§ 38. Айнымалысы модуль таңбасының ішінде берілген бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 5 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер және олардың жүйесі. 72–77-беттер.

Нені үйренесің

• $|x| \le 7$ жазуын «нүкте нөлден 7-ден артық қашықта емес» деп оқуды.
• $|x| < b$ теңсіздігін $-b < x < b$ қостеңсіздігімен алмастыруды.
• $|x| > b$ теңсіздігін екі сәулемен алмастыруды: $x < -b$ немесе $x > b$.
• Модулі бар теңсіздіктің шешімі жоқ немесе кез келген сан сәйкес келетін жағдайды бірден көруді.

Ой қозғау

Өткен сабақтағы № 1042 тапсырмасынан және модуль туралы бірнеше сұрақтан бастайық.

• $|-30| \cdot 5$ неге тең? Модуль минусты алып тастайды: $30 \cdot 5 = $ 150.
• $-6{,}6 : |-20| - |-8{,}4| \cdot (-5)$ мәнін тап. $-0{,}33 - 8{,}4 \cdot (-5) = -0{,}33 + 42 = $ 41,67.
• $|3|$, $|0|$, $|-10|$ неге тең? 3, 0, 10. Модуль теріс болмайды.
• Қандай сандардың модулі 7-ге тең? 7 және $-7$. Екі нүкте де нөлден 7 қашықтықта тұр.

💡 Санның модулі — түзудегі нөлден нүктеге дейінгі қашықтық. Қашықтық теріс болмайды. Бұл — сабақтың басты кеңесі.

Тақырыпты талдаймыз

Модуль — қашықтық

$|3|$ — 0-ден 3 нүктесіне дейінгі қашықтық. $|-3|$ — 0-ден $-3$ нүктесіне дейінгі қашықтық. Екеуі де 3-ке тең: нүктелер әртүрлі жақта тұр, бірақ бірдей алыс.

Демек, $|x|$ — нөлден $x$ нүктесіне дейінгі қашықтық.

$|x| \le 7$ — «7-ден алыс емес»

Нөлден 7-ден артық емес қашықтықта қандай нүктелер тұр? $-7$-ден 7-ге дейінгілердің бәрі. Біз $[-7; 7]$ кесіндісін аламыз.

📌 $|x| \le b$ ($b > 0$ болғанда) теңсіздігі $-b \le x \le b$ теңсіздігіне мәндес. $|x| < b$ теңсіздігі $-b < x < b$ теңсіздігіне мәндес.

Дәл осыны теңсіздіктер жүйесімен де жазуға болады: $\begin{cases} x \le 7, \ x \ge -7. \end{cases}$

Неге олай? Екі жағдайды қарастырайық. Егер $x \ge 0$ болса, онда $|x| = x$ және $0 \le x \le 7$ шығады. Егер $x < 0$ болса, онда $|x| = -x$ және $-x \le 7$ теңсіздігінен $-7 \le x < 0$ шығады. Екеуін қосқанда — дәл $[-7; 7]$.

$|x| \ge 4$ — «4-тен жақын емес»

Енді керісінше: нүктелер нөлден 4-тен жақын емес қашықтықта болуы керек. Бұл — $-4$-тен солдағылардың бәрі және 4-тен оңдағылардың бәрі. Ортасы — «тыйым салынған аймақ».

Жауабы: $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$. $\cup$ белгісі «бірігу» дегенді білдіреді: біріне де, екіншісіне де сәйкес келеді.

📌 $|x| \ge a$ ($a > 0$ болғанда) — бұл $x \le -a$ немесе $x \ge a$. $|x| > a$ — бұл $x < -a$ **немесе** $x > a$.

⚠️ Жиі кететін қате. $|x| > 4$ теңсіздігін $-4 > x > 4$ деп жазады. Мұндай сан жоқ! Сан бір мезгілде $-4$-тен кіші де, 4-тен үлкен де бола алмайды. Мұнда қостеңсіздік емес, екі бөлек сәуле бар.

Таңғалатын жағдайлар

Модуль — қашықтық, ол әрдайым $\ge 0$. Сондықтан:

• $|x| < -2$ және $|x| \le -2$ — шешімі жоқ: қашықтық теріс болмайды.
• $|x| \le 0$ — бір ғана шешім, $x = 0$.
• $|x| \ge -2$ және $|x| > -2$ — кез келген сан сәйкес келеді: $(-\infty; +\infty)$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Түсінгенін тексерудің жақсы жолы: «$|x| < 3$ сөзбен айтқанда не білдіреді?» Бала «нүкте нөлге үштен жақын» десе — тақырыпты түсінген. Тек «минус үш кіші икс кіші үш» десе — оны сызғышта көрсетуін сұраңыз.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $-4$ және $-9$ сандары $|x| \le 8$ теңсіздігінің шешімі бола ма? $|-4| = 4 \le 8$ — иә. $|-9| = 9 > 8$ — жоқ.
• Ал $|x| \ge 8$ теңсіздігінің шешімі бола ма? $-4$ — жоқ (4 саны 8-ден кіші). $-9$ — иә (9 саны 8-ден үлкен).
• $|x| \le 8$ теңсіздігі қандай қостеңсіздікке мәндес? $-8 \le x \le 8$.
• **$-8 < x \le 8$ қостеңсіздігі қандай жүйеге мәндес?** $\begin{cases} x > -8, \ x \le 8. \end{cases}$

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1043

$-20$; $-9$; $-6$; 0; 4; 8; 15 сандарының қайсысы: 1) $|x| < 7$; 2) $|x| \le 11$; 3) $|x| > 1$; 4) $|x| \ge 5$ теңсіздігінің шешімі болады?

Қалай ойлаймыз. Модульдерге қараймыз: 20, 9, 6, 0, 4, 8, 15. Оларды оң жақтағы санмен салыстырамыз.

Шешуі.

1. Модулі 7-ден кіші: $-6$; 0; 4.
2. Модулі 11-ден артық емес: $-9$; $-6$; 0; 4; 8.
3. Модулі 1-ден үлкен: $-20$; $-9$; $-6$; 4; 8; 15 (0-ден басқаларының бәрі).
4. Модулі 5-тен кем емес: $-20$; $-9$; $-6$; 8; 15.

Жауабы: 1) $-6$, 0, 4; 2) $-9$, $-6$, 0, 4, 8; 3) 0-ден басқаларының бәрі; 4) $-20$, $-9$, $-6$, 8, 15.

№ 1044

87-суретте кескінделген сан аралықтарын модулі бар теңсіздік түрінде жазыңдар: 1) боялған $-6$ және 6 нүктелерінің арасындағы кесінді; 2) бос $-3{,}8$ және 3,8 нүктелерінің арасындағы аралық; 3) $-\frac{2}{9}$-дан солға және $\frac{2}{9}$-дан оңға қарай сәулелер, нүктелері бос; 4) $-7\frac{1}{3}$-тен солға және $7\frac{1}{3}$-тен оңға қарай сәулелер, нүктелері боялған.

Қалай ойлаймыз. Нүктелердің арасындағы штрих — «модулі кіші». Сыртқа қарай штрих — «модулі үлкен». Боялған нүктелер — сызықшасы бар таңба.

Шешуі. 1) $|x| \le 6$; 2) $|x| < 3{,}8$; 3) $|x| > \frac{2}{9}$; 4) $|x| \ge 7\frac{1}{3}$.

Жауабы: $|x| \le 6$; $|x| < 3{,}8$; $|x| > \frac{2}{9}$; $|x| \ge 7\frac{1}{3}$.

№ 1045

Теңсіздіктердің шешімін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $|x| \le 5{,}6$; 2) $|x| < 17$; 3) $|x| > 4\frac{3}{16}$; 4) $|x| \ge 9$.

Шешуі.

1. Боялған $-5{,}6$ және 5,6 нүктелерінің арасындағы кесінді: $[-5{,}6; 5{,}6]$.
2. Бос $-17$ және 17 нүктелерінің арасы: $(-17; 17)$.
3. Бос нүктелерден сыртқа қарай екі сәуле: $\left(-\infty; -4\frac{3}{16}\right) \cup \left(4\frac{3}{16}; +\infty\right)$.
4. Боялған нүктелерден сыртқа қарай екі сәуле: $(-\infty; -9] \cup [9; +\infty)$.

Жауабы: жоғарыдағы аралықтар.

№ 1046

Теңсіздіктердің шешімін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $|x| > 10$; 2) $|x| \le 8{,}14$; 3) $|x| < 3\frac{5}{6}$; 4) $|x| \ge 20$.

Шешуі.

1. $(-\infty; -10) \cup (10; +\infty)$, нүктелері бос.
2. $[-8{,}14; 8{,}14]$, нүктелері боялған.
3. $\left(-3\frac{5}{6}; 3\frac{5}{6}\right)$, нүктелері бос.
4. $(-\infty; -20] \cup [20; +\infty)$, нүктелері боялған.

Жауабы: жоғарыдағы аралықтар.

№ 1047

Теңсіздіктердің шешімін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $|x| \le 10$; 2) $|x| > 5$; 3) $|x| < 8{,}7$; 4) $|x| \ge 6{,}2$.

Шешуі.

1. $[-10; 10]$.
2. $(-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.
3. $(-8{,}7; 8{,}7)$.
4. $(-\infty; -6{,}2] \cup [6{,}2; +\infty)$.

Жауабы: жоғарыдағы аралықтар.

№ 1048

Модулі бар теңсіздікті қостеңсіздік арқылы жазыңдар: 1) $|x| < 72$; 2) $|x| \le 10{,}3$; 3) $|x| \le \frac{4}{13}$; 4) $|x| < 3$; 5) $|x| < 16\frac{1}{9}$; 6) $|x| < 12$; 7) $|x| < 0{,}8$; 8) $|x| \le \frac{2}{7}$.

Шешуі. 1) $-72 < x < 72$; 2) $-10{,}3 \le x \le 10{,}3$; 3) $-\frac{4}{13} \le x \le \frac{4}{13}$; 4) $-3 < x < 3$; 5) $-16\frac{1}{9} < x < 16\frac{1}{9}$; 6) $-12 < x < 12$; 7) $-0{,}8 < x < 0{,}8$; 8) $-\frac{2}{7} \le x \le \frac{2}{7}$.

Жауабы: жоғарыдағы жазбалар.

№ 1049

Қостеңсіздікті модулі бар теңсіздік арқылы жазыңдар: 1) $-14 \le x \le 14$; 2) $-\frac{3}{17} < x < \frac{3}{17}$; 3) $-20{,}04 < x < 20{,}4$; 4) $-111 \le x \le 111$.

Қалай ойлаймыз. Шеттері қарама-қарсы сандар болғанда ғана орындалады: $-b$ және $b$.

Шешуі.

1. $|x| \le 14$.
2. $|x| < \frac{3}{17}$.
3. Шеттері $-20{,}04$ және 20,4 — қарама-қарсы сандар емес, сондықтан мұны $|x| < b$ түрінде жазуға болмайды. Шартта қате басылған болуы керек, шын мәнінде $-20{,}04 < x < 20{,}04$ болған шығар: онда $|x| < 20{,}04$.
4. $|x| \le 111$.

📕 3-тармақтың шартында қате бар сияқты: $-20{,}04 < x < 20{,}4$ деп басылған, яғни шектері әртүрлі. Олар симметриялы болуы керек, біз $|x| < 20{,}04$ деп жауап бердік.

Жауабы: $|x| \le 14$; $|x| < \frac{3}{17}$; $|x| < 20{,}04$ (қате болса); $|x| \le 111$.

№ 1050

Теңсіздіктер жұбын бір айнымалысы бар модульді теңсіздік арқылы жазыңдар: 1) $x > 15$ және $x < -15$; 2) $x < -2{,}2$ және $x > 2{,}2$; 3) $x \ge 18\frac{1}{3}$ және $x \le -18\frac{1}{3}$; 4) $x \le -\frac{5}{9}$ және $x \ge \frac{5}{9}$.

Қалай ойлаймыз. Сыртқа қарай екі сәуле — бұл «модулі үлкен».

Шешуі. 1) $|x| > 15$; 2) $|x| > 2{,}2$; 3) $|x| \ge 18\frac{1}{3}$; 4) $|x| \ge \frac{5}{9}$.

Жауабы: $|x| > 15$; $|x| > 2{,}2$; $|x| \ge 18\frac{1}{3}$; $|x| \ge \frac{5}{9}$.

№ 1051

Модулі бар теңсіздіктердің қайсысының шешімі болмайды: 1) $|x| \ge 100$; 2) $|x| < -1$; 3) $|x| \le 0$; 4) $|x| > -30{,}7$; 5) $|x| \le -2$; 6) $|x| \ge -6$?

Қалай ойлаймыз. Модуль теріс болмайды. Оң жағында теріс сан тұрса, «модуль кіші» теңсіздігінің шешімі жоқ, ал «модуль үлкен» теңсіздігі әрқашан орындалады.

Шешуі.

1. Шешімі бар: $(-\infty; -100] \cup [100; +\infty)$.
2. Шешімі жоқ: модуль теріс болмайды.
3. Шешімі бар, біреу ғана: $x = 0$.
4. Шешімі бар, кез келген сан: модуль әрқашан $-30{,}7$-ден үлкен.
5. Шешімі жоқ.
6. Шешімі бар, кез келген сан.

Жауабы: шешімі жоқ теңсіздіктер — 2) және 5).

№ 1052

Теңсіздікті қостеңсіздік арқылы жазыңдар: 1) $|x + 3| < 4$; 2) $|x - 1| \le 2$; 3) $|5 + x| < 8$; 4) $|6 - x| \le \frac{2}{3}$; 5) $|4 - 3x| < 4{,}7$; 6) $\left|8\frac{1}{7} + 5x\right| < 1$.

Қалай ойлаймыз. Енді модуль таңбасының ішінде тұтас өрнек тұр. Ереже сол: $|A| < b$ — бұл $-b < A < b$.

Шешуі. 1) $-4 < x + 3 < 4$; 2) $-2 \le x - 1 \le 2$; 3) $-8 < 5 + x < 8$; 4) $-\frac{2}{3} \le 6 - x \le \frac{2}{3}$; 5) $-4{,}7 < 4 - 3x < 4{,}7$; 6) $-1 < 8\frac{1}{7} + 5x < 1$.

Жауабы: жоғарыдағы жазбалар.

💡 $x$-тің өзін табқың келе ме? $-4 < x + 3 < 4$ қостеңсіздігінің барлық бөлігінен 3-ті азайт: $-7 < x < 1$. Бұл — келесі сабақтың тақырыбы.

№ 1053

Қостеңсіздікті модулі бар теңсіздік түрінде жазыңдар: 1) $-7 \le x + 1{,}3 \le 7$; 2) $-9 \le 3{,}5 - x \le 9$; 3) $-19\frac{2}{7} < 6 - 5x < 19\frac{2}{7}$; 4) $-24{,}7 < 10\frac{1}{5} - 2{,}1x < 24{,}7$.

Шешуі. 1) $|x + 1{,}3| \le 7$; 2) $|3{,}5 - x| \le 9$; 3) $|6 - 5x| < 19\frac{2}{7}$; 4) $\left|10\frac{1}{5} - 2{,}1x\right| < 24{,}7$.

Жауабы: жоғарыдағы жазбалар.

№ 1054

Берілген теңсіздікті модулі бар теңсіздік түрінде жазыңдар: 1) $x + 8 > 10$ және $x + 8 < -10$; 2) $20\frac{4}{7} - 3x < -1$ және $20\frac{4}{7} - 3x > 1$.

Шешуі. 1) $|x + 8| > 10$; 2) $\left|20\frac{4}{7} - 3x\right| > 1$.

Жауабы: $|x + 8| > 10$; $\left|20\frac{4}{7} - 3x\right| > 1$.

B деңгейі

№ 1055

1) $-8 \le x \le 8$ және $-6 \le x + 2 \le 10$; 2) $-4{,}7 < x < 4{,}7$ және $-9{,}7 < x - 5 < -0{,}3$ теңсіздіктері мәндес бола ма?

Қалай ойлаймыз. Бірінші теңсіздіктің барлық бөлігіне бір санды қосамыз немесе азайтамыз — егер екіншісі шықса, олар мәндес.

Шешуі.

1. 2-ні қосамыз: $-8 + 2 \le x + 2 \le 8 + 2$, яғни $-6 \le x + 2 \le 10$. Сәйкес келді.
2. 5-ті азайтамыз: $-4{,}7 - 5 < x - 5 < 4{,}7 - 5$, яғни $-9{,}7 < x - 5 < -0{,}3$. Сәйкес келді.

Жауабы: иә, екі жұп та мәндес.

№ 1056

Бірінші теңсіздіктен екінші теңсіздікті алуға бола ма: 1) $|x| \le 4$ және $0 \le x + 4 \le 8$; 2) $|x| < 10$ және $-15 < x - 5 < 5$; 3) $|x| \le 6$ және $-18 \le 3x \le 18$; 4) $|x| < 14$ және $-2 < \frac{1}{7}x < 2$?

Шешуі.

1. $-4 \le x \le 4$, 4-ті қосамыз: $0 \le x + 4 \le 8$ — болады.
2. $-10 < x < 10$, 5-ті азайтамыз: $-15 < x - 5 < 5$ — болады.
3. $-6 \le x \le 6$, 3-ке көбейтеміз: $-18 \le 3x \le 18$ — болады.
4. $-14 < x < 14$, $\frac{1}{7}$-ге көбейтеміз: $-2 < \frac{1}{7}x < 2$ — болады.

Жауабы: төрт жағдайда да болады.

№ 1057

Егер: 1) $|x| < 20$ болса, онда $-10 < x + 10 < 30$; 2) $|x| \le 5$ болса, онда $-50 \le -10x \le 50$; 3) $|x| < 1{,}2$ болса, онда $-4 < 5x - 1 < 7$; 4) $|x| \le \frac{3}{11}$ болса, онда $\frac{5}{11} < \frac{8}{11} - x < 1$ шығатыны дұрыс па?

Шешуі.

1. $-20 < x < 20$, 10-ды қосамыз: $-10 < x + 10 < 30$ — дұрыс.
2. $-5 \le x \le 5$, $-10$-ға көбейтіп, таңбаларды керіге ауыстырамыз: $50 \ge -10x \ge -50$, яғни $-50 \le -10x \le 50$ — дұрыс.
3. $-7 < 5x - 1 < 5$ шығады, ал $-4 < \ldots < 7$ емес — дұрыс емес (қадамдарды қара).
4. $-\frac{3}{11} \le x \le \frac{3}{11}$. $-1$-ге көбейтеміз: $-\frac{3}{11} \le -x \le \frac{3}{11}$. $\frac{8}{11}$-ді қосамыз: $\frac{5}{11} \le \frac{8}{11} - x \le 1$. Шеттері кіреді ($x = \frac{3}{11}$ болғанда дәл $\frac{5}{11}$ шығады), ал тұжырымда таңбалар қатаң — дұрыс емес.

Жауабы: 1) дұрыс; 2) дұрыс; 3) дұрыс емес; 4) дұрыс емес.

⚠️ Жиі кететін қате. 4-тармақта таңбалар ұсақ нәрсе сияқты көрінеді. Бірақ $\frac{5}{11} < \frac{5}{11}$ — жалған, сондықтан қатаң және қатаң емес таңба — әртүрлі тұжырымдар.

C деңгейі

№ 1058

88-суретте кескінделген сан аралықтарын жазыңдар: 1) $-3{,}9$-дан (боялған) 10-ға (бос) дейін; 2) $-4$-тен (бос) 7,2-ге (боялған) дейін; 3) $-5\frac{1}{3}$-тен $-0{,}8$-ге дейін (екеуі де боялған); 4) $-2{,}3$-тен $6\frac{2}{9}$-ға дейін (екеуі де бос).

Шешуі. 1) $-3{,}9 \le x < 10$; 2) $-4 < x \le 7{,}2$; 3) $-5\frac{1}{3} \le x \le -0{,}8$; 4) $-2{,}3 < x < 6\frac{2}{9}$.

Жауабы: жоғарыдағы жазбалар.

№ 1059

$-8$ саны берілген бір айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесінің шешімі бола ма: 1) $x + 1 > -13$, $x - 2^{3} \le -13$; 2) $3x + 3^{2} \ge 2x$, $3x + 2^{3} < 2x$?

Шешуі.

1. $-8 + 1 = -7 > -13$ — дұрыс. $-8 - 8 = -16 \le -13$ — дұрыс. Демек, болады.
2. $-24 + 9 = -15 \ge -16$ — дұрыс. $-24 + 8 = -16 < -16$ — дұрыс емес. Демек, болмайды.

Жауабы: 1) болады; 2) болмайды.

№ 1060

Тіктөртбұрыштың ені 5,5 см, ұзындығы одан $3^{3}$ мм артық. Ауданы берілген тіктөртбұрыштың ауданына тең, ұзындығы 10 см болатын екінші тіктөртбұрыштың ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Миллиметрді сантиметрге айналдыр, әйтпесе әртүрлі нәрсені қосып жібересің. Екінші тіктөртбұрыштың ұзындығы 10 см-ге тең деп берілген, сондықтан табу керегі — оның ені.

Шешуі.

1. $3^3 = 27$ мм $= 2{,}7$ см. Біріншісінің ұзындығы: $5{,}5 + 2{,}7 = 8{,}2$ см.
2. Ауданы: $5{,}5 \cdot 8{,}2 = 45{,}1$ см².
3. Екіншісінің ені: $45{,}1 : 10 = 4{,}51$ см.

Жауабы: 4,51 см.

📕 Оқулықтың шартында «екінші тіктөртбұрыштың ұзындығын табыңдар» деп басылған, бірақ ұзындығы бұрын-ақ 10 см деп берілген. Шын мәнінде енін табу керек — біз соны шештік.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1061

Төмендегі кестені толтырыңдар: $(2; 5)$ және $(-3; 4)$; $[-2; 5]$ және $(3; 6]$; $[-7; 10)$ және $[4; 9)$ сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы.

Қалай ойлаймыз. Бірігу — кемінде бір аралықпен жабылғанның бәрі. Қиылысу — тек ортақ бөлік.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

Жадынама

• Модуль — нөлге дейінгі қашықтық, ол әрдайым $\ge 0$.
• «Модулі кіші» — $-b$ мен $b$ арасындағы штрих.
• «Модулі үлкен» — сыртқа қарай екі сәуле, $\cup$ белгісі.
• Қатаң таңба — бос нүктелер, қатаң емес — боялған нүктелер.
• Модуль таңбасының ішінде өрнек тұрса — ереже сол: $|A| < b$ ⇔ $-b < A < b$.

Шағын тест