}z \ge -6$, $z \ge -54$.
6. $-10z < 0{,}5$, $-10$-ға бөлеміз: $z > -0{,}05$.

Жауабы: $(-\infty; 105)$; $(40; +\infty)$; $(-\infty; -57]$; $(-\infty; 0)$; $[-54; +\infty)$; $(-0{,}05; +\infty)$.

№ 992

Теңсіздіктің шешімін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $20 + 2x > 0$; 2) $35 - 5x < 0$; 3) $81x + 9 \ge 0$; 4) $45 \le 4x + 1$; 5) $60 \ge 5 - 13x$; 6) $23x + 2 \le -21$.

Шешуі.

1. $2x > -20$, $x > -10$ — $-10$ нүктесі бос, оңға.
2. $-5x < -35$, $x > 7$ — 7 нүктесі бос, оңға.
3. $81x \ge -9$, $x \ge -\frac{1}{9}$ — нүкте боялған, оңға.
4. $44 \le 4x$, $x \ge 11$ — 11 нүктесі боялған, оңға.
5. $13x \ge 5 - 60 = -55$, $x \ge -\frac{55}{13} = -4\frac{3}{13}$ — нүкте боялған, оңға.
6. $23x \le -23$, $x \le -1$ — $-1$ нүктесі боялған, солға.

Жауабы: $(-10; +\infty)$; $(7; +\infty)$; $\left[-\frac{1}{9}; +\infty\right)$; $[11; +\infty)$; $\left[-4\frac{3}{13}; +\infty\right)$; $(-\infty; -1]$.

№ 993

Теңсіздікті шешіңдер (993–995): 1) $0{,}7x + 8 > 0{,}8x - 1$; 2) $9{,}5x - 11 \le 11{,}5x + 3$; 3) $\frac{2}{9}x - 3 < 3\frac{2}{9}x + 4$; 4) $29x + 4\frac{1}{4} \ge 33x + 3\frac{1}{3}$.

Шешуі.

1. $0{,}7x - 0{,}8x > -1 - 8$, $-0{,}1x > -9$, $x < 90$.
2. $9{,}5x - 11{,}5x \le 3 + 11$, $-2x \le 14$, $x \ge -7$.
3. $\frac{2}{9}x - 3\frac{2}{9}x < 4 + 3$, $-3x < 7$, $x > -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$.
4. $29x - 33x \ge 3\frac{1}{3} - 4\frac{1}{4}$, $-4x \ge -\frac{11}{12}$, $x \le \frac{11}{48}$.

Жауабы: $(-\infty; 90)$; $[-7; +\infty)$; $\left(-2\frac{1}{3}; +\infty\right)$; $\left(-\infty; \frac{11}{48}\right]$.

№ 994

1) $4y + 10 \ge 2(1 - y) + 24$; 2) $49 - 3(3 - 2z) \le 1 - 4z$; 3) $7(6 - 5t) - 5 < 1 - 41t$; 4) $-0{,}5(8x + 9) - 0{,}9 > 4x - 3$ теңсіздігін шешіңдер.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаны ашамыз, сосын бәрі әдеттегідей.

Шешуі.

1. $4y + 10 \ge 2 - 2y + 24$, $6y \ge 16$, $y \ge \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.
2. $49 - 9 + 6z \le 1 - 4z$, $10z \le -39$, $z \le -3{,}9$.
3. $42 - 35t - 5 < 1 - 41t$, $6t < -36$, $t < -6$.
4. $-4x - 4{,}5 - 0{,}9 > 4x - 3$, $-8x > 2{,}4$, $x < -0{,}3$.

Жауабы: $\left[2\frac{2}{3}; +\infty\right)$; $(-\infty; -3{,}9]$; $(-\infty; -6)$; $(-\infty; -0{,}3)$.

№ 995

1) $\frac{3x - 4}{2} > \frac{6 - 2x}{3}$; 2) $\frac{10 - x}{6} \ge \frac{x + 7}{5}$; 3) $\frac{3 + 2x}{12} \le \frac{3x - 2}{15}$; 4) $\frac{y - 5}{18} > \frac{6 - y}{24}$ теңсіздігін шешіңдер.

Қалай ойлаймыз. Ортақ бөлімге көбейтеміз: 6, 30, 60, 72. Ол оң — таңбаға тиіспейміз. 1-тармақ «Тақырыпты талдаймыз» бөлімінде қадам-қадаммен талданған.

Шешуі.

1. $9x - 12 > 12 - 4x$, $13x > 24$, $x > 1\frac{11}{13}$.
2. 30-ға көбейтеміз: $5(10 - x) \ge 6(x + 7)$, $50 - 5x \ge 6x + 42$, $-11x \ge -8$, $x \le \frac{8}{11}$.
3. 60-қа көбейтеміз: $5(3 + 2x) \le 4(3x - 2)$, $15 + 10x \le 12x - 8$, $-2x \le -23$, $x \ge 11{,}5$.
4. 72-ге көбейтеміз: $4(y - 5) > 3(6 - y)$, $4y - 20 > 18 - 3y$, $7y > 38$, $y > 5\frac{3}{7}$.

Жауабы: $\left(1\frac{11}{13}; +\infty\right)$; $\left(-\infty; \frac{8}{11}\right]$; $[11{,}5; +\infty)$; $\left(5\frac{3}{7}; +\infty\right)$.

№ 996

$a$ айнымалысының қандай мәндерінде 1) $8\frac{2}{7} - 5a$; 2) $9{,}3 + 4a$; 3) $11\frac{3}{11} - 31a$; 4) $11{,}11 + 11a$ өрнегі оң мәндерді қабылдайды?

Қалай ойлаймыз. «Оң» —

Шешуі.

1. $8\frac{2}{7} - 5a > 0$, $5a < \frac{58}{7}$, $a < \frac{58}{35} = 1\frac{23}{35}$.
2. $4a > -9{,}3$, $a > -2{,}325$.
3. $31a < \frac{124}{11}$, $a < \frac{4}{11}$.
4. $11a > -11{,}11$, $a > -1{,}01$.

Жауабы: $a < 1\frac{23}{35}$; $a > -2{,}325$; $a < \frac{4}{11}$; $a > -1{,}01$.

№ 997

$b$ айнымалысының қандай мәндерінде 1) $19{,}2 + \frac{1}{3}b$; 2) $\frac{4}{7} - 3\frac{1}{2}b$; 3) $0{,}05 - 0{,}2b$; 4) $202 + 50b$ өрнегі теріс мәндерді қабылдайды?

Шешуі. «

1. $\frac{1}{3}b < -19{,}2$, $b < -57{,}6$.
2. $-\frac{7}{2}b < -\frac{4}{7}$, $-\frac{7}{2}$-ге бөлеміз: $b > \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{7} = \frac{8}{49}$.
3. $-0{,}2b < -0{,}05$, $b > 0{,}25$.
4. $50b < -202$, $b < -4{,}04$.

Жауабы: $b < -57{,}6$; $b > \frac{8}{49}$; $b > 0{,}25$; $b < -4{,}04$.

№ 998

$x$ айнымалысының қандай мәндерінде: 1) $421 - 0{,}2x$ өрнегінің мәні 420-дан үлкен; 2) $\frac{4}{13}x + 8{,}91$ өрнегінің мәні 0,09-дан кіші; 3) $15{,}5x - 10\frac{1}{3}$ өрнегінің мәні $9\frac{2}{3}$-ден кіші немесе тең; 4) $1000 - 500x$ өрнегінің мәні 1001-ден үлкен немесе тең болады?

Шешуі.

1. $-0{,}2x > -1$, $x < 5$.
2. $\frac{4}{13}x < -8{,}82$, $x < -8{,}82 \cdot \frac{13}{4} = -28{,}665$.
3. $15{,}5x \le 20$, $x \le \frac{20}{15{,}5} = \frac{40}{31} = 1\frac{9}{31}$.
4. $-500x \ge 1$, $x \le -0{,}002$.

Жауабы: $x < 5$; $x < -28{,}665$; $x \le 1\frac{9}{31}$; $x \le -0{,}002$.

№ 999

Берілген теңсіздіктің шешімі болатын ең кіші натурал санды табыңдар: 1) $10 + 7x > 24$; 2) $19 - 6x < -5$; 3) $43x + 2 \le 45$; 4) $60 - 17x > -19$; 5) $83 + x < 84x$; 6) $-7 - 30x \le 5x$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен шығарамыз, сосын жауаптан ең кіші натурал санды (1, 2, 3, …) іздейміз.

Шешуі.

1. $7x > 14$, $x > 2$ → 3.
2. $-6x < -24$, $x > 4$ → 5.
3. $43x \le 43$, $x \le 1$ → 1.
4. $-17x > -79$, $x < 4\frac{11}{17}$ → 1, 2, 3, 4 сәйкес келеді; ең кішісі 1.
5. $83 < 83x$, $x > 1$ → 2.
6. $-7 \le 35x$, $x \ge -0{,}2$ → 1.

Жауабы: 3; 5; 1; 1; 2; 1.

№ 1000

Берілген теңсіздіктің шешімі болатын ең үлкен бүтін санды табыңдар: 1) $0{,}5x + 41{,}5 \le 42$; 2) $90 - \frac{1}{3}x > 91$; 3) $\frac{2}{3}x - 15 < 20$; 4) $18\frac{1}{9} \ge 0{,}2x + 18$; 5) $31 - 4\frac{1}{7}x > 2$; 6) $30{,}08 < -\frac{8}{9}x - 1{,}92$.

Шешуі.

1. $0{,}5x \le 0{,}5$, $x \le 1$ → 1.
2. $-\frac{1}{3}x > 1$, $x < -3$ → $-4$.
3. $\frac{2}{3}x < 35$, $x < 52{,}5$ → 52.
4. $\frac{1}{9} \ge 0{,}2x$, $x \le \frac{5}{9}$ → 0.
5. $-\frac{29}{7}x > -29$, $x < 7$ → 6.
6. $32 < -\frac{8}{9}x$, $x < -36$ → $-37$.

Жауабы: 1; $-4$; 52; 0; 6; $-37$.

⚠️ Жиі кететін қате. 2-тармақта «$-3$» деп жауап береді. Бірақ $x < -3$ — қатаң таңба, $-3$ сәйкес келмейді. Ең үлкен бүтін сан — $-4$.

B деңгейі

№ 1001

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $3{,}3x - 0{,}4(4 - 3x) \le 9{,}3 + 5(0{,}7 - x)$; 2) $9(0{,}5y + 1) - 3{,}1(1 - y) > 5{,}9 + 7{,}2y$; 3) $0{,}6(a - 2) - 0{,}2 \ge 0{,}8(a + 2) + 3{,}5$; 4) $-1{,}4 + 0{,}5(11b - 2) < -5{,}5b + 1{,}6$; 5) $5\frac{2}{3} + \frac{7}{3}(14x - 3) > \frac{4}{9}(18x - 2)$; 6) $\frac{5}{6}(7 + 9y) \le 14\frac{2}{3} - \frac{7}{8}(5y - 8)$.

Шешуі.

1. $3{,}3x - 1{,}6 + 1{,}2x \le 9{,}3 + 3{,}5 - 5x$; $9{,}5x \le 14{,}4$; $x \le \frac{144}{95} = 1\frac{49}{95}$.
2. $4{,}5y + 9 - 3{,}1 + 3{,}1y > 5{,}9 + 7{,}2y$; $7{,}6y + 5{,}9 > 5{,}9 + 7{,}2y$; $0{,}4y > 0$; $y > 0$.
3. $0{,}6a - 1{,}4 \ge 0{,}8a + 5{,}1$; $-0{,}2a \ge 6{,}5$; $a \le -32{,}5$.
4. $-1{,}4 + 5{,}5b - 1 < -5{,}5b + 1{,}6$; $11b < 4$; $b < \frac{4}{11}$.
5. 9-ға көбейтеміз: $51 + 21(14x - 3) > 4(18x - 2)$; $51 + 294x - 63 > 72x - 8$; $222x > 4$; $x > \frac{2}{111}$.
6. 24-ке көбейтеміз: $20(7 + 9y) \le 352 - 21(5y - 8)$; $140 + 180y \le 352 - 105y + 168$; $285y \le 380$; $y \le 1\frac{1}{3}$.

Жауабы: $\left(-\infty; 1\frac{49}{95}\right]$; $(0; +\infty)$; $(-\infty; -32{,}5]$; $\left(-\infty; \frac{4}{11}\right)$; $\left(\frac{2}{111}; +\infty\right)$; $\left(-\infty; 1\frac{1}{3}\right]$.

№ 1002

Ағаш отырғызу қар тоқтатуда үлкен рөл атқарады: 1) $1{,}6 \le \frac{2}{5}x \le 2$ теңсіздігінің шешімі — жауған қардың қанша пайызын аққайың ұстап қалатынын; 2) $-12 \le 9 - \frac{3}{5}x \le -3$ теңсіздігінің шешімі жауған қардың қанша пайызын емен ұстап қалатынын көрсетеді.

Қалай ойлаймыз. Қостеңсіздікті үш бөлігінде де бірден шешеміз: ортаңғы бөлікке не істесек — шеттеріне де соны істейміз.

Шешуі.

1. Барлық бөлігін $\frac{2}{5}$-ке бөлеміз (2,5-ке көбейтеміз): $4 \le x \le 5$.
2. 9-ды азайтамыз: $-21 \le -\frac{3}{5}x \le -12$. $-\frac{5}{3}$-ке көбейтіп, екі таңбаны да аударамыз: $35 \ge x \ge 20$, яғни $20 \le x \le 35$.

Жауабы: аққайың — қардың 4%-дан 5%-ға дейінін, емен — 20%-дан 35%-ға дейінін ұстап қалады.

💡 Салыстыр: емен қардың аққайыңға қарағанда бірнеше есе көбірегін ұстайды. Ағаш қанша көп бұтақ-жапырақ ұстаса, қар соншалықты көп кідіреді.

№ 1003

Айнымалының қандай мәндерінде: 1) $10x - 7$ және $7x + 8$ өрнектерінің қосындысы 13-тен артық; 2) $29y + 31$ және $25y + 5$ өрнектерінің айырымы 4-тен артық; 3) $51 - 17t$ және $39 + 23t$ өрнектерінің қосындысы $4t$-дан кіші; 4) $67z - 11$ және $19 + 69z$ өрнектерінің айырымы $6z$-тен кіші болады?

Қалай ойлаймыз. Айырымды жақшаға ал: $(67z - 11) - (19 + 69z)$, әйтпесе минусты жоғалтасың.

Шешуі.

1. $17x + 1 > 13$, $x > \frac{12}{17}$.
2. $4y + 26 > 4$, $y > -5{,}5$.
3. $90 + 6t < 4t$, $2t < -90$, $t < -45$.
4. $-2z - 30 < 6z$, $-8z < 30$, $z > -3{,}75$.

Жауабы: $x > \frac{12}{17}$; $y > -5{,}5$; $t < -45$; $z > -3{,}75$.

№ 1004

$y$ айнымалысының қандай мәндерінде: 1) $27 - 28y$ өрнегінің мәні $(2{,}5 - 2y) \cdot 6$ өрнегінің мәнінен артық; 2) $4{,}7 - 0{,}85y$ өрнегінің мәні $(y - 1) \cdot 3$ өрнегінің мәнінен артық; 3) $5(y + 2)$ өрнегінің мәні $6{,}8 - y$ өрнегінің мәнінен кем болады?

Шешуі.

1. $27 - 28y > 15 - 12y$, $-16y > -12$, $y < \frac{3}{4}$.
2. $4{,}7 - 0{,}85y > 3y - 3$, $-3{,}85y > -7{,}7$, $y < 2$.
3. $5y + 10 < 6{,}8 - y$, $6y < -3{,}2$, $y < -\frac{8}{15}$.

Жауабы: $\left(-\infty; \frac{3}{4}\right)$; $(-\infty; 2)$; $\left(-\infty; -\frac{8}{15}\right)$.

№ 1005

Теңсіздікті шешіңдер (1005–1006): 1) $\frac{x - 3}{14} - \frac{x - 7}{35} + \frac{2x + 3}{5} \ge 0{,}1$; 2) $\frac{5 - 3y}{11} + \frac{y - 4}{10} - \frac{2 + 3y}{2} < \frac{2}{11}$.

Шешуі.

1. Қадамдарды қара: $x \ge -1\frac{3}{31}$.
2. 110-ға көбейтеміз: $10(5 - 3y) + 11(y - 4) - 55(2 + 3y) < 20$; $50 - 30y + 11y - 44 - 110 - 165y < 20$; $-184y - 104 < 20$; $-184y < 124$; $y > -\frac{31}{46}$.

Жауабы: $\left[-1\frac{3}{31}; +\infty\right)$; $\left(-\frac{31}{46}; +\infty\right)$.

№ 1006

$b$ айнымалысының қандай мәндерінде $\frac{5b + 3}{2} - 1$ өрнегінің мәні $\frac{7 - 5b}{2}$ өрнегінің мәнінен артық немесе тең болады?

Шешуі. $\frac{5b + 3}{2} - 1 \ge \frac{7 - 5b}{2}$. 2-ге көбейтеміз: $5b + 3 - 2 \ge 7 - 5b$; $10b \ge 6$; $b \ge 0{,}6$.

Жауабы: $[0{,}6; +\infty)$.

№ 1007

$b$ айнымалысының қандай мәндерінде $\frac{b + 4}{2} - 2$ өрнегінің мәні $\frac{b}{2}$ өрнегінің мәнінен кіші немесе тең болады?

Шешуі. 2-ге көбейтеміз: $b + 4 - 4 \le b$, яғни $b \le b$, немесе $0 \cdot b \le 0$. Бұл әрдайым тура.

Жауабы: $b$-ның кез келген мәнінде: $(-\infty; +\infty)$.

№ 1008

$a$ айнымалысының қандай мәндерінде: 1) $\frac{3a - 2}{4}$ және $\frac{5a + 4}{3}$ өрнектерінің қосындысының мәні $\frac{a - 49}{6}$ өрнегінің мәнінен кем немесе тең; 2) $\frac{a + 1}{4}$ және $\frac{a - 2}{3}$ өрнектерінің айырымының мәні $\frac{5a}{2}$ өрнегінің мәнінен үлкен немесе тең болады?

Шешуі.

1. 12-ге көбейтеміз: $3(3a - 2) + 4(5a + 4) \le 2(a - 49)$; $29a + 10 \le 2a - 98$; $27a \le -108$; $a \le -4$.
2. 12-ге көбейтеміз: $3(a + 1) - 4(a - 2) \ge 30a$; $-a + 11 \ge 30a$; $31a \le 11$; $a \le \frac{11}{31}$.

Жауабы: $(-\infty; -4]$; $\left(-\infty; \frac{11}{31}\right]$.

C деңгейі

№ 1009

1) Тізбектей алынған үш натурал санның қосындысының мәні 74-тен үлкен. Осы сандардың ең кішісін табыңдар. 2) Тізбектей алынған үш бүтін санның қосындысы нөлден үлкен немесе тең. Осы бүтін сандардың ең кішісін табыңдар. 3) Жұп санның келесі жұп санмен қосындысының мәні 59-дан кіші. Осы екі санның ең үлкенін табыңдар. 4) Тақ санның келесі екі тақ санмен қосындысының мәні 95-тен үлкен. Осы тақ сандардың ең кішісін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірінші санды $n$ деп белгілейміз. Келесі натурал сан — $n + 1$, келесі жұп немесе тақ сан — $n + 2$.

Шешуі.

1. $3n + 3 > 74$, $n > 23\frac{2}{3}$ → 24 (тексеру: $24 + 25 + 26 = 75 > 74$).
2. $3n + 3 \ge 0$, $n \ge -1$ → $-1$ ($-1 + 0 + 1 = 0$).
3. $n + (n + 2) < 59$, $n < 28{,}5$; ең үлкен жұп сан → 28 ($28 + 30 = 58$).
4. $n + (n + 2) + (n + 4) > 95$, $n > 29\frac{2}{3}$; ең кіші тақ сан → 31 ($31 + 33 + 35 = 99$).

Жауабы: 24; $-1$; 28; 31.

№ 1010

1) Бригадаға бір күнде ұзындығы 50 м жол салу керек. Жоспарды 10%-ға артық орындау үшін бригада қанша километр жол салуы қажет? 2) Жұмысшы жоспар бойынша 45 тетік дайындауы керек. Жоспарды 9%-ға артық орындауы үшін ол қанша тетік дайындауы қажет?

Шешуі.

1. 50 м-дің 10%-ы — 5 м. Жоспардан артық орындау үшін $x > 50 + 5 = 55$ м керек.
2. 45-тің 9%-ы — $4{,}05$. $x > 49{,}05$ керек. Тетіктер бүтін, демек, кемінде 50.

Жауабы: 55 м-ден астам (яғни 0,055 км-ден астам); кемінде 50 тетік.

📕 Оқулықтағы шартта 1-тармақта «қанша километр» деп жазылған, бірақ жолдың ұзындығы метрмен берілген (50 м). Сондықтан жауап метрмен: 55 м-ден астам, ал километрмен — 0,055 км-ден астам.

№ 1011

Ұзындығы 7 см тіктөртбұрыштың периметрін 18 см-ге дейін арттыру үшін оның енін қандай ең кіші бүтін санға арттыру керек?

Қалай ойлаймыз. Ен периметрге екі рет кіреді. Енін $x$ см-ге арттырсақ, периметр $2x$ см-ге өседі. Шартты «периметр 18 см-ден астам өссін» деп түсінеміз.

Шешуі. $2x > 18$, $x > 9$. Ең кіші бүтін сан — 10. Ұзындығы 7 см жауапқа әсер етпейді.

Жауабы: 10 см-ге.

№ 1012

$x$ айнымалысының қандай мәндерінде теңдік тура болады: 1) $|6 - 3x| = 3x - 6$; 2) $|7x + 1{,}4| = 7x + 1{,}4$; 3) $\left|\frac{3}{4}x - 15\right| = 15 - \frac{3}{4}x$; 4) $\left|12 - \frac{6}{7}x\right| = 12 - \frac{6}{7}x$?

Қалай ойлаймыз. $a \ge 0$ болғанда $|a| = a$. $a \le 0$ болғанда $|a| = -a$. Демек, теңдік теңсіздікке айналады.

Шешуі.

1. $3x - 6 = -(6 - 3x)$, демек $6 - 3x \le 0$ керек: $x \ge 2$.
2. $7x + 1{,}4 \ge 0$ керек: $x \ge -0{,}2$.
3. $15 - \frac{3}{4}x = -\left(\frac{3}{4}x - 15\right)$, $\frac{3}{4}x - 15 \le 0$ керек: $x \le 20$.
4. $12 - \frac{6}{7}x \ge 0$ керек: $x \le 14$.

Жауабы: $x \ge 2$; $x \ge -0{,}2$; $x \le 20$; $x \le 14$.

№ 1013

$c$ айнымалысының қандай мәндерінде: 1) $4x + c = 5c - 2$ теңдеуінің түбірі теріс; 2) $6x - 7 = 3 - 5c$ теңдеуінің түбірі оң болады?

Қалай ойлаймыз. Алдымен түбірді $c$ арқылы табамыз, сосын таңбасына шарт қоямыз.

Шешуі.

1. $4x = 4c - 2$, $x = c - 0{,}5$. $c - 0{,}5 < 0$ керек: $c < 0{,}5$.
2. $6x = 10 - 5c$, $x = \frac{10 - 5c}{6}$. $10 - 5c > 0$ керек: $c < 2$.

Жауабы: $(-\infty; 0{,}5)$; $(-\infty; 2)$.

Қайталау

№ 1014

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(\left(22{,}22 : 110 - \frac{2^{6} \cdot 3}{10^{3}}\right) \cdot 5^{4} \cdot 2^{3} - 48\frac{7}{9}\right) : \frac{2}{3}$; 2) $7^{4} : 49 - 576 : \left(3 : \frac{1}{2^{3}}\right) - 2^{5}$.

Шешуі.

1. $22{,}22 : 110 = 0{,}202$; $\frac{64 \cdot 3}{1000} = 0{,}192$; айырымы $0{,}01$. Әрі қарай $0{,}01 \cdot 625 \cdot 8 = 50$; $50 - 48\frac{7}{9} = 1\frac{2}{9}$; $\frac{11}{9} : \frac{2}{3} = \frac{11}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$.
2. $49 - 24 - 32 = -7$.

Жауабы: 1) $1\frac{5}{6}$; 2) $-7$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1015

1) $(-3; 2{,}5]$ және $[0; 4)$; 2) $[0{,}7; 5)$ және $[1; 6)$; 3) $(-\infty; -15]$ және $[-14{,}9; 3]$; 4) $[-6; 11)$ және $[-3; +\infty)$ сан аралықтарының қиылысуын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қиылысу — ортақ бөлігі. Сол шекарасы — сол шекаралардың үлкені, оң шекарасы — оң шекаралардың кішісі.

Шешуі.

1. Сол жағынан 0-ді, оң жағынан 2,5-ті аламыз: $[0; 2{,}5]$.
2. $[1; 5)$.
3. Біріншісі $-15$-те бітеді, екіншісі $-14{,}9$-дан басталады — ортақ нүкте жоқ: $\varnothing$.
4. $[-3; 11)$.

Жауабы: $[0; 2{,}5]$; $[1; 5)$; $\varnothing$; $[-3; 11)$.

Жадынама

• Теңдеудегідей шығарамыз: жақша, көшіру, ұқсас қосылғыштар, бөлу.
• Теріс санға бөлсек — таңбаны аударамыз.
• Жауап — аралық: $x < 0{,}2$ → $(-\infty; 0{,}2)$.
• $x$ жоғалса: шыққан санды теңсіздіктің тура-тура емес екеніне қара.
• Өзін-өзі тексеру: жауаптағы санды және жауапқа кірмейтін санды қой.

Шағын тест