§ 48. Шамалар арасындағы тәуелділіктерді беру тәсілдері

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 9 тарау: Шамалар арасындағы тәуелділіктер. 124–130-беттер.

Нені үйренесің

• Тәуелді айнымалыны тәуелсіз айнымалыдан ажыратуды.
• Тәуелділікті формуламен беруді және формула бойынша $y$ мен $x$ мәндерін табуды.
• Формула немесе график бойынша мәндер кестесін құруды.
• Графикті оқуды: $x$ бойынша $y$-ті және керісінше табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1190 және 1191 тапсырмалары. Онда шамалар бір-біріне «тәуелді» болып қойған еді — бүгін оған ат береміз.

• Тіктөртбұрыштың ұзындығы 6 см, ені 3,5 см. Ауданы қанша? $6 \cdot 3{,}5 = 21$ см².
• Ауданы 94 см², ені 4,7 см. Ұзындығы қанша? $94 : 4{,}7 = 20$ см = 2 дм.
• Өнімділігі 2,2 ц/га, ауданы 15 га. Қанша егін жиналды? $2{,}2 \cdot 15 = 33$ ц.
• Өнімділігі 1,5 ц/га болғанда 150 т егін жиналды. Алаңның ауданы қанша? 150 т = 1500 ц, $1500 : 1{,}5 = 1000$ га.

Тақырыпты талдаймыз

Не неден тәуелді

2 литр сүт сатып аламыз. Бағасы 340 тг/л болса — 680 тг төлейміз. Бағасы 360 тг/л болса — 720 тг. Бағасы 300 тг/л болса — 600 тг. Баға өзгерсе — құн да өзгереді.

Бағаны біз өзіміз таңдаймыз — бұл тәуелсіз айнымалы. Құн бағаға «бейімделеді» — бұл тәуелді айнымалы. Дәл солай бір дәнді алқаптан жиналған егіннің массасы өнімділікке тәуелді.

📌 Тәуелсіз айнымалыны әдетте $x$ әрпімен, тәуелді айнымалыны $y$ әрпімен белгілейді.

Байқап көр. Мөлшері 4-ке тең бірдей зат сатып алды. Құны 60; 72; 80; 84; 100 тг болса, бағасы $60 : 4 = 15$; 18; 20; 21; 25 тг/дана. Ал аудан 24 га, ал егін массасы 432; 192; 240; 168; 264 ц болса, өнімділік 18; 8; 10; 7; 11 ц/га болады.

📌 Тәуелділікті беру — берілген тәуелсіз айнымалы $x$ үшін сәйкес тәуелді айнымалы $y$-ті қалай табуға болатынын көрсету.

Үш тәсіл бар: формула, кесте, график.

1-тәсіл. Формула

3 сағат жүреміз. $x$ км/сағ жылдамдықты өзгертуге болады, ал $y$ км жол одан тәуелді: $y = 3x$.

$x$-тің орнына мән қоямыз — $y$ шығады: $x = 60$ болса, жол $y = 180$, $x = 80$ болса — 240, $x = 90$ болса — 270, $x = 120$ болса — 360.

Керісінше де болады: $y$ белгілі — $x$-ті табамыз. $y = 216$ болса, $3x = 216$, $x = 72$. $y = 255$ болса, $x = 85$.

📌 Тәуелділікті формуламен беру — аналитикалық тәсіл.

2-тәсіл. Кесте

Жоғарғы жолға $x$ мәндерін, төменгі жолға формула бойынша есептелген $y$ мәндерін жазамыз:

Кестеден бірден көрінеді: $x = 60$ мәніне $y = 180$ сәйкес, ал $y = 255$ мәніне $x = 85$ сәйкес.

📕 Оқулықта «225 тәуелді айнымалысына тәуелсіз айнымалының 85 мәні сәйкес» деп жазылған. Бұл қате: кестеде де, формула бойынша да ($3 \cdot 85$) $y = 255$ болуы керек.

3-тәсіл. График

Кестедегі әр жұпты нүктеге айналдырамыз: $x$ — абсцисса, $y$ — ордината. Нүктелерді басып, координаталарын тексер.

📌 Шамалар арасындағы тәуелділіктің графигі деп абсциссалары $x$ тәуелсіз айнымалысының мәндеріне тең, ординаталары $y$ тәуелді айнымалысының мәндеріне сәйкес болатын координаталық жазықтықтағы нүктелер жиынын айтады.

График бірнеше нүктеден тұруы мүмкін, ал тұтас сызық болуы да мүмкін. Сызықты қалай оқимыз: $x = 3$ болғанда $y$ керек пе? $Ox$ осіндегі 3 белгісінен график сызығына дейін тігінен жоғары көтеріл. $M$ нүктесін алдың. Енді одан $Oy$ осіне қарай көлденең жүр — жауап сонда (мысалда — 4).

⚠️ Жиі кететін қате. Қай санды бірінші жазу керектігін шатастырады. $(5; 3)$ нүктесінде алдымен $x = 5$ (оңға), содан кейін $y = 3$ (жоғары). Керісінше емес!

Міне, үш нүктеден тұратын график. Ол бойынша: $x = 5$ мәніне $y = 3$ сәйкес, $x = -4$ мәніне — $y = -2$, $x = 2$ мәніне — $y = 1$.

Ал енді керісінше: графиктен кестеге. Графикте $(-2; 1)$, $(0; 3)$, $(2; 0)$, $(3; 4)$, $(4; 5)$ нүктелері болса, кесте мынадай:

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Үйден «өмірдегі» тәуелділікті табыңыз: шығынға байланысты су төлемі, километрге байланысты таксидің төлемі. Бала мұнда не $x$, не $y$ екенін айтып, формула ойлап тапсын.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бір шама бірде тәуелді, бірде тәуелсіз айнымалы бола ала ма? Бола алады. Жол жылдамдыққа тәуелді ($s = 3v$). Ал бензин шығыны жолға тәуелді — мұнда жол енді тәуелсіз айнымалы.
• Неліктен тәуелділікті формуламен беруге болады? Формула бойынша кез келген $x$ үшін $y$-ті есептеуге болады.
• Неліктен оны кестемен беруге болады? Кестеде әр $x$ үшін сәйкес $y$ жазылған — оны жай ғана оқуға болады.
• Неліктен оны графикпен беруге болады? Графиктің әр нүктесі — $(x; y)$ жұбы. $x$ бойынша нүктені тауып, оның ординатасын оқимыз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1192

Егер $y = 3x + 1$ болса, онда $x$-тің 5; −2; 1,3; −0,8 мәндері үшін сәйкес $y$ тәуелді айнымалысының мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x$-тің мәнін формулаға қоямыз. Таңбаларды ұмытпаймыз!

Шешуі.

1. $x = 5$: $y = 3 \cdot 5 + 1 = 16$.
2. $x = -2$: $y = -6 + 1 = -5$.
3. $x = 1{,}3$: $y = 3{,}9 + 1 = 4{,}9$.
4. $x = -0{,}8$: $y = -2{,}4 + 1 = -1{,}4$.

Жауабы: 16; −5; 4,9; −1,4.

№ 1193

$x$-тің қандай мәндерінде $y = -0{,}5x + 4$ тәуелді айнымалысы 1,5; −10,5 мәндеріне тең болады?

Қалай ойлаймыз. Енді $y$ белгілі. Оны қойып, теңдеуді шығарамыз.

Шешуі.

1. $-0{,}5x + 4 = 1{,}5$; $-0{,}5x = -2{,}5$; $x = 5$.
2. $-0{,}5x + 4 = -10{,}5$; $-0{,}5x = -14{,}5$; $x = 29$.

Жауабы: 5; 29.

№ 1194

Егер: 1) $y = -x + 10$ және $y = 8{,}1$; 2) $y = 9{,}7 - 1{,}6x$ және $y = -6{,}3$ болса, онда $x$-тің мәндерін табыңдар.

Шешуі.

1. $-x + 10 = 8{,}1$; $-x = -1{,}9$; $x = 1{,}9$.
2. $9{,}7 - 1{,}6x = -6{,}3$; $-1{,}6x = -16$; $x = 10$.

Жауабы: 1) 1,9; 2) 10.

№ 1195

Шаршы қабырғасының ұзындығы $a$ см. Қабырғасының ұзындығы берілген шаршының қабырғасынан 5 см кем екінші шаршының периметрін және ауданын табу формулаларын жазыңдар. 1) $a = 7$ см; 2) $a = 20{,}5$ см болғанда екінші шаршының периметрі мен ауданын есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Екінші шаршының қабырғасы $a - 5$. Шаршының периметрі — 4 қабырға, ауданы — қабырғасын қабырғасына көбейту.

Шешуі. $P = 4(a - 5)$, $S = (a - 5)^2$.

1. $a = 7$: қабырғасы 2 см, $P = 8$ см, $S = 4$ см².
2. $a = 20{,}5$: қабырғасы 15,5 см, $P = 62$ см, $S = 15{,}5 \cdot 15{,}5 = 240{,}25$ см².

Жауабы: $P = 4(a - 5)$, $S = (a - 5)^2$; 1) 8 см және 4 см²; 2) 62 см және 240,25 см².

№ 1196

Тіктөртбұрыштың ені $c$ см. Егер ұзындығы енінен 2,9 см артық болса, онда тіктөртбұрыштың периметрін және ауданын табу формулаларын жазыңдар. 1) $c = 5{,}2$ см; 2) $c = 2\frac{1}{3}$ см болғанда тіктөртбұрыштың периметрі мен ауданын есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Ұзындығы $c + 2{,}9$. Периметр — ұзындығы мен енінің қосындысының екі еселенгені, ауданы — олардың көбейтіндісі.

Шешуі. $P = 2(c + c + 2{,}9) = 4c + 5{,}8$; $S = c(c + 2{,}9)$.

1. $c = 5{,}2$: ұзындығы 8,1 см, $P = 2 \cdot 13{,}3 = 26{,}6$ см, $S = 5{,}2 \cdot 8{,}1 = 42{,}12$ см².
2. $c = 2\frac{1}{3}$: ұзындығы $5\frac{7}{30}$ см, $P = 15\frac{2}{15}$ см, $S = 12\frac{19}{90}$ см².

Жауабы: $P = 4c + 5{,}8$, $S = c(c + 2{,}9)$; 1) 26,6 см және 42,12 см²; 2) $15\frac{2}{15}$ см және $12\frac{19}{90}$ см².

B деңгейі

№ 1197

Кестеде берілген мәліметтерді қолданып график салыңдар: $x$: −5; −2; 1,5; 4; 9 және $y$: −3; 4; 0; 5; −4.

Қалай ойлаймыз. Кестенің әр бағанасы — $(x; y)$ нүктесі. Таңбалар ширекті көрсетеді: плюс-плюс — I, минус-плюс — II, минус-минус — III, плюс-минус — IV.

Шешуі.

1. $(-5; -3)$ — 5 торкөз солға және 3 төмен, III ширек.
2. $(-2; 4)$ — 2 солға және 4 жоғары, II ширек.
3. $(1{,}5; 0)$ — $Ox$ осінде, координаталар басынан бір жарым торкөз оңға.
4. $(4; 5)$ — 4 оңға және 5 жоғары, I ширек.
5. $(9; -4)$ — 9 оңға және 4 төмен, IV ширек.

Алдымен ең «алыс» нүктені өзің қой:

Ал мынау — кестедегі бес нүктенің бәрі. Қайсысының қасындағы торды бассаң, координаталары көрінеді.

Жауабы: $(-5; -3)$, $(-2; 4)$, $(1{,}5; 0)$, $(4; 5)$, $(9; -4)$ нүктелері сипатталғандай салынды.

№ 1198

Графикті қолданып, шамалар арасындағы тәуелділікті беретін кестені құрастырыңдар (156-сурет).

Қалай ойлаймыз. Суретте мына нүктелер белгіленген: $(-3; 5)$, $(5; 3)$, $(2; 1)$, $(-4; -2)$ және тор түйіндерінде жатпайтын тағы екі нүкте — $x = 4$ кезінде (−1-ден сәл төмен) және $x = -1$ кезінде (−3 пен −4 аралығында). Олардың ординаталарын шамамен оқимыз. Нүктелерді $x$ өсу ретімен орналастырамыз.

Шешуі.

Жауабы: кесте жоғарыда.

№ 1199

156-суретті қолдана отырып, $-2 \le x \le 2$ үшін тәуелді айнымалының мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x$ мәні −2-ден 2-ге дейінгі (шеттері қоса) нүктелерді іздейміз.

Шешуі. Мұндай нүктелер екеу: $x = -1$ ($y \approx -3{,}5$) және $x = 2$ ($y = 1$).

Жауабы: $y \approx -3{,}5$ және $y = 1$.

№ 1200

156-суретті қолдана отырып, $-3 \le y \le 0$ үшін тәуелсіз айнымалының мәндерін табыңдар.

Шешуі. $y$ мәні −3-тен 0-ге дейінгі нүктелер келеді: $(-4; -2)$ және $(4; \approx -1{,}3)$. $y \approx -3{,}5$ болатын нүкте −3-тен төмен — келмейді.

Жауабы: $x = -4$ және $x = 4$.

C деңгейі

№ 1201

Шамалар арасындағы тәуелділік $y = 5|x| - 1$ формуласымен берілген. $-2{,}5 \le x \le 4$ болса, онда $x$ тәуелсіз айнымалысы үшін $y$ тәуелді айнымалысының бүтін мәндер жиынын көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Мұндай $x$ үшін $|x|$ модулі 0-ден ($x = 0$ кезінде) 4-ке дейін ($x = 4$ кезінде) өзгереді. Демек, $y$ ең кіші мәннен ең үлкен мәнге дейін, үзіліссіз өзгереді.

Шешуі.

1. Ең кіші $|x| = 0$: $y = 5 \cdot 0 - 1 = -1$.
2. Ең үлкен $|x| = 4$: $y = 5 \cdot 4 - 1 = 19$. ($x = -2{,}5$ кезінде тек $11{,}5$ шығады.)
3. −1-ден 19-ға дейінгі барлық мәнге жетеміз. Олардың ішіндегі бүтіндері: −1; 0; 1; …; 19 — барлығы 21 сан.

Жауабы: ${-1; 0; 1; 2; \dots; 19}$.

💡 Тек бүтін $x$ алсақ (−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4), сандар аз болады: $y$ = 9; 4; −1; 4; 9; 14; 19, яғни ${-1; 4; 9; 14; 19}$. Есепте бүтін болуы тиіс нәрсе — $x$ емес, $y$ мәндері.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 1202

1) Төмендегі кестені толтырыңдар: уақыт 3 с, жылдамдық 56,3 км/с, жол ? км; уақыт ? с, жылдамдық 81 км/с, жол 162 км; уақыт 14 с, жылдамдық ? км/с, жол 910 км. 2) Төмендегі кестені толтырыңдар: ұзындығы 5 см, ені 8 см, биіктігі 4,5 см, көлемі ? см³; ұзындығы ? см, ені 2 см, биіктігі 20 мм, көлемі 100 см³; ұзындығы 3 дм, ені 15 см, биіктігі ? см, көлемі 1350 см³; ұзындығы 15 м, ені ? м, биіктігі 4000 мм, көлемі 120 м³.

Қалай ойлаймыз. $s = v \cdot t$ және $V = a \cdot b \cdot c$. Есептеуден бұрын бәрін бір өлшем бірлігіне келтіреміз.

Шешуі.

1. Оқулықтағыдай, уақыт секундпен (с), жылдамдық км/с-пен берілген. Бірінші бағанада: $56{,}3 \cdot 3 = 168{,}9$ км. Екіншісінде уақыт: $162 : 81 = 2$ с. Үшіншісінде жылдамдық: $910 : 14 = 65$ км/с.

💡 Бұл жылдамдықтар «ғарыштық»: мысалы, Жер Күнді айнала 30 км/с жылдамдықпен қозғалады. Ал сағатына есептесек, 56,3 км/сағ тек велосипед жылдамдығы болар еді. Бірақ оқулықта бірлік — секунд, сондықтан есепті осылай шығарамыз.

Жауабы: 1) 168,9 км; 2 с; 65 км/с. 2) 180 см³; 25 см; 3 см; 2 м.

Жадынама

• $x$ бойынша $y$-ті табу — $x$-ті формулаға қою.
• $y$ бойынша $x$-ті табу — $y$-ті қойып, теңдеуді шығару.
• График бойынша кесте — барлық нүктенің координаталарын жазып шығу.
• $(x; y)$ жұбында бірінші әрдайым $x$ тұрады.

Шағын тест