§ 49. Нақты процестердің графиктерін қолданып шамалар арасындағы тәуелділіктерді зерттеу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 9 тарау: Шамалар арасындағы тәуелділіктер. 131–135-беттер.

Нені үйренесің

• График қандай шамаларды байланыстыратынын және әр осьтегі бір торкөздің құнын түсінуді.
• Бір шаманың мәні белгілі болса, екіншісінің мәнін график бойынша табуды.
• Графиктен ең үлкен және ең кіші мәнді, өсу, кему және «тынығу» бөліктерін көруді.
• Графикке өз сұрақтарыңды ойлап тауып, оларға жауап беруді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1202 тапсырмасы. Есіңе түсір: жол = жылдамдық · уақыт, көлем = ұзындық · ен · биіктік.

• 3 с ішінде 56,3 км/с жылдамдықпен қанша жол жүріледі? $56{,}3 \cdot 3 = $ 168,9 км.
• Жол 162 км, жылдамдығы 81 км/с. Қанша секунд жүрді? $162 : 81 = $ 2 с.
• 14 с ішінде 910 км жүрді. Жылдамдығы қандай? $910 : 14 = $ 65 км/с.
• Қорап 5 см × 8 см × 4,5 см. Көлемі қанша? $5 \cdot 8 \cdot 4{,}5 = $ 180 см³.
• Ені 2 см, биіктігі 20 мм, көлемі 100 см³. Ұзындығы қанша? 20 мм = 2 см, $100 : (2 \cdot 2) = $ 25 см.

💡 Әр есепте бір шама басқаларына тәуелді. Бүгін мұндай тәуелділіктерді формуламен есептемейміз, суретке қарап оқимыз.

Тақырыпты талдаймыз

График оқиғаны қалай «айтады»

Мұздатқыштан алынған мұзы бар кәстрөлді плитаға қой, сосын оны аязға шығар. Бірнеше минут сайын температураны жазып, нүктелерді белгілесең, сынық сызық шығады — бұл нақты процестің графигі.

Мұндай графиктен не көрінеді:

• температура −40°-тан 0°-қа дейін өседі — мұз қызады;
• сосын сызық 0° бойымен тегіс жүреді — мұз ери бастайды, кәстрөлде мұз және су бар;
• 0°-тан жоғары температура — бұл енді су, ол шамамен 44°-қа дейін қызып, қайтадан 0°-қа дейін суиды;
• тағы 0°-тағы тегіс бөлік — су қата бастайды (мұз және су);
• 0°-тан төмен — қайтадан мұз.

📌 Графиктің тегіс (көлденең) бөлігі: уақыт өтіп жатыр, ал шама өзгермейді. Суда бұл дәл 0 °C кезінде болады, мұз еріп немесе су қатып жатқанда.

Кез келген графикке үш сұрақ

1. Не неден тәуелді? Көлденең бойымен әдетте уақытты (тәуелсіз айнымалы), тігінен — уақытқа қарай өзгеретін шаманы салады.
2. Бір торкөздің құны қанша? Осьтердің жазуларына қара: торкөз 1 °C те, 3 сағат та, 10 км де болуы мүмкін.
3. Ең қызықтысы қайда? Ең биік және ең төмен нүктелер, көтерілу, төмендеу және «сөре» бөліктері.

⚠️ Жиі кететін қате. Бір торкөзді әрдайым бірлік деп санау. Тәулік бойғы температура графигінде көлденең бойынша торкөз 3 сағатқа тең болуы мүмкін. Алдымен жазуларды оқы!

Ауа райымен жаттығамыз

Мына кестеде тәулік бойы ауа температурасы қалай өзгергені берілген (графиктің белгіленген нүктелеріндегі мәндер):

Осы графикке қойылған сұрақтардың жауаптары:

• Не бейнеленген? Ауа температурасының тәулік уақытына тәуелділігі.
• Торкөздің құны? Көлденең бойынша — 3 сағ, тігінен — 1 °C.
• 1 °C, 4 °C, −1 °C қашан болды? 1 °C — 9 сағ пен 18 сағ-та; 4 °C — 15 сағ-та; −1 °C — 3 сағ пен 24 сағ-та.
• 12 сағ-та және 23 сағ-та қанша болды? 12 сағ-та 3 °C. 23 сағ-та график 21 сағ-тағы 0 °C мен 24 сағ-тағы −1 °C арасында төмендейді, сондықтан шамамен $-0{,}7$ °C.
• Ең жоғары және ең төмен температура? 4 °C (15 сағ-та) және −1 °C.
• Айырмасы? $4 - (-1) = 5$ °C.
• Орташа температура (белгіленген нүктелер бойынша): таңертең 6 сағ пен 12 сағ аралығында — $(0 + 1 + 3) : 3 \approx 1{,}3$ °C; күндіз 12 сағ пен 18 сағ аралығында — $(3 + 4 + 1) : 3 \approx 2{,}7$ °C; кешке 18 сағ пен 23 сағ аралығында — 18 сағ пен 21 сағ нүктелері бойынша $(1 + 0) : 2 = 0{,}5$ °C; түнде 0 сағ пен 6 сағ аралығында — $(0 - 1 + 0) : 3 \approx -0{,}3$ °C.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Телефондағы ауа райы болжамын ашыңыз — онда сағат бойынша температура графигі әрдайым дерлік болады. Баладан ең жылы сағатты және күн мен түннің арасындағы айырманы табуын сұраңыз.

Өзің байқап көр: көлге дейінгі жол

Арман үйінен көлге дейін 2 сағ жүрді, жарты сағат шомылды және 1 сағ қайтты. Графиктің нүктесін бас — оның қай жерде болғанын көресің.

График бойынша: көлге дейін 6 км, барғанда жылдамдығы $6 : 2 = 3$ км/сағ, қайтқанда $6 : 1 = 6$ км/сағ — кері жолда ол жүгіре жөнелген дерлік.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• График түрінде көрсетуге болатын нақты процестерге мысалдар келтір. Осы процестерде қандай шамалар қолданылған? Баланың жылдар бойынша өсуі (жас пен бой); телефонның заряды (уақыт пен зарядтың пайызы); Алматыдан Қонаевқа жол жүру (уақыт пен жүрілген жол); шайдың суынуы (уақыт пен температура); ыдыстың суға толуы (уақыт пен көлем).
• Қызу және суу графигі бойынша кәстрөлде мұз бар ма, әлде су ма — қалай білуге болады? Температураға қарау керек: 0 °C-тан төмен — мұз, 0 °C-тан жоғары — су, дәл 0 °C (көлденең бөлік) — мұз бен су бірге.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1203

159-суретте желкенді қайықтың қозғалысы график арқылы көрсетілген. Желкенді қайық жолдың алғашқы бөлігін желкенсіз өтіп, екінші бөлігінде желкенмен жүрген. 1) Қайық қанша километр жолды желкенмен өткен? 2) Қайық қанша километр жолды желкенсіз өткен? 3) 1 сағ-тан соң қайық қандай қашықтықта болған?

Қалай ойлаймыз. Графиктің (40 мин; 10 км) нүктесіндегі сынығы — осында желкенді көтерді. Сынғанға дейін — желкенсіз жол, одан кейін — желкенмен.

Шешуі.

1. Желкенмен: 10 км-ден 50 км-ге дейін, яғни $50 - 10 = 40$ км.
2. Желкенсіз: 0-ден 10 км-ге дейін, яғни 10 км.
3. 1 сағ = 60 мин. Желкенмен қайық 40 минутта 40 км жүреді, яғни минутына 1 км. 40-шы минуттан кейінгі 20 минутта — 20 км. Демек, 1 сағ-тан соң ол старттан $10 + 20 = 30$ км қашықтықта болады.

Жауабы: 1) 40 км; 2) 10 км; 3) 30 км.

№ 1204

160-суреттегі графикте 7-сынып оқушыларының тоқсандық оқу үлгерімі көрсетілген. График бойынша сұрақтар құрастырыңдар және олардың жауаптарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ең үлкен және ең кіші мәнге, өсу мен төмендеуге, орташа мәнге сұрақ қоямыз.

Шешуі. Сұрақтар мен жауаптардың мысалы:

1. Қай тоқсанда білім сапасы ең жоғары? 4-тоқсанда — 80 %.
2. Қайсысында ең төмен? 3-тоқсанда — 40 %.
3. 2-тоқсаннан 3-тоқсанға дейін сапа неше пайызға төмендеді? $75 - 40 = 35$ %.
4. 3-тоқсаннан 4-тоқсанға дейін неше пайызға өсті? $80 - 40 = 40$ %.
5. Жыл бойғы орташа сапа қандай? $(50 + 75 + 40 + 80) : 4 = 245 : 4 = 61{,}25$ %.

Жауабы: мысалы, ең жақсы тоқсан — 4-тоқсан (80 %), ең нашар — 3-тоқсан (40 %), жыл бойғы орташа мән ≈ 61 %.

💡 3-тоқсан ең ұзақ және қысқы — мүмкін, сондықтан онда сапа төмендейтін шығар? Сыныпта талқылауға жақсы сұрақ.

№ 1205

Демалушылар шипажайдан көлге демалуға барып, онда 1,5 сағ болғаннан кейін кері қайтты. Демалушылардың қозғалысы 161-суретте берілген. Сурет бойынша мына сұрақтарға жауап беріңдер: 1) Демалушылар көлге дейін қанша жол жүрген? 2) Қайтар жолға қанша уақыт жіберген? 3) Барлығы қанша километр жол жүрген?

Қалай ойлаймыз. Уақыт осінде сандар жоқ. Бірақ демалыстың 1,5 сағ болғанын білеміз — бұл 2 бөлікке созылған «сөре». Осыдан бөліктің құнын табамыз.

Шешуі.

1. Көлге дейін — графиктің ең биік нүктесі: 5 км.
2. Бір бөлік: $1{,}5 : 2 = 0{,}75$ сағ = 45 мин. Қайтар жол 1 бөлікті алды — 45 мин.
3. Барғанда 5 км және қайтқанда 5 км: $5 + 5 = 10$ км.

Жауабы: 1) 5 км; 2) 0,75 сағ (45 мин); 3) 10 км.

⚠️ Жиі кететін қате. «Барлығы қанша жол жүрді» деген сұраққа «5 км» деп жауап беру. График шипажайдан қашықтықты көрсетеді, бүкіл жолды емес. Қайтып келгенде демалушылар қайтадан нөлде, бірақ олар 10 км жүрді ғой!

B деңгейі

№ 1206

162-суретте ауа температурасының екі тәулік ішіндегі өзгерісі берілген. Сурет бойынша тапсырма құрастырыңдар және оны орындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Тегіс қисықтағы мәндерді шамамен — 1–2 градус дәлдікпен — оқимыз.

Шешуі. Тапсырмалар мен жауаптардың мысалы:

1. Бірінші күндегі ең жоғары температураны және уақытын тап. Шамамен 30 °C, шамамен 11 сағ-та.
2. Екінші күндегі ең жоғары температураны тап. Шамамен 22 °C, шамамен 13 сағ-та.
3. Ең жылы сағатта бірінші күн неше градусқа ыстығырақ болды? $30 - 22 = 8$ °C.
4. Екі тәулік ішіндегі ең төмен температураны тап. Шамамен 2–3 °C, бірінші күннің кеш батқанда (шамамен 22 сағ-та).
5. Бірінші күні температура максимумнан минимумға дейін қанша градусқа төмендеді? Шамамен $30 - 2{,}5 \approx 27$ °C.
6. Температура қашан дерлік өзгермеді? Бірінші күні шамамен 19 сағ пен 21 сағ аралығында (шамамен 11 °C) және екінші күні таңғы 5–8 сағ шамасында (шамамен 8 °C).

Жауабы: мысалы, максимум шамамен 30 °C (1-күн) және 22 °C (2-күн); минимум шамамен 2–3 °C.

C деңгейі

№ 1207

163-суретте екі автокөліктің қозғалысы көрсетілген. Суретті пайдаланып сұрақтар құрастырыңдар және оның жауабын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұнда тігінен жол емес, жылдамдық салынған. Өсіп келе жатқан график автокөліктің жылдамдап келе жатқанын білдіреді.

Шешуі. Сұрақтар мен жауаптардың мысалы:

1. Әр автокөліктің басындағы жылдамдығы қандай? I — 90 км/сағ, II — 60 км/сағ.
2. Қозғалыстың соңындағы жылдамдығы қандай? I — 120 км/сағ (6 сағ-тан соң), II — 180 км/сағ (7 сағ-тан соң).
3. Әрқайсысының жылдамдығы қанша өсті? I: $120 - 90 = 30$ км/сағ; II: $180 - 60 = 120$ км/сағ.
4. Қай автокөлік жылдамырақ жылдамдады? II: сағатына шамамен $120 : 7 \approx 17$ км/сағ, ал I — $30 : 6 = 5$ км/сағ.
5. Жылдамдықтар қашан тең болды? Графиктер шамамен 2,5 сағ-тан соң қиылысады, жылдамдық шамамен 100 км/сағ.
6. Әрқайсысы қанша уақыт жүрді? I — 6 сағ, II — 7 сағ.

Жауабы: мысалы, жылдамдықтар шамамен 2,5 сағ-тан соң теңесті (шамамен 100 км/сағ); екінші автокөлік жылдамырақ жылдамдады.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 1208

Шеңбер радиусының ұзындығы $m$ см. Шеңбер ұзындығының радиус ұзындығына және дөңгелек ауданының диаметр ұзындығына тәуелділігін беретін формулаларды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Есімізде: $C = 2\pi r$, $S = \pi r^2$, ал радиус — диаметрдің жартысы.

Шешуі.

1. Шеңбер ұзындығы: $C = 2\pi m$ см.
2. Диаметр $d = 2m$, радиус $r = \frac{d}{2}$, сондықтан $S = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Жауабы: $C = 2\pi m$; $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

№ 1209

Тікбұрышты параллелепипедтің ұзындығы 0,5 м, ені $m$ см, биіктігі $n$ см. 1) Тікбұрышты параллелепипедтің көлемін табыңдар. 2) Тікбұрышты параллелепипедтің ені $m$ қандай мәндерді қабылдауы мүмкін? 3) Тікбұрышты параллелепипедтің биіктігі $n$ қандай мәндерді қабылдауы мүмкін?

Қалай ойлаймыз. Алдымен бәрін бір өлшем бірлігіне келтіреміз: 0,5 м = 50 см.

Шешуі.

1. $V = 50 \cdot m \cdot n = 50mn$ см³.
2. Ен — кесіндінің ұзындығы, демек, $m > 0$.
3. Биіктік те солай: $n > 0$.

Жауабы: $V = 50mn$ см³; $m > 0$; $n > 0$ (кез келген оң сандар).

№ 1210

Төмендегі кестені толтырыңдар: радиустың ұзындығы 30 мм; диаметрдің ұзындығы 4,4 см; дөңгелектің ауданы $81\pi$ м³; шеңбердің ұзындығы $5{,}6\pi$ дм — әр бағанадағы жетіспейтін шамаларды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бәрін радиус арқылы есептейміз: $d = 2r$, $C = 2\pi r$, $S = \pi r^2$.

Шешуі.

Түсіндірме: $2{,}2^2 = 4{,}84$; $r^2 = 81$, демек, $r = 9$; $2\pi r = 5{,}6\pi$, демек, $r = 2{,}8$ және $2{,}8^2 = 7{,}84$.

Жауабы: кестеде.

📕 Оқулықта 1210-жаттығудың үшінші бағанасында дөңгелектің ауданы «$81\pi$ м³» деп жазылған. Бұл қате: ауданның бірлігі — шаршы метр (м²), ал м³ — көлемнің бірлігі.

Жадынама

• Алдымен осьтердің жазуларын және бөліктің құнын оқимыз.
• Мәнді табу: бір осьтегі саннан графикке дейін барамыз, сосын екінші өске.
• Ең үлкен және ең кіші мән — ең биік және ең төмен нүктелер.
• Температура айырмасы: үлкенінен кішісін азайтамыз, минусты ұмытпаймыз: $4 - (-1) = 5$.
• Графиктегі үйден қашықтық — бүкіл жүрілген жолмен бірдей емес.

Шағын тест