§ 42. Координаталық жазықтық. Тікбұрышты координаталар жүйесі

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 6 тарау: Координаталық жазықтық. 92–98-беттер.

Нені үйренесің

• Тікбұрышты координаталар жүйесін салуды: $x$ осі, $y$ осі, координаталар басы $O$.
• Суреттегі нүктенің координаталарын табуды және координаталары бойынша нүкте салуды.
• Тәртіпті есте сақтауды: алдымен абсцисса, содан кейін ордината.
• Нүктенің қай ширекте немесе қай оста жатқанын тек координаталарының таңбасына қарап анықтауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1106 тапсырма. Бірлік кесінді — 2 см.

• $A(1{,}75)$ және $B\left(-\frac{3}{4}\right)$ нүктелері координаталық түзуде қайда орналасқан? $A$ — нөлден оңға қарай, екіге таяу. $B$ — нөлден солға қарай бірліктің $\frac{3}{4}$ бөлігіндей, яғни 1,5 см жерде.
• $AB$ кесіндісінің ортасы — $C$ нүктесінің координатасы қандай? Қосып, екіге бөлеміз: $(1{,}75 + (-0{,}75)) : 2 = 1 : 2 = 0{,}5$. Демек, $C(0{,}5)$.
• $AB$ кесіндісінің ұзындығы неге тең? $1{,}75 - (-0{,}75) = 2{,}5$ бірлік. Сантиметрмен: $2{,}5 \cdot 2 = 5$ см.

💡 Бір сан түзудегі нүктені анықтайды. Ал дәптер бетіндегі нүктені қалай анықтаймыз? Бір сан аздық етеді — екеуі керек. Бүгінгі сабақ осы туралы.

Тақырыпты талдаймыз

Бір түзудің орнына екі түзу

Координаталық түзуді көлденең қой. Нөл арқылы екінші координаталық түзуді тігінен, біріншісіне тік бұрыш жасап жүргіз. Дайын: сенде тікбұрышты координаталар жүйесі бар.

• Көлденең ось — абсцисса осі, оны $x$ арқылы белгілейді.
• Тік ось — ордината осі, оны $y$ арқылы белгілейді.
• Осьтердің қиылысу нүктесі — координаталар басы $O$.

📌 Координаталар жүйесі бар жазықтықты координаталық жазықтық деп атайды.

Нүктенің мекенжайы — екі сан

Жазықтықта $M$ нүктесі берілсін. Одан $x$ осіне перпендикуляр түсірсең, $-2$ санына түседі. $y$ осіне перпендикуляр түсірсең, 3 санына түседі. Осы сандар нүктенің координаталары: $-2$ — оның абсциссасы, 3 — ординатасы. Былай жазады: $M(-2; 3)$.

🌟 Бұл идеяны XVII ғасырда француз ғалымы Рене Декарт ойлап тапты. Сондықтан тікбұрышты координаталар жүйесін көбіне декарттық жүйе деп атайды.

💡 Дұрыс айтайық: «координаталары $-2$ және 3 болатын $M$ нүктесі» немесе «$M$ нүктесінің координаталары $-2$ және 3».

Тәртіп маңызды!

$(2; 5)$ және $(5; 2)$ нүктелері — әртүрлі нүктелер. Бірінші сан әрқашан абсцисса ($x$ бойынша жүреміз), екінші сан — ордината ($y$ бойынша жүреміз). Сондықтан нүктенің координаталарын реттелген сандар жұбы деп атайды.

⚠️ Жиі кететін қате. $(3; 1)$ нүктесін былай салады: «үш жоғары, бір оңға». Мына нақылды есіңе сақта: «алдымен дәліз бойымен, сосын лифтпен» — алдымен $x$ бойынша оңға немесе солға, содан кейін $y$ бойынша жоғары немесе төмен.

Өзің байқап көр.

Остегі нүктелер

Егер нүкте $x$ осінде жатса, оған көтерілудің де, түсудің де қажеті жоқ: оның ординатасы 0-ге тең. Мысалы, $A(-2; 0)$. Егер нүкте $y$ осінде жатса, оған оңға да, солға да жүрудің қажеті жоқ: оның абсциссасы 0-ге тең. Мысалы, $B(0; 3)$.

Төрт ширек

Осьтер жазықтықты төрт бөлікке бөледі — координаталық ширектер. Оларды сағат тіліне қарсы бағытта, оң жақ жоғарғы ширектен бастап нөмірлейді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Осьтері $-5$-тен 5-ке дейінгі парақта «Теңіз шайқасын» ойнаңыздар: атқан нүктелерді координаталарымен атаңыздар, мысалы «$(-3; 2)$». Бір партияда бала координаталар тәртібін және ширектердің таңбаларын есте сақтап қалады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Абсцисса осі мен ордината осі өзара қалай орналасқан? Олар перпендикуляр және координаталар басы $O$ нүктесінде — әр осьтің нөлінде қиылысады.
• Тікбұрышты координаталар жүйесі, координаталық жазықтық, координаталық ширек нені білдіреді? Координаталар жүйесі — ортақ $O$ басы бар екі перпендикуляр координаталық түзу. Координаталық жазықтық — осындай жүйесі бар жазықтық. Ширек — осьтер жазықтықты бөлетін төрт бөліктің бірі.
• Екі координатасы теріс нүкте қай ширекте жатады? Екеуі де оң болса ше? Таңбалары әртүрлі болса ше? Екеуі де теріс — III. Екеуі де оң — I. Таңбалары әртүрлі — II ($x < 0$, $y > 0$ болса) немесе IV ($x > 0$, $y < 0$ болса).
• Координаталар неге реттелген жұп құрайды? Себебі қай сан бірінші тұрғаны маңызды: $(1; 4)$ және $(4; 1)$ — әртүрлі нүктелер.
• Остегі нүктелердің координаталарының қандай ортақ қасиеті бар? $x$ осінде ордината 0-ге тең, $y$ осінде абсцисса 0-ге тең.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1107

121-суретте берілген $A$, $E$ және $K$ нүктелерінің абсциссасы мен ординатасын атаңдар. Бір тор — бір бірлік.

Қалай ойлаймыз. Суретте $A$ нүктесі $y$ осінен 1 тор оңға және $x$ осінен 3 тор жоғары тұр. $E$ нүктесі $x$ осінде, 3 тор солда жатыр. $K$ нүктесі $y$ осінде, 4 тор төменде жатыр.

Шешуі. $A(1; 3)$: абсциссасы 1, ординатасы 3. $E(-3; 0)$: абсциссасы $-3$, ординатасы 0. $K(0; -4)$: абсциссасы 0, ординатасы $-4$.

Жауабы: $A(1; 3)$, $E(-3; 0)$, $K(0; -4)$.

№ 1108

122-суреттегі $ABCD$ төртбұрышы төбелерінің координаталарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Назар аудар: мұнда бірлік кесінді — 2 тор. Әр тор — 0,5.

Шешуі. Төбелер $y$ осінен 3 тор (бұл 1,5), $x$ осінен 2 тор (бұл 1) қашықтықта тұр.

• $A$ сол жақ жоғарыда: $(-1{,}5; 1)$.
• $B$ оң жақ жоғарыда: $(1{,}5; 1)$.
• $C$ оң жақ төменде: $(1{,}5; -1)$.
• $D$ сол жақ төменде: $(-1{,}5; -1)$.

Жауабы: $A(-1{,}5; 1)$, $B(1{,}5; 1)$, $C(1{,}5; -1)$, $D(-1{,}5; -1)$.

⚠️ Жиі кететін қате. Торларды санап, $A(-3; 2)$ деп жазады. Әрқашан алдымен осьтерде «1» белгісінің қайда тұрғанын қара.

№ 1109

123-суретте берілген $ABC$ үшбұрышы төбелерінің координаталарын атаңдар (бірлік кесінді — 2 тор).

Шешуі.

• $C$ — $x$ осінде, $O$ нүктесінен 2 тор оңда: $C(1; 0)$.
• $B$ — 3 тор солға, 4 тор жоғары: $B(-1{,}5; 2)$.
• $A$ — 4 тор солға, 3 тор төмен: $A(-2; -1{,}5)$.

Жауабы: $A(-2; -1{,}5)$, $B(-1{,}5; 2)$, $C(1; 0)$.

№ 1110

Координаталық жазықтықта $A(-2; 3)$ нүктесін салыңдар. $A$ нүктесі арқылы: 1) абсцисса осіне; 2) ордината осіне перпендикуляр жүргізіңдер.

Қалай ойлаймыз. $x$ осіне перпендикуляр түзу — тік түзу. $y$ осіне перпендикуляр түзу — көлденең түзу.

Шешуі.

1. $A$ арқылы өтетін тік түзу $x$ осін $-2$ нүктесінде қиып өтеді. Оның барлық нүктелерінің абсциссасы $-2$.
2. $A$ арқылы өтетін көлденең түзу $y$ осін 3 нүктесінде қиып өтеді. Оның барлық нүктелерінің ординатасы 3.

Жауабы: 1) $x$ осінің $-2$ нүктесі арқылы өтетін тік түзу; 2) $y$ осінің 3 нүктесі арқылы өтетін көлденең түзу.

№ 1111

Тік бұрышты координаталар жүйесін салып, $P(2; 1)$, $N(-4; 0)$, $E(0; 3)$, $K(-3{,}5; 0{,}5)$, $M(5; 0)$, $H(0; -6)$ нүктелерін белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. $K$ нүктесінің координаталары — бөлшек. Бірлік кесіндіні 2 тор етіп алған ыңғайлы: сонда 3,5 — бұл 7 тор, ал 0,5 — 1 тор.

Шешуі. Әр нүктені «алдымен $x$, сосын $y$» ережесімен саламыз:

• $P$: 2 оңға, 1 жоғары (I ширек).
• $N$ мен $M$ нүктелері $x$ осінде жатыр: $-4$ және 5 нүктелерінде.
• $E$ мен $H$ нүктелері $y$ осінде жатыр: 3 және $-6$ нүктелерінде.
• $K$: 3,5 солға және 0,5 жоғары (II ширек).

Жауабы: нүктелер салынды; $N$, $M$ — абсцисса осінде, $E$, $H$ — ордината осінде.

№ 1112

1) $A(-1; -2)$, $B(0; 2)$, $C(-3; 0)$, $D(-0{,}5; 1{,}7)$, $E(0; -5)$, $K(2; 0)$ нүктелерін координаталық жазықтыққа салыңдар. Әрбір нүктенің қай ширекке немесе оське тиісті болатынын анықтаңдар. 2) $B(1; 4)$, $C(-5; 2)$, $D(-2; -5)$, $E(4; -3)$, $F(0; -4)$, $G(5; 0)$ нүктелерін координаталық жазықтыққа салыңдар. Әрбір нүктенің қай ширекке немесе оське тиісті болатынын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Таңбаларына қара. $x$ орнында нөл тұрса — нүкте $y$ осінде; $y$ орнында нөл тұрса — $x$ осінде.

Шешуі.

1. $A(-1; -2)$ — III ширек; $B(0; 2)$ — $y$ осі; $C(-3; 0)$ — $x$ осі; $D(-0{,}5; 1{,}7)$ — II ширек; $E(0; -5)$ — $y$ осі; $K(2; 0)$ — $x$ осі.
2. $B$ — I ширек, $C$ — II, $D$ — III, $E$ — IV; $F$ — $y$ осінде, $G$ — $x$ осінде.

Жауабы: 1) $A$ — III; $D$ — II; $B$, $E$ — ордината осі; $C$, $K$ — абсцисса осі. 2) $B$ — I, $C$ — II, $D$ — III, $E$ — IV, $F$ — ордината осі, $G$ — абсцисса осі.

№ 1113

$A(-2; -2)$, $B(-1; -1)$, $C(0; 0)$, $D(1; 1)$, $E(2; 2)$ нүктелерін координаталық жазықтықта белгілеңдер. Салынған нүктелердің бір түзудің бойында жататынын сызғыштың көмегімен тексеріңдер. Осы түзуге $M(-5; 5)$ нүктесі тиісті бола ма?

Қалай ойлаймыз. Бес нүктенің де абсциссасы ординатасына тең. Мұндай нүктелер бір түзуге тізіледі — ол координаталар басы арқылы тор шаршыларының диагональдары бойымен өтеді.

Шешуі. Сызғышты қойып көр: бес нүктенің бәрі бір түзуде. Оның нүктелері үшін $y = x$. $M$ нүктесінің абсциссасы $-5$, ал ординатасы 5 — олар тең емес. Түзуде $(-5; -5)$ нүктесі жатыр, ал $M$ жатпайды, ол II ширекте.

Жауабы: иә, бір түзудің бойында жатыр; $M$ нүктесі бұл түзуге тиісті емес.

№ 1114

Төбелері $H(3; 3)$, $M(0; -2)$, $K(-3; 0)$ нүктелері болатын $KMH$ үшбұрышын салыңдар.

Шешуі. $H$ — I ширекте (3 оңға, 3 жоғары). $M$ — $y$ осінде, $O$ нүктесінен 2 төмен. $K$ — $x$ осінде, $O$ нүктесінен 3 солға. Кесінділермен қосамыз.

Жауабы: үшбұрыш салынды.

№ 1115

Төбелері $A(-1; 1)$, $B(-3; 4)$, $C(3; 2)$ және $D(2; -3)$ болатын $ABCD$ төртбұрышын салыңдар.

Шешуі. $A$ және $B$ — II ширекте, $C$ — I ширекте, $D$ — IV ширекте. Төбелерді ретімен қосамыз: $A \to B \to C \to D \to A$. Дөңес емес төртбұрыш шығады: $A$ төбесі ішке қарай «ойыс» тұр.

Жауабы: төртбұрыш салынды.

№ 1116

Егер: 1) $K(4; -1)$, $L(-2; 0)$, $M(0; 3)$ болса, онда $KLM$ үшбұрышын; 2) $A(2; -1)$, $B(-3; -1)$, $C(-3; 4)$, $D(2; 4)$ болса, онда $ABCD$ шаршысын; 3) $K(2; -3)$, $L(2; 4)$, $M(-2; 4)$, $N(-2; -3)$ болса, онда $KLMN$ тіктөртбұрышын координаталық жазықтыққа салыңдар.

Шешуі.

1. $K$ — IV ширекте, $L$ — $x$ осінде, $M$ — $y$ осінде. Қосамыз.
2. $AB$ және $CD$ көлденең, ұзындығы $2 - (-3) = 5$. $BC$ және $AD$ тік, ұзындығы $4 - (-1) = 5$. Барлық қабырғасы 5-ке тең — шынымен де шаршы.
3. $KL$ және $MN$ — $4 - (-3) = 7$-ден, $LM$ және $NK$ — $2 - (-2) = 4$-тен. Өлшемі $4 \times 7$ тіктөртбұрыш.

Жауабы: фигуралар салынды; қабырғасы 5 шаршы, қабырғалары 4 және 7 тіктөртбұрыш.

№ 1117

Координаталық жазықтыққа $C(-4; -2)$ және $D(4; 2)$ нүктелері арқылы өтетін түзуді салыңдар. Осы түзудің бойына абсциссасы $-3$; $-1$; 0; 2 болатын нүктелерді белгілеңдер. Әрбір белгіленген нүктенің координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $C$ мен $D$ нүктелеріне қара: ордината абсциссадан дәл 2 есе кіші. Демек, осы түзудің әр нүктесі үшін $y = x : 2$. Түзу $O$ нүктесі арқылы өтеді.

Шешуі. $x = -3 \Rightarrow y = -1{,}5$; $x = -1 \Rightarrow y = -0{,}5$; $x = 0 \Rightarrow y = 0$; $x = 2 \Rightarrow y = 1$.

Жауабы: $(-3; -1{,}5)$, $(-1; -0{,}5)$, $(0; 0)$, $(2; 1)$.

№ 1118

Координаталық жазықтыққа $A(2; 3)$ және $B(-2; -5)$ нүктелері арқылы өтетін түзулерді салыңдар. Осы түзудің бойына ординаталары $-2$; 0; 1; 3 болатын нүктелерді белгілеңдер. Белгіленген нүктелердің координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $B$ нүктесінен $A$ нүктесіне дейін: 4 оңға, 8 жоғары. Демек, оңға жасалған әр қадамға түзу 2 бірлік көтеріледі. Осыдан кез келген нүктені оңай табуға болады.

Шешуі. $A(2; 3)$ нүктесінен бастаймыз:

• 2 төмен түсу ($y = 1$-ге дейін) — 1 қадам солға: $(1; 1)$;
• 3 төмен түсу ($y = 0$-ге дейін) — 1,5 қадам солға: $(0{,}5; 0)$;
• 5 төмен түсу ($y = -2$-ге дейін) — 2,5 қадам солға: $(-0{,}5; -2)$;
• ордината 3 — бұл $A(2; 3)$ нүктесінің өзі.

Жауабы: $(-0{,}5; -2)$, $(0{,}5; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 3)$.

№ 1119

Координаталық жазықтықта $K(-2; -1)$, $L(-2; 4)$ нүктелері және $A(0; 0)$, $B(1; -1)$ нүктелері арқылы өтетін түзуді жүргізіңдер. Түзулердің қиылысу нүктесінің координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $K$ мен $L$ нүктелерінің абсциссасы бірдей, $-2$ — $KL$ түзуі тік. Екінші түзу $O$ және $B(1; -1)$ нүктелері арқылы өтеді: оның нүктелері үшін $y = -x$.

Шешуі. $x = -2$ және $y = -x = 2$ болатын нүктені іздейміз.

Жауабы: $(-2; 2)$.

№ 1120

Төбелері $A(-10; -2)$, $B(-2; -2)$, $C(-2; -6)$, $D(-10; -6)$ болатын $ABCD$ төртбұрышын координаталық жазықтыққа салыңдар. Шыққан төртбұрыш тіктөртбұрыш бола ма? Шаршы бола ма? Бірлік кесіндінің ұзындығын 1 см деп алып, төртбұрыштың периметрі мен ауданын есептеңдер. $AC$ және $BD$ кесінділерін жүргізіңдер. $AC$ және $BD$ кесінділерінің қиылысу нүктесі болатын $E$ нүктесінің координатасын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл фигура III ширекте. Қабырғалары тор сызықтары бойымен өтеді, сондықтан ұзындықтарын координаталарды азайтып табамыз.

Шешуі.

1. $AB = -2 - (-10) = 8$ см, $BC = -2 - (-6) = 4$ см. Бұрыштары тік, қабырғалары әртүрлі — бұл тіктөртбұрыш, бірақ шаршы емес.
2. $P = 2 \cdot (8 + 4) = 24$ см.
3. $S = 8 \cdot 4 = 32$ см².
4. Тіктөртбұрыштың диагональдары оның центрінде қиылысады — ені мен биіктігі бойынша дәл ортасында: $x = (-10 + (-2)) : 2 = -6$, $y = (-2 + (-6)) : 2 = -4$.

Жауабы: тіктөртбұрыш (шаршы емес); $P = 24$ см, $S = 32$ см²; $E(-6; -4)$.

№ 1121

$A(-6; 2)$, $B(-4; 6)$, $C(1; 1)$, $D(2; -5)$, $E(8; -1)$, $M(-5; -5)$, $N(-1; 7)$, $K(8; 4)$ нүктелерін қолданып, $ABCDE$ және $MNK$ сынықтарын салыңдар. $ABCDE$ және $MNK$ сынықтарының қиылысу нүктелерінің координаталарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі сынықты да тор бойынша мұқият салып, қай жерде қиылысатынын іздейміз. Табылған нүктені торларды санап тексереміз.

Шешуі.

1. $MN$ буыны $(-5; -5)$ нүктесінен $(-1; 7)$ нүктесіне барады: 1 тор оңға — 3 тор жоғары.
2. $BC$ буыны $(-4; 6)$ нүктесінен $(1; 1)$ нүктесіне барады: 1 тор оңға — 1 тор төмен.
3. $(-2; 4)$ нүктесін тексереміз. $MN$ бойында: $M$ нүктесінен 3 оңға, 9 жоғары — иә, $-5 + 9 = 4$. $BC$ бойында: $B$ нүктесінен 2 оңға, 2 төмен — иә, $6 - 2 = 4$.
4. Басқа қиылысулар жоқ: $NK$ буыны $C$ нүктесінен жоғарырақ өтеді, ал $CD$ және $DE$ буындары $MNK$ сынығынан оңға және төмен жатыр.

Жауабы: бір қиылысу нүктесі $(-2; 4)$.

№ 1122

$M(0; 5)$, $N(8; 1)$, $C(2; 2)$, $D(-6; -2)$ нүктелерін координаталық жазықтыққа белгілеңдер. $MN$ және $CD$ түзулерінің қиылысу нүктесінің координатасын табыңдар. Осы түзулердің қайсысына $K(0; 1)$ нүктесі тиісті болады?

Қалай ойлаймыз. $MN$ түзуі: $M$ нүктесінен 8 оңға, 4 төмен, яғни 2 оңға — 1 төмен. $CD$ түзуі: $D$ нүктесінен 8 оңға, 4 жоғары, яғни 2 оңға — 1 жоғары.

Шешуі.

1. $MN$ нүктелері: $(0; 5)$, $(2; 4)$, $(4; 3)$, $(6; 2)$…
2. $CD$ нүктелері: $(-2; 0)$, $(0; 1)$, $(2; 2)$, $(4; 3)$…
3. Ортақ нүкте — $(4; 3)$.
4. $(0; 1)$ нүктесі $CD$ тізімінде бар. Ал $MN$ түзуінде $x = 0$ болғанда ордината 1 емес, 5.

Жауабы: $(4; 3)$; $K$ нүктесі $CD$ түзуіне тиісті.

№ 1123

Төбелері $A(-2; -2)$, $B(1; 5)$, $K(6; -2)$ нүктелері болатын $ABK$ үшбұрышын салыңдар. $AK$ қабырғасының ордината осімен қиылысу нүктесінің координатасын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $A$ және $K$ нүктелерінің ординатасы бірдей, $-2$, демек $AK$ — көлденең кесінді.

Шешуі. Ордината осінде $x = 0$, ал $AK$ кесіндісінің барлық нүктелерінде $y = -2$. Кесінді $x = -2$-ден $x = 6$-ға дейін барады, сондықтан онда $x = 0$ нүктесі бар.

Жауабы: $(0; -2)$.

№ 1124

$KLMN$ тіктөртбұрышының координаталары $K(-2; -3)$, $L(2; 4)$, $M(-2; 4)$ болатын үш төбесі берілген. Осы тіктөртбұрышты салыңдар. $N$ нүктесінің координатасын және әрбір қабырғасының ортасы болатын нүктенің координатасын табыңдар. Бірлік кесіндіні 3 см деп алып, тіктөртбұрыштың периметрі мен ауданын есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Үш нүктені белгіле. $K$ және $M$ нүктелерінің абсциссасы бірдей, $-2$; $M$ және $L$ нүктелерінің ординатасы бірдей, 4. Демек, тік бұрыш $M$ төбесінде, ал $N$ нүктесі $M$-ге қарама-қарсы жатыр: $L$ астында және $K$ деңгейінде.

Шешуі.

1. $N(2; -3)$. Тіктөртбұрышты былай айналып өткен ыңғайлы: $K \to M \to L \to N$. $KM$ және $LN$ қабырғалары тік, $ML$ және $NK$ — көлденең.
2. Қабырғалардың орталары: $KM$ — $(-2; 0{,}5)$; $ML$ — $(0; 4)$; $LN$ — $(2; 0{,}5)$; $NK$ — $(0; -3)$.
3. Ұзындықтары: $4 - (-3) = 7$ бірлік және $2 - (-2) = 4$ бірлік. Сантиметрмен: $7 \cdot 3 = 21$ см және $4 \cdot 3 = 12$ см.
4. $S = 21 \cdot 12 = 252$ см², $P = 2 \cdot (21 + 12) = 66$ см.

Жауабы: $N(2; -3)$; орталары $(-2; 0{,}5)$, $(0; 4)$, $(2; 0{,}5)$, $(0; -3)$; $S = 252$ см², $P = 66$ см.

№ 1125

$A(1; -1{,}5)$ және $B(1; 2)$ нүктелері төбелері болатын $ABCD$ шаршысын салыңдар (екі жағдайды қарастырыңдар). Әрбір жағдай үшін $C$ және $D$ нүктелерінің координаталарын жазыңдар. Шаршының периметрі мен ауданын есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. $AB$ қабырғасы белгілі. Шаршыны оған екі жақтан — оң жағынан немесе сол жағынан — тұрғызуға болады.

Шешуі. Қабырғасы $3{,}5$. Оң жағында: $C(4{,}5; 2)$, $D(4{,}5; -1{,}5)$. Сол жағында: $C(-2{,}5; 2)$, $D(-2{,}5; -1{,}5)$. $P = 4 \cdot 3{,}5 = 14$ бірл., $S = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25$ кв. бірл.

Жауабы: $C(4{,}5; 2)$, $D(4{,}5; -1{,}5)$ немесе $C(-2{,}5; 2)$, $D(-2{,}5; -1{,}5)$; $P = 14$ бірл., $S = 12{,}25$ кв. бірл.

B деңгейі

№ 1126

1) Абсциссасы 3; 2) ординатасы $-2$; 3) ординатасы 5; 4) абсциссасы $-4$ болатын нүктелер координаталық жазықтықта қалай орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Абсциссасы бірдей нүктелер «бағана» болып, тік түзудің бойында тұрады. Ординатасы бірдей нүктелер «жол» болып, көлденең түзудің бойында тұрады.

Шешуі.

1. $x$ осінің 3 нүктесі арқылы өтетін тік түзу.
2. $y$ осінің $-2$ нүктесі арқылы өтетін көлденең түзу ($x$ осінен төмен).
3. $y$ осінің 5 нүктесі арқылы өтетін көлденең түзу.
4. $x$ осінің $-4$ нүктесі арқылы өтетін тік түзу.

Жауабы: 1), 4) — ордината осіне параллель түзулер; 2), 3) — абсцисса осіне параллель түзулер.

№ 1127

Егер: 1) $x > 0$, $y > 0$; 2) $x = 0$, $y > 0$; 3) $x < 0$, $y < 0$; 4) $x < 0$, $y > 0$; 5) $x > 0$, $y = 0$; 6) $x = 0$, $y < 0$ болса, онда $P(x; y)$ нүктесі координаталық жазықтықта қалай орналасқан?

Шешуі.

1. I ширек.
2. $y$ осінде, координаталар басынан жоғары.
3. III ширек.
4. II ширек.
5. $x$ осінде, координаталар басынан оңға қарай.
6. $y$ осінде, координаталар басынан төмен.

Жауабы: 1) I; 2) $y$ осінің оң бөлігі; 3) III; 4) II; 5) $x$ осінің оң бөлігі; 6) $y$ осінің теріс бөлігі.

№ 1128

$A(1; 3)$, $B(-1; 4)$, $C(7; -5)$, $D(0; 6)$ нүктелерінің қайсысы: 1) абсцисса осінен жоғары; 2) ордината осінің сол жағында орналасқан?

Қалай ойлаймыз. $x$ осінен жоғары — ордината оң деген сөз. $y$ осінің сол жағында — абсцисса теріс.

Шешуі. Ординатасы оң — $A$, $B$, $D$. Абсциссасы теріс — тек $B$.

Жауабы: 1) $A$, $B$, $D$; 2) $B$.

№ 1129

1) Абсциссасы нөлге тең нүктелер қалай орналасқан? 2) Ординатасы нөлге тең нүктелер қалай орналасқан? 3) Ордината осінің сол жағында орналасқан нүктелердің абсциссаларының қандай ортақ қасиеті бар? 4) Абсциссасы оң болатын нүктелер координаталық жазықтықтың қай ширегінде орналасқан? 5) Ординатасы теріс болатын нүктелер координаталық жазықтықтың қай ширегінде орналасқан? 6) Абсцисса осінен жоғары орналасқан барлық нүктелердің ординаталарының қандай қасиеті бар?

Шешуі.

1. Ордината осінде.
2. Абсцисса осінде.
3. Барлық абсциссасы теріс.
4. I және IV ширектерде ($x$ осінің оң бөлігінде де).
5. III және IV ширектерде ($y$ осінің теріс бөлігінде де).
6. Барлық ординатасы оң.

Жауабы: 1) $y$ осі; 2) $x$ осі; 3) $x < 0$; 4) I және IV; 5) III және IV; 6) $y > 0$.

C деңгейі

№ 1130

Координаталары: 1) $x = 0$, $|y| > 10$; 2) $y \le 0$, $|x| > 10$; 3) $|x| < 1$, $y > 0$ шартын қанағаттандыратын нүктелер координаталық жазықтықта қалай орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Есіңе түсір: $|y| > 10$ — «$y > 10$ немесе $y < -10$», ал $|x| < 1$ — бұл «$-1 < x < 1$».

Шешуі.

1. $y$ осіндегі $y > 10$ немесе $y < -10$ болатын нүктелер. Бұл ордината осінің екі сәулесі: 10 нүктесінен жоғары және $-10$ нүктесінен төмен (бұл нүктелердің өзі кірмейді).
2. $x$ осінен төмен немесе оның өзінде жатқан және $x > 10$ немесе $x < -10$ болатын нүктелер. Бұл жазықтықтың төменгі жартысындағы екі аймақ: $x = 10$ түзуінен оңға және $x = -10$ түзуінен солға (ось $x$ кіреді, тік шекаралардың өзі кірмейді).
3. $x = -1$ және $x = 1$ тік түзулерінің арасындағы және $x$ осінен жоғары нүктелер. Бұл ені 2-ге тең, жоғары қарай созылатын жолақ (шекаралары кірмейді).

Жауабы: 1) ордината осінің екі сәулесі: $y > 10$ және $y < -10$; 2) төменгі жарты жазықтықтың екі бөлігі: $x > 10$ және $x < -10$; 3) абсцисса осінен жоғары $-1 < x < 1$ тік жолағы.

Қайталау

№ 1131

Ерлан 3 күнде кітаптың 18 бетін оқыды. Ол бірінші күні үшінші күнге қарағанда 1 бет кем, екінші күні үшінші күнге қарағанда 4 бет артық оқыды. Ерлан әр күні қанша бет оқыған?

Қалай ойлаймыз. Бәрі үшінші күнмен салыстырылады — оны $x$ деп аламыз.

Шешуі.

1. Үшінші күні — $x$, бірінші күні — $x - 1$, екінші күні — $x + 4$.
2. $(x - 1) + (x + 4) + x = 18$, $3x + 3 = 18$, $3x = 15$, $x = 5$.
3. Бірінші күні: $5 - 1 = 4$; екінші күні: $5 + 4 = 9$. Тексеру: $4 + 9 + 5 = 18$ ✓.

Жауабы: 4 бет, 9 бет, 5 бет.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1132

$a$ түзуін салыңдар. Осы түзуде $AB$ кесіндісін және $AB$ кесіндісіне тең $BC$ кесіндісін көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. $BC$ кесіндісін сол түзудің бойында салу — ең оңайы: кесіндіні $B$ нүктесінен әрі қарай жалғастырамыз.

Шешуі. $a$ түзуін сызып, оған $A$ және $B$ нүктелерін белгіле (мысалы, $AB = 3$ см). Циркульдің ашылымын $AB$ кесіндісіне тең етіп, $B$ нүктесінен $A$-ға қарама-қарсы бағытта $a$ түзуіне із сал. $C$ нүктесін аласың. Сонда $BC = AB = 3$ см, ал $B$ — $AC$ кесіндісінің ортасы.

Жауабы: $BC = AB$; $B$ нүктесі $AC$ кесіндісінің ортасы болды — бұл симметрия тақырыбында керек болады.

№ 1133

$a$ түзуін салыңдар және осы түзуге перпендикуляр $b$ түзуін жүргізіңдер.

Шешуі. Үшбұрышты сызғышты бір катетімен $a$ түзуіне қой. Екінші катеті бойымен $b$ түзуін жүргіз. $a$ және $b$ түзулерінің арасындағы бұрыш — $90^\circ$. Былай жазады: $b \perp a$.

Жауабы: $b \perp a$ түзуі салынды.

Жадынама

• Ортақ нөлі бар екі перпендикуляр координаталық түзу — тікбұрышты координаталар жүйесі.
• Нүктенің координаталары: алдымен $x$ абсциссасы, содан кейін $y$ ординатасы.
• $x$ осіндегі нүкте: $(a; 0)$; $y$ осіндегі нүкте: $(0; b)$.
• Ширектерді сағат тіліне қарсы, оң жақ жоғарғы ширектен бастап нөмірлейді.
• Бірлік кесіндіні тексер: ол әрқашан бір торға тең бола бермейді.

Шағын тест