§ 40. Жазықтық. Перпендикуляр түзулер мен кесінділер

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 6 тарау: Координаталық жазықтық. 84–88-беттер.

Нені үйренесің

• Жазықтықтың не екенін және түзудің кесіндіден қандай айырмасы бар екенін түсінуді.
• Қиылысатын және қиылыспайтын түзулерді ажыратуды.
• Перпендикуляр түзулер мен кесінділерді тауып, оны $\perp$ белгісімен жазуды.
• Тік бұрыш пен перпендикулярды сызба үшбұрышымен және транспортирмен салуды.
• Перпендикуляр түзулері бар сызбадан бұрыштарды табуды.

Ой қозғау

Алғашқы екі сұрақ — өткен сабақтағы № 1083 тапсырмасы.

• Ұзындығы 3 см кесіндіні қалай салып, оған екі нүкте белгілейміз? Нүкте қоямыз, сызғышпен 3 см өлшеп, екінші нүкте қоямыз да, қосамыз. Екі нүкте — ұштарының арасындағы кез келген нүктелер.
• Доғал бұрышты біреуі тік болатындай етіп екі бұрышқа қалай бөлеміз? Сызба үшбұрышының тік бұрышын төбеге қой, бір қабырғасын бұрыштың қабырғасы бойымен жатқыз да, сәуле жүргіз. Мысалы, $130° = 90° + 40°$.
• Тік бұрышта неше градус бар? $90°$.
• Жазыңқы бұрышта неше градус бар? $180°$ — бұл екі тік бұрыш.
• Тік бұрыштан $35°$ қиып алсақ, неше градус қалады? $90° - 35° = 55°$.

Тақырыпты талдаймыз

Шеті жоқ жазықтық

Парта бетін, тақтаны, қағаз парағын — бәрі жазықтықтың бөліктері. Тек партаның шеті бар, ал жазықтықтың шеті жоқ: ол барлық жаққа шексіз. Сондықтан жазықтықты түгел салуға болмайды — оның бір бөлігін параққа саламыз.

Түзумен де солай. $AB$ кесіндісінің екі ұшы бар. Оны екі жаққа тоқтамай жалғастырсаң — $AB$ түзуі шығады. Оның ұшы жоқ.

📌 Түзуді латын әліпбиінің екі бас әрпімен ($AB$, $FE$) немесе бір кіші әрпімен ($a$, $b$) белгілейді.

Екі түзу қалай орналасуы мүмкін

Параққа екі түзу сызшы. Нұсқасы тек үш:

1. Олар қиылысады — олардың дәл бір ортақ нүктесі бар.
2. Олар қиылыспайды, қанша жалғастырсаң да.
3. Олар беттеседі — бұл бір ғана түзу.

⚠️ Жиі кететін қате. Суретте түзулер тек аяғына дейін сызылмағандықтан кездеспеуі мүмкін. Түзу шексіз! Оны ойша жалғастыр — еңістері әртүрлі болса, олар бір жерде қиылысады.

Перпендикуляр — «тік бұрышпен» деген сөз

Екі түзу қиылысқанда төрт бұрыш шығады. Егер олардың бірі тік болса, онда төртеуі де тік — әрқайсысы $90°$. Мұндай түзулерді перпендикуляр түзулер дейді.

Былай жазады: $AB \perp CD$. Былай оқиды: «$AB$ түзуі $CD$ түзуіне перпендикуляр». Және керісінше: егер $AB \perp CD$ болса, онда $CD \perp AB$.

🌟 $\perp$ белгісінің өзі екі перпендикуляр сызыққа ұқсайды: бағана еденде тік тұр, қисаймайды.

Тік бұрышты немен саламыз

Екі көмекші бар:

• Сызба үшбұрышы. Оны тік бұрышымен нүктеге қойып, жиегі бойымен сызық жүргізесің.
• Транспортир. Центрін түзудегі нүктеге, нөлін түзу бойына қойып, $90°$-қа белгі қойып, қосасың.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Үйдегі бұрыштарды сызба үшбұрышымен немесе жай қағаз парағының бұрышымен тексеріңіз: үстелдің, есіктің, кітаптың бұрышы. Бала тік бұрышты тіктей жуығынан «көзбен» тез ажыратуды үйренеді.

Перпендикуляр кесінділер

Перпендикуляр түзулерде жатқан кесінділерді де перпендикуляр кесінділер дейді. Айла: кесінділердің өздері бір-біріне тимеуі де мүмкін! Олардың түзулері тік бұрышпен кездессе жеткілікті.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Перпендикуляр түзулер қиылысқанда қандай бұрыштар шығады? Төрт тік бұрыш, әрқайсысы $90°$.
• Тік бұрышты қандай құралдармен салуға болады? Сызба үшбұрышымен және транспортирмен.
• Перпендикуляр түзулер әрдайым қиылыса ма? Иә: анықтама бойынша олар тік бұрышпен қиылысады.
• Ал перпендикуляр кесінділер ше? Жоқ, әрдайым емес. Олардың түзулері қиылысады, ал кесінділердің өздері кездеспеуі де мүмкін.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1084

$a$ түзуін салып, оған тиісті емес $B$ нүктесін белгілеңдер. Сызба үшбұрышының көмегімен $B$ нүктесінен өтіп, $a \perp b$ болатындай $b$ түзуін жүргізіңдер. $B$ нүктесі арқылы қанша осындай түзу жүргізуге болады?

Қалай ойлаймыз. Сызба үшбұрышын тік бұрышының бір қабырғасымен $a$ түзуіне қойып, екінші қабырғасы $B$ нүктесіне тірелгенше жылжытамыз.

Шешуі.

1. $a$ түзуін саламыз, оның үстіне $B$ нүктесін қоямыз.
2. Сызба үшбұрышының тік бұрышының бір қабырғасын $a$ бойына қоямыз.
3. Үшбұрышты $a$ түзуі бойымен екінші қабырғасы $B$ арқылы өткенше жылжытамыз.
4. Осы қабырға бойымен $b$ түзуін жүргіземіз.

Тағы бір дәл осындай түзу жүргізіп көр — ол біріншісімен беттеседі.

Жауабы: $B$ нүктесі арқылы $a$ түзуіне перпендикуляр бір ғана түзу жүргізуге болады.

№ 1085

$m$ түзуін салып, оған тиісті емес $A$ нүктесін белгілеңдер. $A$ нүктесінен $m$ түзуіне дейінгі қашықтықты табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық — нүктеден түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығы. Алдымен № 1084-тегідей перпендикуляр жүргіземіз, сосын оны өлшейміз.

Шешуі.

1. $m$ түзуін және одан тыс $A$ нүктесін саламыз.
2. Сызба үшбұрышымен $A$ арқылы $m$-ге перпендикуляр түзу жүргіземіз.
3. Оның $m$ түзуімен қиылысқан нүктесін $H$ деп атаймыз. $AH$ кесіндісін сызғышпен өлшейміз — бұл $A$ нүктесінен $m$ түзуіне дейінгі қашықтық ($A$ нүктесінен түзуге дейінгі ең қысқа жол).

Жауабы: сызба: $m$ түзуі, одан тыс $A$ нүктесі; $A$ арқылы $m$-ге жалғыз перпендикуляр өтеді; қашықтық — $AH$ кесіндісінің ұзындығы (өлшеуге байланысты).

№ 1086

Қиылысатын $a$ және $b$ түзулерін салыңдар. Бұл түзулерге тиісті емес $M$ нүктесін белгілеңдер. $M$ нүктесінен $a$ түзуіне және $b$ түзуіне дейінгі қашықтықты өлшеңдер.

Қалай ойлаймыз. Қашықтық — перпендикулярдың ұзындығы. Сондықтан $M$-нен әр түзуге бөлек перпендикуляр жүргізіп, оларды өлшейміз.

Шешуі.

1. $a$ және $b$ түзулерін $O$ нүктесінде қиылыстырып саламыз.
2. $M$ нүктесін ол $a$-да да, $b$-да да жатпайтындай етіп қоямыз.
3. Сызба үшбұрышымен $M$ арқылы $a$-ға перпендикуляр және $b$-ға перпендикуляр жүргіземіз.
4. Әр перпендикулярдың ұзындығын сызғышпен өлшейміз.

Жауабы: сызба орындалды; $M$ арқылы $a$-ға да, $b$-ға да біреуден перпендикуляр өтеді, олардың ұзындықтары — $M$ нүктесінен сәйкес түзулерге дейінгі қашықтықтар.

№ 1087

$a$ түзуін салыңдар. $a$ түзуімен қиылысатын $b$ түзуін, $a$ түзуімен қиылыспайтын $c$ түзуін жүргізіңдер.

Қалай ойлаймыз. $c$ түзуі $a$-мен парақтың шетінен тыс алыста да кездеспеуі керек. Демек, ол $a$-мен бірдей еңіспен өтеді.

Шешуі.

1. $a$ түзуін тор көз сызығы бойымен жүргіземіз.
2. $b$ түзуін $a$-ны кесіп өтетіндей көлбеу жүргіземіз — олар бір нүктеде кездеседі.
3. $c$ түзуін тор көздің басқа сызығы бойымен, $a$-дан бірнеше тор көз жоғары жүргіземіз. Қанша жалғастырсаң да, ол $a$-мен кездеспейді.

Жауабы: $b$ түзуі $a$-мен қиылысады; $c$ түзуі $a$-ның қасынан бірдей қашықтықта өтеді және онымен қиылыспайды.

№ 1088

Тік бұрыш салыңдар. Тік бұрыштың әрбір қабырғасына бір нүктені белгілеңдер. Осы нүктелер арқылы бұрыштың қабырғаларына перпендикуляр түзулер жүргізіңдер. Олардың қиылысу нүктесін белгілеңдер. Суретте қандай төртбұрыш пайда болды?

Қалай ойлаймыз. Пайда болған фигураның бұрыштарын санап көр. Біреуі — бастапқы тік бұрыш, тағы екеуі — перпендикулярларды жүргізген жерде.

Шешуі.

1. $OACB$ төртбұрышының $O$, $A$ және $B$ бұрыштары тік.
2. Төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы $360°$, демек, $C$ бұрышы $= 360° - 3 \cdot 90° = 90°$.
3. Барлық бұрышы тік төртбұрыш — тіктөртбұрыш. Егер $OA = OB$ болса, ол шаршы болады.

Жауабы: тіктөртбұрыш (төбеден қашықтықтар тең болса — шаршы).

№ 1089

1) Өзара қиылыспайтын; 2) қиылысатын перпендикуляр $AB$ және $CD$ кесінділерін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кесінділер жатқан түзулер перпендикуляр болады. Демек, кесінділерді өз түзулері бойымен «жылжытып», олар кездеспейтіндей етуге болады.

Шешуі.

1. $O$ нүктесі арқылы тік және көлденең түзулер жүргіземіз. Тік түзуде $O$-дан жоғары $AB$ кесіндісін, көлденең түзуде $O$-дан оңға $CD$ кесіндісін аламыз. Олар тимейді, бірақ перпендикуляр.
2. Кесінділерді екеуі де $O$ арқылы өтетіндей аламыз, мысалы «+» айқышы түрінде.

Жауабы: 1) перпендикуляр түзулердегі, қиылысу нүктесінен алыстағы кесінділер; 2) ортақ нүкте арқылы айқас кесінділер.

B деңгейі

№ 1090

107-суретте берілген кесінділердің қайсылары өзара перпендикуляр болады? (Алты кесінді: 1 — төмен оңға, көлбеулігі көлденеңге шамамен $42°$; 2 — жоғары оңға, шамамен $31°$; 3 — тік төмен оңға, шамамен $57°$; 4 — дерлік көлденең; 5 және 6 — жоғары оңға, шамамен $52°$.)

Қалай ойлаймыз. Екі кесінді перпендикуляр болады, егер біреуі жоғары, екіншісі төмен көлбеген болса және олардың көлденеңге көлбеулері қосылғанда $90°$ беретін болса. Суретте сызба үшбұрышымен тексер!

Шешуі.

1. 2-кесінді ($31°$ жоғары) және 3-кесінді ($57°$ төмен): $31° + 57° \approx 90°$ — перпендикуляр.
2. 1-кесінді ($42°$ төмен) және 5, 6-кесінділер ($52°$ жоғары): $42° + 52° \approx 90°$ — перпендикуляр. 5 және 6-кесінділер бір жаққа қарайды, олардың көлбеулігі бірдей.
3. 4-кесіндінің жұбы жоқ.

Жауабы: 2 және 3; 1 және 5; 1 және 6.

№ 1091

$a$ түзуі $b$ түзуіне перпендикуляр және $\angle AOB = 150°$, $\angle COD = 48°$, $\angle BOC = 34°$ (108-сурет). $\angle AOD$ және $\angle DOB$-ны табыңдар. (Сурет бойынша: $a$ түзуі көлденең, $OC$ сәулесі оның оң жағында жатыр; $OA$, $OD$, $OB$ сәулелері жоғары қарай: $OA$ — солға, $OD$ — $b$ түзуінен сәл оңда, $OB$ — $OD$ мен $OC$ арасында.)

Қалай ойлаймыз. Үлкен бұрыштар кішкентайлардан құралады. Бөліп, азайтамыз.

Шешуі. $\angle DOB = \angle COD - \angle BOC = 48° - 34° = 14°$; $\angle AOD = \angle AOB - \angle DOB = 150° - 14° = 136°$.

Жауабы: $\angle AOD = 136°$, $\angle DOB = 14°$.

📕 Шарттағы $150°$ суретке сай келмейтін сияқты: сонда $\angle AOC = 150° + 34° = 184°$ болар еді, ал ол жазыңқы бұрыштан үлкен, ал суретте $A$ нүктесі $a$ түзуінен жоғары жатыр. Суретте $\angle AOB$ шамамен $100°$ көрінеді (орыс басылымында да $100°$ және жауабы $\angle AOD = 86°$). Біз оқулықтағы санмен ($150°$) есептедік.

C деңгейі

№ 1092

$KM$ түзуі $NL$ түзуіне перпендикуляр және $\angle POM + \angle LOR = 35°$, $\angle KOP = 160°$ (109-сурет). $\angle POM$ және $\angle LOR$-ды табыңдар. ($OP$ сәулесі оң жаққа-жоғары $OM$ мен $ON$ арасында, $OR$ сәулесі сол жаққа-төмен жүреді.)

Қалай ойлаймыз. $OK$ және $OM$ сәулелері бір түзуде жатыр, демек, $\angle KOP + \angle POM = 180°$.

Шешуі.

1. $\angle POM = 180° - 160° = 20°$.
2. $\angle LOR = 35° - 20° = 15°$.

Жауабы: $\angle POM = 20°$, $\angle LOR = 15°$.

Қайталау

№ 1093

Мына тапсырмалардың нәтижесі еліміздегі кейінгі жылдары қоршаған ортаны қорғау мәселесі бойынша қандай өзгерістер болғанын көрсетеді: 1) $-0{,}4 + \frac{1}{20}(718{,}235 - (73{,}28 + 16{,}955))$ өрнегінің мәні ауылшаруашылығында қолданылатын жер ауданының қанша пайызға азайғанын; 2) $2 - x \le -3$, $3x + 1\frac{1}{2} \le 19{,}5$ теңсіздіктер жүйесінің шешімі улы дәрілерді қолдану қанша есе азайғанын береді.

Қалай ойлаймыз. Амалдарды ретімен орындаймыз: ішкі жақшалар, сыртқы жақшалар, көбейту, қосу.

Шешуі.

1. $73{,}28 + 16{,}955 = 90{,}235$; $718{,}235 - 90{,}235 = 628$; $628 : 20 = 31{,}4$; $-0{,}4 + 31{,}4 = 31$.
2. $2 - x \le -3$, демек $-x \le -5$, яғни $x \ge 5$. $3x \le 18$, яғни $x \le 6$. Шешімі: $[5; 6]$.

Жауабы: 1) 31%-ға; 2) $x \in [5; 6]$ — 5–6 есе.

№ 1094

Қоймадағы қант мөлшері дүкендегі қант мөлшерінен 3 есе артық. Егер қоймадан 850 т қант алынып, дүкеннен 50 т қант сатылса, онда қойма мен дүкендегі қант мөлшері бірдей болады. Қоймада және дүкенде қанша тонна қант бар?

Қалай ойлаймыз. Кіші мөлшерді $x$ деп белгілеп, қалатынын теңестіреміз.

Шешуі.

1. Дүкенде $x$ т, қоймада $3x$ т.
2. $3x - 850 = x - 50$, демек $2x = 800$, $x = 400$.
3. Қоймада $3 \cdot 400 = 1200$ т. Тексеру: $1200 - 850 = 350$ және $400 - 50 = 350$ ✓.

Жауабы: қоймада 1200 т, дүкенде 400 т.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1095

$\angle B = 81°$ және ол $C$ бұрышының $90%$-ын, $A$ бұрышы $C$ бұрышының $10%$-ын құрайды. $\angle A$ және $\angle C$-ны табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Егер 90% — $81°$ болса, онда 10% тоғыз есе кіші.

Шешуі.

1. $\angle C$-ның 10%-ы: $81° : 9 = 9°$. Демек, $\angle A = 9°$.
2. $\angle C = 9° \cdot 10 = 90°$ — тік!
3. Тексеру: $9° + 81° + 90° = 180°$ — бұл үшбұрыштың бұрыштары.

Жауабы: $\angle A = 9°$, $\angle C = 90°$.

Жадынама

• Жазықтықтағы екі түзу қиылысады, қиылыспайды немесе беттеседі.
• Перпендикуляр түзулер төрт тік бұрыш жасайды.
• Егер $AB \perp CD$ болса, онда $CD \perp AB$ де.
• Тік бұрышты сызба үшбұрышымен немесе транспортирмен салады.
• Түзуден тыс нүкте арқылы оған тек бір перпендикуляр өтеді.

Шағын тест