§ 47. Қозғалыстың орташа жылдамдығын табуға есептер шығару. Комбинаторикалық есептерді шығару

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 8 тарау: Статистика. Комбинаторика. 118–123-беттер.

Нені үйренесің

• Жол бірнеше бөліктен тұрғанда орташа жылдамдықты табуды.
• «Жылдамдықтарды қосып, екіге бөлемін» деген тұзаққа түспеуді.
• Комбинаторикалық есептерді танып білуді.
• «Мүмкін нұсқалар талы» арқылы нұсқаларды санап, бірде-біреуін жоғалтпауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1183 және 1184 тапсырмалары, нұсқаларды санаудағы алғашқы қадамдар.

• Барлығы қанша екітаңбалы сан бар? 10-нан 99-ға дейін: $99 - 10 + 1 = 90$.
• 17-ден 40-қа дейін қанша екітаңбалы сан бар? $40 - 17 + 1 = 24$.
• Барлығы қанша үштаңбалы сан бар? 100-ден 999-ға дейін: 900.
• 200-ден 238-ге дейін қанша үштаңбалы сан бар? $238 - 200 + 1 = 39$.
• Автобус 3 сағатта 150 км жүрді. Жылдамдығы қандай? $150 : 3 = 50$ км/сағ.

Тақырыпты талдаймыз

Орташа жылдамдық дегеніміз не

Көлік Алматыдан Қапшағайға барады. Бірде жылдамдатады, бірде бағдаршамда тұрады. Жылдамдық үнемі өзгеріп отырады. Бірақ былай сұрауға болады: дәл сол уақытта жетіп бару үшін бірқалыпты қандай жылдамдықпен жүру керек еді?

📌 Орташа жылдамдық — барлық жүрілген жолдың ұзындығының осы жолға кеткен барлық уақытқа бөліндісінің мәні: $v = \frac{s}{t}$.

Жол екі бөліктен тұрса, $v_{орт} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$. Үш бөлік болса, алымда үш жол, бөлімде үш уақыт тұрады.

Мысал. Пойыз 120 км жолды 2 сағатта, тағы 90 км жолды 1,5 сағатта жүріп өтті. Барлық жол $120 + 90 = 210$ км, барлық уақыт $2 + 1{,}5 = 3{,}5$ сағ. Орташа жылдамдық: $210 : 3{,}5 = 60$ км/сағ.

📕 Оқулықтағы 1-есептің шартында «ұзындығы 200 км бөлік» деп жазылған, бірақ $120 + 90 = 210$ км. 60 км/сағ жауабы дәл 210 км үшін дұрыс.

Тұзақ: жылдамдықтардың орташасы алынбайды

Есен бір қаладан екінші қалаға (180 км) автокөлікпен 90 км/сағ жылдамдықпен барды, ал кері қайтарда автобуспен 60 км/сағ жылдамдықпен жүрді. «Орташа жылдамдық 75 км/сағ» деп айтқың келеді. Тексерейік.

⚠️ Жиі кететін қате. Жылдамдықтарды қосып, екіге бөлу. Олай істеуге болады, тек әр жылдамдықпен бірдей уақыт жүрілсе ғана. Қалған жағдайда — тек «барлық жол : барлық уақыт».

Тағы бір мысал. Мотоциклші 79 км жолды 2 сағатта, 60 км жолды 1,5 сағатта және 81 км жолды 2 сағатта жүріп өтті. Барлық жол $79 + 60 + 81 = 220$ км, барлық уақыт $2 + 1{,}5 + 2 = 5{,}5$ сағ. Орташа жылдамдық: $220 : 5{,}5 = 40$ км/сағ.

📕 Оқулықта «жолдың 218 км бөлігіндегі орташа жылдамдық» деп жазылған, бірақ $79 + 60 + 81 = 220$ км. 40 км/сағ жауабы дәл 220 км үшін шығады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Келесі сапарда баладан сұраңыз: «Біз бір жарым сағатта 60 км жүрдік, ал тасжолда 90-мен жүрдік. Орташа жылдамдығымыз қандай және неге ол аз?» Сонда формула «тіріледі».

Комбинаторикалық есептер

Футболка мен шортиктен неше түрлі жұп жасауға болады? Берілген цифрлардан неше нөмір құрастыруға болады? Мұндай есептерді комбинаторикалық есептер деп атайды.

📌 Комбинаторикалық есеп — қандай да бір шектелген жиыннан қандай да бір ережелер бойынша жиын элементтерінің түрлі комбинацияларын құрастырып, олардың санын анықтайтын есеп.

Ең сенімді тәсіл — таңдау әдісі: барлық нұсқаны ретімен жазып шығу. Ештеңені жібермеу үшін мүмкін нұсқалар талын сызады.

Мүмкін нұсқалар талы

3579 санының цифрларынан барлық цифрлары әртүрлі және 5 цифрымен аяқталатын неше төрттаңбалы сан бар?

Соңғы цифр — 5, ол бос емес. Алғашқы үш орынға 3, 7 және 9 қалады.

         ┌─ 7 ── 9 ── 5   → 3795
   3 ────┤
         └─ 9 ── 7 ── 5   → 3975
         ┌─ 3 ── 9 ── 5   → 7395
   7 ────┤
         └─ 9 ── 3 ── 5   → 7935
         ┌─ 3 ── 7 ── 5   → 9375
   9 ────┤
         └─ 7 ── 3 ── 5   → 9735

Бірінші цифр — 3 нұсқа. Әрқайсысына екінші цифр — 2 нұсқа. Үшіншісі — тек біреу. Барлығы $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ сан.

💡 Тал солдан оңға қарай өседі: әр «бұтақ» келесі қадамдағы нұсқа санына сәйкес бұтақшаларға бөлінеді. Соңындағы «жапырақтардың» саны — жауап.

А қаласынан С қаласына B арқылы

А пунктінен B пунктіне дейін 3 жол, B пунктінен C пунктіне дейін де 3 жол бар. А-дан C-ға B арқылы неше тәсілмен баруға болады?

Бірінші жолды таңдадық — оған екінші бөліктің үш жолының кез келгені келеді. Бірінші бөліктің үш жолының әрқайсысы үшін солай. Барлығы $3 \cdot 3 = 9$ тәсіл.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Егер жолдың әр бөлігін өткенде тек уақыт қана белгілі болса, орташа жылдамдықты табуға бола ма? Жоқ. Жол да керек: орташа жылдамдық — жолдың уақытқа бөліндісі.
• Комбинаторикалық есепке мысал келтір. Үш дос самсаға кезекке неше тәсілмен тұра алады? (Жауабы: 6.)
• Комбинаторикалық есептер қандай тәсілмен шығарылады? Таңдау әдісімен — барлық нұсқаны ретімен жазып шығады.
• Таңдау кезінде бірде-бір нұсқаны жібермеуге не көмектеседі? Мүмкін нұсқалар талы және қатаң реттілік: алдымен бірінші элементі бар нұсқалардың бәрі, содан кейін екіншісі бар нұсқалар, т.с.с.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1185

1) Пойыз 93 км жолды 1,5 сағ және 147 км жолды 2,5 сағ жүріп өтті. Ұзындығы 240 км бөліктегі пойыздың орташа жылдамдығын табыңдар. 2) Автобус 110 км жолға 2 сағ және 165 км жолға 3 сағ жұмсаса, автобус қозғалысының орташа жылдамдығын табыңдар.

Шешуі.

1. Жол $93 + 147 = 240$ км, уақыт $1{,}5 + 2{,}5 = 4$ сағ. $v_{орт} = 240 : 4 = 60$ км/сағ.
2. Жол $110 + 165 = 275$ км, уақыт $2 + 3 = 5$ сағ. $v_{орт} = 275 : 5 = 55$ км/сағ.

Жауабы: 1) 60 км/сағ; 2) 55 км/сағ.

№ 1186

1) 7 және 9 цифрларынан қанша екітаңбалы сан құрастыруға болады? 2) 3; 0 және 8 цифрларын қолданып, барлық үштаңбалы сандарды жазыңдар. 3) 5; 3; 1 цифрларын қолданып, цифрлары әртүрлі болатын барлық үштаңбалы сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1 және 2-тармақтарда цифрлардың әртүрлі болуы айтылмаған — демек, оларды қайталауға болады. Сан нөлден басталмайды.

Шешуі.

1. Бірінші цифр 7 немесе 9, екіншісі де 7 немесе 9: 77, 79, 97, 99 — 4 сан.

2. Бірінші цифр — 3 немесе 8 (0 емес). Екінші және үшінші — үшеуінің кез келгені. $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ сан шығады:

   • үштен басталатын: 300, 303, 308, 330, 333, 338, 380, 383, 388;
   • сегізден басталатын: 800, 803, 808, 830, 833, 838, 880, 883, 888.

   Ал әр цифрды бір реттен алсақ, сандар 4 болады: 308, 380, 803, 830.

3. Бірінші цифрды ауыстырып, санаймыз: 135, 153, 315, 351, 513, 531 — 6 сан.

Жауабы: 1) 4 сан (77, 79, 97, 99); 2) 18 сан (цифрлары әртүрлі болса — 308, 380, 803, 830); 3) 135, 153, 315, 351, 513, 531.

B деңгейі

№ 1187

1) Велосипедші 12 км/сағ жылдамдықпен 2 сағ, 10 км/сағ жылдамдықпен 1 сағ жүрген. Көрсетілген уақыттағы велосипедші қозғалысының орташа жылдамдығы неге тең? 2) 84 км жолды 42 км/сағ, 76 км жолды 38 км/сағ жылдамдықпен жүрген мотоциклшінің орташа жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1-тармақта жылдамдық пен уақыт белгілі — жолдарды табамыз. 2-тармақта жол мен жылдамдық белгілі — уақытты табамыз.

Шешуі.

1. Жолдар: $12 \cdot 2 = 24$ км және $10 \cdot 1 = 10$ км. Барлық жол 34 км, 3 сағатта. $v_{орт} = 34 : 3 = 11\frac{1}{3}$ км/сағ.
2. Уақыт: $84 : 42 = 2$ сағ және $76 : 38 = 2$ сағ. Барлық жол $84 + 76 = 160$ км, 4 сағатта. $v_{орт} = 160 : 4 = 40$ км/сағ.

Жауабы: 1) $11\frac{1}{3}$ км/сағ; 2) 40 км/сағ.

💡 Екінші тармақта мотоциклші әр жылдамдықпен бірдей уақыт (2 сағ-тан) жүрді. Сондықтан орташа жылдамдық жарты қосындымен сәйкес келді: $(42 + 38) : 2 = 40$. Бірінші тармақта уақыт әртүрлі, сондықтан жарты қосынды 11 болса, қате болар еді.

№ 1188

1) 6; 1; 9; 0 цифрларын бір рет қана пайдаланып, осы цифрлардан құрастырылатын тақ екітаңбалы сандарды жазыңдар. 2) 3; 7; 1; 0 цифрларын бір рет қана пайдаланып, осы цифрлардан құрастырылатын жұп екітаңбалы сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жұптылықты соңғы цифр шешеді. Таңдауды содан бастаймыз. Бірінші цифр 0 болмайтынын да ұмытпаймыз.

Шешуі.

1. Тақ сандар 1 немесе 9 цифрымен аяқталады. 1-мен аяқталса: бірінші цифр 6 немесе 9 — 61, 91. 9-бен аяқталса: бірінші цифр 6 немесе 1 — 69, 19. Барлығы 4 сан: 19, 61, 69, 91.
2. Мұндағы жұп цифр біреу — 0. Демек, сан 0-мен аяқталады, ал бірінші цифр 3, 7 немесе 1: 30, 70, 10. Барлығы 3 сан.

Жауабы: 1) 19, 61, 69, 91 (4 сан); 2) 10, 30, 70 (3 сан).

C деңгейі

№ 1189

1) Пойыз 100 км жолды $1\frac{2}{3}$ сағ жүрді. Жолдың екінші бөлігінде жылдамдығын 5 км/сағ арттырып, осы бөлікті 1 сағатта және ұзындығы 140 км болатын үшінші бөлігін 60 км/сағ жылдамдықпен жүріп өтті. Пойыз қозғалысының барлық жолдағы орташа жылдамдығын табыңдар. 2) 2647 санының цифрларын қолданып, барлық цифрлары әртүрлі және екінші цифры 7 болатын қанша төрттаңбалы сан жазуға болады?

Қалай ойлаймыз. 1-тармақта формула үшін үш жол мен үш уақыт керек. Жетіспейтін деректерді белгілілерден табамыз. 2-тармақта жетілік өз орнында тұр, қалған үш цифрды (2, 6, 4) талдағыдай ауыстырамыз.

Шешуі.

1. Жол 305 км, уақыт 5 сағ, $v_{орт} = 305 : 5 = 61$ км/сағ.
2. Бірінші цифр — 2, 4 немесе 6 (3 нұсқа), үшіншісі — қалған екеуінің бірі, төртіншісі — соңғысы. $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$: 2746, 2764, 4726, 4762, 6724, 6742.

Жауабы: 1) 61 км/сағ; 2) 6 сан.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 1190

Төмендегі кестені толтырыңдар: 1) тіктөртбұрыштың ұзындығы 6 см, ені 3,5 см, ауданы ? см²; 2) ұзындығы 10 см, ені $a$ см, ауданы ? см²; 3) ұзындығы ? дм, ені 4,7 см, ауданы 94 см²; 4) ұзындығы $b$ см, ені ? см, ауданы $5{,}6b$ см².

Қалай ойлаймыз. Ауданы = ұзындығы · ені. Белгісіз көбейткішті бөлу арқылы табамыз. Өлшем бірліктеріне мұқият бол!

Шешуі.

Жауабы: 21 см²; $10a$ см²; 2 дм; 5,6 см.

№ 1191

Кестені толтырыңдар: 1) өнімділігі ? ц/га, ауданы 8,5 га, массасы 8,5 ц; 2) өнімділігі 1,5 ц/га, ауданы ? га, массасы 150 т; 3) өнімділігі 2,2 ц/га, ауданы 15 га, массасы ? ц.

Қалай ойлаймыз. Егін массасы = өнімділік · аудан. Белгісіз көбейткішті бөлу арқылы табамыз. 150 т = 1500 ц.

Шешуі.

Жауабы: 1 ц/га; 1000 га; 33 ц.

Жадынама

• $v_{орт} = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{t_1 + t_2 + t_3}$.
• Жол жетпесе — $s = v \cdot t$. Уақыт жетпесе — $t = s : v$.
• Таңдауды ең «қатал» орыннан баста (жұптылық үшін соңғы цифр, алдында 0 тұруға болмайды).
• Нұсқа саны = әр қадамдағы таңдау сандарының көбейтіндісі: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Шағын тест