§ 44. Фигуралардың кеңістікте орналасуы. Кеңістікте фигураларды кескіндеу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 7 тарау: Кеңістіктегі фигуралар. 106–108-беттер.

Нені үйренесің

• Жазық фигураларды кеңістік (көлемді) фигураларынан ажыратуды.
• Торкөзді қағазға текше, тікбұрышты параллелепипед, пирамида, шар және цилиндр сызуды.
• Көрінбейтін сызықтарды үзік сызықпен, ал көрінетіндерін тұтас сызықпен көрсетуді.
• Суреттегі көрінетін және көрінбейтін қырлар мен жақтарды санауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1147 тапсырма.

• Дөңгелек пен шардың айырмашылығы неде? Дөңгелек жазық, оны парақтың бетіне түгел сызуға болады. Шар көлемді: доп сияқты, оны қолға алуға болады.
• Шар мен сфера несімен ерекшеленеді? Шар — тұтас дене (қарбыз сияқты), ал сфера — оның тек беті (сабын көпіршігі сияқты).
• Кубтың қанша төбесі, қыры және жағы бар? 8 төбе, 12 қыр, 6 жақ.
• Кубтың жағы қандай фигура болады? Шаршы.

Тақырыпты талдаймыз

Жазық және көлемді

Шаршы, дөңгелек, үшбұрыш жазықтықта жатады — парақта түгелдей орналасады. Ал текше, шар, пирамида, цилиндр кеңістікте орын алады: олардың ұзындығы, ені және биіктігі бар. Бұлар — кеңістік фигуралары.

Қиындық мынада: қағаз парағы жазық. Көлемді затты онда қалай көрсетеміз?

Басты тәсіл — үзік сызық

Үстелдегі текшеге қарашы. Үш жағын көресің, ал үш жағы артында тасада қалған. Суретшілер мен инженерлер былай келісті:

📌 Көрінетін сызықтарды тұтас сызықпен, ал көрінбейтін (жабық) сызықтарды үзік сызықпен сызады.

Үзік сызық: «Бұл қыр бар, тек ол артта» дегендей.

Текшені қадамдап сызамыз

1. Шаршы сыз — бұл алдыңғы жақ.
2. Дәл сондай шаршыны оң жаққа және жоғары жылжытып сыз — бұл артқы жақ. Оның кейбір қабырғаларын алдыңғы жақ жауып тұр — оларды үзік сызықпен сыз.
3. Екі шаршының сәйкес төбелерін кесінділермен қос. Жабық төбеден шығатын қыр да үзік сызықпен сызылады.

⚠️ Жиі кететін қате. Барлық қырды тұтас сызықпен салады. Сонда қай жақ алда екені түсініксіз болып, текше «секіреді» — кейде үстінен, кейде астынан қарап тұрғандай көрінеді. Үзік сызық бұл шатасуды жояды.

Шар, пирамида, цилиндр

• Шар: шеңбер сызамыз, центрін белгілейміз және «экваторды» — сопақшаны (эллипсті) жүргіземіз. Сопақшаның алдыңғы жартысы тұтас, артқысы — үзік сызық.
• Пирамида: табан үшбұрышты сызамыз, оның үстінен төбе нүктесін белгілеп, табан төбелерімен қосамыз. Табанның артта тұрған қыры — үзік сызық.
• Цилиндр: сопақша (жоғарғы табан) сызамыз, екі тік сызық түсіреміз, ал төменнен екінші сопақшаны сызамыз. Төменгі сопақшаның артқы жартысы — үзік сызық.

💡 Шарды жазықтықта шеңбермен және сопақшамен кескіндейді: шеңбер — оның контуры, сопақша — біз қиғаш көретін шардың «белдеуі».

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Үстелге қорап қойып: «Қанша жағын көріп тұрсың? Ал барлығы нешеу?» деп сұраңыз. Сосын бала қорапты сызып, тасада қалған қырларын үзік сызықпен сызғанын тексерсін.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Кеңістік фигурасын жазықтықта қалай кескіндейді? Көрінетін сызықтарды тұтас, көрінбейтіндерін үзік сызықпен сызады.
• Текшені немесе тікбұрышты параллелепипедті барлық қыры мен жағы көрінетіндей етіп салуға бола ма? Жоқ. Қай жағынан қарасаң да, фигураның бір бөлігі жабық: үш жақтан артық көрінбейді, ал кемінде үш қыр әрқашан тасада қалады.
• Шарды салу үшін қандай фигураларды пайдаланады? Шеңберді (шардың контуры) және сопақша-эллипсті (оның «экваторы»).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1148

Текшені жазықтықта кескіндегенде оның көрінетін қырларының және көрінбейтін қырларының санын есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Кубтың 12 қыры бар. Артта бір төбе жасырынып тұр. Одан 3 қыр шығады — олар көрінбейді.

Шешуі. Көрінбейтіні — 3, көрінетіні — $12 - 3 = 9$.

Жауабы: 9 көрінетін, 3 көрінбейтін.

№ 1149

Тікбұрышты параллелепипедті жазықтықта кескіндегенде оның көрінетін қырларының және көрінбейтін қырларының санын есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Параллелепипед текше сияқты құралған: 8 төбе, 12 қыр. Оны дәл солай сызады.

Шешуі. Бір төбе тасада, одан 3 көрінбейтін қыр шығады. Көрінетіні $12 - 3 = 9$.

Жауабы: 9 көрінетін, 3 көрінбейтін.

№ 1150

Пирамиданы жазықтықта кескіндегенде оның көрінетін қырларының және көрінбейтін қырларының санын есептеңдер (143-сурет).

Қалай ойлаймыз. 143-суретте үшбұрышты пирамида бейнеленген: табанында үшбұрыш (3 қыр) және төбеден шығатын тағы 3 бүйір қыр бар. Барлығы 6.

Шешуі. Үзік сызықпен табанның бір қыры — артқысы көрсетілген. Көрінетіні $6 - 1 = 5$.

Жауабы: 5 көрінетін, 1 көрінбейтін.

№ 1151

Текшені жазықтықта кескіндегенде оның көрінетін жақтарының және көрінбейтін жақтарының санын есептеңдер.

Шешуі. Алдыңғы, үстіңгі және оң жақ бүйір жағы көрінеді — 3 жақ. Артқы, астыңғы және сол жақ жақтары тасада — олар да 3. Барлығы $3 + 3 = 6$.

Жауабы: 3 көрінетін, 3 көрінбейтін.

№ 1152

Тікбұрышты параллелепипедті жазықтықта кескіндегенде оның көрінетін жақтарының және көрінбейтін жақтарының санын есептеңдер.

Шешуі. Текше сияқты: 3 жақ көрінеді (алдыңғы, үстіңгі, бүйір), 3 жақ тасада (артқы, астыңғы, екінші бүйір).

Жауабы: 3 көрінетін, 3 көрінбейтін.

№ 1153

Цилиндрді жазықтықта кескіндегенде оның көрінетін жақтарының және көрінбейтін жақтарының санын есептеңдер (144-сурет).

Қалай ойлаймыз. Цилиндрдің үш жағы бар: екі табан (жоғарғы және төменгі) және бүйір бет. 144-суреттің 3-ші кескінінде жоғарғы табан тұтас сызықпен сызылған, бүйір бет тік сызықтармен шектелген, ал төменгі сопақшаның артқы жартысы үзік сызықпен көрсетілген.

Шешуі. Жоғарғы табан мен бүйір бет көрінеді — 2 жақ. Төменгі табан астыңда тасада қалады — 1 жақ.

Жауабы: 2 көрінетін, 1 көрінбейтін.

B деңгейі

№ 1154

Торкөз дәптердің бетін қолданып, қабырғасының ұзындығы 2 см болатын текшенің суретін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Дәптердің бір торы — 0,5 см, демек 2 см — бұл 4 тор. Алдыңғы жақты нақты шаршы етіп саламыз. Тереңге кететін қырларды тордың диагональдары бойымен жүргіземіз.

Шешуі.

1. $4 \times 4$ тор шаршы сыз — алдыңғы жақ.
2. Әр төбеден 2 тордың диагоналі бойымен оңға және жоғары кесінді жүргіз.
3. Ұштарын қос — артқы жақ шығады.
4. Сол жақ төменгі артқы төбеде түйісетін үш қырды үзік сызықпен жүргіз.

Жауабы: текше салынды; көрінетін қыр 9, көрінбейтін 3.

№ 1155

145-суреттен тікбұрышты параллелепипедтің жазықтықта дұрыс салынған кескінін көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Тұтас сызықпен тек көрінетін қырлар, ал үзік сызықпен бір жасырын төбеден шығатын дәл үш қыр көрсетілген суретті іздейміз.

Шешуі. 1-суретте бәрі тұтас — артында не барын түсіну мүмкін емес. 3-суретте бәрі үзік сызық. 4-суретте бәрі шатасқан. Тек 2-сурет дұрыс.

Жауабы: 2-сурет.

C деңгейі

№ 1156

Торкөз дәптердің бетін қолданып, өлшемдері 2 см, 4 см және 5 см болатын тікбұрышты параллелепипедтің суретін салыңдар. Осындай өлшемдермен қанша тікбұрышты параллелепипед салуға болады?

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Параллелепипедтің өзі — біреу: бұл сол «қорап». Бірақ суретте оны әртүрлі қоюға болады: биік, жалпақ, ұзын. Қай өлшем ұзындық, қайсысы ені (тереңге кетеді), қайсысы биіктік болатынын санап шығамыз.

Шешуі.

1. Торға аударамыз: 2 см — 4 тор, 4 см — 8 тор, 5 см — 10 тор.
2. Мысалы, биіктігі 5 см, ұзындығы 4 см: алдыңғы жағы $8 \times 10$ тор тіктөртбұрыш, ені 2 см-ді тереңге қарай жүргіземіз.
3. Орналастыру нұсқаларының барлығы: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Жауабы: осындай параллелепипедтердің бәрі тең, бірақ оларды 6 тәсілмен кескіндеуге болады (ұзындықты, енді және биіктікті әртүрлі таңдау арқылы).

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1157

Координаталық жазықтықты салыңдар. Онда үш нүкте белгілеңдер. Осы нүктелердің координаталарын жазыңдар.

Шешуі. Мысал: $A(2; 3)$ — I ширек, $B(-4; 1)$ — II ширек, $C(0; -2)$ — $y$ осінде. Есіңде болсын: алдымен абсцисса, содан кейін ордината.

Жауабы: мысалы, $A(2; 3)$, $B(-4; 1)$, $C(0; -2)$.

№ 1158

Координаталық түзуді салыңдар. Координаталық түзуде координаталары 8; $-4$; 2,5 болатын нүктелерді көрсетіңдер. Суреттегі кесінділердің ұзындықтарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Түзудегі кесіндінің ұзындығы — үлкен координата минус кіші координата.

Шешуі.

1. $-4$-тен 2,5-ке дейін: $2{,}5 - (-4) = 6{,}5$.
2. 2,5-тен 8-ге дейін: $8 - 2{,}5 = 5{,}5$.
3. $-4$-тен 8-ге дейін: $8 - (-4) = 12$.

Жауабы: 6,5; 5,5; 12.

Жадынама

• Жазық фигуралар парақта түгелдей орналасады, кеңістік фигуралары — олай емес.
• Көрінетін сызықтар — тұтас, көрінбейтіндері — үзік сызық.
• Текше: алдыңғы шаршы + жылжытылған артқы шаршы + қосатын қырлар.
• Шар — шеңбер мен сопақша; цилиндр — екі сопақша және екі тік сызық.
• Текшенің үш жағынан артығын бір мезгілде көре алмайсың.

Шағын тест