§ 46. Статистикалық мәліметтер және олардың сипаттамалары

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 8 тарау: Статистика. Комбинаторика. 112–117-беттер.

Нені үйренесің

• Бірнеше санның арифметикалық ортасын табуды.
• Берілгендер қатарының ең үлкен және ең кіші мәнін және ауытқу өзгерісін табуды.
• Модасын — қатардағы ең «танымал» санды табуды.
• Медианасын — дәл ортада тұрған санды табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1166–1168 тапсырмалары. Олар бүгін керек болатын нәрсе туралы: сандарды ретке келтіру және ең үлкені мен ең кішісін табу.

• Өсу ретімен орналастыр: 5; −1; 8; −0,5; −2. −2; −1; −0,5; 5; 8.
• 0,8; −0,8; 0; 0,81 сандарының қайсысы ең үлкен? 0,81 — ол 0,8-ден сәл үлкен.
• −2,03; 3,8; 0; −2,3 сандарының қайсысы ең кіші? −2,3. Екі теріс санның ішінде модулі үлкені кіші: 2,3 > 2,03.
• $(4 + 6 + 8) : 3$ неге тең? $18 : 3 = 6$.

💡 Соңғы сұрақ — арифметикалық орта дегеніміз осы. Сен оны жаңа ғана таптың!

Тақырыпты талдаймыз

Сыныптағы «орташа» оқушының бойы қандай

Сыныпта 7 қыз бала оқиды. Олардың бойлары: 1,2 м; 1,1 м; 1,1 м; 1,2 м; 1,28 м; 1,32 м; 1,2 м. Біреуі биігірек, біреуі аласарақ. Ал бәрі туралы бірден бір сан айту керек болса?

Барлық қыз баланың бойын қосып, қыздар санына бөлеміз:

$(1{,}2 + 1{,}1 + 1{,}1 + 1{,}2 + 1{,}28 + 1{,}32 + 1{,}2) : 7 = 8{,}4 : 7 = 1{,}2$ (м).

📌 Бірнеше санның арифметикалық ортасы — олардың қосындысын осы сандардың санына бөлгенде шығатын бөліндінің мәні.

Тағы бір мысал. Түнде 0° болды, таңертең +2°, күндіз +7°, кешке +5°. Тәуліктегі орташа температура: $\frac{0 + 2 + 7 + 5}{4} = \frac{14}{4} = 3{,}5°$.

⚠️ Жиі кететін қате. Нөл де есептеледі! Түнгі 0° — толыққанды өлшем. 4-ке бөлеміз, 3-ке емес.

Берілгендер қатары, ең үлкен және ең кіші мән

«0°; 2°; 7°; 5°» сияқты сандар жиынын берілгендер қатары деп атайды. Кез келген қатарда ең үлкен және ең кіші мән болады. 4; 67; 32; 70; 13; 0 қатарында ең үлкені — 70, ең кішісі — 0.

Ауытқу өзгерісі: сандар қаншалықты «шашыраған»

8 күндегі орташа тәуліктік температура: 3°; 5°; 15°; 1°; 0°; 12°; 4°; 7°. Осы сандардың түзудің бойында қалай шашырағанына қарашы. Кез келген бөлікті бассаң болады.

📌 Ауытқу өзгерісі — қатардың ең үлкен және ең кіші мәндерінің айырымы.

Мұнда ауытқу өзгерісі $15° - 0° = 15°$. Ауытқу өзгерісі үлкен — ауа райы құбылып тұрды. Кіші — ауа райы тұрақты болды.

Мода: ең танымал сан

Қыздардың бойы қатарында 1,2 м 3 рет, ал 1,1 м 2 рет кездеседі. Ең жиі — 1,2 м.

📌 Мода — қатарда ең жиі кездесетін сан.

Мода болмауы да мүмкін: 3; 11; 19; 100 қатарында барлық сан әртүрлі. Ал екеу болуы да мүмкін: 22; 30; 31; 22; 59; 61; 30 қатарында 22 де, 30 да екі реттен кездеседі.

🌟 «Мода» сөзі бұл жерде кездейсоқ емес. Кроссовканың сәнді түсі — көшеде ең жиі көретін түс. Математикада да дәл солай.

Медиана: ортада тұрған сан

Республикамыздағы түйелер саны (мың бас) 2013–2017 жылдардың басында: 164,8; 160,9; 165,9; 170,5; 172,5. Осы сандардың қайсысы «ортадағы»?

1. Өсу ретімен орналастыр: 160,9; 164,8; 165,9; 170,5; 172,5.
2. Сан 5 — тақ сан. Ортасында 165,9 тұр. Бұл — медиана.

Ал сандар саны жұп болса ше? Жемшөп дақылдарының егіс алқаптары (мың га) 2011–2016 жылдарда: 2484,3; 2517,4; 2866,8; 3109,9; 3671,3; 3485,2.

1. Өсу ретімен: 2484,3; 2517,4; 2866,8; 3109,9; 3485,2; 3671,3.
2. Сан 6. Ортада бір емес, екі сан тұр.
3. Медиана — олардың арифметикалық ортасы: $(2866{,}8 + 3109{,}9) : 2 = 5976{,}7 : 2 = 2988{,}35$.

📌 Медиана. Қатарды ретке келтір. Сандар саны тақ болса — медиана ортада тұрған сан. Жұп болса — медиана ортасында тұрған екі санның арифметикалық ортасына тең.

⚠️ Жиі кететін қате. Қатарды ретке келтірмей, «ортадағы» санды алады. 7; 1; 9 қатарында ортада 1 тұр, бірақ медиана — 7 (қатар 1; 7; 9).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Ойнап көріңіздер: баланың мектепке қатарынан 5 күн бару уақытын жазып алыңыздар. Ол орташасын, ауытқу өзгерісін, модасын және медианасын тапсын. Өз сандарында терминдер жақсы есте қалады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бірнеше санның арифметикалық ортасын қалай табады? Барлық сандарды қосып, қосындыны олардың санына бөледі.
• Ауытқу өзгерісін қалай табады? Қатардың ең үлкен және ең кіші мәнін тауып, үлкенінен кішісін азайтады.
• Қатардың үш модасы болуы мүмкін бе? Иә. 1; 1; 2; 2; 3; 3; 5 қатарында 1, 2 және 3 сандары екі реттен кездеседі — бұл үш мода.
• Медиана нені көрсетеді? «Ортадағы» мәнді: қатардағы сандардың жартысы одан артық емес, жартысы кем емес.
• Сандар саны жұп және тақ болғанда медиананы табудың қандай айырмашылығы бар? Тақ болғанда ортадағы бір санды аламыз. Жұп болғанда ортада екі сан тұрады — олардың арифметикалық ортасын аламыз.
• Медиана қатардың ең үлкен немесе ең кіші санына тең болуы мүмкін бе? Мүмкін, егер ол сан қайталанса. 1; 5; 5 қатарында медиана 5 — бұл ең үлкен сан. 2; 2; 7 қатарында медиана 2 — бұл ең кіші сан.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1169

Сандардың арифметикалық ортасын, ауытқуын және медианасын табыңдар: 1) 524; 346; 486; 2) 0,87; 1,03; 1,72; 1,98; 2; 3) 42,8; 54,3; 59,6; 60; 4) 1,08; 1,99; 1,76; 0,99; 1,32.

Қалай ойлаймыз. Медиана үшін алдымен қатарды ретке келтіреміз. Ауытқу өзгерісі үшін ең үлкенін және ең кішісін іздейміз.

Шешуі.

1. Қосындысы $524 + 346 + 486 = 1356$, орташасы $1356 : 3 = 452$. Ауытқу өзгерісі $524 - 346 = 178$. Ретімен: 346; 486; 524 — медиана 486.
2. Қосындысы $0{,}87 + 1{,}03 + 1{,}72 + 1{,}98 + 2 = 7{,}6$, орташасы $7{,}6 : 5 = 1{,}52$. Ауытқу өзгерісі $2 - 0{,}87 = 1{,}13$. Қатар ретке келтірілген, ортасында 1,72.
3. Қосындысы $42{,}8 + 54{,}3 + 59{,}6 + 60 = 216{,}7$, орташасы $216{,}7 : 4 = 54{,}175$. Ауытқу өзгерісі $60 - 42{,}8 = 17{,}2$. Сан 4, ортасында 54,3 және 59,6: медиана $(54{,}3 + 59{,}6) : 2 = 56{,}95$.
4. Қосындысы $1{,}08 + 1{,}99 + 1{,}76 + 0{,}99 + 1{,}32 = 7{,}14$, орташасы $7{,}14 : 5 = 1{,}428$. Ауытқу өзгерісі $1{,}99 - 0{,}99 = 1$. Ретімен: 0,99; 1,08; 1,32; 1,76; 1,99 — медиана 1,32.

Жауабы: 1) 452; 178; 486. 2) 1,52; 1,13; 1,72. 3) 54,175; 17,2; 56,95. 4) 1,428; 1; 1,32.

№ 1170

Сол сияқты қатарлар үшін табыңдар: 1) 107; 122; 113; 2) 12,4; 14,8; 18,9; 20,1; 3) 11; 17,2; 20; 24,6; 4) 0,89; 1,23; 1,64; 1,79; 2.

Шешуі.

1. Қосындысы $107 + 122 + 113 = 342$, орташасы $342 : 3 = 114$. Ауытқу өзгерісі $122 - 107 = 15$. Ретімен: 107; 113; 122 — медиана 113.
2. Қосындысы $66{,}2$, орташасы $66{,}2 : 4 = 16{,}55$. Ауытқу өзгерісі $20{,}1 - 12{,}4 = 7{,}7$. Медиана $(14{,}8 + 18{,}9) : 2 = 33{,}7 : 2 = 16{,}85$.
3. Қосындысы $11 + 17{,}2 + 20 + 24{,}6 = 72{,}8$, орташасы $72{,}8 : 4 = 18{,}2$. Ауытқу өзгерісі $24{,}6 - 11 = 13{,}6$. Медиана $(17{,}2 + 20) : 2 = 18{,}6$.
4. Қосындысы $7{,}55$, орташасы $7{,}55 : 5 = 1{,}51$. Ауытқу өзгерісі $2 - 0{,}89 = 1{,}11$. Медиана 1,64.

Жауабы: 1) 114; 15; 113. 2) 16,55; 7,7; 16,85. 3) 18,2; 13,6; 18,6. 4) 1,51; 1,11; 1,64.

№ 1171

Мұрат балық аулауға барғанда үш балық ұстады. Біріншісінің салмағы 0,125 кг, екіншісінікі 0,205 кг, үшіншісінікі 0,18 кг. Балықтардың орташа салмағын анықтаңдар.

Шешуі. $(0{,}125 + 0{,}205 + 0{,}18) : 3 = 0{,}51 : 3 = 0{,}17$ (кг).

Жауабы: 0,17 кг (170 г).

№ 1172

Жәшіктегі апельсиндердің салмағы 21 кг. Егер жәшікте 125 апельсин болса, онда бір апельсиннің орташа салмағы қандай?

Қалай ойлаймыз. Барлық салмақтың қосындысы бізге белгілі — бұл 21 кг. Апельсин санына бөлу қалды.

Шешуі. $21 : 125 = 0{,}168$ (кг) $= 168$ г.

Жауабы: 0,168 кг.

№ 1173

1) 12 тг; 148 тг; 326 тг; 700 тг; 2) 78 т; 326 кг; 760 кг; 3) 160 мин; 1 сағ 60 мин; 2 сағ; 200 мин; 4) 17,3; 0,73; 173,1; 17,31 сандарының ең үлкен және ең кіші мәнін көрсетіңдер. Ауытқу өзгерісін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Шамаларды тек бірдей өлшем бірліктерінде салыстырамыз. Алдымен аударып аламыз.

Шешуі.

1. Ең үлкені 700 тг, ең кішісі 12 тг. Ауытқу өзгерісі $700 - 12 = 688$ тг.
2. 78 т = 78 000 кг. Ең үлкені 78 т, ең кішісі 326 кг. Ауытқу өзгерісі $78,000 - 326 = 77,674$ кг.
3. 1 сағ 60 мин = 120 мин, 2 сағ = 120 мин. Ең үлкені 200 мин. Ең кішісі — 120 мин, және ол екі мән болып жазылған: 1 сағ 60 мин және 2 сағ. Ауытқу өзгерісі $200 - 120 = 80$ мин.
4. Ең үлкені 173,1, ең кішісі 0,73. Ауытқу өзгерісі $173{,}1 - 0{,}73 = 172{,}37$.

Жауабы: 1) 700 тг және 12 тг; 688 тг. 2) 78 т және 326 кг; 77 674 кг. 3) 200 мин және 1 сағ 60 мин = 2 сағ; 80 мин. 4) 173,1 және 0,73; 172,37.

⚠️ Жиі кететін қате. 2-тармақта 78 кішкентай сан сияқты көрінеді. Бірақ бұл — тонна! 78 т 760 кг-нан жүз есе ауыр.

№ 1174

1) 34,8; 63,1; 90,09; 90,9; 90; 2) 421; 214; 124; 412; 421; 142; 3) 3; 3; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 10; 11; 11; 15; 15; 15 қатарының модасы мен медианасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мода — қайталанғандарды санаймыз. Медиана — ретке келтіріп, ортасын іздейміз.

Шешуі.

1. Барлық сан әртүрлі — мода жоқ. Өсу ретімен: 34,8; 63,1; 90; 90,09; 90,9. Медиана 90.
2. 421 екі рет кездеседі — мода 421. Өсу ретімен: 124; 142; 214; 412; 421; 421. Сан 6, медиана $(214 + 412) : 2 = 313$.
3. Қайталанғандарды санаймыз: 3 — 2 рет, 8 — 3 рет, 9 — 2 рет, 11 — 2 рет, 15 — 3 рет. Ең жиі 8 және 15 — екі мода. Сан 14, қатар ретке келтірілген. 7-ші және 8-ші сандар — 9 және 9, медиана $(9 + 9) : 2 = 9$.

Жауабы: 1) мода жоқ, медиана 90; 2) мода 421, медиана 313; 3) модалары 8 және 15, медиана 9.

B деңгейі

№ 1175

Дүкенге жалпы салмағы 1,5 т болатын 250 қарбыз әкелінді. Бір қарбыздың орташа салмағын анықтаңдар.

Шешуі. 1,5 т = 1500 кг. $1500 : 250 = 6$ (кг).

Жауабы: 6 кг.

№ 1176

Пакетте жалпы салмағы 3,4 кг болатын 16 алма бар. Бір алманың орташа салмағын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Пакеттің салмағы өте аз, оны ескермейміз. 3,4 кг-ды 16-ға бөлеміз.

Шешуі. $3{,}4 : 16 = 0{,}2125$ (кг) $= 212{,}5$ г.

Жауабы: 0,2125 кг (шамамен 212 г).

№ 1177

10 қадамның ұзындығын өлшеңдер. Бір қадамның орташа ұзындығын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір өлшем — дәл емес: қадамдар әртүрлі. Қатарынан он қадам айырмашылықты тегістейді.

Шешуі. Бормен бастауды белгіле, 10 әдеттегі қадам жаса, рулеткамен қашықтықты өлше. Мысал: 10 қадам — 5 м 80 см = 580 см. Орташа қадам: $580 : 10 = 58$ см.

Жауабы: әркімде өзінше; мысалы, 58 см.

💡 Ыңғайлы: өз қадамыңды біле тұра, рулеткасыз қашықтықты өлшеуге болады. 58 см-ден 200 қадам — 116 м.

№ 1178

4,5 гектардан 430,5 ц, 3,5 гектардан 349,5 ц картоп жиналды. 1 гектардан орта есеппен қанша картоп жиналды?

Қалай ойлаймыз. Екі өнімділіктің орташасын жай алуға болмайды: телімдердің көлемі әртүрлі. Бүкіл өнімді бүкіл ауданға бөлеміз.

Шешуі.

1. Бүкіл өнім: $430{,}5 + 349{,}5 = 780$ (ц).
2. Бүкіл аудан: $4{,}5 + 3{,}5 = 8$ (га).
3. 1 гектардан: $780 : 8 = 97{,}5$ (ц).

Жауабы: 97,5 ц.

C деңгейі

№ 1179

Астана қаласының 2005–2009 жылдардағы тұрғындарының санын көрсететін 529 335; 550 438; 574 448; 602 684; 639 311 сандар қатарының арифметикалық ортасын табыңдар.

Шешуі.

1. Қосындысы: $529,335 + 550,438 + 574,448 + 602,684 + 639,311 = 2,896,216$.
2. Орташасы: $2,896,216 : 5 = 579,243{,}2$.

Жауабы: 579 243,2 — шамамен 579 243 адам.

🌟 Осы бес жылда елорда 100 мыңнан астам тұрғынға өсті. Қазір Астанада 1,3 миллионнан астам адам тұрады.

№ 1180

501 998; 510 533; 529 335; 550 438; 574 448; 602 684; 639 311 сандар қатарының ауытқуын табыңдар. Бұл сандар 2003–2009 жылдар аралығындағы Астана қаласының тұрғындар санын береді.

Шешуі. Ең үлкені 639 311, ең кішісі 501 998. $639,311 - 501,998 = 137,313$.

Жауабы: 137 313 адам.

№ 1181

1 209 485; 1 247 896; 1 287 246; 1 324 739; 1 365 105 сандар қатары сәйкесінше 2005–2009 жылдар аралығындағы Алматы қаласының тұрғындар санын береді. Осы сандар қатарының арифметикалық ортасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сандар үлкен — қателеспеу үшін екі-екіден қосамыз.

Шешуі. Қосындысы $6,434,471$, орташасы $6,434,471 : 5 = 1,286,894{,}2$.

Жауабы: 1 286 894,2 — шамамен 1 286 894 адам.

Қайталау

№ 1182

$\pi \approx 3{,}14$ деп алып, радиусының ұзындығы: 1) 2,5 см; 2) 5 см; 3) 10 см; 4) 20 см болатын шеңбердің ұзындығын және дөңгелектің ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Шеңбердің ұзындығы $C = 2\pi r$, дөңгелектің ауданы $S = \pi r^2$.

Шешуі.

Жауабы: 1) 15,7 см; 19,625 см². 2) 31,4 см; 78,5 см². 3) 62,8 см; 314 см². 4) 125,6 см; 1256 см².

💡 Радиус екі есе өссе — шеңбердің ұзындығы да екі есе, ал аудан 4 есе өседі.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 1183

Барлығы қанша екітаңбалы сан бар? 17-ден 40-қа дейін қанша екітаңбалы сан бар?

Қалай ойлаймыз. $a$-дан $b$-ға дейінгі сандар (екеуін қоса) саны: $b - a + 1$. Бірді қосамыз, себебі бірінші санды да санаймыз.

Шешуі. Екітаңбалы сандар — 10-нан 99-ға дейін: $99 - 10 + 1 = 90$. 17-ден 40-қа дейін: $40 - 17 + 1 = 24$.

Жауабы: 90; 24.

№ 1184

Барлығы қанша үштаңбалы сан бар? 200-ден 238-ге дейін қанша үштаңбалы сан бар?

Шешуі. Үштаңбалы сандар — 100-ден 999-ға дейін: $999 - 100 + 1 = 900$. 200-ден 238-ге дейін: $238 - 200 + 1 = 39$.

Жауабы: 900; 39.

Жадынама

• Орташасы: $(a_1 + a_2 + \dots + a_n) : n$.
• Ауытқу өзгерісі = ең үлкені − ең кішісі.
• Мода — ең жиі кездесетін мән.
• Медиана: алдымен қатарды ретке келтір! Содан кейін ортасын ал.
• Шамаларды бірдей бірліктерде салыстыр.

Шағын тест