§ 37. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 5 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер және олардың жүйесі. 65–71-беттер.

Нені үйренесің

• Теңсіздіктер жүйесі мен оның шешімінің не екенін түсінуді.
• Жүйенің әрбір теңсіздігін шешіп, түзудегі ортақ бөлікті табуды.
• Жауапты қостеңсіздікпен немесе сан аралығымен жазуды.
• Жүйенің шешімі болмайтын жағдайды байқауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1015 тапсырмасы: сан аралықтарының қиылысуын табу. Бүгін дәл осы жүйені шешудің соңғы қадамы болады.

• $(-3; 2{,}5]$ және $[0; 4)$ аралықтарының қиылысуы қандай? $[0; 2{,}5]$ — ортақ бөлік.
• $[0{,}7; 5)$ және $[1; 6)$ аралықтарының қиылысуы қандай? $[1; 5)$.
• $(-\infty; -15]$ және $[-14{,}9; 3]$ аралықтарының қиылысуы қандай? Ортақ нүкте жоқ: $\varnothing$.
• $[-6; 11)$ және $[-3; +\infty)$ аралықтарының қиылысуы қандай? $[-3; 11)$.

💡 Жылдам қиылыстыру ережесі: сол жағынан сол шектердің үлкенін, оң жағынан оң шектердің кішісін аламыз. Сол шек оң шектен оңға түссе — қиылысу жоқ.

Тақырыпты талдаймыз

Бір мезгілде екі шарт

Екі теңсіздік бір мезгілде орындалуы керек болса, оларды фигуралық жақшамен біріктіреді:

$\begin{cases} 4x \le 17, \ 9x - 32 \ge 0. \end{cases}$

Бұл — теңсіздіктер жүйесі. Оның шешімі — әрбір теңсіздікті тура санды теңсіздікке айналдыратын сан.

4 санын тексерейік: $4 \cdot 4 = 16 \le 17$ — дұрыс; $9 \cdot 4 - 32 = 4 \ge 0$ — дұрыс. Демек, 4 — жүйенің шешімі. Ал 0 ше? Біріншісі дұрыс ($0 \le 17$), екіншісі дұрыс емес ($-32 \ge 0$ — жалған). Демек, 0 — шешім емес.

📌 Жүйені шешу үшін әр теңсіздікті жеке шешіп, содан кейін олардың ортақ бөлігін (қиылысуын) табу керек.

Екі штрихты саламыз

Шешеміз: $4x \le 17$ теңсіздігінен $x \le 4{,}25$; $9x - 32 \ge 0$ теңсіздігінен $x \ge \frac{32}{9} = 3\frac{5}{9}$.

Бір түзуде саламыз: бірінші штрихты түзудің үстіне, екіншісін астына саламыз. Екеуі қабаттасқан жер — жауап.

Жауабы: $\left[3\frac{5}{9}; 4{,}25\right]$ немесе $3\frac{5}{9} \le x \le 4{,}25$.

⚠️ Жиі кететін қате. Жүйені «немесе» деп шатастырады. Жүйеде екі шарт та орындалуы керек, сондықтан бір рет болса да штрихталғанның бәрін емес, ортақ бөлікті аламыз.

Жауап бос болғанда

$\begin{cases} x > 5, \ x < -3 \end{cases}$ жүйесі: бір штрих 5-тен оңға кетеді, екіншісі $-3$-тен солға кетеді. Олар кездеспейді. Шешімі жоқ: $\varnothing$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан «өзі түсінікті ғой» деп ойласа да, әрдайым түзу сызғызыңыз. Жүйелердегі қателердің жартысы таңдауда: ортақ бөлік пе, жоқ па, шеті кіре ме, кірмей ме. Суретте мұның бәрі бірден көрінеді.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Жүйенің бір теңсіздігінің шешімі болмаса, жүйенің шешімі бола ма? Жоқ. Жүйенің шешімі әрбір теңсіздікке сай болуы керек, ал біреуіне ешбір сан сәйкес келмейді.
• Бір теңсіздік $x$-тің кез келген мәнінде дұрыс болса, жүйенің шешімі қандай болады? Екінші теңсіздіктің шешімі. Біріншісі ешкімді «елемейді».

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1016

$-9$; $-3$; 0; 3; 6; 9; 13 сандарының қайсысы жүйенің шешімі болады: 1) $x \ge -20$, $x > -4$; 2) $x \le 10$, $x < 8$; 3) $x > 0$, $x \le 5$; 4) $x \ge -9$, $x < 6$?

Қалай ойлаймыз. Алдымен ортақ бөлікті табамыз, содан кейін сәйкес сандарды таңдаймыз.

Шешуі.

1. Ортақ бөлік $x > -4$: $-3$; 0; 3; 6; 9; 13.
2. Ортақ бөлік $x < 8$: $-9$; $-3$; 0; 3; 6.
3. $0 < x \le 5$: тек 3.
4. $-9 \le x < 6$: $-9$; $-3$; 0; 3 (6 кірмейді — таңба қатаң).

Жауабы: 1) $-3$, 0, 3, 6, 9, 13; 2) $-9$, $-3$, 0, 3, 6; 3) 3; 4) $-9$, $-3$, 0, 3.

№ 1017

$-4$; $-0{,}5$; 3; 6; 7; 8,7; 15 сандарының арасынан жүйенің шешімі болатын сандарды теріп жазыңдар: 1) $x > 3$, $x \le 10$; 2) $x \ge -1$, $x < 7$; 3) $x < 25$, $x \ge -5$; 4) $x \le 4$, $x \ge -8$.

Шешуі.

1. $3 < x \le 10$: 6; 7; 8,7.
2. $-1 \le x < 7$: $-0{,}5$; 3; 6.
3. $-5 \le x < 25$: барлық жеті сан.
4. $-8 \le x \le 4$: $-4$; $-0{,}5$; 3.

Жауабы: 1) 6, 7, 8,7; 2) $-0{,}5$, 3, 6; 3) барлық сан; 4) $-4$, $-0{,}5$, 3.

№ 1018

81-суретте кескінделген сан аралықтарын қостеңсіздіктер арқылы жазыңдар: 1) $-5$-тен (боялған) 6-ға (боялған) дейін; 2) $-1{,}5$-тен (бос) 2,5-ке (бос) дейін; 3) $-8{,}9$-дан (бос) $-0{,}6$-ға (боялған) дейін; 4) $-13$-тен (боялған) 19-ға (бос) дейін.

Қалай ойлаймыз. Боялған нүкте — $\le$ таңбасы, бос нүкте —

Шешуі. 1) $-5 \le x \le 6$; 2) $-1{,}5 < x < 2{,}5$; 3) $-8{,}9 < x \le -0{,}6$; 4) $-13 \le x < 19$.

Жауабы: жоғарыдағы жазбалар.

№ 1019

82-суретте кескінделген сан аралықтарын жазыңдар: 1) бірінші түзуде — 2 бос нүкте, штрих оңға; екіншісінде — 5 боялған нүкте, штрих оңға. 2) бірінші түзуде — $-4$ боялған нүкте, штрих солға; екіншісінде — $-10$ бос нүкте, штрих оңға.

Шешуі.

1. Ең қарапайым жүйе: $\begin{cases} x > 2, \ x \ge 5. \end{cases}$ Оның шешімі $[5; +\infty)$. «Бүркемелеп» те жазуға болады, мысалы $\begin{cases} 3x > 6, \ x - 5 \ge 0. \end{cases}$
2. $\begin{cases} x \le -4, \ x > -10. \end{cases}$ Шешімі $(-10; -4]$. Басқа нұсқа: $\begin{cases} 2x + 8 \le 0, \ x + 10 > 0. \end{cases}$

Жауабы: мысалы, $\begin{cases} x > 2, \ x \ge 5 \end{cases}$ және $\begin{cases} x \le -4, \ x > -10. \end{cases}$

№ 1020

Берілген қостеңсіздікті сан аралығы арқылы жазып, координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $3 < x \le 12$; 2) $-19 \le x < 0$; 3) $-27 \le x \le -3$; 4) $-9\frac{1}{9} < x < 3{,}5$; 5) $0{,}27 \le x \le 4$; 6) $-5{,}6 < x \le 4\frac{2}{7}$.

Шешуі.

1. $(3; 12]$; 2) $[-19; 0)$; 3) $[-27; -3]$; 4) $\left(-9\frac{1}{9}; 3{,}5\right)$; 5) $[0{,}27; 4]$; 6) $\left(-5{,}6; 4\frac{2}{7}\right]$.

Жауабы: жоғарыдағы аралықтар.

№ 1021

Берілген сан аралығын қостеңсіздік арқылы жазыңдар: 1) $(-45; 1]$; 2) $[-7; 7]$; 3) $[-1; 28]$; 4) $\left(-\frac{1}{15}; \frac{2}{17}\right)$; 5) $\left[-0{,}15; 4\frac{3}{7}\right)$; 6) $[0; 49{,}5]$.

Шешуі. 1) $-45 < x \le 1$; 2) $-7 \le x \le 7$; 3) $-1 \le x \le 28$; 4) $-\frac{1}{15} < x < \frac{2}{17}$; 5) $-0{,}15 \le x < 4\frac{3}{7}$; 6) $0 \le x \le 49{,}5$.

Жауабы: жоғарыдағы жазбалар.

№ 1022

Берілген теңсіздіктер жүйесіне мәндес болатын теңсіздіктің шешімін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $x > 1$, $x \ge 3$; 2) $x \ge -5$, $x > 2$; 3) $x > 0$, $x > -4$; 4) $x \ge -3$, $x \ge -8$.

Қалай ойлаймыз. Екі таңба да «үлкен» — екі штрих те оңға кетеді. Ортақ бөлік екі нүктенің оң жақтағысынан басталады.

Шешуі. 1) $x \ge 3$; 2) $x > 2$; 3) $x > 0$; 4) $x \ge -3$.

Жауабы: $[3; +\infty)$; $(2; +\infty)$; $(0; +\infty)$; $[-3; +\infty)$.

№ 1023

Берілген теңсіздіктер жүйесіне мәндес болатын теңсіздіктің шешімін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $x < 2{,}5$, $x < -1{,}7$; 2) $x \ge 7\frac{2}{3}$, $x > 7$; 3) $x \le 8{,}01$, $x \le 8\frac{1}{3}$; 4) $x < 10$, $x < -6$.

Қалай ойлаймыз. Екеуі де «кіші» — сол жақтағы нүктені аламыз. Екеуі де «үлкен» — оң жақтағыны.

Шешуі. 1) $x < -1{,}7$; 2) $x \ge 7\frac{2}{3}$; 3) $x \le 8{,}01$ (себебі $8{,}01 < 8{,}33\ldots$); 4) $x < -6$.

Жауабы: $(-\infty; -1{,}7)$; $\left[7\frac{2}{3}; +\infty\right)$; $(-\infty; 8{,}01]$; $(-\infty; -6)$.

№ 1024

Берілген теңсіздіктер жүйесіне мәндес болатын қостеңсіздіктің шешімін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $x > -3$, $x \le 4$; 2) $x < 17$, $x \ge -1$; 3) $x \ge -11$, $x \le 0$; 4) $x > -4$, $x < 24$.

Шешуі. Екі нүктенің арасын штрихтаймыз. 1) $(-3; 4]$; 2) $[-1; 17)$; 3) $[-11; 0]$; 4) $(-4; 24)$.

Жауабы: $(-3; 4]$; $[-1; 17)$; $[-11; 0]$; $(-4; 24)$.

№ 1025

$x > 5$, $x \le 7$ теңсіздіктер жүйесінің шешімі болатын барлық натурал сандарды жазыңдар.

Шешуі. $5 < x \le 7$: 6 және 7 сәйкес келеді.

Жауабы: 6; 7.

№ 1026

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $x > 5$, $-x > 3$; 2) $-x \le 2$, $x < 0$; 3) $-x \le -7$, $x \le 10$; 4) $x \le -1$, $-x < 9$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $x$ алдындағы минустан құтыламыз: $-1$-ге көбейтіп, таңбаны керіге ауыстырамыз.

Шешуі.

1. $x > 5$ және $x < -3$ — ортақ бөлік жоқ: $\varnothing$.
2. $x \ge -2$ және $x < 0$: $[-2; 0)$.
3. $x \ge 7$ және $x \le 10$: $[7; 10]$.
4. $x \le -1$ және $x > -9$: $(-9; -1]$.

Жауабы: $\varnothing$; $[-2; 0)$; $[7; 10]$; $(-9; -1]$.

№ 1027

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $-x > 2\frac{1}{3}$, $x > -2$; 2) $-x > 2{,}7$, $-x < 4$; 3) $-x \ge -15\frac{1}{5}$, $-x \le 15$; 4) $-x > -11$, $-x > 0{,}9$.

Шешуі.

1. $x < -2\frac{1}{3}$ және $x > -2$ — ортақ бөлік жоқ: $\varnothing$.
2. $x < -2{,}7$ және $x > -4$: $(-4; -2{,}7)$.
3. $x \le 15{,}2$ және $x \ge -15$: $[-15; 15{,}2]$.
4. $x < 11$ және $x < -0{,}9$: $(-\infty; -0{,}9)$.

Жауабы: $\varnothing$; $(-4; -2{,}7)$; $[-15; 15{,}2]$; $(-\infty; -0{,}9)$.

№ 1028

Шешіңдер: 1) $2x + 12 > 0$, $3x - 9 \le 0$; 2) $5x - 25 < 0$, $4x + 16 > 0$; 3) $1{,}1x + 1{,}1 \le 0$, $8x - 16 < 0$.

Шешуі.

1. $x > -6$ және $x \le 3$: $(-6; 3]$.
2. $x < 5$ және $x > -4$: $(-4; 5)$.
3. $x \le -1$ және $x < 2$: $(-\infty; -1]$.

Жауабы: $(-6; 3]$; $(-4; 5)$; $(-\infty; -1]$.

№ 1029

Шешіңдер: 1) $7x - 21 \le 0$, $1 - x > 0$; 2) $25 - 5x \ge 0$, $3x - 18 < 0$; 3) $1{,}2 - 0{,}6x > 0$, $9x + 27 \le 0$.

Шешуі.

1. $x \le 3$ және $x < 1$: $(-\infty; 1)$.
2. $x \le 5$ және $x < 6$: $(-\infty; 5]$.
3. $x < 2$ және $x \le -3$: $(-\infty; -3]$.

Жауабы: $(-\infty; 1)$; $(-\infty; 5]$; $(-\infty; -3]$.

№ 1030

Шешіңдер: 1) $20x + 40 \le 0$, $\frac{2}{9} - \frac{4}{27}x > 0$; 2) $3\frac{1}{3} - 10x < 0$, $1{,}6 - 4{,}8x < 0$; 3) $10 + 5x > -20$, $\frac{5}{11} - \frac{20}{33}x \ge 0$.

Шешуі.

1. $x \le -2$; $\frac{4}{27}x < \frac{2}{9}$, $x < \frac{2}{9} \cdot \frac{27}{4} = 1{,}5$. Ортақ бөлік: $(-\infty; -2]$.
2. $10x > \frac{10}{3}$, $x > \frac{1}{3}$; $4{,}8x > 1{,}6$, $x > \frac{1}{3}$. Ортақ бөлік: $\left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$.
3. $5x > -30$, $x > -6$; $\frac{20}{33}x \le \frac{5}{11}$, $x \le \frac{5}{11} \cdot \frac{33}{20} = 0{,}75$. Ортақ бөлік: $(-6; 0{,}75]$.

Жауабы: $(-\infty; -2]$; $\left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$; $(-6; 0{,}75]$.

B деңгейі

№ 1031

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $2(x + 5) < 2 - 2x$, $3(2 - x) \ge 3 - x$; 2) $3(x + 8) > 9 - 2x$, $3(x + 4) \ge x + 5$.

Шешуі.

1. $2x + 10 < 2 - 2x$, $4x < -8$, $x < -2$. $6 - 3x \ge 3 - x$, $-2x \ge -3$, $x \le 1{,}5$. Ортақ бөлік: $(-\infty; -2)$.
2. $3x + 24 > 9 - 2x$, $5x > -15$, $x > -3$. $3x + 12 \ge x + 5$, $2x \ge -7$, $x \ge -3{,}5$. Ортақ бөлік: $(-3; +\infty)$.

Жауабы: $(-\infty; -2)$; $(-3; +\infty)$.

№ 1032

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $\frac{x + 1}{2} \le \frac{x + 0{,}5}{3}$, $1{,}5x - 1 \le 2x + 1$; 2) $\frac{2x + 1}{5} \ge \frac{x + 0{,}6}{2}$, $1 - 1{,}5x < 3{,}5 - x$.

Шешуі.

1. Қадамдарды қара: $[-4; -2]$.
2. Біріншісін 10-ға көбейтеміз: $2(2x + 1) \ge 5(x + 0{,}6)$, $4x + 2 \ge 5x + 3$, $x \le -1$. Екіншісі: $-0{,}5x < 2{,}5$, $x > -5$. Ортақ бөлік: $(-5; -1]$.

Жауабы: $[-4; -2]$; $(-5; -1]$.

№ 1033

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $4(x + 1) \ge 3(x + 3) - x$, $2(2x - 1) \ge 7(x + 1)$; 2) $4(x + 1) < 3(x - 3) - x$, $4(2x - 1) \le 3(3x - 2)$.

Шешуі.

1. $4x + 4 \ge 2x + 9$, $x \ge 2{,}5$. $4x - 2 \ge 7x + 7$, $-3x \ge 9$, $x \le -3$. 2,5-тен оңда да, $-3$-тен солда да бір мезгілде болу мүмкін емес: $\varnothing$.
2. $4x + 4 < 2x - 9$, $x < -6{,}5$. $8x - 4 \le 9x - 6$, $x \ge 2$. Ортақ бөлік жоқ: $\varnothing$.

Жауабы: екі жүйенің де шешімі жоқ: $\varnothing$; $\varnothing$.

№ 1034

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $3x + (5x - 2) \le 3 - 2x$, $4(5x - 1) - 21x \ge 1 - 3x$; 2) $7 - 11x < 9x - 2(5x + 7)$, $6 - x > 2(1 - 4x) - 3(1 - 3x)$.

Шешуі.

1. $8x - 2 \le 3 - 2x$, $10x \le 5$, $x \le 0{,}5$. $-x - 4 \ge 1 - 3x$, $2x \ge 5$, $x \ge 2{,}5$. Ортақ бөлік жоқ: $\varnothing$.
2. Біріншісінің оң жағы: $9x - 10x - 14 = -x - 14$. $7 - 11x < -x - 14$, $-10x < -21$, $x > 2{,}1$. Екіншісінің оң жағы: $2 - 8x - 3 + 9x = x - 1$. $6 - x > x - 1$, $-2x > -7$, $x < 3{,}5$. Ортақ бөлік: $(2{,}1; 3{,}5)$.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда (2,1; 3,5] тұр, бірақ дұрысы (2,1; 3,5): екінші теңсіздікте таңба қатаң, сондықтан 3,5 кірмейді.

Жауабы: $\varnothing$; $(2{,}1; 3{,}5)$.

C деңгейі

№ 1035

Теңсіздіктер жүйесінің шешімі болатын барлық бүтін сандарды табыңдар: 1) $x - 1 > \frac{2x - 0{,}5}{3}$, $\frac{7x + 12}{8} \ge x + 1$; 2) $\frac{9x - 13}{8} > x - 2$, $1 + x > \frac{10x + 6}{9}$; 3) $x - 1 \ge \frac{12x - 15}{13}$, $\frac{3x + 5}{4} > x + 1$.

Шешуі.

1. $3x - 3 > 2x - 0{,}5$, $x > 2{,}5$. $7x + 12 \ge 8x + 8$, $x \le 4$. $(2{,}5; 4]$ аралығы: бүтін сандар 3, 4.
2. $9x - 13 > 8x - 16$, $x > -3$. $9 + 9x > 10x + 6$, $x < 3$. Бүтін сандар: $-2$, $-1$, 0, 1, 2.
3. $13x - 13 \ge 12x - 15$, $x \ge -2$. $3x + 5 > 4x + 4$, $x < 1$. Бүтін сандар: $-2$, $-1$, 0.

Жауабы: 1) 3, 4; 2) $-2$, $-1$, 0, 1, 2; 3) $-2$, $-1$, 0.

№ 1036

Теңсіздіктер жүйесінің шешімі болатын барлық натурал сандарды табыңдар: 1) $\frac{7{,}4x + 23}{21} \le 1 + 0{,}4x$, $3x - 5 \le \frac{20x - 31}{7}$; 2) $1 - 2x \le \frac{28 - 53x}{27}$, $0{,}1x + 3 < \frac{13 - 0{,}7x}{3}$.

Шешуі.

1. $7{,}4x + 23 \le 21 + 8{,}4x$, $-x \le -2$, $x \ge 2$. $21x - 35 \le 20x - 31$, $x \le 4$. Натурал сандар: 2, 3, 4.
2. $27 - 54x \le 28 - 53x$, $-x \le 1$, $x \ge -1$. $0{,}3x + 9 < 13 - 0{,}7x$, $x < 4$. Натурал сандар: 1, 2, 3.

Жауабы: 1) 2, 3, 4; 2) 1, 2, 3.

№ 1037

Егер бүтін санның $\frac{3}{10}$-іне 0,25-ті қосса, онда 5-тен кіші, егер ол бүтін санның $\frac{7}{9}$-ден $\frac{1}{3}$-ді азайтса, онда 11-ден үлкен сан шығады. Берілген бүтін санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі шарт — демек, жүйе.

Шешуі.

1. $0{,}3n + 0{,}25 < 5$, $0{,}3n < 4{,}75$, $n < 15\frac{5}{6}$.
2. $\frac{7}{9}n - \frac{1}{3} > 11$, $\frac{7}{9}n > \frac{34}{3}$, $7n > 102$, $n > 14\frac{4}{7}$.
3. $14\frac{4}{7}$ пен $15\frac{5}{6}$ арасында бір ғана бүтін сан бар — 15.

Жауабы: 15.

№ 1038

Төмендегі теңсіздіктер жүйесінің шешімі елімізде әр кезеңдерде өмір сүрген ғалымдар мен музыканттар туралы мағлұматтар береді: 1) әл-Фараби: $0{,}01x - 0{,}7 \ge 8$, $0{,}1x + 5 \le 100$ (ол 70 тілді меңгерген және 160-тан астам ғылыми еңбектер жазған); 2) Мұхаммед Хайдар Дулати — Орта Азияның тарихшысы: $x + 1 \ge 1500$, $x - 51 \le 1500$; 3) халық музыкасының классигі Құрманғазы Сағырбайұлы: $x + 207 \ge 45^{2}$, $x - 664 \le 35^{2}$; 4) ағартушы-педагог Ыбырай Алтынсарин: $x \le 2^{6} \cdot 5^{2} + 289$, $x \ge 10^{3} + 3^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2} - 2 \cdot 5^{3} + 191$; 5) ұлттық музыканың классигі атанған, ұлы композитор, «Қыз Жібек», «Дударай», «Ер Тарғын» операларының авторы Евгений Григорьевич Брусиловский: $\frac{1}{3}x \ge 635$, $0{,}1x + 1{,}9 \le 2^{3} \cdot 5^{2}$. Мұндағы $x$ — олардың өмір сүрген жылдары.

Қалай ойлаймыз. Жауаптың сол шегі — туған жылы, оң шегі — қайтыс болған жылы.

Шешуі.

1. $0{,}01x \ge 8{,}7$, $x \ge 870$; $0{,}1x \le 95$, $x \le 950$. 870–950.
2. $x \ge 1499$; $x \le 1551$. 1499–1551.
3. $45^2 = 2025$, $x \ge 2025 - 207 = 1818$; $35^2 = 1225$, $x \le 1225 + 664 = 1889$. 1818–1889.
4. $64 \cdot 25 + 289 = 1889$; $1000 + 900 - 250 + 191 = 1841$. 1841–1889.
5. $x \ge 1905$; $0{,}1x \le 200 - 1{,}9 = 198{,}1$, $x \le 1981$. 1905–1981.

Жауабы: 870–950; 1499–1551; 1818–1889; 1841–1889; 1905–1981.

🌟 Әл-Фараби 70-ке жуық тілді білген және 160-тан астам ғылыми еңбек жазған — оны Аристотельден кейінгі «Екінші ұстаз» деп атайды. Ал Брусиловский алғашқы қазақ операларын жазды: «Қыз Жібек», «Ер Тарғын», «Дударай».

№ 1039

Үш теңсіздіктен тұратын жүйені шешіңдер: 1) $4x + 7{,}8 > 4{,}5x - 4{,}2$, $18 + 1{,}1x \le 4{,}1x + 13{,}5$, $5{,}5 - 3{,}4x < 40{,}5 - 8{,}4x$; 2) $17{,}3 - 29x \le -35x - 6{,}7$, $1{,}5x - 13{,}1 < \frac{1}{2}x + 18{,}1$, $6\frac{1}{3}x - 27{,}8 \le 21{,}2 - \frac{2}{3}x$.

Қалай ойлаймыз. Теңсіздік үшеу — әрқайсысын шешеміз, ортақ бөлік үшеуіне де сай болуы керек.

Шешуі.

1. $-0{,}5x > -12$, $x < 24$. $4{,}5 \le 3x$, $x \ge 1{,}5$. $5x < 35$, $x < 7$. Ортақ бөлік: $[1{,}5; 7)$.
2. $-29x + 35x \le -6{,}7 - 17{,}3$, $6x \le -24$, $x \le -4$. $x < 31{,}2$. $7x \le 49$, $x \le 7$. Ортақ бөлік: $(-\infty; -4]$.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда 2-тармаққа [−4; 7] тұр, бірақ дұрысы $(-\infty; -4]$: бірінші теңсіздіктен $x \le -4$ шығады. Оқулықтағы жауап таңба басқа болғанда шығар еді.

Жауабы: $[1{,}5; 7)$; $(-\infty; -4]$.

Қайталау

№ 1040

Бөлшектің мәнін табыңдар: алымында $\left(\left|-\frac{24}{37}\right| : \left|-\frac{3}{74}\right| - \frac{2^{2} \cdot 3^{2}}{10}\right) : \left|-1\frac{1}{30}\right| - |-11{,}9|$, бөлімінде $\left(\frac{2^{5} \cdot 13}{10^{2}} : \left|-\frac{2^{2}}{5^{2}}\right| + |-13{,}5|\right) \cdot 4{,}7 - |-38{,}8|$.

Қалай ойлаймыз. Модуль таңбасы барлық сандағы минусты жай ғана алып тастайды. Алымы мен бөлімін жеке есептейміз.

Шешуі.

1. Алымы: $\frac{24}{37} \cdot \frac{74}{3} = 16$; $\frac{4 \cdot 9}{10} = 3{,}6$; $16 - 3{,}6 = 12{,}4$; $12{,}4 : \frac{31}{30} = 12$; $12 - 11{,}9 = 0{,}1$.
2. Бөлімі: $\frac{32 \cdot 13}{100} = 4{,}16$; $4{,}16 : \frac{4}{25} = 26$; $26 + 13{,}5 = 39{,}5$; $39{,}5 \cdot 4{,}7 = 185{,}65$; $185{,}65 - 38{,}8 = 146{,}85$.
3. $0{,}1 : 146{,}85 = \frac{10}{14,685} = \frac{2}{2937}$.

Жауабы: $\frac{2}{2937}$.

№ 1041

1. 1998 жылы Қазақстанда 1 гектардан 77 ц, 2008 жылы 1 гектардан 143,7 ц картоп өндірілсе, картоп өнімділігі қанша пайызға артқан? Жауабын бүтінге дейін дөңгелектеңдер. 2. Берілген теңдеулерді шешіп, Арал теңізінде орналасқан Барсакелмес қорығы туралы мәліметтер аласыңдар: 1) $126(2{,}5 - x) - 173(x - 2) = 81x - 344 - 237(x + 3)$ теңдеуінің түбірі $x$ — Барсакелмес қорығындағы бауырымен жорғалаушылар түрінің саны; 2) $3{,}48(y - 7{,}5) - 1{,}78(y + 50) = 52{,}9(25 - y) - 2(15 + 11{,}8y)$ теңдеуінің түбірі $y$ саны Барсакелмес қорығындағы құстар түрінің санын береді.

Шешуі.

1. Өсім $143{,}7 - 77 = 66{,}7$ ц. $66{,}7 : 77 \cdot 100% \approx 86{,}6% \approx 87%$.
2. 1-теңдеу: сол жағы $315 - 126x - 173x + 346 = 661 - 299x$; оң жағы $81x - 344 - 237x - 711 = -156x - 1055$. $661 - 299x = -156x - 1055$, $1716 = 143x$, $x = 12$.
3. 2-теңдеу: сол жағы $3{,}48y - 26{,}1 - 1{,}78y - 89 = 1{,}7y - 115{,}1$; оң жағы $1322{,}5 - 52{,}9y - 30 - 23{,}6y = 1292{,}5 - 76{,}5y$. $78{,}2y = 1407{,}6$, $y = 18$.

Жауабы: шамамен 87%-ға; 12 түр бауырымен жорғалаушы; 18 түр құс.

🌟 «Барсакелмес» қазақшадан аударғанда «барсаң — келмейсің» деген мағына береді. Бұл — Арал теңізіндегі бұрынғы арал, қазір құландар мен киіктерді қорғайтын қорық.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1042

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $|-30| \cdot 5 + |-2{,}5| : |-0{,}051|$; 2) $-6{,}6 : |-20| - |-8{,}4| \cdot (-5)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен модульдерді ашамыз, содан кейін амалдарды реті бойынша орындаймыз.

Шешуі.

1. $30 \cdot 5 = 150$; $2{,}5 : 0{,}051 = \frac{2500}{51} = 49\frac{1}{51}$; қосындысы $199\frac{1}{51}$.
2. $-6{,}6 : 20 = -0{,}33$; $8{,}4 \cdot (-5) = -42$; $-0{,}33 - (-42) = 41{,}67$.

Жауабы: $199\frac{1}{51}$; 41,67.

Жадынама

• Жүйені фигуралық жақшамен жазамыз.
• Әр теңсіздікті жеке шешеміз.
• Түзудің үстіне және астына штрих саламыз, қабаттасқан жерін аламыз.
• Жауабы: сан аралығы немесе қостеңсіздік, мысалы $[-4; -2]$, $-4 \le x \le -2$.
• Қабаттасу жоқ — $\varnothing$.

Шағын тест