§ 5. Масштаб

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 1 тарау: Қатынас және пропорция. 49–53-беттер.

Нені үйренесің

• Масштабтың не екенін және $1 : 100,000$ жазуын қалай оқитынын түсіндіруді.
• Карта бойынша нақты қашықтықты және, керісінше, картадағы кесіндінің ұзындығын табуды.
• Картадағы және жердегі қашықтық белгілі болса, масштабты анықтауды.
• Қарапайым жоспарды (мысалы, бөлмеңнің немесе сыныптың) қажет масштабта сызуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 216–219 тапсырмалары. Ойша жауап бер, сонан соң жауабын аш.

• 3 м-де неше сантиметр және дециметр бар? 300 см немесе 30 дм.
• Ал 21 мм-де? 0,2 м-де? 400 мм-де? 21 мм = 2,1 см = 0,21 дм; 0,2 м = 20 см = 2 дм; 400 мм = 40 см = 4 дм.
• 300 пен 888 санының оннан бір және жүзден бір бөлігі қанша? 300-дікі: 30 және 3. 888-дікі: 88,8 және 8,88.
• Өлшемдері 0,3 км және 500 м жер телімі. Периметрі мен ауданы қандай? 0,3 км = 300 м. Периметрі $2 \cdot (300 + 500) = 1600$ м, ауданы $300 \cdot 500 = 150,000$ м² (бұл 15 га).
• Пропорция шығатындай санды тап: $5 : 20 = 12 : x$. $5 : 20$ қатынасы $\frac{1}{4}$-ге тең, демек, $x = 12 \cdot 4 = 48$.

💡 Өлшем бірліктерін аудару — бүгінгі сабақтың басты құралы. Картада сантиметр, жерде километр, оларды үнемі бір-біріне аударып отыруға тура келеді.

Тақырыпты талдаймыз

Карта — кішірейтілген көшірме

Нақты Алматы парақ бетіне сыймайды. Сондықтан картада барлығын бірдей есе кішірейтеді. 100 000 есе кішірейтсе, картадағы 1 см — жердегі 100 000 см, яғни 1000 м, яғни 1 км.

📌 Картада (планда, сызбада және т.б.) берілген арақашықтықтың нақты арақашықтыққа сәйкестігін масштаб деп атайды.

Былай жазады: М $1 : 100,000$ немесе М $\frac{1}{100,000}$. Оқылуы: «масштабы жүз мыңнан бірге тең».

Үлкейту де болады

Сағаттың тетіктері өте ұсақ. Сызбада оларды ірілеп салады: М $10 : 1$ («біреуге он»). Демек, сурет тетіктің өзінен 10 есе үлкен. Диаметрі 3 см 5 мм дөңгелек сызбада көрсетілген болса, оның нақты өлшемі небәрі 3,5 мм.

💡 Қалай шатастырмаймыз: сол жақта 1 тұрса — кішірейту (карталар, жоспарлар). Оң жақта 1 тұрса — үлкейту (тетіктер, микробтар, жәндіктер).

Сызықтық масштаб: сызғыш тікелей картада

Алматы мен оның төңірегінің картасында $1 : 225,000$ масштабы тұр. Бұл: 1 см — 225 000 см, яғни 2250 м. Жиі қасына бөлімдері бар жолақ салады — сызықтық масштаб. Бөлімдерді басып көр.

Екі басты есеп

Картадан жерге. Масштабы $1 : 100,000$, картада 3 см. Жерде 100 000 есе көп: $3 \cdot 100,000 = 300,000$ см = 3 км.

Жерден картаға. Сол картада 5 км-ді салу керек. Алдымен сантиметрге аударамыз: 5 км = 500 000 см. Сонан соң кішірейтеміз: $500,000 : 100,000 = 5$ см.

⚠️ Жиі кететін қате. Километрді аудармай 100 000-ға бөледі: $5 : 100,000 = 0{,}00005$. Алдымен бәрін бірдей бірлікке (әдетте сантиметрге) аудар, сонан соң ғана көбейт немесе бөл.

Масштабты өзіміз қалай таңдаймыз

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Телефоннан картаны ашып, бұрыштағы масштаб жолағын табыңыз. Баладан соның көмегімен үйден мектепке дейінгі қашықтықты бағалауын сұраңыз, сонан соң қосымшадағы маршрутпен салыстырыңыз.

🌟 Мектеп атласындағы Қазақстан карталарының масштабы әдетте шамамен $1 : 10,000,000$: 1 см — 100 км. Бүкіл ел батыстан шығысқа (шамамен 3000 км) 30 см-ге сыйады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Масштаб дегеніміз не? Картадағы (планда, сызбада) арақашықтықтың нақты арақашықтыққа сәйкестігі.
• М $5 : 1$ жазуы нені білдіреді? Кескін нақты заттан 5 есе үлкен: сызбадағы 5 см — өмірдегі 1 см.
• М $1 : 5$ жазуы нені білдіреді? Кескін 5 есе кіші: сызбадағы 1 см — өмірдегі 5 см.
• М $1 : 1000$ масштабы бар картада арақашықтықты қалай табуға болады? Кесіндіні сызғышпен өлшеп, 1000-ға көбейту керек. Мысалы, картадағы 4 см — 4000 см = 40 м жерде.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 220

Масштабы $1 : 1,000,000$ болатын картада көрсетілген екі елді мекеннің арақашықтығы 2,5 см. Олардың нақты арақашықтығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жерде арақашықтық 1 000 000 есе үлкен. Көбейтеміз, сонан соң километрге аударамыз.

Шешуі.

1. $2{,}5 \cdot 1,000,000 = 2,500,000$ см.
2. 2 500 000 см = 25 000 м = 25 км.

Жауабы: 25 км.

№ 221

Екі қаланың арақашықтығы 1200 км. Масштабы $1 : 500,000$ болатын картадан осы қалаларды қосатын кесіндінің ұзындығын табыңдар.

Шешуі.

1. 1200 км = 1 200 000 м = 120 000 000 см.
2. $120,000,000 : 500,000 = 240$ см.

Жауабы: 240 см (бұл 2,4 м — карта өте үлкен, қабырғаға ілетін).

№ 222

Планда жер телімі $1 : 100,000$ масштабымен берілген. Пландағы екі нүктенің арақашықтығы: 1) 0,5 см; 2) 1 см; 3) 2 см; 4) 3,6 см; 5) 8 см. Екі нүктенің нақты арақашықтығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл масштабта 1 см = 100 000 см = 1 км. Демек, пландағы сантиметрлер жай ғана километрге айналады.

Шешуі. 1) 0,5 км; 2) 1 км; 3) 2 км; 4) 3,6 км; 5) 8 км.

Жауабы: 0,5 км; 1 км; 2 км; 3,6 км; 8 км.

№ 223

Картада берілген екі қаланың арақашықтығы 32 см. Картаның масштабы $1 : 10,000,000$ болса, екі қаланың арақашықтығы қандай?

Шешуі.

1. $32 \cdot 10,000,000 = 320,000,000$ см.
2. 320 000 000 см = 3 200 000 м = 3200 км.

Жауабы: 3200 км.

№ 224

Теміржол магистралінің ұзындығы 2750 км. Масштаб $1 : 2,500,000$ болса, осы магистральды бейнелейтін кесіндінің ұзындығы қандай болады?

Шешуі.

1. 2750 км = 275 000 000 см.
2. $275,000,000 : 2,500,000 = 110$ см.

Жауабы: 110 см.

№ 225

$1 : 2,000,000$ масштабымен берілген картада екі елді мекеннің арақашықтығы 2 см. Осы елді мекеннің жергілікті жердегі арақашықтығын табыңдар.

Шешуі. $2 \cdot 2,000,000 = 4,000,000$ см = 40 000 м = 40 км.

Жауабы: 40 км.

№ 226

Пландағы 1 см-ге жергілікті жердегі 1 км сәйкес келу үшін картаны қандай масштабпен алу керек?

Шешуі. 1 км = 1000 м = 100 000 см. Демек, 1 см : 100 000 см.

Жауабы: $1 : 100,000$.

B деңгейі

№ 227

Картадағы: 1) 3 см жер бетіндегі 150 км-ге; 2) 5 см жер бетіндегі 700 км-ге; 3) 45 дм жер бетіндегі 18 км-ге; 4) 6 дм жер бетіндегі 2460 км-ге сәйкес болса, картаның масштабы қандай?

Қалай ойлаймыз. Картадағы 1 см-ге неше километр келетінін табамыз, сонан соң сол километрді сантиметрге аударамыз.

Шешуі.

1. $150 : 3 = 50$ км 1 см-де; 50 км = 5 000 000 см → $1 : 5,000,000$.
2. $700 : 5 = 140$ км 1 см-де; 140 км = 14 000 000 см → $1 : 14,000,000$.
3. 45 дм = 450 см; 18 км = 1 800 000 см; $1,800,000 : 450 = 4000$ → $1 : 4000$.
4. 6 дм = 60 см; $2460 : 60 = 41$ км 1 см-де; 41 км = 4 100 000 см → $1 : 4,100,000$.

Жауабы: 1) $1 : 5,000,000$; 2) $1 : 14,000,000$; 3) $1 : 4000$; 4) $1 : 4,100,000$.

📕 3-тармақта «45 дм» (бұл — картадағы 4,5 метр!) деп жазылған. Картаға бұл тым үлкен, мүмкін, «4,5 см» немесе «4,5 дм» болуы керек еді. Біз жазылғанындай есептейміз, ал 4,5 см болса, масштаб $1 : 400,000$ болар еді.

№ 228

$1 : 5$ масштабымен салынған суретте тетіктің ұзындығы 8,4 мм. 1) $1 : 4$; 2) $3 : 1$ масштабымен берілген суреттегі тетіктің нақты ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен тетіктің нақты ұзындығын табамыз, сонан соң оны жаңа масштабта саламыз.

Шешуі.

1. Нақты ұзындығы: $8{,}4 \cdot 5 = 42$ мм.
2. Масштабы $1 : 4$: $42 : 4 = 10{,}5$ мм.
3. Масштабы $3 : 1$ (3 есе үлкейту): $42 \cdot 3 = 126$ мм.

Жауабы: 1) 10,5 мм; 2) 126 мм.

№ 229

$1 : 5,000,000$ масштабымен берілген картада екі қаланың арасы 18 см. Масштаб $1 : 10,000,000$ болса, картадағы арақашықтық қандай болар еді?

Қалай ойлаймыз. Екінші карта дәл 2 есе ұсақ ($10,000,000 : 5,000,000 = 2$). Демек, кесінді де 2 есе қысқа.

Шешуі. $18 : 2 = 9$ см. Нақты арақашықтық арқылы тексеру: $18 \cdot 5,000,000 = 90,000,000$ см; $90,000,000 : 10,000,000 = 9$ см.

Жауабы: 9 см.

№ 230

Ұзындығы 2,5 см болатын картадағы кесіндіге жер бетіндегі 100 км сәйкес келеді. Картада екі қаланың арақашықтығы 8 см болса, осы екі қаланың нақты арақашықтығы қандай?

Шешуі.

1. 1 см-де: $100 : 2{,}5 = 40$ км.
2. $8 \cdot 40 = 320$ км.

Жауабы: 320 км.

№ 231

Масштабы $1 : 4500$ болатын картада көрсетілген екі қаланың арақашықтығы 10 см. Масштабы $1 : 125,000$ болатын картада осы екі қаланың арақашықтығы неге тең?

Шешуі.

1. Нақты арақашықтық: $10 \cdot 4500 = 45,000$ см (бұл 450 м).
2. Екінші картада: $45,000 : 125,000 = 0{,}36$ см.

Жауабы: 0,36 см (3,6 мм).

№ 232

Бөлменің өлшемдері 4,5 м × 6 м. Сызбада бөлменің үлкен қабырғасы 4 см кесіндімен берілген. Сызбада кіші қабырғаны беретін кесіндінің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі қабырға да бірдей есе кішірейеді. 6 м 4 см-ге айналды — неше есе екенін табамыз.

Шешуі.

1. 6 м = 600 см; $600 : 4 = 150$ — жоспар 150 есе кіші (масштабы $1 : 150$).
2. 4,5 м = 450 см; $450 : 150 = 3$ см.

Жауабы: 3 см.

№ 233

Бөлменің өлшемдері 30 м және 24 м. Сызбадағы кіші қабырға 6 см. Планда бөлменің үлкен қабырғасын беретін кесіндінің ұзындығын табыңдар. Картаның масштабын көрсетіңдер.

Шешуі.

1. 24 м = 2400 см; $2400 : 6 = 400$ — масштабы $1 : 400$.
2. 30 м = 3000 см; $3000 : 400 = 7{,}5$ см.

Жауабы: 7,5 см; масштабы $1 : 400$.

C деңгейі

№ 234

Жер телімінің жоспары $1 : 600$ масштабымен жасалған. Қажет өлшемдерді жасап, жер телімінің периметрі мен ауданын есептеңдер (11-сурет).

Қалай ойлаймыз. Алдымен бәрін тор көзбен санаймыз. Сонан соң бір тор көзді сызғышпен өлшеп, масштаб бойынша метрге аударып, қайта есептейміз.

Шешуі.

1. Шекарасын айналып шығамыз: $15 + 6 + 6 + 3 + 4 + 4 + 5 + 7 = 50$ тор көз — периметрі.
2. Ауданын бөліктерге кесеміз: төменгі жолақ $15 \cdot 3 = 45$, оның үстіндегі сол жақ бағана $5 \cdot 4 = 20$, оң жақ $6 \cdot 3 = 18$. Барлығы $45 + 20 + 18 = 83$ тор көз.
3. Суреттегі тор көз 0,5 см болсын (сызғышпен тексер!). Өмірде бұл $0{,}5 \cdot 600 = 300$ см = 3 м.
4. Периметрі: $50 \cdot 3 = 150$ м. Бір тор көздің ауданы $3 \cdot 3 = 9$ м², телімдікі $83 \cdot 9 = 747$ м².

Жауабы: тор көз 0,5 см болғанда: периметрі 150 м, ауданы 747 м². Тор көз өлшемі басқа болса, дәл солай қайта есепте.

Менің өмірімдегі математика

№ 235

Сынып бөлмесінің ұзындығы мен енін өлшеңдер. $1 : 500$ масштабын пайдаланып, бөлменің жобасын дәптерге салыңдар.

Қалай ойлаймыз. $1 : 500$ масштабында әр метр $100 : 500 = 0{,}2$ см, яғни 2 мм-ге айналады.

Шешуі. Мысал: сынып 8 м × 6 м.

1. 8 м = 800 см; $800 : 500 = 1{,}6$ см.
2. 6 м = 600 см; $600 : 500 = 1{,}2$ см.
3. 1,6 см × 1,2 см тіктөртбұрыш саламыз, есік пен терезелерді белгілейміз, «М $1 : 500$» деп жазамыз.

Жауабы: әр сыныпта өзінше; 8 м × 6 м сынып үшін — 1,6 см × 1,2 см тіктөртбұрыш.

Қайталау

№ 236

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $48{,}96 : (56{,}491 - 54{,}451)$ және $9\frac{7}{9} : 6\frac{8}{15} \cdot 16\frac{31}{44}$; 2) $50{,}3 \cdot 8{,}5 + 72{,}52$ және $600 - 20\frac{1}{3} : 15\frac{1}{4} \cdot 29{,}7$.

Шешуі.

1. Сол жақ: $56{,}491 - 54{,}451 = 2{,}04$; $48{,}96 : 2{,}04 = 24$. Оң жақ: $\frac{88}{9} : \frac{98}{15} = \frac{88 \cdot 15}{9 \cdot 98} = \frac{220}{147}$; $\frac{220}{147} \cdot \frac{735}{44} = 5 \cdot 5 = 25$. $24 < 25$.
2. Сол жақ: $50{,}3 \cdot 8{,}5 = 427{,}55$; $427{,}55 + 72{,}52 = 500{,}07$. Оң жақ: $\frac{61}{3} : \frac{61}{4} = \frac{4}{3}$; $\frac{4}{3} \cdot 29{,}7 = 39{,}6$; $600 - 39{,}6 = 560{,}4$. $500{,}07 < 560{,}4$.

Жауабы: 1) $24 < 25$; 2) $500{,}07 < 560{,}4$.

№ 237

Батыстан шығысқа дейінгі 3000 км аралықтың 60%-ын құрайтын еліміздің оңтүстіктен солтүстікке дейінгі аралығын табыңдар.

Шешуі. $3000 \cdot 0{,}6 = 1800$ км.

Жауабы: 1800 км.

№ 238

Алтай тау жүйесі мен Батыс Тянь-Шань таулы өлкесі еліміздің 2 724 902 км² аумағының 10%-ын құраса, еліміздің таулы жерлері қанша шаршы километрді құрайды?

Шешуі. 10% — оннан бір бөлік: $2,724,902 : 10 = 272,490{,}2$ км².

Жауабы: 272 490,2 км².

№ 239

Ормандар ауданы еліміздің барлық 2 724 902 км² ауданының 4,2%-ын құраса, ормандар алқабы қанша шаршы километр жерді алып жатыр?

Шешуі. $2,724,902 \cdot 0{,}042 = 114,445{,}884$ км².

Жауабы: шамамен 114 446 км².

№ 240

«Жасыл ел» бағдарламасына сәйкес еліміздегі орманды алқап 2010 жылы 4,5%-ға артты. 2010 жылы еліміздің 2 724 902 км² аумағының қанша шаршы километрін ормандар алған?

Қалай ойлаймыз. Мұнда 4,5% — орманның бүкіл аумақтағы үлесі (алдыңғы № 239-мен салыстыр: 4,2% болған, 4,5%-ға жетті).

Шешуі. $2,724,902 \cdot 0{,}045 = 122,620{,}59$ км².

Жауабы: шамамен 122 621 км².

💡 № 239 пен № 240-ты салыстыр: орман үлесі 0,3%-ға өсті, бұл 8000 км²-ден астам жаңа орман. Тұтас орман алқабы!

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 241

Радиусы 0,8 дм, 6 см, $5\frac{5}{6}$ мм болатын дөңгелектің диаметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Диаметр — екі радиус.

Шешуі. $0{,}8 \cdot 2 = 1{,}6$ дм; $6 \cdot 2 = 12$ см; $5\frac{5}{6} \cdot 2 = 10\frac{10}{6} = 11\frac{2}{3}$ мм.

Жауабы: 1,6 дм; 12 см; $11\frac{2}{3}$ мм.

№ 242

Диаметрі 14 дм, 2,4 см, $7\frac{7}{12}$ мм болатын дөңгелектің радиусын табыңдар.

Шешуі. $14 : 2 = 7$ дм; $2{,}4 : 2 = 1{,}2$ см; $7\frac{7}{12} : 2 = \frac{91}{12} : 2 = \frac{91}{24} = 3\frac{19}{24}$ мм.

Жауабы: 7 дм; 1,2 см; $3\frac{19}{24}$ мм.

№ 243

Дөңгелектің диаметрі 0,4 дм. Дөңгелек радиусының ұзындығын табыңдар және миллиметрмен өрнектеңдер.

Шешуі. 0,4 дм = 40 мм; радиусы $40 : 2 = 20$ мм.

Жауабы: 20 мм.

№ 244

Дөңгелек салыңдар. Дөңгелектің ішкі жағына тиісті нүктені, дөңгелектен тыс жатқан нүктені және шеңберге тиісті нүктені белгілеңдер. Белгіленген әр нүктеден дөңгелектің центріне дейінгі қашықтықты өлшеңдер. Ол арақашықтықтарды дөңгелектің радиусының ұзындығымен салыстырыңдар және қорытынды жасаңдар.

Қалай ойлаймыз. Радиусты алайық, мысалы, 3 см. Центрден әр нүктеге дейін өлшейміз.

Шешуі. Мысал: ішкі нүкте — 1,8 см (3-тен кіші), шеңбердегі нүкте — дәл 3 см, сырттағы нүкте — 4,2 см (3-тен үлкен).

Жауабы: дөңгелектің нүктелері үшін центрге дейінгі қашықтық радиустан артық емес; шеңбердің нүктелері үшін — дәл радиусқа тең; дөңгелектен тыс нүктелер үшін — радиустан артық.

Жадынама

• Масштабы $1 : n$: картадағы барлығы өмірдегіден $n$ есе кіші.
• Нақты арақашықтық = картадағы арақашықтық $\cdot\ n$.
• Картадағы арақашықтық = нақты арақашықтық $: n$ (алдымен сантиметрге!).
• Масштаб = (картадағы ұзындық) : (нақты ұзындық) бірдей бірліктерде.
• 1 км = 100 000 см — осыны есіңде сақта.

Шағын тест