§ 41. Параллель түзулер және кесінділер

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 6 тарау: Координаталық жазықтық. 89–91-беттер.

Нені үйренесің

• Параллель түзулерді танып, оны $\parallel$ белгісімен жазуды.
• Сызбадан параллель кесінділерді табуды.
• Параллель кесінділерді перпендикуляр кесінділерден ажыратуды.
• Берілген нүкте арқылы параллель және перпендикуляр түзулер жүргізуді.
• Бірнеше түзудің қиылысу нүктелерін санауды.

Ой қозғау

Бірінші сұрақ — өткен сабақтағы № 1095 тапсырмасы.

• $\angle B = 81°$, бұл $\angle C$-ның 90%-ы; $\angle A$ — $\angle C$-ның 10%-ы. $\angle A$ және $\angle C$ неге тең? $\angle C$-ның 10%-ы — $81° : 9 = 9°$. Демек, $\angle A = 9°$, $\angle C = 90°$.
• Қандай түзулерді перпендикуляр дейді? Тік бұрышпен қиылысатындарды.
• Қиылысатын түзулердің нешеу ортақ нүктесі бар? Біреу.
• Жазықтықта екі түзу тағы қалай орналасуы мүмкін? Қиылыспауы немесе беттесуі.

💡 Қиылыспайтын түзулер туралы біз әзірге түсінікті ештеңе білмейміз. Бүгін біліп аламыз.

Тақырыпты талдаймыз

Ешқашан кездеспейтін түзулер

Жолақты дәптерді ал. Жолдар қатар жүгіреді және қанша жалғастырсаң да кездеспейді. Бір жазықтықта жатып, қиылыспайтын екі түзуді параллель түзулер дейді.

$a \parallel b$ деп жазады және «$a$ түзуі $b$ түзуіне параллель» деп оқиды. Егер $a \parallel b$ болса, онда $b \parallel a$ да.

📌 Параллель түзулер — бір жазықтықтағы ортақ нүктесі жоқ екі түзу.

🌟 «Параллель» сөзі грек тілінен келген: parallēlos — «бір-бірінің қасымен жүретіндер». Ал $\parallel$ белгісі — қатар тұрған екі таяқша.

Тор көзді қағазда қалай тексереміз

Тор көзде ыңғайлы: егер екі түзу бірдей жылжыса (мысалы, «1 тор көз оңға — 2 жоғары»), олар параллель. Егер біреуі екіншісінен тіктеу болса, олар бір жерде міндетті түрде қиылысады.

⚠️ Жиі кететін қате. Суретте қысқа түзулер тек парақ біткендіктен кездеспеуі мүмкін. Еңісін тексер: еңісі әртүрлі болса, түзулерді жалғастырғанда олар қиылысады.

Параллель кесінділер

Параллель түзулерде жатқан кесінділерді параллель кесінділер дейді. Мысалы, есіктің жоғарғы және төменгі жиектері, дәптердің қарама-қарсы қабырғалары.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бөлмеде «параллельді тап» ойынын ойнаңыз: терезе жақтаулары, баспалдақ сатылары, шкаф сөрелері. Сосын — «перпендикулярды тап». Осылай бала бұл сөздерді жаттамай-ақ ажыратады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Доп, есік, глобус, стақан, кітап заттарының қайсысының беті жазықтықтың пішінін береді? Есіктің және кітаптың (мұқабасының): олар тегіс. Доп пен глобус — шарлар, ал стақанның қабырғалары иілген.
• Параллель кесінділер неге қиылыспайды? Олар параллель түзулерде жатыр. Түзулердің ортақ нүктесі болмаса, олардың бөліктері — кесінділердің де болмайды.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1096

112.1-суретте $m$ түзуі $n$ түзуіне параллель. $m$ түзуінде $A$ және $B$ нүктелері, $n$ түзуінде $C$ және $D$ нүктелері белгіленген. Суреттен параллель кесінділерді атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Ұштары бір түзуде жатқан кесінділерді іздеп, оларды екінші түзудің кесінділерімен салыстырамыз.

Шешуі. $m$ түзуінде — $AB$ кесіндісі, $n$ түзуінде — $CD$ кесіндісі. Олар параллель түзулерде жатыр.

Жауабы: $AB \parallel CD$.

№ 1097

112.2-суретте параллель түзулер берілген: $a \parallel b \parallel c$. $a$ түзуінде $M$ және $N$, $b$ түзуінде $E$ және $F$, $c$ түзуінде $K$ және $L$ нүктелері белгіленген. Суреттен параллель кесінділерді атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш түзу жұп-жұбымен параллель, әрқайсысында біреуден кесінді бар. Барлық жұпты құрамыз.

Шешуі. $MN \parallel EF$, $MN \parallel KL$, $EF \parallel KL$.

Жауабы: $MN \parallel EF$, $MN \parallel KL$, $EF \parallel KL$.

№ 1098

113-суретте берілген түзулердің қайсысы өзара параллель болады? (Алты түзу: екеуі тік жоғары оңға, екеуі төмен оңға, екеуі дерлік көлденең, оңға қарай сәл түсіп барады.)

Қалай ойлаймыз. Параллель түзулердің еңісі бірдей. Түзулерді бағыты бойынша топтаймыз.

Шешуі.

1. «Жоғары оңға» екі тік түзу — бірінші жұп.
2. «Төмен оңға» екі түзу — екінші жұп.
3. Дерлік көлденең екеуі — үшінші жұп.

Әртүрлі топтағы түзулер қиылысады.

Жауабы: үш жұп параллель түзу — әр бағытта біреуден.

№ 1099

114-суретте $a$ түзуі $b$ түзуіне, $c$ түзуі $d$ түзуіне параллель. Суреттен параллель кесінділерді атаңдар. ($c$ түзуі $a$ түзуін $F$ нүктесінде қиып өтеді, $c$ түзуінде $a$-дан жоғары $E$ нүктесі бар; $d$ түзуі $b$ түзуін $M$ нүктесінде қиып өтеді, төменірек $N$ нүктесі бар; $a$ түзуінде $F$-тен оңда $A$ және $B$ нүктелері; $b$ түзуінде $C$, $M$, $D$ нүктелері бар.)

Қалай ойлаймыз. $a$ түзуіндегі кесінділер $b$ түзуіндегі кесінділерге параллель. $c$ түзуіндегі кесінділер $d$ түзуіндегі кесінділерге параллель.

Шешуі.

1. $a$ түзуіндегі кесінділер: $FA$, $FB$, $AB$. $b$ түзуінде: $CM$, $CD$, $MD$. Алғашқылардың әрқайсысы соңғылардың әрқайсысына параллель — 9 жұп, мысалы $AB \parallel CD$, $FA \parallel MD$.
2. $c$ түзуінде — $EF$ кесіндісі, $d$ түзуінде — $MN$ кесіндісі: $EF \parallel MN$.

Жауабы: $FA$, $FB$, $AB$ кесінділері $CM$, $CD$, $MD$ кесінділерінің әрқайсысына параллель; одан басқа, $EF \parallel MN$.

B деңгейі

№ 1100

$ABC$ сүйір бұрышын салыңдар. Бұрыштың $BA$ қабырғасына тиісті $M$ нүктесін белгілеңдер. Осы нүкте арқылы $BC$ қабырғасына біреуі параллель, екіншісі перпендикуляр болатын екі түзу жүргізіңдер.

Қалай ойлаймыз. Параллель түзуді екі сызба үшбұрышымен (немесе үшбұрышпен және сызғышпен) салған ыңғайлы: біреуі екіншісінің бойымен бұрылмай сырғиды.

Шешуі.

1. Сүйір бұрыш саламыз, мысалы $50°$, төбесі $B$, $BC$ қабырғасы — тор көз сызығы бойымен.
2. $BA$ қабырғасында $M$ нүктесін белгілейміз.
3. Параллель. Егер $BC$ тор көз сызығы бойымен өтсе, $M$ арқылы тор көздің басқа сызығы бойымен түзу жүргіземіз. Тор көзсіз: үшбұрыштың қабырғасын $BC$-ға, оның екінші қабырғасына сызғышты қойып, үшбұрышты сызғыш бойымен $M$ нүктесіне дейін жылжытамыз.
4. Перпендикуляр. Сызба үшбұрышын тік бұрышының бір қабырғасымен $BC$-ға қойып, екінші қабырғасы $M$ арқылы өткенше жылжытамыз. Түзу жүргіземіз.

Жауабы: $M$ арқылы $BC$-ға параллель және $BC$-ға перпендикуляр түзулер өтеді; бұл екі түзу бір-біріне перпендикуляр.

№ 1101

115-суретте төрт көлденең параллель $a$, $b$, $c$, $d$ түзуі және екі тік түзу берілген. Сол жақ тік түзу $a$-ны $A$ нүктесінде, $c$-ны $B$ нүктесінде қияды. Оң жақ тік түзу $b$-ны $E$ нүктесінде, $d$-ны $F$ нүктесінде қияды. $a$ түзуінде $C$, $D$ нүктелері, $c$ түзуінде $M$ (оң жақ тік түзуден солда) және $N$ (одан оңда) нүктелері белгіленген. 115-суреттен перпендикуляр кесінділерді, параллель кесінділерді көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Көлденең кесінділер бір-біріне параллель, тік кесінділер де бір-біріне параллель. Кез келген көлденең кесінді кез келген тік кесіндіге перпендикуляр.

Шешуі.

1. Көлденең кесінділер: $a$ түзуінде — $AC$, $AD$, $CD$; $c$ түзуінде — $BM$, $BN$, $MN$.
2. Тік кесінділер: $AB$ (сол жақ) және $EF$ (оң жақ).
3. Параллель кесінділер: $AB \parallel EF$; $AC$, $AD$, $CD$ кесінділерінің әрқайсысы $BM$, $BN$, $MN$ кесінділерінің әрқайсысына параллель.
4. Перпендикуляр кесінділер: $AB$ және $EF$ әрбір көлденең кесіндіге перпендикуляр, мысалы $AB \perp CD$, $EF \perp MN$, $AB \perp BM$.

Жауабы: параллель — $AB \parallel EF$, $CD \parallel MN$ ($a$ және $c$ түзулеріндегі басқа кесінді жұптары да); перпендикуляр — $AB$ және $EF$ кесінділері $AC$, $AD$, $CD$, $BM$, $BN$, $MN$ кесінділерінің әрқайсысымен.

C деңгейі

№ 1102

1) Қиылысу нүктелері болмайтын; 2) үш қиылысу нүктесі болатын; 3) бес қиылысу нүктесі болатын төрт түзу салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Параллель түзулер қиылысу нүктесін бермейді. Демек, параллельдердің санымен нүктелер санын «басқаруға» болады.

Шешуі.

1. Төрт түзудің бәрі параллель — қиылысу нүктесі жоқ.
2. Үш түзу параллель, төртіншісі олардың бәрін қияды — 3 нүкте.
3. Екі түзу параллель ($a \parallel b$). $c$ және $d$ түзулері не оларға, не бір-біріне параллель емес және $a$-да да, $b$-да да қиылыспайды. Нүктелер: $c$-ның $a$ және $b$-мен — 2, $d$-ның $a$ және $b$-мен — 2, $c$-ның $d$-мен — 1. Барлығы $2 + 2 + 1 = 5$.

Жауабы: 1) төрт параллель түзу; 2) үш параллель және бір қиып өтетін түзу; 3) екі параллель және екі қиылысатын түзу, схемадағыдай.

Қайталау

№ 1103

$ABC$ үшбұрышында $\angle C$ — тік бұрыш, $A$ бұрышы $\angle C$-ның 40%-ын, $B$ бұрышы $\angle C$-ның 60%-ын құрайды. $ABC$ үшбұрышының бұрыштарының қосындысын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бұрышты $90°$-тан табамыз да, қосамыз.

Шешуі.

1. $\angle A = 0{,}4 \cdot 90° = 36°$.
2. $\angle B = 0{,}6 \cdot 90° = 54°$.
3. $36° + 54° + 90° = 180°$.

Жауабы: $180°$.

💡 Назар аудар: кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы $180°$-қа тең. Мұнда ол өзі шықты.

№ 1104

Мына есептеулердің нәтижесі жануарлар әлемі туралы мағлұматтар береді: 1) $716,102 - (28,128 + 843,744) + 156,259$ өрнегінің мәні еліміздегі құстар түрінің санына тең; 2) $-\frac{1}{4}(1{,}5 + x) = -26\frac{3}{8}$ теңдеуінің түбірі еліміздегі балықтар түрінің санына тең.

Қалай ойлаймыз. Теңдеуде алдымен $-\frac{1}{4}$ көбейткішінен құтыламыз: екі жағын да $-4$-ке көбейтеміз.

Шешуі.

1. $28,128 + 843,744 = 871,872$; $716,102 - 871,872 = -155,770$; $-155,770 + 156,259 = 489$.
2. $1{,}5 + x = 26\frac{3}{8} \cdot 4 = 105{,}5$, демек $x = 104$.

Жауабы: 1) 489 түр құс; 2) 104 түр балық.

№ 1105

Үш балада 20 кәмпит бар. Бір балада қалған екеуінің әрқайсысына қарағанда 2 есе кем кәмпит бар. Әрбір балада қанша кәмпит бар?

Қалай ойлаймыз. Кіші мөлшерді $x$ деп белгілейміз, сонда қалған екеуінде $2x$-тен болады.

Шешуі.

1. $x + 2x + 2x = 20$, яғни $5x = 20$, $x = 4$.
2. Қалған екеуінде $2 \cdot 4 = 8$-ден.
3. Тексеру: $4 + 8 + 8 = 20$ ✓.

Жауабы: 4, 8 және 8 кәмпит.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1106

Бірлік кесіндісі 2 см болатын координаталық түзуге $A(1{,}75)$ және $B\left(-\frac{3}{4}\right)$ нүктелерін салыңдар. $AB$ кесіндісінің ортасы болатын $C$ нүктесін белгілеңдер. $C$ нүктесінің координатасы мен $AB$ кесіндісінің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ортасы — ұштарының координаталарының орта арифметикалығы. Ұзындығы — координаталардың айырымын бірлік кесіндінің ұзындығына көбейткенге тең.

Шешуі.

1. $C = (1{,}75 + (-0{,}75)) : 2 = 1 : 2 = 0{,}5$.
2. $AB = 1{,}75 - (-0{,}75) = 2{,}5$ бірлік кесінді.
3. Сантиметрмен: $2{,}5 \cdot 2 = 5$ см. $A$ нүктесін нөлден оңға қарай 3,5 см-ге, $B$ нүктесін солға қарай 1,5 см-ге, $C$ нүктесін оңға қарай 1 см-ге қоямыз.

Жауабы: $C(0{,}5)$; $AB = 2{,}5$ бірлік кесінді, яғни 5 см.

Жадынама

• Жазықтықтағы екі түзу: қиылысады, параллель немесе беттеседі.
• Параллель түзулердің ортақ нүктесі болмайды.
• Параллель кесінділер ешқашан қиылыспайды.
• Белгілер: $\parallel$ — параллель, $\perp$ — перпендикуляр.
• Түзуден тыс нүкте арқылы берілген түзуге параллель бір ғана түзу өтеді.

Шағын тест