§ 50. Тура пропорционалдық және оның графигі

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 9 тарау: Шамалар арасындағы тәуелділіктер. 136–143-беттер.

Нені үйренесің

• Өмірден тура пропорционалдықты танып, оны $y = kx$ формуласымен жазуды.
• $x$ бойынша $y$-ті және бір жұп сан бойынша $k$ коэффициентін табуды.
• $y = kx$ графигін бір ғана нүкте бойынша салуды.
• График бойынша жолды, уақытты, құнды оқуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1208–1210 тапсырмалары: дөңгелек формулалары.

• Радиусы $m$ см. Шеңбер ұзындығы қанша? $C = 2\pi m$ см.
• Диаметрі $d$ болса, дөңгелектің ауданын қалай табамыз? $S = \frac{\pi d^2}{4}$, өйткені радиус — диаметрдің жартысы.
• Радиусы 30 мм. Шеңбер ұзындығы қанша? $2\pi \cdot 30 = 60\pi$ мм.
• Шеңбер ұзындығы $5{,}6\pi$ дм. Радиусы қанша? $5{,}6 : 2 = 2{,}8$ дм.

💡 Байқадың ба? Радиусты 2 есе арттырсақ, шеңбер ұзындығы да 2 есе өседі. $C = 2\pi r$ — бүгінгі сабақтың тақырыбы болған тура пропорционалдықтың дәл өзі. Тек мұндағы $k$ саны $2\pi$-ге тең.

Тақырыпты талдаймыз

Неше есе артса — сонша есе

Бір тоқаш 150 теңге тұрады. Екеуі — 300, үшеуі — 450. Тоқаш неше есе көп болса, төлемің де сонша есе көп. Мұндай шамаларды тура пропорционал шамалар деп атайды.

Тағы мысалдар:

• сатып алудың құны және бір заттың бағасы, егер заттың саны бірдей болса;
• жол және уақыт, егер жылдамдық бірдей болса;
• орындалған жұмыс және уақыт, егер бірқалыпты қарқынмен істесең.

📌 $y = kx$ формуласымен берілген тәуелділік $y$ және $x$ шамалар арасындағы тура пропорционалдық деп аталады. Мұндағы $k$ — өзгермейтін, нөлге тең емес сан немесе шама (оны тұрақты шама дейді). $k$ санын тура пропорционалдықтың коэффициенті деп атайды.

Жоғарыдағы мысалдарда $k$ — заттың саны, жылдамдық, өнімділік. Мысалы, автокөлік 50 км/сағ жылдамдықпен жүреді: жол $y = 50x$, мұндағы $x$ — сағатпен берілген уақыт.

⚠️ Жиі кететін қате. $y = 3x + 1$ те тура пропорционалдық деп санау. Олай емес! Онда «$+1$» бар. Тура пропорционалдық — тек $y = kx$, ешқандай қосындысыз. Тексеру: $x = 0$ болғанда $y = 0$ шығуы керек.

$y = 3x$ графигін саламыз

$x$-тің бірнеше мәнін қойып, $y$-ті табайық:

Нүктелерді координаталық жазықтықта белгілейік. Олар бір сызыққа тізіледі! Қанша нүкте қоссақ та, бәрі координаталар басынан өтетін түзуге орналасады.

📌 $y = kx$ тура пропорционалдығының графигі — координаталар басы $O(0; 0)$ арқылы өтетін түзу.

Неліктен бір нүкте жеткілікті

$O(0; 0)$ нүктесі кез келген осындай графикте жатады: $k \cdot 0 = 0$. Ал екі нүкте арқылы бір ғана түзу өтеді. Демек, тағы бір нүктені тауып, сол нүкте мен $O$ арқылы түзу жүргізсек жеткілікті.

$y = 0{,}5x$ графигін салайық. $x = 2$ алайық: $y = 0{,}5 \cdot 2 = 1$. $A$ нүктесін өзің қой!

Енді $O$ және $A(2; 1)$ арқылы түзу жүргіземіз — бұл $y = 0{,}5x$ графигі.

💡 $k > 0$ болса, түзу солдан оңға қарай «таудың басына» барады (I және III ширектер арқылы). $k < 0$ болса — «таудан төмен» (II және IV ширектер арқылы). $k$ модулі бойынша неғұрлым үлкен болса, түзу соғұрлым тіктеу болады.

Қозғалыс графигін оқимыз

Автокөлік 50 км/сағ жылдамдықпен жүреді: $y = 50x$. График бойынша кез келген уақыттағы жолды және керісінше оңай табуға болады: 9 сағ-та — 450 км, ал 200 км-ді автокөлік 4 сағ-та жүріп өтеді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Сапар кезінде баладан сұраңыз: «Біз 80 км/сағ жылдамдықпен келеміз. 2 сағатта қанша жүреміз? Ал жарты сағатта?» Бұл — сол $y = 80x$ формуласы, тек өмірде.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Тура пропорционалдық деп нені айтады? $y = kx$ формуласымен берілетін тәуелділік, мұндағы $k$ — нөлге тең емес сан.
• Тура пропорционалдыққа мысал келтір. Бағасы 120 теңгеден дәптердің құны: $y = 120x$, мұндағы $x$ — дәптер саны. Тағы: жылдамдығы 60 км/сағ болғандағы жол: $s = 60t$.
• Тура пропорционалдықтың графигі нені береді? Координаталар басы арқылы өтетін түзуді.
• $y = 2x$ графигіне $A(1; 2)$ және $B(2; 1)$ нүктелері тиісті ме? $A$ — иә: $2 \cdot 1 = 2$. $B$ — жоқ: $2 \cdot 2 = 4 \ne 1$.
• Неліктен жылдамдық бірдей болғанда жол уақытқа пропорционал? Неше есе ұзақ жүрсең, сонша есе көп жүресің: $s = vt$, ал $v$ тұрақты.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1211

Автокөлік 110 км/сағ жылдамдықпен $t$ сағ жүрді. Жүрілген жолдың формуласын жазыңдар. 1) $t = 1{,}5$; 2) $t = 4$; 3) $t = 2\frac{1}{6}$ болғанда жүрілген жолды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жол = жылдамдық · уақыт, демек, $s = 110t$.

Шешуі.

1. $s = 110 \cdot 1{,}5 = 165$ км.
2. $s = 110 \cdot 4 = 440$ км.
3. $s = 110 \cdot 2\frac{1}{6} = 110 \cdot \frac{13}{6} = \frac{1430}{6} = 238\frac{1}{3}$ км.

Жауабы: $s = 110t$; 165 км; 440 км; $238\frac{1}{3}$ км.

№ 1212

$x$-тің берілген мәнінде $y$-тің мәнін табыңдар: 1) $y = 1{,}7x$, мұндағы $x = -2$; 0; 3,8; −6,4; 2) $y = -0{,}8$, мұндағы $x = 8$; 0; −2,6; −5; 3) $y = \frac{1}{3}x$, мұндағы $x = -18$; 7; 5,16; −23,4; 4) $y = -4\frac{3}{7}x$, мұндағы $x = 49$; −2,8; 0,07; 57,4.

Қалай ойлаймыз. $x$-ті қойып, көбейтеміз. Таңбаны қадағалаймыз: плюс пен минус көбейтіндісі — минус, минус пен минус — плюс. 4-тармақта $-4\frac{3}{7} = -\frac{31}{7}$ деп алған ыңғайлы.

Шешуі.

1. $1{,}7 \cdot (-2) = -3{,}4$; $1{,}7 \cdot 0 = 0$; $1{,}7 \cdot 3{,}8 = 6{,}46$; $1{,}7 \cdot (-6{,}4) = -10{,}88$.
2. $-0{,}8 \cdot 8 = -6{,}4$; $0$; $-0{,}8 \cdot (-2{,}6) = 2{,}08$; $-0{,}8 \cdot (-5) = 4$.
3. $\frac{1}{3} \cdot (-18) = -6$; $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$; $5{,}16 : 3 = 1{,}72$; $-23{,}4 : 3 = -7{,}8$.
4. $-\frac{31}{7} \cdot 49 = -217$; $-\frac{31}{7} \cdot (-2{,}8) = 31 \cdot 0{,}4 = 12{,}4$; $-\frac{31}{7} \cdot 0{,}07 = -31 \cdot 0{,}01 = -0{,}31$; $-\frac{31}{7} \cdot 57{,}4 = -31 \cdot 8{,}2 = -254{,}2$.

📕 2-тармақтың шартында «$y = -0{,}8$» деп $x$ әрпінсіз басылған. Әріп түсіп қалған сияқты: біз $y = -0{,}8x$ формуласын шештік.

Егер 2-тармақтағы формуланы сөзбе-сөз $y = -0{,}8$ деп түсінсек, онда $y$ кез келген $x$ үшін $-0{,}8$-ге тең болады. Бірақ $y = kx$ тақырыбында анық $y = -0{,}8x$ деген мағына болған.

Жауабы: 1) −3,4; 0; 6,46; −10,88; 2) −6,4; 0; 2,08; 4; 3) −6; $2\frac{1}{3}$; 1,72; −7,8; 4) −217; 12,4; −0,31; −254,2.

№ 1213

Төмендегі кестені толтырыңдар және графигін салыңдар: $y = -2{,}5x$ үшін $x = 2$; $y = 1\frac{1}{2}x$ үшін $y = 6$; $y = 3{,}5x$ үшін $x = -2$; $y = -3{,}5x$ үшін $y = 7$.

Қалай ойлаймыз. $x$ белгілі болса — $k$-ға көбейтеміз. $y$ белгілі болса — $y$-ті $k$-ға бөлеміз: $x = y : k$.

Шешуі.

1. $y = -2{,}5 \cdot 2 = -5$.
2. $x = 6 : 1{,}5 = 4$.
3. $y = 3{,}5 \cdot (-2) = -7$.
4. $x = 7 : (-3{,}5) = -2$.

Графиктер: әрқайсысы — $O(0; 0)$ және табылған нүкте арқылы өтетін түзу: $(2; -5)$, $(4; 6)$, $(-2; -7)$, $(-2; 7)$. Біріншісі мен төртіншісі «таудан төмен» ($k < 0$), екіншісі мен үшіншісі — «таудың басына».

Жауабы: $y = -5$; $x = 4$; $y = -7$; $x = -2$.

№ 1214

Дәл сол төрт формула: $y = -2{,}5x$ үшін $y = -10$; $y = 1\frac{1}{2}x$ үшін $x = 4$; $y = 3{,}5x$ үшін $y = -3{,}5$; $y = -3{,}5x$ үшін $x = 2$. Кестені толтырыңдар және графиктерін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Формулалар № 1213-тегідей, сондықтан графиктер де сол — тек олардағы нүктелер өзгереді.

Шешуі.

1. $x = -10 : (-2{,}5) = 4$.
2. $y = 1{,}5 \cdot 4 = 6$.
3. $x = -3{,}5 : 3{,}5 = -1$.
4. $y = -3{,}5 \cdot 2 = -7$.

Графиктерге арналған нүктелер: $(4; -10)$, $(4; 6)$, $(-1; -3{,}5)$, $(2; -7)$ — олар және координаталар басы арқылы түзулер жүргіземіз.

Жауабы: $x = 4$; $y = 6$; $x = -1$; $y = -7$.

B деңгейі

№ 1215

5 данамен берілген тауар құнының оның бағасына тәуелділігінің графигін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Құны = баға · мөлшер. Мөлшері 5, демек, $C = 5p$ — $k = 5$ болатын тура пропорционалдық.

Шешуі.

1. Формула: $C = 5p$, мұндағы $p$ — бір заттың бағасы.
2. Баға теріс бола алмайды, сондықтан тек $p \ge 0$ аламыз (дәлірек айтқанда, $p > 0$).
3. Бір нүкте алайық: баға 200 тг — құны 1000 тг. Координаталар басынан осы нүкте арқылы сәуле жүргіземіз.

Жауабы: график — координаталар басынан (200; 1000) нүктесі арқылы өтетін $C = 5p$ сәулесі.

№ 1216

Шаршы периметрінің оның қабырғасына тәуелділігінің графигін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Шаршының 4 тең қабырғасы бар: $P = 4a$. Қабырға — оң сан.

Шешуі.

1. Формула: $P = 4a$, $a > 0$.
2. Нүкте: $a = 1$ см — $P = 4$ см.
3. Координаталар басынан $(1; 4)$ арқылы сәуле жүргіземіз. $O$ нүктесінің өзін «алып тастаймыз»: қабырғасы 0 болатын шаршы болмайды.

Жауабы: $a > 0$ болғандағы $P = 4a$ сәулесі, ол $(1; 4)$, $(2; 8)$, $(3; 12)$ нүктелері арқылы өтеді.

№ 1217

$y = -4x$ формуласымен берілген тура пропорционалдықтың әр аралығы 1-ге тең болатын $-3 \le x \le 3$ мәндері үшін кесте құрыңдар. Кесте бойынша тәуелсіз айнымалының $-1{,}5$; 2; 0; 2,5 мәндері үшін тәуелді айнымалының мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. −3-тен 3-ке дейінгі бүтін $x$ мәндерін қоямыз. Жарты мәндер үшін көрші мәндердің «ортасына» қараймыз — график түзу ғой.

Шешуі.

1. $x = -1{,}5$ — −2 мен −1 арасының ортасында, демек, $y$ 8 мен 4 арасының ортасында: $y = 6$.
2. $x = 2$: $y = -8$.
3. $x = 0$: $y = 0$.
4. $x = 2{,}5$ — 2 мен 3 аралығында, $y$ −8 мен −12 арасының ортасында: $y = -10$.

Жауабы: 6; −8; 0; −10.

C деңгейі

№ 1218

$y = 0{,}25x - \frac{5}{6}$ белгілі. 1) $y(-1)$ және $y(0)$; 2) $y(4)$ және $y(-8)$ мәндерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. $y(-1)$ — $x = -1$ кезіндегі $y$-тің мәні. Есептеуге болады, ал ойлауға да болады: $k = 0{,}25 > 0$, демек, $x$ неғұрлым үлкен болса, $y$ соғұрлым үлкен.

Шешуі.

1. $y(-1) = -0{,}25 - \frac{5}{6} = -1\frac{1}{12}$; $y(0) = -\frac{5}{6}$. $-1\frac{1}{12} < -\frac{5}{6}$ болғандықтан, $y(-1) < y(0)$.
2. $y(4) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$; $y(-8) = -2 - \frac{5}{6} = -2\frac{5}{6}$. Демек, $y(4) > y(-8)$.

Жауабы: 1) $y(-1) < y(0)$; 2) $y(4) > y(-8)$.

💡 Бұл формула тура пропорционалдық емес ($-\frac{5}{6}$ бар), бірақ оның графигі де түзу, тек координаталар басынан өтпейді.

№ 1219

$y = kx$ тура пропорционалдығы үшін $k$-ның мәндерін табыңдар: 1) $y(2) = 6{,}4$; 2) $y\left(-\frac{1}{11}\right) = -3$; 3) $y(-0{,}7) = 70$; 4) $y\left(8\frac{5}{6}\right) = -\frac{8}{9}$.

Қалай ойлаймыз. $y(2) = 6{,}4$ жазуы: $x = 2$ кезінде $y = 6{,}4$ шықты деген сөз. Сонда $k = y : x$.

Шешуі.

1. $k = 6{,}4 : 2 = 3{,}2$.
2. $k = -3 : \left(-\frac{1}{11}\right) = 3 \cdot 11 = 33$.
3. $k = 70 : (-0{,}7) = -100$.
4. $k = -\frac{8}{9} : \frac{53}{6} = -\frac{16}{159}$.

Жауабы: 1) 3,2; 2) 33; 3) −100; 4) $-\frac{16}{159}$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 1220

Төмендегі кестеде бос орындарды толтырыңдар: әр бағанада екі сан ($a$, $b$ немесе амал нәтижесі) белгілі, $a$, $b$, $a + b$, $a - b$, $b - a$, $a \cdot b$, $a : b$, $b : a$ мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен берілген амал бойынша $a$, $b$ сандарының жетіспейтінін табамыз, сосын қалғанын есептейміз. Деректер: 1) $a = 2$, $b : a = 8$; 2) $b = -0{,}5$, $a : b = -100$; 3) $a = -3$, $a + b = -10$; 4) $b = 0{,}5$, $b - a = -0{,}3$; 5) $a = 1{,}5$, $a \cdot b = -15$; 6) $b = 0{,}5$, $a - b = 0{,}2$.

Шешуі. Алдымен жетіспейтін сандар: 1) $b = 8 \cdot 2 = 16$; 2) $a = -100 \cdot (-0{,}5) = 50$; 3) $b = -10 + 3 = -7$; 4) $a = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$; 5) $b = -15 : 1{,}5 = -10$; 6) $a = 0{,}5 + 0{,}2 = 0{,}7$.

Жауабы: кестеде.

№ 1221

Егер $a = 18\frac{1}{6}$; $c = -9\frac{1}{12}$ және $k = 5{,}9$ болса, онда $a \cdot c : k$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бәрін жай бөлшекке айналдырамыз: $a = \frac{109}{6}$, $c = -\frac{109}{12}$, $k = \frac{59}{10}$. Нәтиженің таңбасы — минус (көбейткіштердің бірі теріс).

Шешуі.

1. $a \cdot c = -\frac{109 \cdot 109}{6 \cdot 12} = -\frac{11,881}{72}$.
2. $-\frac{11,881}{72} : \frac{59}{10} = -\frac{11,881 \cdot 10}{72 \cdot 59} = -\frac{118,810}{4248} = -\frac{59,405}{2124}$.
3. Бүтін бөлікті бөліп аламыз: $-27\frac{2057}{2124} \approx -27{,}97$.

Жауабы: $-\frac{59,405}{2124} = -27\frac{2057}{2124} \approx -27{,}97$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Жауап «ұсқынсыз» шығады — бұл қалыпты, мұнда қате жоқ. Бала күмәндансa, калькулятормен тексеріңіз: $18{,}1667 \cdot (-9{,}0833) : 5{,}9 \approx -27{,}97$.

Жадынама

• $y = kx$: $x$ неше есе өссе, $y$ сонша есе өседі.
• $x = 0$ болғанда әрдайым $y = 0$.
• График салу үшін бір нүктені тауып, сол нүкте мен $O$ арқылы түзу жүргіз.
• Нүкте графикте жатады, егер оның координаталары дұрыс теңдік берсе.
• $b \ne 0$ болғанда $y = kx + b$ — енді тура пропорционалдық емес.

Шағын тест