§ 39. Айнымалысы модуль таңбасының ішінде берілген бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктерді шешу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 5 тарау: Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер және олардың жүйесі. 78–83-беттер.

Нені үйренесің

• $|\ldots| \le a$ түріндегі теңсіздікті қостеңсіздікпен немесе жүйемен алмастыруды.
• $|\ldots| > a$ түріндегі теңсіздікті екі теңсіздікпен алмастырып, олардың шешімдерін біріктіруді.
• Модуль таңбасының ішінде $7 - x$ немесе $3x - 4$ тұрған теңсіздіктерді шешуді.
• Бір теңсіздігі модульді жүйелерді шешуді.
• Координаталық түзудегі суретке қарап, онда қандай модульді теңсіздік «жасырынғанын» танып білуді.

Ой қозғау

Алғашқы үш сұрақ — өткен сабақтағы № 1061 тапсырмасы: сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуын тап.

• $(2; 5)$ және $(-3; 4)$? Бірігуі $(-3; 5)$, қиылысуы $(2; 4)$.
• $[-2; 5]$ және $(3; 6]$? Бірігуі $[-2; 6]$, қиылысуы $(3; 5]$.
• $[-7; 10)$ және $[4; 9)$? Бірігуі $[-7; 10)$, қиылысуы $[4; 9)$ — екінші аралық бүтіндей біріншінің ішінде жатыр.
• Қандай сандар $|x| \le 3$ теңсіздігін қанағаттандырады? $-3$-тен $3$-ке дейінгінің бәрі, шеттерін қоса: $-3 \le x \le 3$.
• Ал $|x| > 3$? $-3$-тен солдағы және $3$-тен оңдағы сандар: $x < -3$ немесе $x > 3$.

💡 Бір жұпты есіңде сақта: «модулі кіші» — екі шектің арасындағы сандар (қиылысу), «модулі үлкен» — әртүрлі жаққа кеткен екі сәуле (бірігу). Сабақтың бар құпиясы осы.

Тақырыпты талдаймыз

Модуль — қашықтық

$|x|$ — $x$-тен нөлге дейінгі қашықтық. Ал $|x - 4|$ — $x$-тен $4$ санына дейінгі қашықтық. Демек, $|x - 4| \le 3$ былай оқылады: «$x$ төрттен 3 қадамнан артық алыс емес». Бұл — $1$-ден $7$-ге дейінгі барлық сан.

Модулі санға кіші: екі жағынан қысамыз

$|7 - x| \le 8$ теңсіздігін шешейік. Модуль ішіндегі өрнек $-8$-ден $8$-ге дейін болуы керек:

$-8 \le 7 - x \le 8$.

1. Үш бөліктің де $7$-ні азайтамыз: $-15 \le -x \le 1$.
2. Бәрін $-1$-ге бөліп, таңбаларды керіге ауыстырамыз: $15 \ge x \ge -1$.
3. Ретімен қайта жазамыз: $-1 \le x \le 15$.

Жауабы: $[-1; 15]$. Мұны жүйемен де жазуға болады: $7 - x \le 8$ және $7 - x \ge -8$. Одан $x \ge -1$ және $x \le 15$ шығады, ал бұл сәулелердің ортақ бөлігі — сол кесінді.

⚠️ Жиі кететін қате. $-1$-ге бөлгенде таңбаларды керіге ауыстыруды ұмытады. Жауапты санмен тексер: $x = 0$ болғанда $|7| = 7 \le 8$ — дұрыс, ал нөл $[-1; 15]$ аралығында бар. Сәйкес келді.

Модулі санға үлкен: әртүрлі жаққа тарасамыз

$|3x - 4| > 9$ теңсіздігін шешейік. Модуль ішіндегі өрнек не $9$-дан үлкен, не $-9$-дан кіші:

Екі теңсіздіктің шешімдерін біріктіреміз: $(-\infty; -1\frac{2}{3}) \cup (4\frac{1}{3}; +\infty)$.

📕 Оқулықта осы мысалдың соңғы жауабында $\left(4\frac{1}{2}; +\infty\right)$ деп басылған, бірақ алдыңғы жолда $x > 4\frac{1}{3}$ шықты ($3x > 13$, $x > \frac{13}{3}$). Дұрыс жауап — $\left(4\frac{1}{3}; +\infty\right)$.

📌 $|A| \le a$ — бұл $-a \le A \le a$ (бір қостеңсіздік). $|A| \ge a$ — бұл $A \ge a$ немесе $A \le -a$ (екі сәуле, $\cup$ белгісі).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Шешер алдында баладан дауыстап айтуын сұраңыз: «мұнда кесінді болады» немесе «мұнда екі сәуле болады». Таңбасына қарап дұрыс болжаса — әрі қарай техникалық жұмыс қана.

Ерекше жағдайлар

Модуль ешқашан теріс болмайды. Сондықтан $|x| < -1$ теңсіздігінің шешімі мүлде жоқ, ал $|x| > -5$ кез келген сан үшін дұрыс.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $|x| < 1$ теңсіздігі қандай қостеңсіздікке мәндес? Ал $|x| \le 2$ ше? $-1 < x < 1$ және $-2 \le x \le 2$.
• $|x| > 1$ теңсіздігін қостеңсіздікпен алмастыруға бола ма? Жоқ. Шешімі — екі сәуле: $x < -1$ немесе $x > 1$. Қостеңсіздік тек екі шектің арасындағы сандарды сипаттайды.
• $|x| > -5$ және $|x| > 5$ теңсіздіктерінің қайсысы кез келген санда дұрыс? $|x| > -5$: модуль әрдайым нөлден кем емес, демек, $-5$-тен үлкен.
• $|x| < -1$ және $|x| < 1$ теңсіздіктерінің қайсысының шешімі жоқ? $|x| < -1$: модуль теріс бола алмайды.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1062

Берілген теңсіздік тура болатындай $z$ айнымалысының барлық бүтін мәндерін табыңдар: 1) $|z| \le 3$; 2) $|z| < 4$; 3) $|z| \le 1{,}9$; 4) $|z| < 2{,}7$; 5) $|z| \le 3\frac{1}{7}$; 6) $|z| < 3$.

Қалай ойлаймыз. Нөлден берілген санға дейінгіден алыс емес (немесе жақын) бүтін сандарды іздейміз. Шектің минусынан плюсына дейінгі бүтін сандарды аламыз.

Шешуі.

1. $-3 \le z \le 3$: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.
2. $-4 < z < 4$: сол $-3, \ldots, 3$.
3. $-1{,}9 \le z \le 1{,}9$: $-1, 0, 1$.
4. $-2{,}7 < z < 2{,}7$: $-2, -1, 0, 1, 2$.
5. $-3\frac{1}{7} \le z \le 3\frac{1}{7}$: $-3, \ldots, 3$.
6. $-3 < z < 3$: $-2, -1, 0, 1, 2$.

Жауабы: 1), 2), 5) $-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3$; 3) $-1; 0; 1$; 4), 6) $-2; -1; 0; 1; 2$.

№ 1063

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $|x + 2| \le 1$; 2) $|x - 3| < 2$; 3) $|x + 1| \ge 3$; 4) $|x - 0{,}3| < 4$; 5) $|1{,}7 + x| > 5$; 6) $|x + 4{,}8| \le 6$.

Қалай ойлаймыз. «Кіші» — қостеңсіздік, «үлкен» — екі жағдай.

Шешуі.

1. $-1 \le x + 2 \le 1$, демек $-3 \le x \le -1$.
2. $-2 < x - 3 < 2$, демек $1 < x < 5$.
3. $x + 1 \ge 3$ теңсіздігінен $x \ge 2$; $x + 1 \le -3$ теңсіздігінен $x \le -4$.
4. $-4 < x - 0{,}3 < 4$, демек $-3{,}7 < x < 4{,}3$.
5. $1{,}7 + x > 5$ теңсіздігінен $x > 3{,}3$; $1{,}7 + x < -5$ теңсіздігінен $x < -6{,}7$.
6. $-6 \le x + 4{,}8 \le 6$, демек $-10{,}8 \le x \le 1{,}2$.

Жауабы: 1) $[-3; -1]$; 2) $(1; 5)$; 3) $(-\infty; -4] \cup [2; +\infty)$; 4) $(-3{,}7; 4{,}3)$; 5) $(-\infty; -6{,}7) \cup (3{,}3; +\infty)$; 6) $[-10{,}8; 1{,}2]$.

№ 1064

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $\left|5\frac{1}{3} + x\right| \ge 7$; 2) $\left|x - 6\frac{2}{9}\right| < 8$; 3) $\left|x + 7\frac{3}{14}\right| > 9$; 4) $|3 - x| \le 2$; 5) $|10 - x| > 11$; 6) $|15 - x| < 17$.

Қалай ойлаймыз. $x$ минуспен тұрған жерде ($3 - x$) $-1$-ге бөлгенде таңбаларды керіге ауыстыруды ұмытпа.

Шешуі.

1. $5\frac{1}{3} + x \ge 7$ теңсіздігінен $x \ge 1\frac{2}{3}$; $5\frac{1}{3} + x \le -7$ теңсіздігінен $x \le -12\frac{1}{3}$.
2. $-8 < x - 6\frac{2}{9} < 8$, демек $-1\frac{7}{9} < x < 14\frac{2}{9}$.
3. $x + 7\frac{3}{14} > 9$ теңсіздігінен $x > 1\frac{11}{14}$; $x + 7\frac{3}{14} < -9$ теңсіздігінен $x < -16\frac{3}{14}$.
4. $-2 \le 3 - x \le 2$, сосын $-5 \le -x \le -1$, демек $1 \le x \le 5$.
5. $10 - x > 11$ теңсіздігінен $x < -1$; $10 - x < -11$ теңсіздігінен $x > 21$.
6. $-17 < 15 - x < 17$, сосын $-32 < -x < 2$, демек $-2 < x < 32$.

Жауабы: 1) $(-\infty; -12\frac{1}{3}] \cup [1\frac{2}{3}; +\infty)$; 2) $(-1\frac{7}{9}; 14\frac{2}{9})$; 3) $(-\infty; -16\frac{3}{14}) \cup (1\frac{11}{14}; +\infty)$; 4) $[1; 5]$; 5) $(-\infty; -1) \cup (21; +\infty)$; 6) $(-2; 32)$.

№ 1065

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $|9{,}1 - x| \ge 9$; 2) $\left|20\frac{1}{6} - x\right| \le 22$; 3) $|40{,}5 - x| > 50$; 4) $\left|13\frac{1}{3} - x\right| \le 10$; 5) $|25 - x| \ge 7\frac{3}{4}$; 6) $|19 - x| < 3{,}5$.

Қалай ойлаймыз. $|a - x| = |x - a|$ — $x$-тен $a$ санына дейінгі қашықтық. Орталық $a$-ны бірден алып, одан берілген санға дейін ауытқу ыңғайлы.

Шешуі.

1. Орталығы $9{,}1$, 9-ға не одан алысқа кетеміз: $x \le 0{,}1$ немесе $x \ge 18{,}1$.
2. Орталығы $20\frac{1}{6}$, 22-ден алыс емес: $-1\frac{5}{6} \le x \le 42\frac{1}{6}$.
3. Орталығы $40{,}5$, 50-ден алыс: $x < -9{,}5$ немесе $x > 90{,}5$.
4. Орталығы $13\frac{1}{3}$, 10-нан алыс емес: $3\frac{1}{3} \le x \le 23\frac{1}{3}$.
5. Орталығы 25, $7\frac{3}{4}$-тен жақын емес: $x \le 17\frac{1}{4}$ немесе $x \ge 32\frac{3}{4}$.
6. Орталығы 19, $3{,}5$-тен жақын: $15{,}5 < x < 22{,}5$.

Жауабы: 1) $(-\infty; 0{,}1] \cup [18{,}1; +\infty)$; 2) $[-1\frac{5}{6}; 42\frac{1}{6}]$; 3) $(-\infty; -9{,}5) \cup (90{,}5; +\infty)$; 4) $[3\frac{1}{3}; 23\frac{1}{3}]$; 5) $(-\infty; 17\frac{1}{4}] \cup [32\frac{3}{4}; +\infty)$; 6) $(15{,}5; 22{,}5)$.

№ 1066

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $|17 + x| < 5$; 2) $|29 - x| \le 13$; 3) $|x - 2{,}5| \ge 3{,}5$; 4) $|2{,}6 - x| > 1{,}1$; 5) $|x + 8{,}8| < 2{,}2$; 6) $|7{,}1 - x| > 8{,}2$.

Қалай ойлаймыз. Тағы да орталықты тауып, одан ауытқимыз.

Шешуі.

1. $|x + 17| < 5$, орталығы $-17$: $-22 < x < -12$.
2. Орталығы 29: $16 \le x \le 42$.
3. Орталығы $2{,}5$: $x \le -1$ немесе $x \ge 6$.
4. Орталығы $2{,}6$: $x < 1{,}5$ немесе $x > 3{,}7$.
5. Орталығы $-8{,}8$: $-11 < x < -6{,}6$.
6. Орталығы $7{,}1$: $x < -1{,}1$ немесе $x > 15{,}3$.

Жауабы: 1) $(-22; -12)$; 2) $[16; 42]$; 3) $(-\infty; -1] \cup [6; +\infty)$; 4) $(-\infty; 1{,}5) \cup (3{,}7; +\infty)$; 5) $(-11; -6{,}6)$; 6) $(-\infty; -1{,}1) \cup (15{,}3; +\infty)$.

№ 1067

Теңсіздіктің шешімін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $|x + 3| < 7$; 2) $|5 - x| \le 9$; 3) $|11 + x| \ge 1$; 4) $|1{,}5 - x| > 8$; 5) $|x + 9{,}3| \le 10{,}3$; 6) $|12{,}1 - x| \ge 1{,}1$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен шешеміз, сосын саламыз. $\le$ және $\ge$ болғанда шеттері боялған,

Шешуі.

1. $-10 < x < 4$: $-10$ және $4$ бос нүктелерінің арасындағы кесінді.
2. $-4 \le x \le 14$: шеттері боялған кесінді.
3. $x \le -12$ немесе $x \ge -10$: екі сәуле, шеттері боялған. $-12$ мен $-10$ арасы — «тесік».
4. $x < -6{,}5$ немесе $x > 9{,}5$: екі сәуле, шеттері бос.
5. $-19{,}6 \le x \le 1$: кесінді, шеттері боялған.
6. $x \le 11$ немесе $x \ge 13{,}2$: екі сәуле, шеттері боялған.

Жауабы: 1) $(-10; 4)$; 2) $[-4; 14]$; 3) $(-\infty; -12] \cup [-10; +\infty)$; 4) $(-\infty; -6{,}5) \cup (9{,}5; +\infty)$; 5) $[-19{,}6; 1]$; 6) $(-\infty; 11] \cup [13{,}2; +\infty)$.

№ 1068

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $|x| \le 6$ және $x > 5$; 2) $x > -4$ және $|x| \le 7$; 3) $x \le 2$ және $|x| > 1{,}5$; 4) $x \le -3$ және $|x| > 1$.

Қалай ойлаймыз. Жүйе — демек, екі шартқа да сай сандар керек. Әрқайсысын шешіп, ортақ бөлікті іздейміз.

Шешуі.

1. $-6 \le x \le 6$ және $x > 5$: қалғаны $5 < x \le 6$.
2. $-7 \le x \le 7$ және $x > -4$: қалғаны $-4 < x \le 7$.
3. ($x < -1{,}5$ немесе $x > 1{,}5$) және $x \le 2$: қалғаны $x < -1{,}5$ немесе $1{,}5 < x \le 2$.
4. ($x < -1$ немесе $x > 1$) және $x \le -3$: қалғаны $x \le -3$.

Жауабы: 1) $(5; 6]$; 2) $(-4; 7]$; 3) $(-\infty; -1{,}5) \cup (1{,}5; 2]$; 4) $(-\infty; -3]$.

№ 1069

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $|1 + 2x| < 9$; 2) $|3 + 2x| \le 5$; 3) $|1 - 2x| \ge 7$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $x$-сіз санды шығарып тастаймыз, сосын $x$-тің коэффициентіне бөлеміз.

Шешуі.

1. $-9 < 1 + 2x < 9$, сосын $-10 < 2x < 8$, демек $-5 < x < 4$.
2. $-5 \le 3 + 2x \le 5$, сосын $-8 \le 2x \le 2$, демек $-4 \le x \le 1$.
3. $1 - 2x \ge 7$ теңсіздігінен $-2x \ge 6$, яғни $x \le -3$; $1 - 2x \le -7$ теңсіздігінен $-2x \le -8$, яғни $x \ge 4$.

Жауабы: 1) $(-5; 4)$; 2) $[-4; 1]$; 3) $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

№ 1070

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $|3x + 5| \ge 20$; 2) $|7 - 4x| \le 11$; 3) $|4 + 3x| \le 5$.

Қалай ойлаймыз. 2-тармақ — жоғарыдағы қадамдармен. 1-тармақта модуль «үлкен», демек, екі жағдай.

Шешуі.

1. $3x + 5 \ge 20$ теңсіздігінен $x \ge 5$; $3x + 5 \le -20$ теңсіздігінен $3x \le -25$, яғни $x \le -8\frac{1}{3}$.
2. $-1 \le x \le 4{,}5$.
3. $-5 \le 4 + 3x \le 5$, сосын $-9 \le 3x \le 1$, демек $-3 \le x \le \frac{1}{3}$.

Жауабы: 1) $(-\infty; -8\frac{1}{3}] \cup [5; +\infty)$; 2) $[-1; 4{,}5]$; 3) $[-3; \frac{1}{3}]$.

№ 1071

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $|1 - 2x| < 4$; 2) $\left|0{,}8 - \frac{1}{3}x\right| > 0{,}2$; 3) $|2{,}5x + 1| < 1{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Бәрі бұрынғыдай, тек сандар бөлшек. Теріс санға бөлуге асықпа.

Шешуі.

1. $-4 < 1 - 2x < 4$, сосын $-5 < -2x < 3$, $-2$-ге бөлеміз: $2{,}5 > x > -1{,}5$.
2. $0{,}8 - \frac{1}{3}x > 0{,}2$ теңсіздігінен $\frac{1}{3}x < 0{,}6$, яғни $x < 1{,}8$; $0{,}8 - \frac{1}{3}x < -0{,}2$ теңсіздігінен $\frac{1}{3}x > 1$, яғни $x > 3$.
3. $-1{,}5 < 2{,}5x + 1 < 1{,}5$, сосын $-2{,}5 < 2{,}5x < 0{,}5$, демек $-1 < x < 0{,}2$.

Жауабы: 1) $(-1{,}5; 2{,}5)$; 2) $(-\infty; 1{,}8) \cup (3; +\infty)$; 3) $(-1; 0{,}2)$.

B деңгейі

№ 1072

90-суретте кескінделген сан аралықтарын қостеңсіздік және модулі бар теңсіздік арқылы жазыңдар: 1) 1-ден 7-ге дейінгі кесінді, шеттері боялған; 2) $-7$-ден $-3$-ке дейін, шеттері бос; 3) 2-ден 8-ге дейін, шеттері бос; 4) 6-дан 14-ке дейінгі кесінді, шеттері боялған; 5) $-9$-дан солға және 1-ден оңға сәулелер, шеттері боялған; 6) 3-тен солға және 9-дан оңға сәулелер, шеттері бос.

Қалай ойлаймыз. Шектердің ортасын тап — бұл орталық $c$. Шектердің арасындағы қашықтықтың жартысы — радиус $r$. Бір аралық: $|x - c| \le r$ (немесе

Шешуі.

1. Орталығы $(1 + 7) : 2 = 4$, радиусы 3: $1 \le x \le 7$, $|x - 4| \le 3$.
2. Орталығы $-5$, радиусы 2: $-7 < x < -3$, $|x + 5| < 2$.
3. Орталығы 5, радиусы 3: $2 < x < 8$, $|x - 5| < 3$.
4. Орталығы 10, радиусы 4: $6 \le x \le 14$, $|x - 10| \le 4$.
5. Орталығы $(-9 + 1) : 2 = -4$, радиусы 5: $|x + 4| \ge 5$.
6. Орталығы 6, радиусы 3: $|x - 6| > 3$.

Жауабы: 1) $|x - 4| \le 3$; 2) $|x + 5| < 2$; 3) $|x - 5| < 3$; 4) $|x - 10| \le 4$; 5) $|x + 4| \ge 5$; 6) $|x - 6| > 3$.

№ 1073

1) $|3x - 4| \le 1$; 2) $|4 - 2x| < 3$; 3) $|-0{,}8 + 5x| \le 13{,}2$ теңсіздігі тура болатындай $x$ айнымалысының барлық натурал мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Теңсіздікті шешеміз, сосын жауаптан натурал сандарды 1, 2, 3… таңдаймыз.

Шешуі.

1. $-1 \le 3x - 4 \le 1$, сосын $3 \le 3x \le 5$, демек $1 \le x \le 1\frac{2}{3}$. Натурал сан: 1.
2. $-3 < 4 - 2x < 3$, сосын $-7 < -2x < -1$, демек $0{,}5 < x < 3{,}5$. Натурал сандар: 1, 2, 3.
3. $-13{,}2 \le 5x - 0{,}8 \le 13{,}2$, сосын $-12{,}4 \le 5x \le 14$, демек $-2{,}48 \le x \le 2{,}8$. Натурал сандар: 1, 2.

Жауабы: 1) 1; 2) 1; 2; 3; 3) 1; 2.

№ 1074

Берілген теңсіздіктің ең үлкен және ең кіші бүтін шешімдерін табыңдар: 1) $|6 + 7x| < 8$; 2) $|5 + 9x| \le 20$; 3) $|-2x + 11| < 19$.

Қалай ойлаймыз. Аралықты табамыз да, оның шеттеріне қараймыз: шеттерге ең жақын бүтін сандар қайсы.

Шешуі.

1. $-8 < 6 + 7x < 8$, сосын $-14 < 7x < 2$, демек $-2 < x < \frac{2}{7}$. Бүтін сандар: $-1$, $0$.
2. $-20 \le 5 + 9x \le 20$, сосын $-25 \le 9x \le 15$, демек $-2\frac{7}{9} \le x \le 1\frac{2}{3}$. Бүтін сандар: $-2$-ден $1$-ге дейін.
3. $-19 < 11 - 2x < 19$, сосын $-30 < -2x < 8$, демек $-4 < x < 15$. Бүтін сандар: $-3$-тен $14$-ке дейін.

Жауабы: 1) ең үлкені 0, ең кішісі $-1$; 2) ең үлкені 1, ең кішісі $-2$; 3) ең үлкені 14, ең кішісі $-3$.

№ 1075

1) $|x - 15| \le 15 - x$; 2) $|7 + x| \le x + 19$; 3) $|8 - x| \ge x - 14$; 4) $|x + 10| < x + 10$ теңсіздігі тура болатындай айнымалының теріс мәндерін көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Айлалы есеп. Модуль өрнектің өзіне қашан тең болатынын және оң жағы қашан теріс болатынын ойлан.

Шешуі.

1. $x \le 15$ болғанда $x - 15$ саны нөлден артық емес, оның модулі $15 - x$ болады. Теңдік шығады — теңсіздік дұрыс. Кез келген теріс сан сәйкес келеді, мысалы $x = -1$: $|-16| = 16 \le 16$ ✓.
2. $x = -1$ алайық: $|6| = 6 \le 18$ ✓. Жалпы алғанда кез келген $x \ge -13$ сәйкес келеді.
3. Теріс $x$ болғанда оң жағы $x - 14$ теріс, ал модуль нөлден кем емес. Кез келген теріс сан сәйкес келеді, мысалы $x = -5$: $13 \ge -19$ ✓.
4. Санның модулі санның өзінен кіші болмайды: $|a| \ge a$ әрдайым. Шешімі жоқ.

Жауабы: 1) мысалы, $-1$ (кез келген теріс сан); 2) мысалы, $-1$ ($-13$-тен $0$-ге дейінгі кез келген сан); 3) мысалы, $-5$ (кез келген теріс сан); 4) мұндай $x$ жоқ.

№ 1076

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $3x - 15 > 0$, $|x| \le 9$; 2) $8 - x > 8$, $|x| > 3$; 3) $|x| < 0{,}5$, $27 - 5x < 70$; 4) $|x| \le 1{,}7$, $93{,}1 - 11x > 28{,}1$; 5) $|x| \ge \frac{1}{15}$, $\frac{1}{3} - \frac{2}{3}x < 9$; 6) $\frac{2}{7} + \frac{1}{7}x > -4$, $|x| > 6{,}1$.

Қалай ойлаймыз. Әр теңсіздікті жеке шешіп, тек ортақ бөлікті қалдырамыз.

Шешуі.

1. $x > 5$ және $-9 \le x \le 9$: қалғаны $5 < x \le 9$.
2. $-x > 0$, яғни $x < 0$; «$x < -3$ немесе $x > 3$» шартымен бірге қалғаны $x < -3$.
3. $-0{,}5 < x < 0{,}5$; $-5x < 43$, яғни $x > -8{,}6$. Қалғаны $-0{,}5 < x < 0{,}5$.
4. $-1{,}7 \le x \le 1{,}7$; $-11x > -65$, яғни $x < 5\frac{10}{11}$. Қалғаны $-1{,}7 \le x \le 1{,}7$.
5. Екіншісін 3-ке көбейтеміз: $1 - 2x < 27$, яғни $x > -13$. Біріншісімен бірге: $-13 < x \le -\frac{1}{15}$ немесе $x \ge \frac{1}{15}$.
6. Біріншісін 7-ге көбейтеміз: $2 + x > -28$, яғни $x > -30$. Екіншісімен бірге: $-30 < x < -6{,}1$ немесе $x > 6{,}1$.

Жауабы: 1) $(5; 9]$; 2) $(-\infty; -3)$; 3) $(-0{,}5; 0{,}5)$; 4) $[-1{,}7; 1{,}7]$; 5) $(-13; -\frac{1}{15}] \cup [\frac{1}{15}; +\infty)$; 6) $(-30; -6{,}1) \cup (6{,}1; +\infty)$.

№ 1077

1) $|x| \le 4$ және $|x - 5| < 8$; 2) $|9 - x| \le 12$ және $|x| < 5$; 3) $|x + 7| > 11$ және $|x| \le 7$; 4) $|x| \ge 1$ және $|x - 3| < 3$ теңсіздіктері бір мезгілде тура болатындай натурал сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екеуін де шешіп, ортақ бөлікті алып, натурал сандарды жазамыз.

Шешуі.

1. $x \le 4$ және $-3 < x < 13$: 1, 2, 3, 4.
2. $-3 \le x \le 21$ және $x < 5$: 1, 2, 3, 4.
3. $x > 4$ немесе $x < -18$; $x \le 7$ шартымен бірге: 5, 6, 7.
4. Біріншісі кез келген натурал санда дұрыс; екіншісінен $0 < x < 6$: 1, 2, 3, 4, 5.

Жауабы: 1) 1; 2; 3; 4; 2) 1; 2; 3; 4; 3) 5; 6; 7; 4) 1; 2; 3; 4; 5.

C деңгейі

№ 1078

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $147 - 3x \ge 51$, $|x| \ge 11$, $11 + 0{,}5x > 0{,}5$; 2) $|x| < 1{,}5$, $60x + 8 \le 9x + 9$, $|x| < 9{,}7$.

Қалай ойлаймыз. Үш шарт — үш сәуле немесе аралық. Оларды бір түзуде сызып, үшеуі де қабаттасатын жерді іздейміз.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдар бойынша.
2. $-1{,}5 < x < 1{,}5$; $51x \le 1$, яғни $x \le \frac{1}{51}$; үшінші шарт біріншіден кеңірек, ештеңені өзгертпейді. Ортақ бөлік: $-1{,}5 < x \le \frac{1}{51}$.

Жауабы: 1) $(-21; -11] \cup [11; 32]$; 2) $(-1{,}5; \frac{1}{51}]$.

№ 1079

1) $|x| < 4$, $|x| \ge 1$, $x > -3$; 2) $|x| \le 10$, $x > -7$, $x \le 2$; 3) $|x| > 3$, $x \le 4$, $|x| \le 5$ теңсіздіктер жүйесі тура болатындай барлық бүтін сандардың қосындысының мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Барлық бүтін шешімді жазып, қосамыз. Қарама-қарсы сандар бір-бірін жояды.

Шешуі.

1. $-3 < x < 4$, бірақ нөлсіз: $-2, -1, 1, 2, 3$. Қосындысы $3$.
2. $-7 < x \le 2$: $-6, -5, \ldots, 2$. Қосындысы $-6 - 5 - 4 - 3 = -18$ (қалғандары қысқарады).
3. $-5 \le x < -3$ немесе $3 < x \le 4$: $-5, -4, 4$. Қосындысы $-5$.

Жауабы: 1) 3; 2) $-18$; 3) $-5$.

№ 1080

1. Теңсіздіктер жүйесінің шешімі болатын ең кіші бүтін санды табыңдар: 1) $7x - 21 > 9x - 25$, $|x| \le 3$, $-5 < x - 2 < 3$; 2) $|x| < 10$, $|x| \ge 2$, $23 - x \le 2x + 53$. 2. Теңсіздіктер жүйесінің шешімі болатын ең үлкен бүтін санды табыңдар: 1) $x - 16{,}5 \le 2x - 9{,}5$, $|x| < 8$, $-11 \le 3 - x \le 7$; 2) $|x| \ge 6$, $|x| < 9$, $33 + 2x \ge 3x + 40$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен үш шарттың ортақ бөлігін табамыз, содан кейін оның сол (немесе оң) шетіне қараймыз.

Шешуі.

1-тапсырма.

1. $-2x > -4$, яғни $x < 2$; $-3 \le x \le 3$; $-3 < x < 5$. Бірге: $-3 < x < 2$. Ең кіші бүтін сан: $-2$.
2. $-10 < x < 10$; $x \le -2$ немесе $x \ge 2$; $-30 \le 3x$, яғни $x \ge -10$. Бірге: $-10 < x \le -2$ немесе $2 \le x < 10$. Ең кіші бүтін сан: $-9$.

2-тапсырма.

1. $x \ge -7$; $-8 < x < 8$; $-14 \le -x \le 4$, яғни $-4 \le x \le 14$. Бірге: $-4 \le x < 8$. Ең үлкен бүтін сан: $7$.
2. $6 \le |x| < 9$: $-9 < x \le -6$ немесе $6 \le x < 9$; үшіншісі: $33 - 40 \ge x$, яғни $x \le -7$. Бірге: $-9 < x \le -7$. Ең үлкен бүтін сан: $-7$.

Жауабы: 1. 1) $-2$; 2) $-9$. 2. 1) $7$; 2) $-7$.

Қайталау

№ 1081

Катер ағысқа қарсы 42 км/сағ жылдамдықпен 3 сағ жүзді. Егер ағыс жылдамдығы 3 км/сағ болса, онда ол ағыс бойымен 144 км жолды қанша сағатта жүзіп өтеді?

Қалай ойлаймыз. 42 км/сағ — ағысқа қарсы жылдамдық. «3 сағ» уақыты жауапқа керек емес — бұл тұзақ.

Шешуі.

1. Өз жылдамдығы: $42 + 3 = 45$ км/сағ.
2. Ағыс бойымен: $45 + 3 = 48$ км/сағ.
3. Уақыты: $144 : 48 = 3$ сағ.

Жауабы: 3 сағ.

№ 1082

1) $54 - 10x + 28{,}4 + 4{,}5x = -1{,}5x + 10{,}4$ теңдеуінің түбірі Қызыл кітапқа енген Барсакелмес қорығында мекендейтін құстар түрінің санын береді. 2) $((-23{,}8) \cdot 9{,}4 - 501{,}96 : (-56{,}4)) \cdot 200 - (-84,724)$ өрнегінің мәні ғарыш кемесінің километр сағатпен (км/сағ) алынған Жер бетінен ұшып шығу жылдамдығын береді.

Қалай ойлаймыз. Теңдеуде алдымен ұқсас мүшелерді біріктіреміз, өрнекте амалдарды ретімен орындап, таңбаларды қадағалаймыз.

Шешуі.

1. Сол жағы: $82{,}4 - 5{,}5x = -1{,}5x + 10{,}4$. Көшіреміз: $82{,}4 - 10{,}4 = 5{,}5x - 1{,}5x$, яғни $72 = 4x$, $x = 18$.
2. $(-23{,}8) \cdot 9{,}4 = -223{,}72$; $501{,}96 : (-56{,}4) = -8{,}9$; $-223{,}72 - (-8{,}9) = -214{,}82$; $-214{,}82 \cdot 200 = -42,964$; $-42,964 + 84,724 = 41,760$.

Жауабы: 1) 18 түр; 2) 41 760 км/сағ.

🌟 «Барсакелмес» қазақшадан аударғанда «барсаң — келмейсің» деген мағына береді. Бұл — Арал теңізіндегі арал болған, қазір құландар мен киіктерді қорғайтын қорық.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1083

1) Ұзындығы 3 см кесінді салыңдар. Кесіндіде кез келген екі нүктені белгілеңдер. 2) Доғал бұрыш салыңдар. Осы бұрышты біреуі тік болатындай етіп екі бұрышқа бөліңдер.

Қалай ойлаймыз. Екінші тармақта үшбұрышты сызғыш немесе транспортир пайдалы: доғал бұрыштың бір қабырғасынан бұрыштың ішіне қарай $90°$ саламыз.

Шешуі.

1. Нүкте қоямыз, сызғышпен 3 см өлшеп, екінші нүкте қоямыз да, қосамыз. Кесіндідегі екі нүкте — ұштарының арасындағы кез келген нүктелер.
2. Доғал бұрыш саламыз, мысалы $130°$. Үшбұрышты сызғыштың тік бұрышын төбеге қойып, бір қабырғасын бұрыштың қабырғасы бойымен жатқызамыз да, сызғыштың екінші қабырғасы бойымен сәуле жүргіземіз. $90°$ және $130° - 90° = 40°$ бұрыштары шықты.

Жауабы: салулар орындалды; мысалы, $130° = 90° + 40°$.

Жадынама

• «Модулі кіші» → қостеңсіздік → бір аралық.
• «Модулі үлкен» → екі теңсіздік → екі сәуленің бірігуі.
• $|7 - x|$ және $|x - 7|$ — бір нәрсе: 7-ге дейінгі қашықтық.
• Жүйеде барлық шарттың ортақ бөлігін іздейміз.
• Жауапты аралықтағы кез келген санмен тексер.

Шағын тест