§ 45. Вектор ұғымы

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 7 тарау: Кеңістіктегі фигуралар. 109–111-беттер.

Нені үйренесің

• Тек санмен сипатталатын шамаларды бағыты бар шамалардан ажыратуды.
• Вектор дегеніміздің не екенін, оның басы мен соңын түсінуді.
• Векторларды белгілеуді: $\overrightarrow{AB}$ немесе $\vec{a}$.
• Координаталық жазықтықта вектордың басы мен соңының координаталары бойынша оны салуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1157 және 1158 тапсырмалары.

• Координаталар басынан 3 бірлік оңға және 2 бірлік төмен орналасқан нүктенің координаталары қандай? $(3; -2)$.
• $(-4; 1)$ нүктесі қай ширекте жатыр? II ширекте.
• Координаталық түзуде $-4$ және 8 нүктелерінің арасындағы кесіндінің ұзындығы қандай? $8 - (-4) = 12$.
• Ал 2,5 пен 8 арасында ше? $8 - 2{,}5 = 5{,}5$.

💡 $-4$-тен 8-ге дейінгі кесінді мен 8-ден $-4$-ке дейінгі кесінді — бір кесінді. Ал «$-4$-тен 8-ге дейін жүріп өту» мен «8-ден $-4$-ке дейін жүріп өту» — әртүрлі серуен: бағыты қарама-қарсы. Міне, осы жерде вектор керек.

Тақырыпты талдаймыз

Сан және бағыт

Қарбыздың массасы — 5 кг. Сабақ 40 минутқа созылады. Дәптер 150 теңге тұрады. Мұнда бір сан жеткілікті.

Ал енді: «Жел 10 м/с жылдамдықпен соғады». Қайдан соғады? Таудан ба, даладан ба? Жылдамдық, күш, орын ауыстыру үшін бағыт та маңызды. Мұндай шамаларды векторлық шамалар немесе векторлар деп атайды.

Жебесі бар кесінді

📌 $\overrightarrow{AB}$ векторы — бас нүктесі $A$ нүктесі, соңғы нүктесі $B$ нүктесі болатын бағытталған кесінді. $A$ нүктесі — оның басы, $B$ нүктесі — соңы. Бағытын соңындағы жебемен көрсетеді.

Векторларды жебесі бар екі үлкен әріппен белгілейді: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$ (бірінші болып бас нүктесін жазады!) немесе бір кіші әріппен: $\vec{a}$, $\vec{b}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $\overrightarrow{AB}$ және $\overrightarrow{BA}$ — әртүрлі векторлар: олардың ұзындығы бірдей, бірақ бағыты қарама-қарсы. Бірінші әріп — әрқашан бас нүктесі.

Ұзындығы нөлге тең вектор

Егер вектордың басы мен соңы беттессе, нөлдік вектор шығады: $\overrightarrow{PP}$ немесе $\vec{0}$. Суретте ол жай ғана нүкте. Жазықтықтың кез келген нүктесін нөлдік вектор деп есептеуге болады.

Координаталық жазықтықта векторды қалай саламыз

Басы мен соңының координаталарын білу керек. Екі нүктені де белгілеп, кесіндімен қосамыз да, соңына жебе саламыз.

🌟 «Вектор» сөзі — латын тілінен: vector «апарушы», «тасушы» дегенді білдіреді. Вектор нүктені басынан соңына қарай көшіріп апаратын сияқты.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Қазына» ойынын ойнаңыздар: «Есіктен терезеге 4 қадам, содан соң шкафқа 3 қадам». Әр команда — вектор: қадам саны және бағыт. Бағытты шатастырса, не болатынын сұраңыз.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Вектор деп нені атайды? Бағытталған кесіндіні: оның басы мен соңы бар, бағытын жебе көрсетеді.
• Векторларды қалай белгілейді? Жебесі бар екі үлкен әріппен ($\overrightarrow{AB}$, бас нүктесі бірінші) немесе бір кіші әріппен ($\vec{a}$).
• Қандай векторды нөлдік деп атайды? Басы соңымен беттесетін вектор, мысалы $\overrightarrow{PP}$.
• Координаталық жазықтықта векторды салу үшін нені білу керек? Оның басы мен соңының координаталарын.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1159

Үш вектор салыңдар. Оларды белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. Кез келген бағытталған кесінділер жарайды. Ең бастысы — соңындағы жебе және дұрыс жазылған белгі.

Шешуі. Мысал:

1. $\overrightarrow{AB}$ — көлденең, 4 тор оңға.
2. $\overrightarrow{CD}$ — тік, 3 тор төмен.
3. $\vec{a}$ — көлбеу, жоғары-солға.

Әр кесіндінің соңына жебе саламыз ($B$, $D$ және $\vec{a}$-ның жоғарғы ұшы).

Жауабы: мысалы, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\vec{a}$.

№ 1160

$A(1; 4)$, $B(-1; 3)$, $C(-1; -1)$, $D(4; 0)$, $M(0; 5)$, $K(-2; 4)$ нүктелері берілген. Координаталық жазықтықта $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$ және $\overrightarrow{MK}$ векторларын салыңдар.

Шешуі.

1. $\overrightarrow{AB}$: $A(1; 4)$ нүктесінен $B(-1; 3)$ нүктесіне — 2 солға және 1 төмен.
2. $\overrightarrow{CD}$: $C(-1; -1)$ нүктесінен $D(4; 0)$ нүктесіне — 5 оңға және 1 жоғары.
3. $\overrightarrow{MK}$: $M(0; 5)$ нүктесінен $K(-2; 4)$ нүктесіне — 2 солға және 1 төмен.

💡 Байқадың ба? $\overrightarrow{AB}$ және $\overrightarrow{MK}$ бірдей жылжиды: 2 солға және 1 төмен. Бұл — тең векторлар: ұзындығы мен бағыты бірдей, тек әртүрлі жерде тұр.

Жауабы: векторлар салынды.

№ 1161

Координаталық жазықтықтың әр ширегіне бір вектордан салыңдар және олардың бас нүктесі мен соңғы нүктесінің координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Вектордың екі нүктесі де бір ширекте жатуы керек: координаталардың таңбасына қара.

Шешуі. Мысал:

• I ширек: $\overrightarrow{AB}$, $A(1; 1)$, $B(4; 3)$.
• II ширек: $\overrightarrow{CD}$, $C(-1; 2)$, $D(-4; 4)$.
• III ширек: $\overrightarrow{EF}$, $E(-2; -1)$, $F(-5; -3)$.
• IV ширек: $\overrightarrow{MN}$, $M(1; -4)$, $N(3; -1)$.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағыдай.

№ 1162

150-суретте кескінделген векторлардың бас нүктесі мен соңғы нүктесінің координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Осьтердегі сандар жазылмаған — тордың қабырғасын бірлікке тең деп аламыз. Бас нүктесі — вектордың атындағы бірінші әріп.

Шешуі.

1. $\overrightarrow{MN}$: басы $M(-1; 5)$, соңы $N(9; 5)$ — көлденең, оңға.
2. $\overrightarrow{KL}$: басы $K(8; 3)$, соңы $L(1; 3)$ — көлденең, солға.
3. $\overrightarrow{FP}$: басы $F(-2; -2)$, соңы $P(-2; 6)$ — тік, жоғары.

Жауабы: $M(-1; 5)$, $N(9; 5)$; $K(8; 3)$, $L(1; 3)$; $F(-2; -2)$, $P(-2; 6)$.

B деңгейі

№ 1163

Егер $A(0; 2)$, $B(-3; 2)$ болса, онда координаталық жазықтықта $\overrightarrow{AB}$ векторын салыңдар. Координата басына қарағанда $A$, $B$ нүктелеріне сәйкесінше симметриялы $C$, $D$ нүктелерін белгілеңдер және $\overrightarrow{CD}$ векторын жүргізіңдер.

Қалай ойлаймыз. Координаталар басына қарағанда симметрия екі координатаның да таңбасын өзгертеді.

Шешуі.

1. $\overrightarrow{AB}$ — көлденең, $y$ осінен 3 бірлік солға барады; ұзындығы 3.
2. $C(0; -2)$, $D(3; -2)$.
3. $\overrightarrow{CD}$ — ол да көлденең, ұзындығы 3, бірақ оңға барады. $\overrightarrow{AB}$ және $\overrightarrow{CD}$ векторларының ұзындығы бірдей, бірақ бағыттары қарама-қарсы.

Жауабы: $C(0; -2)$, $D(3; -2)$; $\overrightarrow{CD}$ ұзындығы бойынша $\overrightarrow{AB}$-ға тең, бірақ қарама-қарсы бағытталған.

C деңгейі

№ 1164

Вектор ұғымын енгізген У. Гамильтон туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Хабарлама — 5–7 сөйлем: кім, қашан, не істеді, не үшін керек. Даталарды энциклопедиядан тексер.

Шешуі. Хабарламаның үлгісі:

Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865) — ирланд математигі және физигі. Бала кезінен-ақ ол он шақты тілді білген, ал 22 жасында профессор болған. 1843 жылы ол жаңа «сандарды» — кватерниондарды ойлап тапты. Олармен жұмыс істеп жүріп, Гамильтон 1840-шы жылдардың ортасында «вектор» сөзін енгізді (латынның vector — «апарушы» сөзінен). Ол бұл сөзбен нүктені бір жерден екінші жерге «көшіретін» бағытталған кесіндіні атады. Бүгін векторлар физикада (жылдамдық, күш), навигацияда, компьютер ойындарында және графикада қажет.

Жауабы: хабарламаның үлгісі жоғарыда (даталарды дереккөзден тексер).

№ 1165

1) 6,5 және $-4{,}05$; 2) 8 және 9,04; 3) $-78{,}96$ және 56,95 сандарының айырымын табыңдар. Есептің неше жауабы болады? Түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. «Сандардың айырымы» делінген, бірақ қай сан азайғыш екені айтылмаған. Біріншіні екіншіден азайтуға да, екіншіні біріншіден азайтуға да болады. $\overrightarrow{AB}$ және $\overrightarrow{BA}$ векторлары сияқты: ұзындығы бір, таңбасы басқа.

Шешуі.

1. $6{,}5 - (-4{,}05) = 10{,}55$; $-4{,}05 - 6{,}5 = -10{,}55$.
2. $8 - 9{,}04 = -1{,}04$; $9{,}04 - 8 = 1{,}04$.
3. $-78{,}96 - 56{,}95 = -135{,}91$; $56{,}95 - (-78{,}96) = 135{,}91$.

Жауабы: әр тармақта екі жауап — қарама-қарсы сандар: $\pm 10{,}55$; $\pm 1{,}04$; $\pm 135{,}91$. Азайғыш пен азайтқыштың орнын ауыстырғанда айырымның таңбасы өзгереді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1166

5; $-1$; 8; $-0{,}5$; $-2$ сандарын өсу ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен теріс сандар: олардың ішінде модулі үлкені кіші болады. Сосын оң сандар.

Шешуі. $-2 < -1 < -0{,}5 < 5 < 8$.

Жауабы: $-2$; $-1$; $-0{,}5$; 5; 8.

№ 1167

0,8; $-0{,}8$; 0; 0,81 сандарынан ең үлкен санды табыңдар.

Шешуі. Оң сандар: 0,8 және 0,81. Салыстырамыз: $0{,}80 < 0{,}81$.

Жауабы: 0,81.

№ 1168

$-2{,}03$; 3,8; 0; $-2{,}3$ сандарынан ең кіші санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ең кіші сан теріс сандардың арасында. $-2{,}3$ санының модулі 2,30, ал $-2{,}03$ санының модулі — 2,03.

Шешуі. $2{,}30 > 2{,}03$, демек, $-2{,}3 < -2{,}03$.

Жауабы: $-2{,}3$.

⚠️ Жиі кететін қате. «Таңбасы көп» деп, $-2{,}03$ кіші дейді. Нөл жалғап жаз: $-2{,}30$ және $-2{,}03$. $-2{,}30$ нөлден солға қарай алыс екені бірден көрінеді.

Жадынама

• Масса, уақыт, баға — тек сан. Жылдамдық, күш — сан және бағыт.
• Вектор — соңында жебесі бар кесінді.
• $\overrightarrow{AB}$ жазуында бірінші болып бас нүктенің әрпі тұрады.
• Нөлдік вектор — нүкте.
• Координаталық жазықтықта векторды екі нүкте — басы мен соңы бойынша салады.

Шағын тест