§ 53. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 10 тарау: Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер және олардың жүйелері. 152–157-беттер.

Нені үйренесің

• Теңдеулерін қосу немесе азайту арқылы жүйені шешуді.
• Бір айнымалы «жойылып кетуі» үшін көбейткіштерді таңдауды.
• Шешімі жоқ жүйелерді танып білуді.
• Жақшалары мен бөлшектері бар күрделі жүйелерді шешер алдында ықшамдауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1245 және № 1246 тапсырмалары, және тағы бір жылыну.

• $5(6x - 7) - 4(7x - 3) = 9x + 26$ теңдеуін шеш. $2x - 23 = 9x + 26$, $-7x = 49$, $x = -7$.
• $m = a + b$, $n = a - b$ болғанда $1{,}1m - 2{,}7n$ өрнегін ықшамда. $1{,}1a + 1{,}1b - 2{,}7a + 2{,}7b = -1{,}6a + 3{,}8b$.
• $(x + 2y) + (3x - 2y)$ қосындысы неге тең? $4x$ — $2y$ және $-2y$ қосылғыштары бір-бірін жойып жіберді.
• $a = b$ және $c = d$ болса, $a + c = b + d$ дұрыс па? Иә. Тең сандарға тең сандарды қосқанда тең сандар шығады.

💡 Соңғы екі сұрақ — сабақтың бар құпиясы. Теңдеулерді қосамыз, сонда бір айнымалы жоғалады.

Тақырыпты талдаймыз

Жоғалып кететін айнымалы туралы бір қиял

Мына жүйеге қарашы:

$\begin{cases} x + 2y - 5 = 0, \ 3x - 2y + 17 = 0. \end{cases}$

Бірінші теңдеуде $2y$, екіншісінде $-2y$ бар. Сол жақтарын да, оң жақтарын да қоссақ, $y$ жоғалады:

$(x + 2y - 5) + (3x - 2y + 17) = 0 + 0$, яғни $4x + 12 = 0$.

Енді бір айнымалысы бар теңдеу шықты: $4x = -12$, $x = -3$. $x = -3$ мәнін бірінші теңдеуге қоямыз: $-3 + 2y - 5 = 0$, $2y = 8$, $y = 4$.

Шешімі: $(-3; 4)$. Мұндай тәсілді қосу тәсілі деп атайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан қосқанда бір-бірін «жеп қоятын» қосылғыштар жұбын қарындашпен дөңгелектеп алуын сұраңыз. Мұндай жұп болмаса, алдымен теңдеулерді қолайлы сандарға көбейту керек.

Қашан азайту керек

$\begin{cases} 8x + 13y - 73 = 0, \ 8x - 12y + 52 = 0 \end{cases}$ жүйесі. Мұнда қарама-қарсы емес, бірдей $8x$ қосылғыштары тұр. Екінші теңдеуді $-1$-ге көбейтіп, қосуға болады. Ал жай ғана бірінші теңдеуден екіншісін азайтуға да болады:

$(8x + 13y - 73) - (8x - 12y + 52) = 0$, яғни $25y - 125 = 0$, $y = 5$.

Қоямыз: $8x + 65 - 73 = 0$, $8x = 8$, $x = 1$. Шешімі: $(1; 5)$.

📌 Теңдеулерді азайтуды алгебралық қосу тәсілі деп те атайды. Себебі азайтуды қосумен алмастыра аламыз: $a - b = a + (-b)$.

⚠️ Жиі кететін қате. Азайтқанда екінші теңдеудің барлық қосылғышының таңбасын өзгертуді ұмытады: $13y - (-12y)$ — бұл $25y$, ал $y$ емес. Және $-73 - 52 = -125$.

Қашан алдымен көбейту керек

$\begin{cases} 4x + 7y - 26 = 0, \ 3x - 8y + 7 = 0 \end{cases}$ жүйесі. Ешнәрсе жойылмайды. $x$-тің коэффициенттері қарама-қарсы болатындай көбейткіштер таңдайық: 12 және $-12$. Шешуді қадамдап жүріп өт.

📕 Оқулықтың 153-бетінде осы мысалдың астындағы «өзің шеш» тапсырмасында бірінші теңдеу $12x + 12y - 78 = 0$ деп басылған. Ол — қате: дұрысы $12x + 21y - 78 = 0$. Дұрыс теңдеуде ғана шешімі $(3; 2)$ шығады.

📌 Қосу тәсілінің алгоритмі.

1. Қандай да бір айнымалыға байланысты коэффициенттері қарама-қарсы сан болмаса, теңдеулерді сондай санға көбейт, сонда сол айнымалының коэффициенттері қарама-қарсы болады.
2. Шыққан теңдеулердің сол және оң жақтарын қос.
3. Нәтижесінде шыққан бір айнымалысы бар теңдеуді шеш.
4. Табылған айнымалының мәнін жүйенің кез келген теңдеуіне қойып, екінші айнымалының мәнін есепте.
5. Жүйенің шешімін $(x; y)$ жұбы түрінде жаз.

Графикте қалай көрінеді

$x + y = 14$, $x - y = 8$ жүйесі. Қосамыз: $2x = 22$, $x = 11$, сонда $y = 3$. Түзулердің қиылысу нүктесін бас — бұл $(11; 3)$ екенін тексер.

💡 Ал қосқанда екі айнымалы да жойылса ше? Не $0 = 5$ сияқты тура емес теңдік шығады (шешімі жоқ, түзулер параллель), не $0 = 0$ шығады (шешімі шексіз көп, түзулер беттеседі).

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесін шешу тәсілдерінің бірін неге қосу тәсілі деп атайды? Өйткені теңдеулердің сол және оң жақтарын қосады. Содан кейін бір айнымалы жоғалады да, бір айнымалысы бар теңдеу қалады.
• Қосу тәсілін қолданғанда теңдеудің сол және оң жақтарына қандай арифметикалық амалдарды қолдануға болады? Неліктен? Оларды қосуға да, азайтуға да болады. Тең сандарға тең сандарды қосса (немесе азайтса), тағы да тең сандар шығады. Бұл — тура сандық теңдіктердің қасиеті.
• Бірде-бір айнымалы бірден жойылмаса, қосу тәсілін қолдануға бола ма? Болады. Алдымен бір теңдеуді немесе екеуін де нөл емес сондай санға көбейтеміз, сонда бір айнымалының коэффициенттері қарама-қарсы болады. Көбейту теңдеудің шешімдерін өзгертпейді.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1247

Теңдеулер жүйесін шешіңдер: 1) $x + y = 14$, $x - y = 8$; 2) $x - y = 7$, $x + y = 23$; 3) $x + y = 32$, $x - y = 14$; 4) $x - y = 9$, $x + y = 29$; 5) $2x + y = 11$, $3x - y = 4$; 6) $3x - y = 5$, $4x + y = 9$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде $y$ және $-y$ бар. Теңдеулерді қосамыз — $y$ жойылады.

Шешуі.

1. $2x = 22$, $x = 11$; $y = 14 - 11 = 3$.
2. $2x = 30$, $x = 15$; $y = 23 - 15 = 8$.
3. $2x = 46$, $x = 23$; $y = 32 - 23 = 9$.
4. $2x = 38$, $x = 19$; $y = 29 - 19 = 10$.
5. $5x = 15$, $x = 3$; $y = 11 - 6 = 5$.
6. $7x = 14$, $x = 2$; $y = 9 - 8 = 1$.

Жауабы: 1) $(11; 3)$; 2) $(15; 8)$; 3) $(23; 9)$; 4) $(19; 10)$; 5) $(3; 5)$; 6) $(2; 1)$.

№ 1248

$x + y = 300$, $x - 0{,}5y = 120$ теңдеулер жүйесін шешіп, құрлықтағы ең үлкен жануар — суспыр (бегемот) туралы мағлұматтар аласыңдар. 1) $x$-тің мәні — суспыр аузының қанша градуске ашылатынын; 2) $y$-тің мәні суспырдың ауыз жақтарының қанша сантиметрге ашылатынын береді.

Қалай ойлаймыз. $x$-тің коэффициенттері бірдей — бірінші теңдеуден екіншісін азайтамыз.

Шешуі.

1. $(x + y) - (x - 0{,}5y) = 300 - 120$, яғни $1{,}5y = 180$, $y = 120$.
2. $x = 300 - 120 = 180$.

Жауабы: бегемот аузын 180°-қа ашады, жақтарының арасы — 120 см.

🌟 180° — жазық бұрыш! Бегемоттың жақтары дерлік бір түзу сызыққа айнала алады.

№ 1249

Теңдеулер жүйесін шешіп, Қостанай облысында орналасқан Наурызым қорығы туралы мағлұматтар аласыңдар. $0{,}1x + 0{,}01y = 32$, $2x + y = 1200$ теңдеулер жүйесіндегі 1) $x$-тің мәні — Наурызым қорығындағы құстардың түрін; 2) $y$-тің мәні Наурызым қорығындағы өсімдіктердің түрін береді.

Қалай ойлаймыз. Ондық бөлшектен құтылайық: бірінші теңдеуді 100-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. $10x + y = 3200$.
2. Екінші теңдеуді азайтамыз: $(10x + y) - (2x + y) = 3200 - 1200$, $8x = 2000$, $x = 250$.
3. $y = 1200 - 2 \cdot 250 = 700$.

Жауабы: құстың 250 түрі және өсімдіктің шамамен 700 түрі.

Теңдеулер жүйесінің шешімін табыңдар немесе жүйенің шешімі болмайтынын дәлелдеңдер (№ 1250–1260)

№ 1250

1) $3{,}2x + 1\frac{4}{5}y - 5 = 0$, $3{,}8x - 1{,}8y - 2 = 0$; 2) $-7{,}12x + 3{,}9y - 3{,}22 = 0$, $-2{,}88x - 3{,}9y - 6{,}78 = 0$.

Қалай ойлаймыз. 1)-де $1\frac{4}{5} = 1{,}8$ — демек, $y$-тің алдында $1{,}8$ және $-1{,}8$ тұр. 2)-де — $3{,}9$ және $-3{,}9$. Қосамыз.

Шешуі.

1. $3{,}2x + 1{,}8y = 5$ және $3{,}8x - 1{,}8y = 2$. Қосамыз: $7x = 7$, $x = 1$. Сонда $1{,}8y = 5 - 3{,}2 = 1{,}8$, $y = 1$.
2. $-7{,}12x + 3{,}9y = 3{,}22$ және $-2{,}88x - 3{,}9y = 6{,}78$. Қосамыз: $-10x = 10$, $x = -1$. Сонда $3{,}9y = 3{,}22 - 7{,}12 = -3{,}9$, $y = -1$.

Жауабы: 1) $(1; 1)$; 2) $(-1; -1)$.

№ 1251

1) $\frac{1}{4}x - 0{,}5y - 1{,}34 = 0$, $-0{,}25x + 0{,}5y - 1{,}34 = 0$; 2) $2x - 0{,}5y - 1{,}4 = 0$, $-2x + 0{,}5y - 0{,}6 = 0$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда $x$-тің де, $y$-тің де коэффициенттері қарама-қарсы. Қосқанда екі айнымалы да жойылады. Не қалатынын қарайық.

Шешуі.

1. $\frac{1}{4} = 0{,}25$. Қосамыз: $0 \cdot x + 0 \cdot y - 2{,}68 = 0$, яғни $-2{,}68 = 0$. Бұл $x$ пен $y$-тің кез келген мәнінде дұрыс емес.
2. Қосамыз: $0 \cdot x + 0 \cdot y - 2 = 0$, яғни $-2 = 0$. Бұл да дұрыс емес.

Жауабы: екі жүйенің де шешімі жоқ.

💡 2)-ні былай қайта жазып көр: $2x - 0{,}5y = 1{,}4$ және $2x - 0{,}5y = -0{,}6$. Бір өрнек бір мезгілде екі түрлі санға тең бола алмайды. Графикте бұл — параллель түзулер.

№ 1252

1) $-2x - 0{,}8y - 1 = 0$, $-2x + 0{,}2y = 0$; 2) $4x - \frac{2}{3}y + 3\frac{2}{3} = 0$, $4x + 3\frac{1}{3}y - \frac{1}{3} = 0$.

Қалай ойлаймыз. $x$-тің коэффициенттері бірдей — азайтамыз.

Шешуі.

1. Бірінші теңдеуден екіншісін азайтамыз: $-0{,}8y - 0{,}2y - 1 = 0$, $-y = 1$, $y = -1$. Екіншісінен: $-2x - 0{,}2 = 0$, $x = -0{,}1$.
2. Екінші теңдеуден біріншісін азайтамыз: $3\frac{1}{3}y + \frac{2}{3}y - \frac{1}{3} - 3\frac{2}{3} = 0$, $4y - 4 = 0$, $y = 1$. Біріншісінен: $4x - \frac{2}{3} + \frac{11}{3} = 0$, $4x = -3$, $x = -\frac{3}{4}$.

Жауабы: 1) $(-0{,}1; -1)$; 2) $\left(-\frac{3}{4}; 1\right)$.

№ 1253

1) $3^2x + 4^2y - 5^2 = 0$, $10x + 16y - 26 = 0$; 2) $9^2x - 2^3y - 3^5 = 0$, $-19x - 8y + 57 = 0$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәрежелерді есептейміз: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $9^2 = 81$, $2^3 = 8$, $3^5 = 243$.

Шешуі.

1. $9x + 16y = 25$ және $10x + 16y = 26$. Екіншіден біріншісін азайтамыз: $x = 1$. Сонда $16y = 16$, $y = 1$.
2. $81x - 8y = 243$ және $-19x - 8y = -57$. Біріншіден екіншісін азайтамыз: $100x = 300$, $x = 3$. Сонда $-8y = 243 - 243 = 0$, $y = 0$.

Жауабы: 1) $(1; 1)$; 2) $(3; 0)$.

№ 1254

1) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = -2$, $2x - y = -3$; 2) $-x + 4y = 52$, $\frac{x}{8} - \frac{y}{7} = -4$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөлшектен құтыламыз: теңдеуді ортақ бөлімге көбейтеміз.

Шешуі.

1. Біріншіні 6-ға көбейтеміз: $3x - 2y = -12$. Екіншіні $-2$-ге көбейтеміз: $-4x + 2y = 6$. Қосамыз: $-x = -6$, $x = 6$. $2x - y = -3$ теңдеуінен: $y = 12 + 3 = 15$.
2. Екіншіні 56-ға көбейтеміз: $7x - 8y = -224$. Біріншіні 7-ге көбейтеміз: $-7x + 28y = 364$. Қосамыз: $20y = 140$, $y = 7$. Сонда $-x = 52 - 28 = 24$, $x = -24$.

Жауабы: 1) $(6; 15)$; 2) $(-24; 7)$.

№ 1255

1) $\frac{2}{7}x - \frac{3}{14}y - \frac{1}{7} = 0$, $x + y - 4 = 0$; 2) $x + 5y - 24 = 0$, $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y - 3\frac{1}{3} = 0$.

Шешуі.

1. Біріншіні 14-ке көбейтеміз: $4x - 3y = 2$. Екіншіні 3-ке көбейтеміз: $3x + 3y = 12$. Қосамыз: $7x = 14$, $x = 2$; $y = 4 - 2 = 2$.
2. Екіншіні 6-ға көбейтеміз: $2x + 3y = 20$. Біріншіні $-2$-ге көбейтеміз: $-2x - 10y = -48$. Қосамыз: $-7y = -28$, $y = 4$; $x = 24 - 20 = 4$.

Жауабы: 1) $(2; 2)$; 2) $(4; 4)$.

№ 1256

1) $5x - 8y + 51 = 0$, $2{,}5x + 3y - 23{,}5 = 0$; 2) $6x - 5y + 26 = 0$, $3x + 17y - 65 = 0$.

Қалай ойлаймыз. Екі жүйеде де екінші теңдеудегі $x$-тің коэффициенті дәл екі есе аз. Екіншіні $-2$-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. $5x - 8y = -51$ және $-5x - 6y = -47$. Қосамыз: $-14y = -98$, $y = 7$. Сонда $5x = -51 + 56 = 5$, $x = 1$.
2. $6x - 5y = -26$ және $-6x - 34y = -130$. Қосамыз: $-39y = -156$, $y = 4$. Сонда $6x = -26 + 20 = -6$, $x = -1$.

Жауабы: 1) $(1; 7)$; 2) $(-1; 4)$.

№ 1257

1) $8x + 7y + 53 = 0$, $4x - 5y + 1 = 0$; 2) $7x + 9y + 48 = 0$, $6x + 3y + 27 = 0$.

Шешуі.

1. $8x + 7y = -53$. Екіншіні $-2$-ге көбейтеміз: $-8x + 10y = 2$. Қосамыз: $17y = -51$, $y = -3$. $4x - 5y = -1$ теңдеуінен: $4x = -1 - 15 = -16$, $x = -4$.
2. $7x + 9y = -48$. Екіншіні $-3$-ке көбейтеміз: $-18x - 9y = 81$. Қосамыз: $-11x = 33$, $x = -3$. $6x + 3y = -27$ теңдеуінен: $3y = -27 + 18 = -9$, $y = -3$.

Жауабы: 1) $(-4; -3)$; 2) $(-3; -3)$.

№ 1258

1) $\frac{1}{3}x + 0{,}25y = 0$, $29x - 2{,}5y = -97$; 2) $0{,}75x + \frac{1}{8}y + 1 = 0$, $1{,}3x - 0{,}65y = 0$.

Шешуі.

1. Қадамдары — жоғарыдағы виджетте. $x = -3$, $y = 4$.
2. Біріншіні 8-ге көбейтеміз: $6x + y = -8$. Екіншіні $0{,}65$-ке бөлеміз: $2x - y = 0$. Қосамыз: $8x = -8$, $x = -1$; $y = 2x = -2$.

Жауабы: 1) $(-3; 4)$; 2) $(-1; -2)$.

№ 1259

1) $36x - 3y - 39 = 0$, $37x + 2y - 35 = 0$; 2) $13x + 4y + 17 = 0$, $12x - 3y + 9 = 0$.

Шешуі.

1. Біріншіні 3-ке бөлеміз: $12x - y = 13$, сонан соң 2-ге көбейтеміз: $24x - 2y = 26$. Екіншісі: $37x + 2y = 35$. Қосамыз: $61x = 61$, $x = 1$; $y = 12 - 13 = -1$.
2. Біріншіні 3-ке көбейтеміз: $39x + 12y = -51$. Екіншіні 4-ке көбейтеміз: $48x - 12y = -36$. Қосамыз: $87x = -87$, $x = -1$. Сонда $4y = -17 + 13 = -4$, $y = -1$.

Жауабы: 1) $(1; -1)$; 2) $(-1; -1)$.

№ 1260

1) $3x + 7y - 3 = 0$, $7x + 9y - 7 = 0$; 2) $6x - 13y + 1 = 0$, $5x + 10y - 20 = 0$.

Шешуі.

1. Біріншіні 7-ге көбейтеміз: $21x + 49y = 21$. Екіншіні $-3$-ке көбейтеміз: $-21x - 27y = -21$. Қосамыз: $22y = 0$, $y = 0$. Сонда $3x = 3$, $x = 1$.
2. Екіншіні 5-ке бөлеміз: $x + 2y = 4$, $-6$-ға көбейтеміз: $-6x - 12y = -24$. Біріншісі: $6x - 13y = -1$. Қосамыз: $-25y = -25$, $y = 1$; $x = 4 - 2 = 2$.

Жауабы: 1) $(1; 0)$; 2) $(2; 1)$.

B деңгейі

№ 1261

Теңдеулер жүйесін шешіңдер: 1) $2x - 3y + 1 + (x - y + 5) = 0$, $5x + 7y - 7 - (8x + y + 1) = 0$; 2) $7x + 9y - 14 + (y - 5x - 11) + 3 = 0$, $11x + y - 9 + (4y - 9x - 7) = 0$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз. Қарапайым жүйе шығады.

Шешуі.

1. Біріншісі: $3x - 4y + 6 = 0$, яғни $3x - 4y = -6$. Екіншісі: $5x + 7y - 7 - 8x - y - 1 = 0$, яғни $-3x + 6y = 8$. Қосамыз: $2y = 2$, $y = 1$. Сонда $3x = -6 + 4 = -2$, $x = -\frac{2}{3}$.
2. Біріншісі: $2x + 10y - 22 = 0$, яғни $2x + 10y = 22$. Екіншісі: $2x + 5y - 16 = 0$, яғни $2x + 5y = 16$. Азайтамыз: $5y = 6$, $y = 1{,}2$. Сонда $2x = 16 - 6 = 10$, $x = 5$.

Жауабы: 1) $\left(-\frac{2}{3}; 1\right)$; 2) $(5; 1{,}2)$.

№ 1262

1) $3(x - 2) - 2(y + 1) = -1$, $5(x + 3) - 8(y - 2) = 45$; 2) $-6(4 - x) + 4(y + 5) = -2$, $11(1 + x) - 9(7 - y) = -45$.

Шешуі.

1. Жақшаларды ашамыз: $3x - 2y = 7$ және $5x - 8y = 14$. Біріншіні $-4$-ке көбейтеміз: $-12x + 8y = -28$. Екіншісімен қосамыз: $-7x = -14$, $x = 2$. Сонда $2y = 6 - 7 = -1$, $y = -0{,}5$.
2. Жақшаларды ашамыз: $6x + 4y = 2$, яғни $3x + 2y = 1$; және $11x + 9y = 7$. Біріншіні 9-ға, екіншіні $-2$-ге көбейтеміз: $27x + 18y = 9$ және $-22x - 18y = -14$. Қосамыз: $5x = -5$, $x = -1$. Сонда $2y = 1 + 3 = 4$, $y = 2$.

Жауабы: 1) $(2; -0{,}5)$; 2) $(-1; 2)$.

№ 1263

1) $\frac{x - 4y}{5} - \frac{x - 5y}{6} = 0$, $\frac{3x + y}{2} + \frac{x + 10y}{3} = 2$; 2) $\frac{7x + y}{4} - \frac{13x - y}{3} = -4$, $\frac{x + 6y}{14} - \frac{8x - 3y}{10} = 0$.

Қалай ойлаймыз. Әр теңдеуді ортақ бөлімге көбейтеміз. Таңбаны жоғалтпау үшін алымды жақшада ұстаймыз.

Шешуі.

1. Біріншіні 30-ға көбейтеміз: $6(x - 4y) - 5(x - 5y) = 0$, яғни $x + y = 0$. Екіншіні 6-ға көбейтеміз: $3(3x + y) + 2(x + 10y) = 12$, яғни $11x + 23y = 12$. Біріншіні $-11$-ге көбейтіп қосамыз: $12y = 12$, $y = 1$, $x = -1$.
2. Біріншіні 12-ге көбейтеміз: $3(7x + y) - 4(13x - y) = -48$, яғни $-31x + 7y = -48$. Екіншіні 70-ке көбейтеміз: $5(x + 6y) - 7(8x - 3y) = 0$, яғни $-51x + 51y = 0$, одан $y = x$. Қоямыз: $-31x + 7x = -48$, $x = 2$, $y = 2$.

Жауабы: 1) $(-1; 1)$; 2) $(2; 2)$.

№ 1264

Егер $x_0$ және $y_0$: 1) $17x - 30y = 12$, $-5x + 6y = -12$; 2) $29x + 3y = -23$, $19x - 21y = -61$ теңдеулер жүйесінің шешімі болса, онда $3x_0 - 5y_0$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. Екіншіні 5-ке көбейтеміз: $-25x + 30y = -60$. Біріншімен қосамыз: $-8x = -48$, $x = 6$. Сонда $6y = -12 + 30 = 18$, $y = 3$. Мәні: $3 \cdot 6 - 5 \cdot 3 = 18 - 15 = 3$.
2. Біріншіні 7-ге көбейтеміз: $203x + 21y = -161$. Екіншімен қосамыз: $222x = -222$, $x = -1$. Сонда $3y = -23 + 29 = 6$, $y = 2$. Мәні: $3 \cdot (-1) - 5 \cdot 2 = -13$.

Жауабы: 1) 3; 2) $-13$.

C деңгейі

№ 1265

Теңдеулер жүйесін шешіңдер: 1) $(3 - 7x)y + 7y(x + 9) = 264$, $x(4 - y) = y(8 - x) - 34$; 2) $-x(1 - 12y) + 4y(-3x + 2) = 26$, $y(x + 6) = x(y - 3) - 3$; 3) $(x - 2)y - x(y + 1) = 2 - 3(x - 2)$, $(x + 5)y - y(x - 2) = -42 + 4(x + 5)$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда $xy$ көбейтінділері бар. Қорықпа: жақшаларды ашқанда олар қысқарады да, жүйе сызықтық болып шығады.

Шешуі.

1. Біріншісі: $3y - 7xy + 7xy + 63y = 264$, $66y = 264$, $y = 4$. Екіншісі: $4x - xy = 8y - xy - 34$, $4x = 8y - 34 = 32 - 34 = -2$, $x = -0{,}5$.
2. Біріншісі: $-x + 12xy - 12xy + 8y = 26$, яғни $-x + 8y = 26$. Екіншісі: $xy + 6y = xy - 3x - 3$, яғни $3x + 6y = -3$, немесе $x + 2y = -1$. Біріншімен қосамыз: $10y = 25$, $y = 2{,}5$. Сонда $x = -1 - 5 = -6$.
3. Біріншісі: $xy - 2y - xy - x = 2 - 3x + 6$, яғни $2x - 2y = 8$, немесе $x - y = 4$. Екіншісі: $xy + 5y - xy + 2y = -42 + 4x + 20$, яғни $4x - 7y = 22$. Біріншіні $-4$-ке көбейтеміз: $-4x + 4y = -16$. Қосамыз: $-3y = 6$, $y = -2$; $x = 4 + (-2) = 2$.

Жауабы: 1) $(-0{,}5; 4)$; 2) $(-6; 2{,}5)$; 3) $(2; -2)$.

Қайталау

№ 1266

1) $a \le \frac{1}{2}$ см; 2) $a \ge 0{,}2$ см; 3) $\frac{1}{3}$ см $\le a \le 0{,}6$ см болса, онда қабырғасы $a$-ға тең шаршының ауданы туралы не айтуға болады?

Қалай ойлаймыз. $S = a^2$. Оң сандар үшін: қабырға неғұрлым үлкен болса, аудан соғұрлым үлкен, сондықтан квадраттағанда теңсіздік сақталады.

Шешуі.

1. $S \le \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ см².
2. $S \ge 0{,}2^2 = 0{,}04$ см².
3. $\frac{1}{9} \le S \le 0{,}36$ см².

Жауабы: 1) $S \le \frac{1}{4}$ см²; 2) $S \ge 0{,}04$ см²; 3) $\frac{1}{9}$ см² $\le S \le 0{,}36$ см².

№ 1267

$\dfrac{7\frac{9}{16} : \frac{33}{80} - 21\frac{5}{6}}{\left(51\frac{4}{9} - 49{,}75\right) : 8\frac{17}{36} + 6{,}8}$ амалдарын орындаңдар.

Шешуі.

1. $7\frac{9}{16} : \frac{33}{80} = \frac{121}{16} \cdot \frac{80}{33} = \frac{55}{3} = 18\frac{1}{3}$.
2. Алымы: $18\frac{1}{3} - 21\frac{5}{6} = 18\frac{2}{6} - 21\frac{5}{6} = -3\frac{1}{2}$.
3. $51\frac{4}{9} - 49\frac{3}{4} = 51\frac{16}{36} - 49\frac{27}{36} = 1\frac{25}{36} = \frac{61}{36}$.
4. $\frac{61}{36} : 8\frac{17}{36} = \frac{61}{36} \cdot \frac{36}{305} = \frac{1}{5} = 0{,}2$.
5. Бөлімі: $0{,}2 + 6{,}8 = 7$.
6. $-3{,}5 : 7 = -0{,}5$.

Жауабы: $-0{,}5$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 1268

$-4{,}6(5 - 2y) - 25(0{,}4y + 3) + 97$ өрнегін ықшамдаңдар.

Шешуі. $-23 + 9{,}2y - 10y - 75 + 97 = -0{,}8y - 1$.

Жауабы: $-0{,}8y - 1$.

№ 1269

Бір айнымалыны екінші айнымалы арқылы өрнектеңдер: 1) $2x - y - 5 = 0$; 2) $3x - 6y + 9 = 0$; 3) $2{,}7x + 15y + 83 = 0$; 4) $-52x + 76y + 89 = 0$.

Қалай ойлаймыз. Бір айнымалыны сол жақта қалдырып, қалғанының бәрін оң жаққа көшіреміз. Коэффициенті 1 болатын немесе басқа сандарды бөлетін айнымалыны өрнектеген ыңғайлы.

Шешуі.

1. $y = 2x - 5$.
2. $3x = 6y - 9$, $x = 2y - 3$.
3. $15y = -2{,}7x - 83$, $y = -0{,}18x - \frac{83}{15}$ (немесе $y = -0{,}18x - 5\frac{8}{15}$).
4. $76y = 52x - 89$, $y = \frac{52x - 89}{76}$ (немесе $x = \frac{76y + 89}{52}$).

Жауабы: 1) $y = 2x - 5$; 2) $x = 2y - 3$; 3) $y = -0{,}18x - 5\frac{8}{15}$; 4) $y = \frac{52x - 89}{76}$.

Жадынама

• Қарама-қарсы коэффициенттер жұбын іздеу: $2y$ және $-2y$, $5x$ және $-5x$.
• Мұндай жұп жоқ болса — теңдеулерді көбейт, мысалы 3-ке және $-4$-ке.
• Қосқаннан кейін бір айнымалысы бар теңдеуді шеш.
• Табылған санды қойып, екінші айнымалыны тап.
• Жауабы — $(x; y)$ жұбы. Оны екі теңдеуде де тексер.

Шағын тест