§ 6. Шеңбердің ұзындығы. Дөңгелектің ауданы. Шар. Сфера

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 1 тарау: Қатынас және пропорция. 54–59-беттер.

Нені үйренесің

• $\pi$ санының не екенін және неге шамамен 3,14 болатынын түсіндіруді.
• Шеңбердің ұзындығын $C = 2\pi R$ формуласымен және ұзындығы бойынша радиусын табуды.
• Дөңгелектің ауданын $S = \pi R^2$ формуласымен және ауданы бойынша радиусын табуды.
• Шарды сферадан және дөңгелекті шеңберден ажыратуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 241–244 тапсырмалары. Ойша жауап бер, сонан соң жауабын аш.

• Радиусы 6 см. Диаметрі неге тең? Екі радиус: 12 см.
• Диаметрі 14 дм. Ал радиусы? Жартысы: 7 дм.
• Дөңгелектің диаметрі 0,4 дм. Радиусы миллиметрмен қанша? 0,4 дм = 40 мм, радиусы 20 мм.
• Нүкте радиусы 3 см шеңберде жатыр. Одан центрге дейін қанша? Дәл 3 см. Дөңгелектің ішінде — 3 см-ден кем, сыртында — артық.

💡 Байланысты есіңе сақта: диаметр $d = 2R$. Бүгін ол әр формулада керек болады.

Тақырыпты талдаймыз

Жіппен тәжірибе

Циркульмен радиусы 2 см шеңбер сыз. Оны жіппен айналдыр, сонан соң жіпті түзетіп, өлше. Шамамен 12,5 см шығады. Диаметріне, яғни 4 см-ге бөл — үштен сәл көп шығады.

Радиусы 1,5 см, 2,5 см, 3 см үшін қайталап көр. Жауап тағы да «үштен сәл көп»! Бұл кездейсоқтық емес.

📌 Кез келген шеңбер ұзындығының оның диаметріне бөліндісі — әрдайым бір сан. Оны грек әрпімен $\pi$ («пи») деп белгілейді. $\pi \approx 3{,}14$.

🌟 $\pi$ санының цифрлары ешқашан бітпейді және шеңбер бойымен қайталанбайды: 3,14159265358979… Компьютерлер оның триллиондаған таңбасын есептеп қойған. Ал 14 наурызды (3.14) көптеген елдерде Пи санының күні деп атап өтеді.

Шеңбер ұзындығының формуласы

$\frac{C}{d} = \pi$ болса, $C = \pi d$. Ал $d = 2R$ болғандықтан, шығады:

📌 $C = 2\pi R$ — радиусы $R$ шеңбердің ұзындығы. Оқылуы: «це тең екі пи эр».

Мысал: радиусы 35 см велосипед дөңгелегі. Бір айналымда ол $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 35 = 219{,}8$ см жүреді — екі метрден астам!

Дөңгелек ауданының формуласы

📌 $S = \pi R^2$ — радиусы $R$ дөңгелектің ауданы. Оқылуы: «эс тең пи эр-дің квадраты».

Диаметр арқылы: $R = \frac{d}{2}$, сондықтан $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Шындыққа ұқсай ма, тексерейік. Төменде радиусы 4 тор көз дөңгелек. Формула бойынша ауданы $3{,}14 \cdot 16 \approx 50$ тор көз. Тор көздерді өзің санап көр: бүтіндерін және жартыларын.

⚠️ Жиі кететін қате. $\pi R^2$ — бұл $\pi \cdot R \cdot R$, ал $\pi \cdot R \cdot 2$ емес. $R = 3$ үшін: $S = 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26$, ал $3{,}14 \cdot 6$ емес. Шеңбердің ұзындығымен шатастырма!

Жауабын біле тұра радиусты қалай табамыз

Ұзындық үшін де солай: $R = C : (2\pi)$. Мысалы, $C = 31{,}4$ см болса, радиусы $31{,}4 : 6{,}28 = 5$ см.

Шар және сфера

Мандарин, қарбыз, Жер — бұлар шар: іші толы. Доп пен глобус — сфера: жұқа қабық, іші бос.

📌 Шардың беті сфера деп аталады. Шардың (сфераның) центрін оның бетіндегі кез келген нүктемен қосатын кесінді шардың (сфераның) радиусы деп аталады.

Жазықтықтағыдай жұп шығады: шеңбер — дөңгелектің шегарасы, сфера — шардың шегарасы.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Үйде «аңшылық» ұйымдастырыңыз: бала ас үйден 3 шар және 3 сфераны атасын. Апельсин — шар, ал үстел теннисінің добы — сфера. Қосымша сұраңыз: дөңгелек пен шеңбердің айырмашылығы неде?

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Шеңбердің қандай қасиеті бар, ал дөңгелектің қандай? Шеңбердің барлық нүктесі центрден бірдей қашықтықта жатыр (радиус қашықтығында). Дөңгелектің нүктелерінен центрге дейінгі қашықтық радиустан артық емес: дөңгелек — шеңбер және оның ішіндегінің бәрі.
• Математикада $\pi$ әрпімен нені белгілейді? Шеңбер ұзындығының оның диаметріне қатынасын. Ол барлық шеңбер үшін бірдей: $\pi \approx 3{,}14$.
• Шеңбердің ұзындығы натурал санмен өрнектелуі мүмкін бе? Иә. Радиусты $R = 1 : (2\pi)$ етіп алу керек. Мысалы, $R \approx 0{,}16$ см болғанда $C = 1$ см, ал $R = \frac{5}{\pi} \approx 1{,}59$ см болғанда $C = 10$ см.
• Шардың сферадан қандай айырмашылығы бар? Шар — іші толы дене. Сфера — оның тек беті.
• Қандай заттар шарға, қандайлары сфераға ұқсайды? Шар: қарбыз, мандарин, ғаламшарлар, моншақ. Сфера: доп, глобус, шырша ойыншығы, сабын көпіршігі.

Жаттығуларды шығарамыз

💡 Барлық есептерде басқаша айтылмаса, $\pi \approx 3{,}14$ аламыз.

A деңгейі

№ 245

1) Радиусы 5 см; 3,5 м; 12 мм болатын шеңбердің ұзындығын табыңдар. 2) Ұзындығы 56 см; 7 м; 18,6 м болатын шеңбердің радиусын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тура — $C = 2\pi R$ формуласымен. Кері — ұзындықты $2\pi \approx 6{,}28$-ге бөлеміз.

Шешуі.

1. $2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4$ см; $2 \cdot 3{,}14 \cdot 3{,}5 = 21{,}98$ м; $2 \cdot 3{,}14 \cdot 12 = 75{,}36$ мм.
2. $56 : 6{,}28 \approx 8{,}92$ см; $7 : 6{,}28 \approx 1{,}11$ м; $18{,}6 : 6{,}28 \approx 2{,}96$ м.

Жауабы: 1) 31,4 см; 21,98 м; 75,36 мм; 2) ≈ 8,92 см; ≈ 1,11 м; ≈ 2,96 м.

№ 246

1) Радиусы 6 см; 12 м; 3,5 см болатын дөңгелектің ауданын есептеңдер. 2) Ауданы 314 м²; 12,56 м²; 78,5 см² болатын дөңгелектің радиусын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екінші бөлікте ауданды 3,14-ке бөліп, квадраты шыққан санды іздейміз.

Шешуі.

1. $3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04$ см²; $3{,}14 \cdot 144 = 452{,}16$ м²; $3{,}14 \cdot 12{,}25 = 38{,}465$ см².
2. $314 : 3{,}14 = 100 = 10^2$ → 10 м; $12{,}56 : 3{,}14 = 4 = 2^2$ → 2 м; $78{,}5 : 3{,}14 = 25 = 5^2$ → 5 см.

Жауабы: 1) 113,04 см²; 452,16 м²; 38,465 см²; 2) 10 м; 2 м; 5 см.

№ 247

Цирк аренасының шеңберінің ұзындығы $40{,}8\pi$ м. Аренаның радиусы мен ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ұзындық тікелей «пимен» берілген. $2\pi R$ формуласымен салыстыр: демек, $2R = 40{,}8$.

Шешуі.

1. $2\pi R = 40{,}8\pi$, осыдан $R = 40{,}8 : 2 = 20{,}4$ м.
2. $S = \pi \cdot 20{,}4^2 = 416{,}16\pi \approx 1306{,}74$ м².

Жауабы: $R = 20{,}4$ м; $S = 416{,}16\pi \approx 1306{,}74$ м².

№ 248

Радиусы 23 м болатын дөңгелек стадиондағы жүгіру жолының ұзындығын табыңдар.

Шешуі. $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 23 = 144{,}44$ м.

Жауабы: 144,44 м.

№ 249

Радиусы ауданы $9\pi$ см² болатын дөңгелектің радиусынан 2 есе артық шеңбердің ұзындығын есептеңдер.

Шешуі.

1. $\pi R^2 = 9\pi$, демек, $R^2 = 9$, $R = 3$ см.
2. Шеңбердің радиусы: $3 \cdot 2 = 6$ см.
3. $C = 2\pi \cdot 6 = 12\pi \approx 37{,}68$ см.

Жауабы: $12\pi \approx 37{,}68$ см.

№ 250

Шамалар арасындағы тәуелділіктер тура пропорционал немесе кері пропорционал бола ма: 1) шеңбердің ұзындығы оның радиусының ұзындығына; 2) дөңгелектің ауданы оның радиусының ұзындығына тәуелділігі?

Қалай ойлаймыз. Радиусты 2 есе арттырып, жауап неше есе өсетінін көр.

Шешуі.

1. $C = 2\pi R$: $R$ 2 есе артты — $C$ да 2 есе артты. Бұл — тура пропорционалдық (коэффициенті $2\pi$).
2. $S = \pi R^2$: $R$ 2 есе артты — $S$ 4 есе өсті. Бұл — тура да, кері де пропорционалдық емес.

Жауабы: 1) тура пропорционал; 2) тура да, кері де пропорционал емес.

№ 251

Астана «ЭКСПО-2017» көрмесінің архитектуралық символы «Нұр Әлем» көрме кешенінің басты элементі — дүниежүзіндегі ең үлкен ғимарат. 1. $5{,}6 + 89{,}7 - 56{,}007 + 40{,}707$ өрнегінің мәні метрмен алынған сфера диаметрінің ұзындығын береді. 2. $7{,}4 \cdot 56{,}56 : 8{,}08 + 48{,}2$ өрнегінің мәні метрмен алынған ғимараттың биіктігін береді.

Шешуі.

1. $5{,}6 + 89{,}7 = 95{,}3$; $95{,}3 - 56{,}007 = 39{,}293$; $39{,}293 + 40{,}707 = 80$ м.
2. $7{,}4 \cdot 56{,}56 = 418{,}544$; $418{,}544 : 8{,}08 = 51{,}8$; $51{,}8 + 48{,}2 = 100$ м.

Жауабы: диаметрі 80 м, биіктігі 100 м.

🌟 «Нұр Әлем» — әлемдегі ең үлкен сфералық ғимараттардың бірі. Ішінде 8 қабатты болашақ энергиясы мұражайы бар.

B деңгейі

№ 252

Радиусы 0,8 м болатын дөңгелек саябақта 8 гүлзар орнатылған. Әрбір шаршы метрге 11 гүлден отырғызылатын болды. Гүлдерді гүлзарларға толық отырғызу үшін барлығы қанша гүл қажет?

Шешуі.

1. Бір гүлзардың ауданы: $3{,}14 \cdot 0{,}64 = 2{,}0096$ м².
2. Сегізінікі: $2{,}0096 \cdot 8 = 16{,}0768$ м².
3. Гүл: $16{,}0768 \cdot 11 \approx 176{,}8$, яғни шамамен 177.

Жауабы: шамамен 177 гүл.

№ 253

Машина дөңгелегінің диаметрі $\frac{3}{4}$ м. Дөңгелек минутына $233\frac{1}{3}$ айналым жасайды. Машинаның жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір айналым — дөңгелектің шеңберінің ұзындығына тең жол.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара. $\pi \approx \frac{22}{7}$ алсақ, дәл 550 м/мин = 33 км/сағ шығады.

Жауабы: ≈ 549,5 м/мин (шамамен 33 км/сағ).

№ 254

15-суретте кескінделген ішкі дөңгелектің радиусы 16 м, сыртқы дөңгелектің радиусы одан 5 метрге артық. Осы дөңгелектермен шектелген сақинаның ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сақина — үлкен дөңгелектен кіші дөңгелекті алып тастағанда қалатыны, тесігі бар бөрікше (бәліш).

Шешуі.

1. Үлкен радиус: $16 + 5 = 21$ м.
2. $S = \pi \cdot 21^2 - \pi \cdot 16^2 = \pi(441 - 256) = 185\pi$.
3. $185 \cdot 3{,}14 = 580{,}9$ м².

Жауабы: $185\pi \approx 580{,}9$ м².

№ 255

Шаршының әрбір қабырғасына жарты дөңгелек салынған (16-сурет). Шаршының қабырғасы 4 см болса, шыққан фигураның ауданы қандай?

Қалай ойлаймыз. Төрт жарты дөңгелек — екі тұтас дөңгелек. Әрқайсысының радиусы — қабырғаның жартысы, 2 см.

Шешуі.

1. Шаршы: $4 \cdot 4 = 16$ см².
2. Радиусы 2 см екі дөңгелек: $2 \cdot 3{,}14 \cdot 2^2 = 25{,}12$ см².
3. Бірге: $16 + 25{,}12 = 41{,}12$ см².

Жауабы: 41,12 см².

№ 256

17-суретте кескінделген шаршының қабырғасы 2,6-ға тең. Дөңгелектің радиусын табыңдар. Шаршының ауданы дөңгелектің ауданынан қанша есе артық? (Жауабын жүздік үлеске дейін дөңгелектеңдер.)

Қалай ойлаймыз. Дөңгелек шаршының барлық қабырғасына жанасады, демек, оның диаметрі шаршының қабырғасына тең.

Шешуі.

1. $R = 2{,}6 : 2 = 1{,}3$ см.
2. Шаршы: $2{,}6^2 = 6{,}76$ см². Дөңгелек: $3{,}14 \cdot 1{,}69 = 5{,}3066$ см².
3. $6{,}76 : 5{,}3066 \approx 1{,}27$.

Жауабы: 1,3; шамамен 1,27 есе.

💡 1,27 жауабы шаршының өлшеміне тәуелді емес! Бұл — $4 : \pi$. Кез келген іштей сызылған дөңгелек өз шаршысының 80%-ынан сәл азын алады.

№ 257

Тіктөртбұрыштан жарты дөңгелек қиып алынған (18-сурет). Сәйкес өлшеулер жүргізіп, қалған бөліктің ауданы мен периметрін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Жарты дөңгелек қысқа қабырғаның жанынан қиылған, оның диаметрі тіктөртбұрыштың ені $b$-ға тең. Ауданы: тіктөртбұрыш минус жарты дөңгелек. Периметрі: екі ұзын қабырға, бір қысқа қабырға және екінші қысқа қабырғаның орнындағы доға.

Шешуі. Формулалар: $S = ab - \frac{\pi b^2}{8}$, $P = 2a + b + \frac{\pi b}{2}$. Мысал: ұзындығы $a = 4$ см, ені $b = 2$ см (жарты дөңгелектің радиусы 1 см).

1. $S = 4 \cdot 2 - \frac{3{,}14 \cdot 1^2}{2} = 8 - 1{,}57 = 6{,}43$ см².
2. Доға: $\frac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 1}{2} = 3{,}14$ см. $P = 4 + 4 + 2 + 3{,}14 = 13{,}14$ см.

Жауабы: 4 см × 2 см тіктөртбұрыш үшін: $S = 6{,}43$ см², $P = 13{,}14$ см. Өз өлшеулеріңді қой.

C деңгейі

№ 258

Б.з.д. 240 жылы Эратосфеннің айтуы бойынша, Жер шарының радиусы $a$ км, мұндағы $a$ саны 7 және $10^3$ сандарының ең кіші ортақ еселігіне тең. $a$-ның мәнін табыңдар.

Шешуі. 7 мен 1000-ның 1-ден басқа ортақ бөлгіші жоқ. Демек, ЕКОЕ $= 7 \cdot 1000 = 7000$.

Жауабы: 7000 км.

№ 259

Қазіргі мәліметтерге байланысты Жер шарының радиусы $b$ км, мұндағы $b$ саны 44 597 санының $\frac{1}{7}$-іне тең. $b$-ның мәнін табыңдар.

Шешуі. $44,597 : 7 = 6371$.

Жауабы: 6371 км.

🌟 Салыстыр: Эратосфен 10%-дан аз қателесті, Мысырдан шықпай-ақ! Ол екі қаладағы таяқтардың көлеңкесін өлшеген.

№ 260

Жер бетінің ауданы шамамен $506\frac{2}{3}$ млн км². Ай бетінің ауданы шамамен 38 млн км². Ай бетінің ауданы Жер бетінің ауданының қандай бөлігін құрайды?

Шешуі. $38 : 506\frac{2}{3} = 38 : \frac{1520}{3} = \frac{38 \cdot 3}{1520} = \frac{114}{1520} = \frac{3}{40}$.

Жауабы: $\frac{3}{40}$ (яғни 7,5%).

№ 261

Ауданы 108 см² болатын шардың бетін толық бояу үшін ауданы 300 см² шардың бетін толық бояуға қажет сырдан қанша есе кем сыр қажет?

Шешуі. Сыр ауданға пропорционал: $300 : 108 = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.

Жауабы: $2\frac{7}{9}$ есе кем.

Хабарлама дайындаңдар

№ 262

$\pi$ саны туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Жақсы хабарлама — 5–7 дерек және сыныпқа көрсетуге болатын бір тәжірибе.

Шешуі. Жоспар үлгісі:

1. $\pi$ дегеніміз не: шеңбер ұзындығының диаметріне қатынасы, барлық шеңбер үшін бірдей.
2. Тәжірибе: банканы жіппен орап, өлшеп, диаметріне бөлу.
3. Ежелгі заман: Вавилонда 3,125, Мысырда шамамен 3,16 алған. Архимед $\pi$ санының $3\frac{10}{71}$ мен $3\frac{1}{7}$ арасында екенін дәлелдеген.
4. Санды $\pi$ әрпімен XVIII ғасырда белгілей бастады (оны Леонард Эйлер бекітті).
5. Үтірден кейінгі таңбалар шексіз көп, олар период болып қайталанбайды.
6. 14 наурыз — Пи санының күні.

Жауабы: жоғарыда үлгі келтірілген; деректерді энциклопедиядан тексер.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 263

Сандық сәуледе $C(8)$ нүктесін белгілеңдер. $C$ нүктесінен: 1) солға қарай 7 бірлікте; 2) оңға қарай 1,5 бірлікте; 3) солға қарай 6,5 бірлікте орналасқан нүктенің координатасын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Оңға — қосамыз, солға — азайтамыз.

Шешуі. 1) $8 - 7 = 1$; 2) $8 + 1{,}5 = 9{,}5$; 3) $8 - 6{,}5 = 1{,}5$.

Жауабы: 1) 1; 2) 9,5; 3) 1,5.

№ 264

Сандық сәуле салыңдар. Онда бірлік кесіндіні таңдап: 1) 5; 15; 35; 2) 40; 100; 150; 3) 0,5; 2,3; 3,1 сандарын көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бірлік кесіндіні сандарға қарай таңдаймыз. Үлкен сандар — бір бірлікке кішкентай қадам, бөлшектер — бөліктері бар ірі кесінді.

Шешуі.

1. Бір тор көз — 5 бірлік: 5 — 1 тор көз, 15 — 3 тор көз, 35 — 7 тор көз.
2. Бір тор көз — 10 бірлік: 40 — 4 тор көз, 100 — 10 тор көз, 150 — 15 тор көз.
3. Бірлік — 10 тор көз (бір тор көз = 0,1): 0,5 — 5 тор көз, 2,3 — 23 тор көз, 3,1 — 31 тор көз.

Жауабы: нүктелер сәуленің басынан 1, 3, 7; 4, 10, 15; 5, 23, 31 тор көзде тұрады.

Жадынама

• $\pi \approx 3{,}14$ — барлық шеңбер үшін бірдей.
• Шеңбердің ұзындығы: $C = 2\pi R = \pi d$.
• Дөңгелектің ауданы: $S = \pi R^2$ (радиусты өзіне өзін көбейтеміз!).
• Ауданы бойынша радиус: $R^2 = S : \pi$.
• Шеңбер — дөңгелектің шегарасы, сфера — шардың шегарасы.

Шағын тест