§ 52. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесі — Математика 6 сынып, Әбілқасымова: талдау және жауаптар
Ookul.kz · сабақ талдау
Орысша

Кез келген есепті бірге талдайық!

§ 52. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесі

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 10 тарау: Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер және олардың жүйелері. 149–151-беттер.

Нені үйренесің

  • Екі теңдеуден тұратын жүйе деген не екенін және оны қалай жазатынын.
  • Сандар жұбының жүйенің шешімі болатын-болмайтынын тексеруді.
  • Мәндес жүйелерді мәндес емес жүйелерден ажыратуды.
  • Жүйенің шешімі белгілі болса, белгісіз коэффициенттерді табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1233 және № 1234 тапсырмалары. Ауызша немесе қолжазбада шығарып көр.

  • Тіктөртбұрыштың қабырғалары $a \le 7\frac{3}{8}$ см және $b \le 400$ см. Ауданы туралы не айтуға болады? $S \le 7\frac{3}{8} \cdot 400 = 2950$. Ауданы 2950 см²-ден артық емес.
  • Ал $a \ge 4{,}25$ және $b \ge 8{,}4$ болса ше? $S \ge 4{,}25 \cdot 8{,}4 = 35{,}7$. Ауданы 35,7 см²-ден кем емес.
  • $a = \frac{1}{2}(m - n)$, $b = 0{,}5(m + n)$ болғанда $6a - 20b$ өрнегін ықшамда. $3(m - n) - 10(m + n) = 3m - 3n - 10m - 10n = -7m - 13n$.
  • $(3; 4)$ жұбы $x + y = 7$ теңдеуіне сай келе ме? Ал $(2; 5)$ жұбы ше? Екеуі де сай келеді: $3 + 4 = 7$ және $2 + 5 = 7$.

💡 Соңғы сұрақ — сабақтың кілті. Екі айнымалысы бар бір теңдеуге өте көп жұп сай келеді. Біреуін таңдау үшін екінші шарт керек.

Тақырыпты талдаймыз

Екі шарт туралы жұмбақ

Арман мен Дана барлығы 7 алма жинады. Дананың алмасы Арманның алмасынан екі есе көп, бірақ екеуі кем. Әрқайсысында қанша алма бар?

Арманда $x$ алма, Данада $y$ алма болсын. Бірінші шарт: $x + y = 7$. Екінші: $y = 2x - 2$, яғни $2x - y = 2$. Бізге екі теңдеуге де бірдей сай келетін сандар керек.

Фигуралық жақша — «бір мезгілде» белгісі

Мұндай теңдеулерді фигуралық жақшаның астына бірге жазады:

$\begin{cases} x + y - 7 = 0, \ 2x - y - 2 = 0. \end{cases}$

Бұл — екі айнымалысы бар екі сызықтық теңдеулер жүйесі. Жақша былай дейді: «екі теңдік те бір мезгілде орындалуы керек».

📌 Жүйенің шешімі — әрбір теңдеуін бір мезгілде тура санды теңдікке айналдыратын $(x; y)$ сандар жұбы. Жүйені шешу дегеніміз — оның барлық шешімін табу немесе шешімі болмайтынын көрсету.

Жұпты тексереміз

$(3; 4)$ жұбын алайық: $3 + 4 - 7 = 0$ — дұрыс; $2 \cdot 3 - 4 - 2 = 0$ — дұрыс. Демек, $(3; 4)$ — жүйенің шешімі: Арманда 3 алма, Данада 4 алма.

Ал $(2; 5)$ жұбы ше? Бірінші теңдеу: $2 + 5 - 7 = 0$ — дұрыс. Екінші: $2 \cdot 2 - 5 - 2 = -3$, ал 0 емес. Бір «иә» аздық етеді, жұп шешім болмайды.

⚠️ Жиі кететін қате. Жұпты бірінші теңдеуге қойып, тура теңдік шықты да, бірден «шешімі болады» деп жазады. Олай емес! Жүйенің барлық теңдеуін тексеру керек.

Суреттен қарайық

Екі айнымалысы бар әрбір сызықтық теңдеу — координаталық жазықтықтағы түзу. Жүйенің шешімі — түзулердің қиылысқан нүктесі. Нүктені түзулер кездесетін жерге қой.

💡 Екі түзу қиылыса алады (бір шешім), параллель болады (шешімі жоқ) немесе беттесіп кетеді (шешімі шексіз көп). Екі сызықтық теңдеулер жүйесінде басқа нұсқа болмайды.

Мәндес жүйелер

📌 Екі жүйенің шешімдері бірдей болса, олар мәндес жүйелер деп аталады.

Мысалы, екінші теңдеуді 2-ге көбейтейік. Мынадай жүйе шығады: $\begin{cases} x + y = 7, \ 4x - 2y = 4. \end{cases}$ Оның шешімі де сол $(3; 4)$ жұбы, демек, жүйелер мәндес.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан былай айтып көруін сұраңыз: «Жұп — жүйенің шешімі, егер ол бірінші және екінші теңдеуге сай келсе». Мұндағы «және» сөзі ең маңыздысы.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

  • Екі айнымалысы бар екі теңдеуден тұратын жүйе не үшін керек? Бір мезгілде екі шартқа бағынатын сандар жұбын табу үшін. Белгісіз екеу, ал олар туралы екі дерек белгілі болатын есептерді осылай шығарады.
  • Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі не болады? Жүйенің әрбір теңдеуін тура теңдікке айналдыратын $(x; y)$ сандар жұбы.
  • Қандай жүйелерді мәндес деп атайды? Шешімдері бірдей жүйелерді.
  • Бір жүйенің шешімі тек $(2; 1)$, екіншісінің шешімі тек $(1; 2)$ болса, олар мәндес бола ма? Жоқ. Жұптағы бірінші сан — $x$, екіншісі — $y$. $(2; 1)$ және $(1; 2)$ жұптары әртүрлі.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1235

$(1; -1)$, $(-1; -1)$ сандар жұбы: 1) $2{,}7x - 8{,}1y = 11{,}8$, $16x - 15y = 1$; 2) $21x - 20y = -16$, $9x - 10y = 1$ теңдеулер жүйесінің шешімі бола ма?

Қалай ойлаймыз. Жұпты бірінші теңдеуге қоямыз. Егер сонда-ақ дұрыс болмаса, әрі қарай тексермеуге болады.

Шешуі.

  1. $(1; -1)$ жұбы: $2{,}7 \cdot 1 - 8{,}1 \cdot (-1) = 2{,}7 + 8{,}1 = 10{,}8$, ал 11,8 болуы керек — шешім емес. $(-1; -1)$ жұбы: $-2{,}7 + 8{,}1 = 5{,}4$, ал 11,8 болуы керек — шешім емес.

  2. $(1; -1)$ жұбы: $21 + 20 = 41$, ал $-16$ болуы керек — шешім емес. $(-1; -1)$ жұбы: $-21 + 20 = -1$, ал $-16$ болуы керек — шешім емес. Айтпақшы, екінші теңдеуді ол қанағаттандырады: $-9 + 10 = 1$. Бірақ бір теңдеу аздық етеді.

Жауабы: жұптардың ешқайсысы бірінші де, екінші де жүйенің шешімі емес.

📕 Шартта қате бар сияқты: жұптардың ешқайсысы жүйелердің ешқайсысына сай келмейді (мысалы, 1)-де $(1; -1)$ жұбында 11,8 орнына 10,8 шығады).

№ 1236

1) $5x - 3{,}6y = -7$, $8{,}4x - 9y = 3$; 2) $-7{,}2x + 11y = -19$, $5{,}8x - 13y = 36$ теңдеулер жүйесінің $(-5; -5)$ сандар жұбы шешімі болатынын, $(5; -5)$ сандар жұбы шешімі болмайтынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. «Шешімі болады» дегенді дәлелдеу үшін екі теңдеуді де тексереміз. «Шешімі болмайды» дегенді дәлелдеу үшін бір ғана дұрыс емес теңдік жеткілікті.

Шешуі.

  1. $(-5; -5)$: $5 \cdot (-5) - 3{,}6 \cdot (-5) = -25 + 18 = -7$ ✓; $8{,}4 \cdot (-5) - 9 \cdot (-5) = -42 + 45 = 3$ ✓. $(5; -5)$: $25 + 18 = 43$, ал $-7$ емес ✗.

  2. $(-5; -5)$: $-7{,}2 \cdot (-5) + 11 \cdot (-5) = 36 - 55 = -19$ ✓; $5{,}8 \cdot (-5) - 13 \cdot (-5) = -29 + 65 = 36$ ✓. $(5; -5)$: $-36 - 55 = -91$, ал $-19$ емес ✗.

Жауабы: дәлелденді: $(-5; -5)$ — екі жүйенің де шешімі, $(5; -5)$ — шешімі емес.

№ 1237

$(3; -3)$, $(-3; -3)$, $(-3; 3)$, $(3; 3)$ сандар жұбының қайсылары: 1) $-10x + 13y + 9 = 0$, $27x - 19y + 24 = 0$; 2) $6{,}5x + 8{,}1y - 4{,}89 = 0$, $-14x - 23y - 27 = 0$ теңдеулер жүйесін қанағаттандырады?

Қалай ойлаймыз. Алдымен жұптарды бірінші теңдеу бойынша іріктейміз, қалғандарын екінші теңдеуде тексереміз.

Шешуі.

  1. Бірінші теңдеу, $-10x + 13y + 9$ өрнегі:
  • $(3; -3)$: $-30 - 39 + 9 = -60$ ✗;
  • $(-3; -3)$: $30 - 39 + 9 = 0$ ✓;
  • $(-3; 3)$: $30 + 39 + 9 = 78$ ✗;
  • $(3; 3)$: $-30 + 39 + 9 = 18$ ✗.

$(-3; -3)$ жұбы екінші теңдеуде: $27 \cdot (-3) - 19 \cdot (-3) + 24 = -81 + 57 + 24 = 0$ ✓.

  1. Бірінші теңдеу, $6{,}5x + 8{,}1y - 4{,}89$ өрнегі:
  • $(3; -3)$: $19{,}5 - 24{,}3 - 4{,}89 = -9{,}69$ ✗;
  • $(-3; -3)$: $-19{,}5 - 24{,}3 - 4{,}89 = -48{,}69$ ✗;
  • $(-3; 3)$: $-19{,}5 + 24{,}3 - 4{,}89 = -0{,}09$ ✗ (дерлік, бірақ нөл емес!);
  • $(3; 3)$: $19{,}5 + 24{,}3 - 4{,}89 = 38{,}91$ ✗.

Жауабы: 1) тек $(-3; -3)$; 2) жұптардың ешқайсысы емес.

№ 1238

1) $4x + 5y = 1{,}5$, $8x + 10y = 3$; 2) $1{,}2x - 1{,}7y = -4{,}4$, $-6x + 8{,}5y = 22$ теңдеулер жүйесінің шексіз көп шешімі болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Егер бір теңдеу екіншісінен санға көбейту арқылы шықса, бұл — шын мәнінде бір ғана теңдеу. Ал екі айнымалысы бар бір теңдеудің шешімі шексіз көп.

Шешуі.

  1. Бірінші теңдеуді 2-ге көбейтеміз: $8x + 10y = 3$ — бұл дәл екінші теңдеу. Бірінші теңдеуге сай келетін кез келген жұп екіншісіне де сай келеді. Мысалы, $(0; 0{,}3)$, $(1; -0{,}5)$, $(-1; 1{,}1)$ және тағы басқалары.

  2. Бірінші теңдеуді $-5$-ке көбейтеміз: $-6x + 8{,}5y = 22$ — тағы да екінші теңдеу. Мысалы, $(2; 4)$ және $(10{,}5; 10)$ жұптары сай келеді, тағы шексіз көп басқалары бар.

Жауабы: екі жүйеде де екінші теңдеу біріншісіне мәндес, сондықтан шешімі шексіз көп.

💡 Суретте бұл — беттесетін екі түзу: олардың барлық нүктесі ортақ.

B деңгейі

№ 1239

Теңдеулер жүйесі мәндес бола ма: 1) $6x - 8y - 1{,}2 = 0$, $3x + 5y - 0{,}2 = 0$ және $3x = 0{,}6 + 4y$, $15x = -1 - 25y$; 2) $10x - 7y - 1 = 0$, $-1{,}2y + 6x + 5 = 0$ және $0{,}7y = x - 0{,}1$, $y = 5x + 4\frac{1}{6}$?

Қалай ойлаймыз. Бәрін сол жаққа көшіріп, теңдеулерді салыстырамыз: біреуі екіншісінен санға көбейту арқылы шықпай ма.

Шешуі.

  1. $3x = 0{,}6 + 4y$ → $3x - 4y - 0{,}6 = 0$. 2-ге көбейтеміз: $6x - 8y - 1{,}2 = 0$ — бірінші жүйенің бірінші теңдеуімен сәйкес келеді. $15x = -1 - 25y$ → $15x + 25y + 1 = 0$. Ал бірінші жүйенің екінші теңдеуін 5-ке көбейтсек: $15x + 25y - 1 = 0$. Бос мүшелері әртүрлі: $+1$ және $-1$. Шешімдерін тексерейік. Бірінші жүйе: $3x + 5y = 0{,}2$ және $3x - 4y = 0{,}6$; азайтамыз: $9y = -0{,}4$. Екінші жүйе: $3x + 5y = -0{,}2$ және $3x - 4y = 0{,}6$; азайтамыз: $9y = -0{,}8$. $y$-тің мәндері әртүрлі — демек, шешімдері де әртүрлі.

  2. $0{,}7y = x - 0{,}1$ → 10-ға көбейтеміз: $7y = 10x - 1$ → $10x - 7y - 1 = 0$ ✓ (бірінші теңдеу). $y = 5x + 4\frac{1}{6}$ → $1{,}2$-ге көбейтеміз: $1{,}2y = 6x + 5$ → $-1{,}2y + 6x + 5 = 0$ ✓ (екінші теңдеу). Теңдеулер жұптасып мәндес, демек, жүйелер де мәндес.

Жауабы: 1) жоқ; 2) иә.

№ 1240

1) $x + y = 10$, $xy = 16$; 2) $x - y = 5$, $xy = 24$ теңдеулер жүйесінің шешімі болатындай сандар жұбын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұндағы екінші теңдеулер сызықтық емес, сондықтан ең оңай жол — іріктеу. Бір теңдеу үшін жұптарды санап шығып, екіншісін тексереміз.

Шешуі.

  1. Қосындысы 10 болатын жұптар: $1 \cdot 9 = 9$, $2 \cdot 8 = 16$ ✓. $(2; 8)$ және $(8; 2)$ сай келеді.

  2. Көбейтіндісі 24 болатындар: 1 және 24, 2 және 12, 3 және 8, 4 және 6. Айырымы 5 тек $8 - 3 = 5$ жұбында: шешімі $(8; 3)$. Теріс сандарды ұмытпа: $-3 - (-8) = 5$ және $(-3) \cdot (-8) = 24$, демек, $(-3; -8)$ да сай келеді.

Жауабы: 1) $(2; 8)$ және $(8; 2)$; 2) $(8; 3)$ және $(-3; -8)$.

C деңгейі

№ 1241

$(3; -4)$ сандар жұбы: 1) $ax - 0{,}5y - 14 = 0$, $-2x + by - 11{,}6 = 0$; 2) $-\frac{5}{6}x + by = -28{,}5$, $ax - 3y = 14\frac{2}{3}$ теңдеулер жүйесінің шешімі болатындай $a$ және $b$ сандарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жұп — шешім, демек, $x = 3$, $y = -4$ қойғанда екі теңдік те тура болады. Әр теңдеуде бір ғана белгісіз әріп қалады.

Шешуі.

  1. $3a - 0{,}5 \cdot (-4) - 14 = 0$ → $3a + 2 - 14 = 0$ → $3a = 12$ → $a = 4$. $-2 \cdot 3 + b \cdot (-4) - 11{,}6 = 0$ → $-6 - 4b - 11{,}6 = 0$ → $-4b = 17{,}6$ → $b = -4{,}4$.

  2. $-\frac{5}{6} \cdot 3 - 4b = -28{,}5$ → $-2{,}5 - 4b = -28{,}5$ → $-4b = -26$ → $b = 6{,}5$. $3a - 3 \cdot (-4) = 14\frac{2}{3}$ → $3a + 12 = 14\frac{2}{3}$ → $3a = \frac{8}{3}$ → $a = \frac{8}{9}$.

Жауабы: 1) $a = 4$, $b = -4{,}4$; 2) $a = \frac{8}{9}$, $b = 6{,}5$.

№ 1242

Екі белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесін Ежелгі Вавилонда б.з.б. екінші мыңжылдықтың басынан бастап шеше білгені туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Хабарлама — 5–7 сөйлем: қайда, қашан, қалай жазды, есептің мысалы. Егжей-тегжейін энциклопедиядан нақтыла.

Шешуі. Хабарламаның мысалы:

🌟 Шамамен 4000 жыл бұрын Вавилон жазбашылары (қазіргі Ирак жерінде) есептерді сына жазумен балшық тақтайшаларға жазған. Олардың арасында екі танапқа арналған есептер бар: олардың жалпы ауданы және өнімдерінің айырмасы белгілі, ал әр танаптың ауданын табу керек. Бүгін біз мұндай есепті екі теңдеуден тұратын жүйемен жазар едік. Вавилондықтарда $x$ және $y$ әріптері болмаған: шартты сөзбен сипаттап, дайын «рецепт» бойынша шешкен. Кейін Қытайда да осындай есептерді шешкен: «Тоғыз кітептегі математика» еңбегінде біздің қосу тәсілімізге өте ұқсас әдіс сипатталған. Әріптік жазуды Еуропада тек XVI–XVII ғасырларда ойлап тапты.

Жауабы: хабарламаның мысалы жоғарыда (деректер мен жылдарды дереккөзден тексеріңдер).

Қайталау

№ 1243

$|8x - 5| \le 11$ теңсіздігі тура болатындай ең кіші және ең үлкен натурал санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Модуль 11-ден артық емес — демек, $8x - 5$ саны $-11$ мен $11$ аралығында жатыр.

Шешуі.

  1. $-11 \le 8x - 5 \le 11$.
  2. 5-ті қосамыз: $-6 \le 8x \le 16$.
  3. 8-ге бөлеміз: $-0{,}75 \le x \le 2$.
  4. Осы кесіндідегі натурал сандар: 1 және 2.

Жауабы: ең кішісі 1, ең үлкені 2.

№ 1244

$|6 - x| < 12$ теңсіздігі тура болатындай ең кіші және ең үлкен натурал санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Модуль 12-ден кем — демек, $6 - x$ саны $-12$ мен $12$ аралығында жатыр. Бұл жолы теңсіздік қатаң: шеткі нүктелер кірмейді.

Шешуі.

  1. $-12 < 6 - x < 12$.
  2. 6-ны азайтамыз: $-18 < -x < 6$.
  3. $-1$-ге көбейтіп, теңсіздік белгілерін қарама-қарсы қоямыз: $-6 < x < 18$.
  4. Бұл аралықтағы натурал сандар: 1-ден 17-ге дейін.

Жауабы: ең кішісі 1, ең үлкені 17.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 1245

$5(6x - 7) - 4(7x - 3) = 9x + 26$ теңдеуін шешіңдер.

Шешуі.

  1. Жақшаларды ашамыз: $30x - 35 - 28x + 12 = 9x + 26$.
  2. Сол жағын ықшамдаймыз: $2x - 23 = 9x + 26$.
  3. Көшіреміз: $2x - 9x = 26 + 23$, $-7x = 49$, $x = -7$.

Жауабы: $x = -7$.

№ 1246

Егер $m = a + b$ және $n = a - b$ болса, онда $1{,}1m - 2{,}7n$ өрнегін ықшамдаңдар.

Қалай ойлаймыз. $m$ мен $n$ орнына жақшадағы өрнектерді қоямыз. Мұндай алмастыру жүйелерді шешуде жақында көмектеседі.

Шешуі. $1{,}1(a + b) - 2{,}7(a - b) = 1{,}1a + 1{,}1b - 2{,}7a + 2{,}7b = -1{,}6a + 3{,}8b$.

Жауабы: $-1{,}6a + 3{,}8b$.

Жадынама

  • Жұпты жүйенің әрбір теңдеуінде тексереміз.
  • Бір дұрыс емес теңдік болса — жұп шешім емес.
  • Теңдеуді нөлге тең емес санға көбейтсек, жүйе мәндес болып қалады.
  • $(x; y)$ жұбында реттің маңызы бар: $(2; 1)$ және $(1; 2)$ — әртүрлі жұптар.

Шағын тест

← § 51. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу · § 53. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешу →