§ 51. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 10 тарау: Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер және олардың жүйелері. 144–148-беттер.

Нені үйренесің

• $ax + by + c = 0$ түріндегі екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуді танып білуді.
• $(x; y)$ жұбы теңдеудің шешімі болатынын тексеруді.
• Бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектеуді.
• Мәндес теңдеулер алуды: қосылғыштарды көшіруді, екі жағын көбейтуді және бөлуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1220 тапсырмасы. Теріс сандармен есептейміз.

• $a = 2$, $b : a = 8$. $b$ неге тең? $b = 8 \cdot 2 = $ 16.
• $b = -0{,}5$, $a : b = -100$. $a$-ны тап. $a = -100 \cdot (-0{,}5) = $ 50.
• $a = -3$, $a + b = -10$. $b$-ны тап. $b = -10 - (-3) = $ −7.
• $a = 1{,}5$, $a \cdot b = -15$. $b$-ны тап. $b = -15 : 1{,}5 = $ −10.

💡 Әр сұрақта біз бір санды және екі санның арасындағы байланысты білдік — екіншісін таптық. Бүгін де сол, тек екінші санды қалағанымызша таңдауға болады.

Тақырыпты талдаймыз

Екі «белгісізі» бар теңдеу

Дәптер 2 мың теңге, қаламсап — 3 мың теңге. Айгерімде 6 мың теңге бар, ол соны түгел жұмсағысы келеді. $x$ дәптер мен $y$ қаламсап сатып алса, $2x + 3y = 6$, яғни $2x + 3y - 6 = 0$ шығады.

Бұл — екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу.

📌 $ax + by + c = 0$ (мұндағы $a$, $b$, $c$ — қандай да бір сандар, және $a$ мен $b$ бір мезетте нөлге тең емес) түріндегі теңдеуді $x$ және $y$ екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу деп атайды.

Мысалдар: $-2x + 7y = 0$; $12x - 11y + 5 = 0$.

Шешім — бір жұп сан

Айгерім 3 дәптер және 0 қаламсап сатып ала алады: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 - 6 = 0$ ✓. Немесе 0 дәптер және 2 қаламсап: $0 + 6 - 6 = 0$ ✓. Әр шешім — жақшаға алынған сандар жұбы: $(3; 0)$, $(0; 2)$. Бірінші орында әрдайым $x$, екінші орында — $y$ тұрады.

📌 Екі айнымалысы бар теңдеудің шешімі — $x$ және $y$ орнына қойғанда дұрыс теңдік беретін сандар жұбы. Мұндай жұп берілген теңдеуді қанағаттандырады дейді.

🌟 Дұрыс сөйлеп үйрен. $(x; y)$ жазуы былай оқылады: «$x$, $y$ жұбы». Мысалы, $(6; 7)$ — «алты, жеті жұбы».

⚠️ Жиі кететін қате. Ретін шатастыру. $(3; 0)$ жұбы $2x + 3y - 6 = 0$ теңдеуіне келеді, ал $(0; 3)$ келмейді: $0 + 9 - 6 = 3 \ne 0$. Бірінші санды әрдайым $x$ орнына қоямыз!

Неше шешімі бар?

Есеп дүкен туралы болса, $x$ және $y$ — бүтін және теріс емес сандар. Бірақ математикада кез келген санды алуға болады. Кез келген $x$-ті қойсақ, біз $y$-і бар қарапайым теңдеу аламыз да, оны шығарамыз. Мысалы, $x = 1{,}5$: $3 + 3y - 6 = 0$, $y = 1$. $(1{,}5; 1)$ жұбы да — шешім!

$x$-ті шексіз көп тәсілмен таңдауға болатындықтан, шешімдері шексіз көп. Қара: $2x + 3y - 6 = 0$ теңдеуінің шешімдері бір түзуге орналасады.

💡 $b = 0$, ал $a \ne 0$ болса да, шешімдер шексіз көп. Мысалы, $3x + 0 \cdot y - 6 = 0$: $x = 2$, ал $y$ — кез келген сан. $(2; 0)$, $(2; 5)$, $(2; -100)$ … келеді.

📌 Екі айнымалысы бар теңдеуді шешу дегеніміз — оның барлық шешімін (шешімдер жиынын) табу.

Мәндес теңдеулер: не істеуге болады

Екі теңдеудің шешімдері бірдей болса, олар мәндес деп аталады. Теңдеуді ықшамдап, шешімдерді жоғалтпау үшін мыналарды істеуге болады:

1. Қосылғыштарды таңбасын өзгертіп, бір жағынан екінші жағына көшіру. $2x + 3y = -7x + 8y$ теңдеуі $2x + 7x = 8y - 3y$ теңдеуіне мәндес, яғни $9x = 5y$, немесе $9x - 5y = 0$.
2. Екі жағын да нөлге тең емес бір санға көбейту немесе бөлу. $6x + 8y - 10 = 0$ теңдеуін 2-ге бөлеміз — $3x + 4y - 5 = 0$ шығады. Ал $3{,}7x - 4{,}8y + 2 = 0$ теңдеуін 10-ға көбейтеміз — $37x - 48y + 20 = 0$ шығады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл — бір айнымалысы бар теңдеулердегі ережелердің дәл өзі. Бала адасса, еске салыңыз: «$2x + 5 = 11$ теңдеуімен не істедік? Мұнда да бәрі солай».

Бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектейміз

Көбіне $y$-ті «$x$ арқылы» жазу керек болады. $y$-ті жалғыз сол жағында қалдырамыз. Мысалы, $2x + 3y - 6 = 0$:

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуді қандай формуламен жазады? $ax + by + c = 0$, мұндағы $a$ және $b$ бір мезетте нөлге тең емес.
• Мұндай теңдеудің шешімі не болады? Теңдеуді дұрыс теңдікке айналдыратын $(x; y)$ сандар жұбы.
• Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің неше шешімі болуы мүмкін? Шексіз көп.
• Қандай жағдайда сандар жұбы теңдеуді қанағаттандырады дейді? Бұл жұп оның шешімі болғанда.
• Қандай теңдеулерді мәндес деп атайды? Барлық шешімдері бірдей теңдеулерді.
• Қандай түрлендірулер жасауға болады және неге? Қосылғыштарды қарама-қарсы таңбамен көшіруге; екі жағын да нөлге тең емес санға көбейтуге және бөлуге. Бұл дұрыс сандық теңдіктердің қасиеттерінен шығады, сондықтан шешімдер жоғалмайды да, жаңалары пайда болмайды.
• Неліктен $(0; 0)$, $(7; 2)$, $(14; 4)$, $(28; 8)$ жұптары $-2x + 7y = 0$ теңдеуін қанағаттандырады, ал $(1; 1)$ және $(5; 2)$ қанағаттандырмайды? Қоямыз: $-2 \cdot 7 + 7 \cdot 2 = 0$, $-28 + 28 = 0$, $-56 + 56 = 0$ — дұрыс. Ал $-2 + 7 = 5 \ne 0$ және $-10 + 14 = 4 \ne 0$.
• Неліктен $(11{,}5; 13)$ — $12x - 11y + 5 = 0$ теңдеуінің шешімі? $12 \cdot 11{,}5 - 11 \cdot 13 + 5 = 138 - 143 + 5 = 0$ — дұрыс.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1222

Берілген теңдеу екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу бола ма: 1) $12x + 3y + 5 = 0$; 2) $-7x + 8y - 4 = 0$; 3) $1\frac{2}{3}x - 8y = 0$; 4) $3{,}5x + 0 \cdot y + 150$?

Қалай ойлаймыз. $ax + by + c = 0$ түрімен салыстырамыз. $a$ мен $b$ екеуі де нөл болмауы маңызды. $c$ саны нөл бола алады.

Шешуі.

1. Иә: $a = 12$, $b = 3$, $c = 5$.
2. Иә: $a = -7$, $b = 8$, $c = -4$.
3. Иә: $a = 1\frac{2}{3}$, $b = -8$, $c = 0$.
4. Мұнда «$= 0$» жетіспейді — теңдеу емес, өрнек жазылған. Егер $3{,}5x + 0 \cdot y + 150 = 0$ деп толықтырсақ, бұл сызықтық теңдеу болады: $a = 3{,}5 \ne 0$, ал $b = 0$ — олай болуы мүмкін.

Жауабы: 1) иә; 2) иә; 3) иә; 4) жазылғандай — бұл теңдеу емес; $3{,}5x + 0 \cdot y + 150 = 0$ теңдеуі — сызықтық.

№ 1223

Берілген $x$ және $y$ айнымалыларының мәндері $2x + 3y - 6 = 0$ теңдеуін қанағаттандыратынын дәлелдеңдер: 1) $x = 3$, $y = 0$; 2) $x = 0$, $y = 2$; 3) $x = -1{,}5$, $y = 3$; 4) $x = 9$, $y = -4$.

Қалай ойлаймыз. Қойып, 0 шығатынын тексереміз.

Шешуі.

1. $2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 - 6 = 6 - 6 = 0$ ✓
2. $2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0$ ✓
3. $2 \cdot (-1{,}5) + 3 \cdot 3 - 6 = -3 + 9 - 6 = 0$ ✓
4. $2 \cdot 9 + 3 \cdot (-4) - 6 = 18 - 12 - 6 = 0$ ✓

Жауабы: төрт жұптың бәрі теңдеуді қанағаттандырады.

№ 1224

$(2; 1)$, $(0; 0{,}2)$, $(-0{,}5; 0)$, $(12; 5)$, $(10; 4{,}2)$ сандар жұбы $-2x + 5y - 1 = 0$ теңдеуінің шешімі болатынын дәлелдеңдер.

Шешуі.

1. $(2; 1)$: $-4 + 5 - 1 = 0$ ✓
2. $(0; 0{,}2)$: $0 + 1 - 1 = 0$ ✓
3. $(-0{,}5; 0)$: $1 + 0 - 1 = 0$ ✓
4. $(12; 5)$: $-24 + 25 - 1 = 0$ ✓
5. $(10; 4{,}2)$: $-20 + 21 - 1 = 0$ ✓

Жауабы: барлық жұптар — шешім.

№ 1225

$(1; -5)$, $(1{,}25; 2)$, $(-5; 1)$, $(-1{,}25; -2)$, $(0; -12)$, $(2{,}75; 0)$ жұптарының қайсылары: 1) $7x - y = 12$; 2) $4x + 3y = 11$ теңдеуінің шешімі болады?

Қалай ойлаймыз. Әр жұпты сол жақ бөлігіне қойып, оң жағымен салыстырамыз.

Шешуі.

Жауабы: 1) $(1; -5)$ және $(0; -12)$; 2) $(1{,}25; 2)$ және $(2{,}75; 0)$.

№ 1226

Сызықтық теңдеудегі $x$ айнымалысын $y$ айнымалысы арқылы өрнектеңдер: 1) $x - 3y + 5 = 0$; 2) $-2x + y - 7 = 0$; 3) $5x + 11y - 3 = 0$; 4) $-7x + 6y - 1 = 0$.

Қалай ойлаймыз. $x$-і бар қосылғышты сол жақта қалдырамыз, қалғанын қарама-қарсы таңбамен оң жаққа көшіреміз. Сосын $x$-тің алдындағы санға бөлеміз.

Шешуі.

1. $x = 3y - 5$.
2. $-2x = 7 - y$, −2-ге бөлеміз: $x = \frac{y - 7}{2} = 0{,}5y - 3{,}5$.
3. $5x = 3 - 11y$, $x = \frac{3 - 11y}{5} = 0{,}6 - 2{,}2y$.
4. $-7x = 1 - 6y$, $x = \frac{6y - 1}{7}$.

Жауабы: 1) $x = 3y - 5$; 2) $x = 0{,}5y - 3{,}5$; 3) $x = 0{,}6 - 2{,}2y$; 4) $x = \frac{6y - 1}{7}$.

№ 1227

Сызықтық теңдеудегі $y$ айнымалысын $x$ айнымалысы арқылы өрнектеңдер: 1) $9x + y - 16 = 0$; 2) $5x + 3y + 1 = 0$; 3) $11x - y + 20 = 0$; 4) $6x - 12y + 19 = 0$.

Қалай ойлаймыз. Сол тәсіл, тек $y$-ті қалдырамыз.

Шешуі.

1. $y = 16 - 9x$.
2. $3y = -5x - 1$, $y = -\frac{5x + 1}{3}$.
3. $-y = -11x - 20$, −1-ге көбейтеміз: $y = 11x + 20$.
4. $-12y = -6x - 19$, −12-ге бөлеміз: $y = \frac{6x + 19}{12} = 0{,}5x + 1\frac{7}{12}$.

Жауабы: 1) $y = 16 - 9x$; 2) $y = -\frac{5x + 1}{3}$; 3) $y = 11x + 20$; 4) $y = \frac{6x + 19}{12}$.

B деңгейі

№ 1228

Мына теңдеулердің мәндес болатынын дәлелдеңдер: 1) $1{,}5x + 8y - 9 = 0$ және $1{,}5x = 9 - 8y$; 2) $3x + 6y - 2{,}4 = 0$ және $x + 2y - 0{,}8 = 0$.

Қалай ойлаймыз. Бір теңдеудің екіншісінен рұқсат етілген түрлендірулер арқылы шығатынын көрсетеміз.

Шешуі.

1. Бірінші теңдеуде $8y$ пен $-9$-ды қарама-қарсы таңбамен оң жаққа көшіреміз: $1{,}5x = 9 - 8y$. Бұл — екінші теңдеу. Қосылғыштарды көшіру мәндес теңдеу береді.
2. Бірінші теңдеудің екі жағын да 3-ке бөлеміз (бұл нөл емес): $x + 2y - 0{,}8 = 0$. Екінші теңдеу шықты.

Жауабы: әр жұптағы теңдеулер мәндес.

№ 1229

$m$-нің қандай мәнінде: 1) $(-3; 0{,}5)$ жұбы $mx + 8y - 1 = 0$; 2) $\left(\frac{7}{9}; -2\right)$ жұбы $-9x + my + 4 = 0$ теңдеуінің шешімі болады?

Қалай ойлаймыз. $x$ пен $y$-ті қоямыз. $m$ деген бір әрпі бар теңдеу қалады — оны шығарамыз.

Шешуі.

1. $m \cdot (-3) + 8 \cdot 0{,}5 - 1 = 0$, яғни $-3m + 3 = 0$, $m = 1$.
2. $-9 \cdot \frac{7}{9} + m \cdot (-2) + 4 = 0$, яғни $-7 - 2m + 4 = 0$, $-2m = 3$, $m = -1{,}5$.

Жауабы: 1) $m = 1$; 2) $m = -1{,}5$.

C деңгейі

№ 1230

Берілген теңдеуге мәндес теңдеуді жазыңдар: 1) $x + 2y = 0{,}4$; 2) $-6x + y = -1{,}2$; 3) $\frac{5}{6}x - 1{,}2y = 1$; 4) $2{,}5x - 3\frac{1}{7}y - 3{,}5 = 0$.

Қалай ойлаймыз. Нұсқалар шексіз көп. Бөлшектер мен үтірлер кетіп қалатындай санға көбейткен ең ыңғайлы.

Шешуі. Мысалдар:

1. 5-ке көбейтеміз: $5x + 10y = 2$.
2. 5-ке көбейтеміз: $-30x + 5y = -6$.
3. 30-ға көбейтеміз: $25x - 36y = 30$.
4. $3\frac{1}{7} = \frac{22}{7}$. 14-ке көбейтеміз: $35x - 44y - 49 = 0$.

Жауабы: мысалы, $5x + 10y = 2$; $-30x + 5y = -6$; $25x - 36y = 30$; $35x - 44y - 49 = 0$.

Қайталау

№ 1231

$\left(23\frac{5}{7} - 25\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-2\frac{2}{41}\right) \cdot 30 + 1\frac{2}{3} : \frac{1}{3}$ өрнегінің мәні еліміздің Қызыл кітабына енген омыртқалы жануарлар түрінің санын береді. Оны табыңдар.

Шешуі.

1. $23\frac{5}{7} - 25\frac{2}{3} = -\left(25\frac{14}{21} - 23\frac{15}{21}\right) = -1\frac{20}{21} = -\frac{41}{21}$.
2. $-\frac{41}{21} \cdot \left(-\frac{84}{41}\right) = \frac{84}{21} = 4$.
3. $4 \cdot 30 = 120$.
4. $1\frac{2}{3} : \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \cdot 3 = 5$.
5. $120 + 5 = 125$.

Жауабы: 125 түр.

№ 1232

$\begin{cases} 4x + 16{,}8 \ge 404{,}8, \ 6x - 4{,}5 \le 655{,}5 \end{cases}$ теңсіздіктер жүйесінің шешімі болатын ең кіші бүтін санды табыңдар. Табылған сан еліміздің Қызыл кітабына енген омыртқасыз жануарлар түрінің санын береді.

Қалай ойлаймыз. Әр теңсіздікті шығарамыз, ортақ бөлігін аламыз да, одан ең кіші бүтін санды іздейміз.

Шешуі.

1. $4x \ge 404{,}8 - 16{,}8 = 388$, $x \ge 97$.
2. $6x \le 655{,}5 + 4{,}5 = 660$, $x \le 110$.
3. Жүйенің шешімдері: $97 \le x \le 110$.
4. Мұндағы ең кіші бүтін сан — 97-нің өзі.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда 98 тұр, бірақ дұрысы — 97: теңсіздік қатаң емес ($x \ge 97$), сондықтан 97 саны жүйені қанағаттандырады және ол — ең кіші бүтін сан.

Жауабы: 97.

🌟 Қазақстанның Қызыл кітабына сирек кездесетін және құрып бара жатқан жануарлар енгізіледі: қар барысы, құлан, киік, қызғылт қоқиқаз. Түрлердің нақты саны кітаптың әртүрлі басылымдарында әртүрлі.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 1233

1) $a \le 7\frac{3}{8}$; $b \le 400$; 2) $a \ge 4{,}25$; $b \ge 8{,}4$ болса, қабырғалары $a$ см және $b$ см-ге тең тіктөртбұрыштың $S$ ауданы туралы не айтуға болады?

Қалай ойлаймыз. Қабырғалар оң. Екі жағы да оң бірдей таңбалы теңсіздіктерді көбейтуге болады: $a \le 7\frac{3}{8}$ және $b \le 400$ болса, $ab \le 7\frac{3}{8} \cdot 400$.

Шешуі.

1. $7\frac{3}{8} \cdot 400 = 7{,}375 \cdot 400 = 2950$, демек, $S \le 2950$ см² (және, әрине, $S > 0$).
2. $4{,}25 \cdot 8{,}4 = 35{,}7$, демек, $S \ge 35{,}7$ см².

Жауабы: 1) $S \le 2950$ см²; 2) $S \ge 35{,}7$ см².

№ 1234

$a = \frac{1}{2}(m - n)$ және $b = 0{,}5(m + n)$ болғандағы $6a - 20b$ өрнегін ықшамдаңдар.

Қалай ойлаймыз. $a$ мен $b$ орнына олардың өрнектерін қоямыз, жақшаны ашамыз, ұқсас мүшелерді біріктіреміз. Жақшаның алдындағы минусқа мұқият бол!

Шешуі. $6a - 20b = 3m - 3n - 10m - 10n = -7m - 13n$.

Жауабы: $-7m - 13n$.

Жадынама

• Шешімді тексеру: $x$ пен $y$-ті қойып, теңдіктің дұрыс-бұрыстығына қара.
• $y$-ті $x$ арқылы өрнектеу: $y$-ті жалғыз сол жақта қалдыр, оның алдындағы санға бөл.
• Кез келген $x$-ті қой — өз $y$-іңді аласың, яғни тағы бір шешім.
• Белгісіз $m$ коэффициентін жұпты теңдеуге қою арқылы табамыз.

Шағын тест