§ 43. Центрлік және осьтік симметрия

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 6 тарау: Координаталық жазықтық. 99–105-беттер.

Нені үйренесің

• Берілген нүктеге қарағанда симметриялы нүктені салуды (центрлік симметрия).
• Берілген түзуге қарағанда симметриялы нүктені салуды (осьтік симметрия).
• Координаталық жазықтықта симметриялы нүктелерді тек координаталардың таңбасын өзгерту арқылы тез табуды.
• Симметрия центрі немесе осі бар фигураларды танып білуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1132 және 1133 тапсырмалары.

• Түзуде $AB$ кесіндісіне тең $BC$ кесіндісін қалай саламыз? Циркульмен: аяғын $B$ нүктесіне қойып, $AB$ ашылымымен $A$-ға қарама-қарсы жағына із саламыз.
• Сонда $B$ нүктесі $AC$ кесіндісі үшін қандай нүкте болады? Оның ортасы: $AB = BC$.
• $a$ түзуіне перпендикуляр $b$ түзуін қалай саламыз? Үшбұрышты сызғышпен: бір катетін $a$ түзуіне қойып, екінші катеті бойымен $b$ түзуін жүргіземіз.
• Координаталық түзуде 3 санына қарама-қарсы нүктенің координатасы қандай? $-3$. Ол нөлден сондай қашықтықта, бірақ екінші жақта.

💡 Кесіндінің ортасы және перпендикуляр — бүгінгі сабақтың екі басты құралы. Олармен кез келген симметрияны саламыз.

Тақырыпты талдаймыз

Нүкте арқылы симметрия

Егер $AO = OB$ болса, $O$ нүктесі — $AB$ кесіндісінің ортасы. Енді ойды өзгертіп көрейік: егер $O$ нүктесі $AB$ кесіндісінің ортасы болса, онда $A$ және $B$ нүктелерін $O$ нүктесіне қарағанда симметриялы деп атайды. $O$ нүктесінің өзі — симметрия центрі.

$E$ нүктесіне $O$ нүктесіне қарағанда симметриялы нүктені қалай саламыз?

1. $E$ нүктесінен $O$ нүктесі арқылы сәуле жүргіз.
2. $O$ нүктесінен кейін осы сәуленің бойына $OF = OE$ кесіндісін сал.
3. $F$ нүктесі дайын.

📌 Координаталық жазықтықта бәрі одан да оңай: координаталар басына қарағанда $(x; y)$ нүктесіне симметриялы нүкте — $(-x; -y)$. Екі таңба да өзгереді.

$AB$ кесіндісіне симметриялы кесіндіні салу үшін оның ұштарына симметриялы нүктелерді салып, оларды қосу жеткілікті. $AB$ кесіндісімен ұзындығы бірдей, оған параллель кесінді шығады.

Центрлік-симметриялы фигуралар — қандай да бір нүктеге қарағанда симметрия кезінде өзімен-өзі беттесетін фигуралар: шаршы (центрі — диагональдардың қиылысу нүктесі), шеңбер мен дөңгелек (центрі — олардың центрі), тіктөртбұрыш.

Түзу арқылы симметрия

Егер $AB$ кесіндісі $l$ түзуіне перпендикуляр болса және екі нүкте де $l$ түзуінен бірдей қашықтықта жатса, онда $A$ және $B$ нүктелері $l$ түзуіне қарағанда симметриялы. $l$ түзуі — симметрия осі. Қысқаша: $AB \perp l$ және $AO = OB$, мұндағы $O$ — $AB$ және $l$ түзулерінің қиылысу нүктесі.

💡 «Жарыққа тосып» тексеру: фигураны калькаға сызып, парақты ось бойымен бүк. Симметриялы фигуралар көбелектің екі қанаты сияқты беттеседі.

Координаталық жазықтықта:

• $x$ осіне қарағанда симметрия: $(x; y) \to (x; -y)$ — ординатаның таңбасы өзгереді;
• $y$ осіне қарағанда симметрия: $(x; y) \to (-x; y)$ — абсциссаның таңбасы өзгереді.

⚠️ Жиі кететін қате. Қай таңбаны өзгерту керегін шатастырады. Кеңес: $x$ осіне қарағанда симметрия кезінде нүкте $x$ осінің үстінен жоғары-төмен «секіреді», демек $y$ өзгереді. Үстінен секіретін осьтің өз координатасына тиіспейді.

Осьтік симметриясы бар фигуралар: тең бүйірлі үшбұрыш (1 ось), теңқабырғалы үшбұрыш (3 ось), тіктөртбұрыш (2 ось), шаршы (4 ось), дөңгелек (шексіз көп ось — центр арқылы өтетін кез келген түзу).

🌟 Қазақ оюы дерлік әрқашан симметриялы: «қошқар мүйіз» ою-өрнегі иірімдерін айна сияқты қайталайды. Сырмаққа немесе Қазақстан туына қарасаң, ондағы өрнек те симметрия заңымен салынғанын көресің.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баланы үйден бес симметриялы затты тауып, олардың осін немесе центрін көрсетуге шақырыңыз: тарелке, терезе, Ж әрпі, ақ ұлпа, домбыра (дерлік). Сонда ұғым дерексіз болудан қалады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай нүктелерді центрлік-симметриялы деп атайды? Егер $O$ нүктесі $AB$ кесіндісінің ортасы болса, $A$ және $B$ нүктелері $O$ нүктесіне қарағанда симметриялы.
• Берілген нүктеге қарағанда симметриялы фигураны қалай саламыз? Оның төбелеріне симметриялы нүктелерді салып, сол ретімен қосамыз.
• Қандай нүктелер түзуге қарағанда симметриялы болады? Оларды қосатын кесінді түзуге перпендикуляр және түзу оны тең екіге бөледі.
• Қандай фигураларда симметрия осі болады? Тең бүйірлі және теңқабырғалы үшбұрыштар, тіктөртбұрыш, шаршы, дөңгелек және басқа да көптеген фигуралар.
• Мысалдағы $F$ нүктесі $E$ нүктесіне неге симметриялы? Себебі $E$, $O$, $F$ нүктелері бір түзуде жатыр және $OF = OE$, яғни $O$ — $EF$ кесіндісінің ортасы.
• Симметрияның қандай түрлерін білесің? Центрлік (нүктеге қарағанда) және осьтік (түзуге қарағанда).
• Өмірде симметрия қайда кездеседі? Көбелек пен жапырақтар (осьтік), ақ ұлпа (екеуі де), доңғалақ пен үстінен қарағандағы киіз үй (центрлік), Бәйтерек ғимараты, А, Н, Ш әріптері, кілемдердегі өрнектер.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1134

135-суретте көрсетілген нүктелердің арасынан: 1) абсцисса осіне; 2) ордината осіне; 3) координаталар басына қарағанда симметриялы нүктелерді атаңдар. Белгіленген нүктелер: $A(3; 5)$, $B(-3; 5)$, $C(-4; 2)$, $D(4; 2)$, $E(-4; -2)$, $F(4; -2)$, $K(2; -5)$.

Қалай ойлаймыз. $x$ осіне қарағанда — тек $y$ таңбасы өзгереді; $y$ осіне қарағанда — тек $x$ таңбасы; $O$ нүктесіне қарағанда — екі таңба да.

Шешуі.

1. Абсцисса осі: $C(-4; 2)$ және $E(-4; -2)$; $D(4; 2)$ және $F(4; -2)$.
2. Ордината осі: $A(3; 5)$ және $B(-3; 5)$; $C(-4; 2)$ және $D(4; 2)$; $E(-4; -2)$ және $F(4; -2)$.
3. Координаталар басы: $C(-4; 2)$ және $F(4; -2)$; $D(4; 2)$ және $E(-4; -2)$.

$K(2; -5)$ нүктесінің жұбы жоқ.

Жауабы: 1) $C$ және $E$, $D$ және $F$; 2) $A$ және $B$, $C$ және $D$, $E$ және $F$; 3) $C$ және $F$, $D$ және $E$.

№ 1135

Координаталық жазықтыққа: 1) абсцисса осіне; 2) ордината осіне қарағанда а) $A(1; 4)$; ә) $B(-3; 2)$; б) $C(-1; -5)$; в) $D(4; -3)$ нүктесіне симметриялы нүктені салыңдар.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 1136

Координаталық жазықтыққа: 1) $M(-4; 3)$; 2) $N(5; -2)$; 3) $Q(4; 1)$; 4) $P(-1; -1)$ нүктесіне координаталар басына қарағанда симметриялы нүктені салыңдар және оның координаталарын жазыңдар.

Шешуі. Екі таңбаны да өзгертеміз: 1) $(4; -3)$; 2) $(-5; 2)$; 3) $(-4; -1)$; 4) $(1; 1)$.

Жауабы: $(4; -3)$; $(-5; 2)$; $(-4; -1)$; $(1; 1)$.

№ 1137

Координаталық жазықтықта $S(-6; 2)$, $F(3; 5)$, $T(1; -5)$ нүктелерін және осы нүктелерге: 1) абсцисса осіне қарағанда симметриялы $A$, $B$, $C$; 2) ордината осіне қарағанда симметриялы $M$, $N$, $K$ нүктелерін салыңдар.

Шешуі.

1. $y$ таңбасын өзгертеміз: $A(-6; -2)$, $B(3; -5)$, $C(1; 5)$.
2. $x$ таңбасын өзгертеміз: $M(6; 2)$, $N(-3; 5)$, $K(-1; -5)$.

Жауабы: $A(-6; -2)$, $B(3; -5)$, $C(1; 5)$; $M(6; 2)$, $N(-3; 5)$, $K(-1; -5)$.

№ 1138

Төбелері $A(-5; 3)$, $B(-2; -3)$, $C(-1; 6)$ нүктелері болатын $ABC$ үшбұрышын салыңдар. Ордината осіне қарағанда $ABC$ үшбұрышының төбелеріне симметриялы нүктелерді салып, координаталарын жазыңдар. Салынған нүктелерді кесінділермен қосыңдар. Шыққан фигураны анықтаңдар.

Шешуі. Абсциссаның таңбасын өзгертеміз: $A_1(5; 3)$, $B_1(2; -3)$, $C_1(1; 6)$. Қосамыз — $A_1B_1C_1$ үшбұрышы шығады, ол $ABC$ үшбұрышының айналы бейнесі. Парақты $y$ осі бойымен бүксең, үшбұрыштар беттеседі.

Жауабы: $(5; 3)$, $(2; -3)$, $(1; 6)$; $ABC$ үшбұрышына тең үшбұрыш.

№ 1139

Координаталық жазықтыққа төбелері $M(2; -4)$, $N(5; -1)$, $K(6; 2)$, $F(3; 4)$ болатын $MNKF$ төртбұрышын салыңдар. Координаталар басына қарағанда $MKFE$ төртбұрышының төбелеріне симметриялы нүктелерді салыңдар. Оларды кесінділермен қосыңдар. Шыққан фигураны атаңдар.

Шешуі. Екі таңбаны да өзгертеміз: $M_1(-2; 4)$, $N_1(-5; 1)$, $K_1(-6; -2)$, $F_1(-3; -4)$. Ретімен қосамыз — $M_1N_1K_1F_1$ төртбұрышы шығады, ол $MNKF$ төртбұрышына тең, тек $O$ нүктесінің төңірегінде жарты айналымға «аударылған».

Жауабы: $(-2; 4)$, $(-5; 1)$, $(-6; -2)$, $(-3; -4)$; $MNKF$ төртбұрышына тең төртбұрыш.

📕 Оқулықтағы шартта фигураның аты қате жазылған: «$MKFE$ төртбұрышы» деп тұр, ал салынған төртбұрыштың аты — $MNKF$ ($E$ нүктесі берілмеген). Жоғарыда сол $MNKF$ төртбұрышының төбелері алынды.

№ 1140

$l$ түзуіне қарағанда $A$ нүктесіне симметриялы $C$ нүктесін салыңдар (136-сурет). $l$ түзуіне қарағанда $B$ нүктесіне қай нүкте симметриялы болады? $BC$ кесіндісін жүргізіңдер. $AB$ және $BC$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. $A$ нүктесін шағылыстыру үшін одан $l$ түзуіне перпендикуляр түсіріп, оны түзудің арғы жағына дәл сондай қашықтыққа жалғастырамыз. Ал осьтің өзінде жатқан нүкте өзіне-өзі шағылысады.

Шешуі.

1. Үшбұрышты сызғышпен $A$ нүктесінен $l$ түзуіне перпендикуляр жүргіз. Ол $l$ түзуін $O$ нүктесінде қиып өтсін.
2. $l$ түзуінің арғы жағына $OC = AO$ кесіндісін сал. Бұл — $C$ нүктесі.
3. $B$ нүктесі осьте жатыр, сондықтан ол өзіне-өзі симметриялы.
4. $BC$ кесіндісі $BA$ кесіндісіне симметриялы, сондықтан өлшегенде $AB = BC$ болады.

Жауабы: $B$ нүктесі өзіне-өзі симметриялы; $AB = BC$.

№ 1141

Дәптерге $AB = 2$ см болатын кесінді мен $O$ нүктесін салыңдар (137-сурет). $O$ нүктесінен қарағанда $A$ нүктесіне симметриялы $M$ нүктесі және $B$ нүктесіне симметриялы $K$ нүктесін белгілеңдер. $MK$ кесіндісін жүргізіңдер. $AB$ және $MK$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, салыстырыңдар.

Шешуі.

1. $AO$ сәулесін жүргіз де, $O$ нүктесінен кейін $OM = AO$ кесіндісін сал.
2. $BO$ сәулесін жүргіз де, $OK = BO$ кесіндісін сал.
3. $M$ мен $K$ нүктелерін қос. $MK$ кесіндісі $O$ нүктесінің екінші жағында және «төңкерілген» болып шығады: $M$ оң жақта, $K$ сол жақта.
4. Өлше: $MK = 2$ см. Сонымен қатар $MK \parallel AB$.

Жауабы: $MK = AB = 2$ см.

B деңгейі

№ 1142

Дәптерге қабырғаларының ұзындықтары $CB = 2$ см, $AC = 3$ см және $\angle C = 90^\circ$ болатын $ABC$ тікбұрышты үшбұрышын салыңдар (138-сурет). $l$ осінен қарағанда $B$ нүктесіне симметриялы $P$ нүктесін салыңдар. $l$ түзуіне қарағанда қандай нүкте $A$ нүктесіне және қандай нүкте $C$ нүктесіне симметриялы болады? $PA$ және $PC$ кесінділерін жүргізіңдер. $PC$ және $CB$ кесінділерінің ұзындықтарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. $BC \perp AC$, яғни $BC$ кесіндісі $l$ осіне перпендикуляр. Демек, $P$ нүктесі $BC$ кесіндісінің $C$ нүктесінен кейінгі жалғасында жатады.

Шешуі.

1. $BC$ кесіндісін $C$ нүктесінен кейін жалғастырып, $CP = CB = 2$ см сал.
2. $A$ және $C$ нүктелері $l$ осінде жатыр — әрқайсысы өзіне-өзі симметриялы.
3. $APC$ үшбұрышы — $ABC$ үшбұрышының айналы бейнесі. Екеуі бірге $AB = AP$ болатын тең бүйірлі $ABP$ үшбұрышын құрайды.

Жауабы: $A$ және $C$ өздеріне-өздері симметриялы; $PC = CB = 2$ см.

№ 1143

$\angle ABC = 45^\circ$ болатын бұрыш салыңдар (139-сурет). $BA$ сәулесінің бойынан кез келген нүкте алып, $M$ әрпімен белгілеңдер. $BC$ түзуіне қарағанда $M$ нүктесіне симметриялы $K$ нүктесін салыңдар. $BC$ түзуіне қарағанда $B$ нүктесіне қандай нүкте симметриялы болады? $BK$ сәулесін жүргізіңдер. $CBK$ сүйір бұрышын өлшеп, $ABC$ бұрышымен салыстырыңдар.

Шешуі.

1. $M$ нүктесінен $BC$ түзуіне перпендикуляр түсіріп, оны түзудің арғы жағына дәл сондай қашықтыққа жалғастырамыз — $K$ нүктесі шығады.
2. $B$ нүктесі $BC$ түзуінде жатыр, сондықтан өзіне-өзі симметриялы.
3. $BK$ сәулесі — $BA$ сәулесінің шағылысуы. Шағылысу кезінде бұрыш өзгермейді: $\angle CBK = 45^\circ$.

Жауабы: $B$ нүктесі өзіне-өзі симметриялы; $\angle CBK = \angle ABC = 45^\circ$.

C деңгейі

№ 1144

$\angle AOB = 40^\circ$ болатын дөңгелек секторды салыңдар (140-сурет). $O$ нүктесінен қарағанда $A$ және $B$ нүктелеріне сәйкесінше симметриялы $P$ және $T$ нүктелерін салыңдар. $OP$ және $OT$ кесінділерін жүргізіңдер. Шыққан дөңгелек секторды бояңдар және бұрышын өлшеңдер. $AOB$ және $POT$ бұрыштарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. $P$ — $A$ нүктесінен өтетін диаметрдің ұшы; $T$ — $B$ нүктесінен өтетін диаметрдің ұшы. $AOB$ және $POT$ бұрыштары бір-біріне «қарама-қарсы» жатыр — бұл вертикаль бұрыштар.

Шешуі.

1. $OA$ радиусын центрден кейін шеңберге дейін жалғастыр — $P$ нүктесі шығады ($OP = OA$ болғандықтан).
2. $OB$ радиусын да солай жалғастыр — $T$ нүктесі шығады.
3. $POT$ секторы — $AOB$ секторының $O$ нүктесіне қарағанда шағылысуы. Транспортир $\angle POT = 40^\circ$ екенін көрсетеді.

Жауабы: $\angle POT = \angle AOB = 40^\circ$.

Қайталау

№ 1145

50 алмұрт екі қорап пен жәшікке салынды. Әрбір қорапқа қарағанда жәшікке 14 алмұрт артық салынған. Әрбір қорап және жәшікке қанша алмұрттан салынды?

Шешуі.

1. Әр қорапта $x$ алмұрт, жәшікте $x + 14$ алмұрт.
2. $x + x + x + 14 = 50$, $3x = 36$, $x = 12$.
3. Жәшікте $12 + 14 = 26$. Тексеру: $12 + 12 + 26 = 50$ ✓.

Жауабы: 12 алмұрт, 12 алмұрт, 26 алмұрт.

№ 1146

$-10(x - 4) < 3(4 - 2x) - 3x$ және $1{,}6(0{,}1x - 3) > 3(-6 + 0{,}1x) + 0{,}3x$ теңсіздіктер жүйесін шешіп, құстардың ауыл шаруашылығы мен орман шаруашылығына зиян келтіретін жәндіктерді жойып, зиянды жәндіктерді жоюға жұмсайтын шығынның қанша пайызға азайтатынын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр теңсіздікті бөлек шешіп, содан кейін екеуіне де сәйкес келетін сандарды іздейміз.

Шешуі. Бірінші теңсіздік $x > 28$ береді, екіншісі — $x < 30$. Ортақ бөлігі: $x \in (28; 30)$.

Жауабы: $(28; 30)$; құстар шығынды 28–30%-ға азайтады.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1147

1) Күнделікті өмірден тіктөртбұрыштың, шаршының, дөңгелектің, шеңбердің, шардың, сфераның, үшбұрыштың модельдерін атаңдар. Осы модельдердің қандай ұқсастығы немесе айырмашылығы бар? 2) Кубтың қанша төбесі, қыры, жақтары бар? Кубтың жағы қандай фигура болады?

Қалай ойлаймыз. Тіктөртбұрыш, шаршы, дөңгелек, үшбұрыш — жазық: оларды парақта түгел сызуға болады. Шар мен сфера — көлемді. Шар — тұтас дене (секіргіш доп сияқты), ал сфера — оның тек беті (әуе шарының қабығы сияқты).

Шешуі.

1. Тіктөртбұрыш — есік, телефон экраны, дәптер. Шаршы — орамал, плитка. Дөңгелек — 100 теңгелік монета, қазан қақпағы. Шеңбер — сымнан иілген шеңбер, хула-хуп. Үшбұрыш — жол белгісі, пиццаның тілімі. Шар — қарбыз, бильярд добы. Сфера — сабын көпіршігі, шырша ойыншығы. Ұқсастығы: бәрі — геометриялық фигуралар. Айырмашылығы: біреулері жазық, біреулері көлемді.
2. Кубтың 8 төбесі, 12 қыры және 6 жағы бар. Әр жағы — шаршы.

Жауабы: 2) 8 төбе, 12 қыр, 6 жақ; жағы — шаршы.

Жадынама

• Симметрия центрі — симметриялы нүктелер арасындағы кесіндінің ортасы.
• Симметрия осі кесіндіге перпендикуляр және оны тең екіге бөледі.
• Симметриялы фигуралар тең: ұзындықтар мен бұрыштар сақталады.
• Координаталық жазықтықта: $x$ осіне қарағанда $y$ таңбасын, $y$ осіне қарағанда $x$ таңбасын, $O$ нүктесіне қарағанда екеуін де өзгертеміз.
• Центрлік-симметриялы: шаршы, тіктөртбұрыш, дөңгелек. Осі бар: тең бүйірлі үшбұрыш, тіктөртбұрыш, шаршы, дөңгелек.

Шағын тест