§ 7. Оң және теріс сандар. Координаталық түзу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 60–66-беттер.

Нені үйренесің

• Оң және теріс сандарды ажыратуды, ал нөлдің олардың ешқайсысы емес екенін білуді.
• Координаталық түзуді салуды: санақ басы, бірлік кесінді, бағыт.
• Түзуде $A(-6)$ және $B(3{,}5)$ сияқты нүктелерді белгілеп, олардың координаталарын оқуды.
• Берілген саннан бірнеше бірлікке қашықтықта тұрған сандарды табуды.
• Аязды, тереңдікті және шығынды «минус» таңбасымен жазуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 263 және 264 тапсырмалары. Дәптеріңе сәуле сыз, бір торкөз — бір бірлік болсын.

• $C(8)$ нүктесі. Одан 7 торкөз солға қарай орналасқан нүктенің координатасы қандай? $8 - 7 = $ 1.
• Ал 1,5 торкөз оңға қарай ше? $8 + 1{,}5 = $ 9,5.
• Ал 6,5 торкөз солға қарай ше? $8 - 6{,}5 = $ 1,5.
• 5, 15, 35 сандарын сәуледе қалай ыңғайлы белгілейміз? Бірлік кесіндіні кішірек алу керек, мысалы, 1 торкөз = 5 бірлік. Сонда 5 — 1 торкөз, 15 — 3 торкөз, 35 — 7 торкөз.
• Ал 40, 100, 150 сандары ше? 1 торкөз = 10 бірлік болсын: 4, 10 және 15 торкөз.
• Ал 0,5; 2,3; 3,1 ше? Мұнда үлкен кесінді керек: 10 торкөз = 1. Сонда 0,5 — 5 торкөз, 2,3 — 23 торкөз, 3,1 — 31 торкөз.

💡 Сәуледе біз нөлден тек оңға қарай жүреміз. Ал солға қадам жасасақ ше? Сәуле тоқтап қалады. Демек, оны жалғастыру керек.

Тақырыпты талдаймыз

Нөлден солға қарай бір қадам

Сәуледе азайту оңай: $3 - 1$ дегеніміз — 3-тен бір қадам солға, 2-ге түсеміз. Одан әрі $2 - 1 = 1$, $1 - 1 = 0$. Ал $0 - 1$ ше? Сәуле нөлде үзіледі.

Оны солға қарай толық түзуге дейін жалғастырайық. Екінші жартысы шығады — толықтауыш сәуле. Нөлден кіші сандар сонда тұрады: $-1$, $-2$, $-3$…

Демек, $0 - 1 = -1$, $-1 - 1 = -2$, $-2 - 1 = -3$. Ал $-3$-тен 1-ді алсақ? $-4$ шығады. $-4$-тен 1-ді алсақ — $-5$ болады.

Плюс, минус және ортада нөл

Нөлдің оң жағындағы сандарды оң сандар дейді: 1; 2; 3,5; $\frac{3}{4}$. Оларға «+» таңбасын жазуға болады, бірақ әдетте жазбайды: $+23$ және $23$ — бір сан.

Нөлдің сол жағындағы сандар — теріс сандар: $-1$; $-4{,}5$; $-3\frac{1}{2}$. Оларға «−» таңбасын жазу міндетті.

📌 Нөл — оң сан да емес, теріс сан да емес. Ол екі жақтың шекарасында тұр.

⚠️ Жиі кететін қате. «$-7$ саны 1-ден үлкен, өйткені жеті біреуден көп» деп ойлайды. Түзуге қара: $-7$ — алыста солда тұр, демек, ол кіші. Сандарды толық салыстыруды § 10-да үйренеміз.

Түзу координаталық түзу болу үшін не керек

Жай түзу әлі «сандарға арналған сызғыш» емес. Үш нәрсе қажет:

1. Санақ басы — $O$ нүктесі, онда 0 саны тұрады (оны координаталар басы деп те атайды).
2. Бірлік кесінді $OE$ — бір бірліктің ұзындығы.
3. Оң бағыт — көрсеткі. Әдетте оңға немесе жоғары қарай.

Мұндай түзуді координаталық (немесе сандық) түзу, сондай-ақ координаталық ось (сан осі) деп атайды. Бұл төрт атаудың бәрі бір нәрсені білдіреді.

$A(x)$ жазуы былай оқылады: «координатасы $x$ болатын $A$ нүктесі». Мысалы, $D(5{,}5)$ — координатасы бес бүтін оннан бес болатын $D$ нүктесі.

Теріс сандар қайда кездеседі

Көшедегі термометрге қара. Нөлден төмен $-10$, $-20$, $-30$ — бұл аяз. Қыста Астанада $-30\ ^\circ$C болады, ал жазда Шымкентте $+40\ ^\circ$C.

Географиялық картада теріс сандармен тереңдікті белгілейді. Мысалы, Каспий теңізінің деңгейі шамамен $-28$ м: ол мұхит деңгейінен төмен жатыр.

🌟 Теріс сандарды ұзақ уақыт «шын емес» деп санады. Оларды XVII ғасырда Рене Декарт координаталық түзуде көрсеткенде ғана мойындады (1637 ж.).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Жақсы тұрмыстық үлгі — жер асты тұрағы бар лифт: $-1$, $-2$ қабаттар бірінші қабаттан төмен. Не болмаса қарыз: «сенің $-200$ теңгең бар» дегені — 200 теңге қарыздар екенсің деген сөз.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Санның жазылуындағы «−» таңбасы нені білдіреді? Санның теріс екенін, яғни түзуде оның нөлден солда тұратынын.
• Теріс сандар не үшін қажет? «Нөлден төмен» нәрсені жазу үшін: аяз, тереңдік, шығын, қарыз, кему. Және кішірек саннан үлкенін алуға болуы үшін.
• Түзу координаталық түзу болу үшін оның бойына нені белгілеу керек? Санақ басын (0 нүктесін), бірлік кесіндіні және оң бағытты.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 265

56; $-43$; 8,9; $-0{,}71$; $-6\frac{2}{9}$; $-35{,}04$; $11\frac{5}{13}$ сандарының арасынан алдымен теріс сандарды, сосын оң сандарды теріп жаз.

Қалай ойлаймыз. Тек таңбаға қара: «минус» бар — сан теріс.

Шешуі. Теріс сандар: $-43$; $-0{,}71$; $-6\frac{2}{9}$; $-35{,}04$. Оң сандар: 56; 8,9; $11\frac{5}{13}$.

Жауабы: $-43$; $-0{,}71$; $-6\frac{2}{9}$; $-35{,}04$ және 56; 8,9; $11\frac{5}{13}$.

№ 266

Бірлік кесіндісінің ұзындығы 1 см болатын координаталық түзуді сал. Осы түзуде $-5$; 4; $-3$; 3; $-1$ сандарын белгіле.

Қалай ойлаймыз. 1 см — 2 торкөз. Теріс сандарды нөлден солға, оң сандарды оңға қарай саламыз.

Шешуі. 0-ді жолдың ортасына белгіле. Сосын: $-5$ — 10 торкөз солға, $-3$ — 6 торкөз солға, $-1$ — 2 торкөз солға, 3 — 6 торкөз оңға, 4 — 8 торкөз оңға.

Жауабы: $-5$, $-3$, $-1$ нүктелері нөлден солда; 3 және 4 нүктелері оңда.

№ 267

Бірлік кесіндісінің ұзындығы 0,5 см болатын координаталық түзуді сал. Осы түзуде $A(6)$; $B(-2)$; $C(-4)$; $D(7)$; $E(1)$; $F(-3)$; $K(5)$ нүктелерін белгіле.

Қалай ойлаймыз. 0,5 см — дәл бір торкөз. Демек, координата = нөлден санағандағы торкөз саны.

Шешуі. Нөлден оңға: $E$ — 1 торкөз, $K$ — 5, $A$ — 6, $D$ — 7. Солға: $B$ — 2 торкөз, $F$ — 3, $C$ — 4.

Жауабы: солдан оңға қарай: $C$, $F$, $B$, $O$, $E$, $K$, $A$, $D$.

№ 268

Бірлік кесіндісінің ұзындығы 2 см болатын координаталық түзуді сал. Осы түзуде 1,5; $-2{,}5$; 3; $-0{,}5$; $-2$ сандарын белгіле.

Қалай ойлаймыз. 2 см = бір бірлікке 4 торкөз, демек, жарты бірлік — 2 торкөз.

Шешуі. 1,5 → 6 торкөз оңға; 3 → 12 торкөз оңға; $-0{,}5$ → 2 торкөз солға; $-2$ → 8 торкөз солға; $-2{,}5$ → 10 торкөз солға.

Жауабы: суретті қара.

№ 269

Бірлік кесіндісінің ұзындығы 0,5 см болатын координаталық түзуді сал. Осы түзуде $-7$; $-4$; $-1$; 2; 6; 8; 10 сандарын белгіле.

Қалай ойлаймыз. Бір бірлік — бір торкөз. Түзудің ұзындығы шамамен 18 торкөз болады, сондықтан 0-ді ортадан емес, сәл солырақтан бастау керек.

Шешуі. Нөлден солға: 7, 4 және 1 торкөз. Оңға: 2, 6, 8 және 10 торкөз.

Жауабы: сипаттаманы қара.

№ 270

Бірлік кесіндісінің ұзындығы 1 см-ге тең координаталық түзуде координаталары: 1) $C(-5)$ және $D(2)$; 2) $C(-6)$ және $D(4)$; 3) $C(-2)$ және $D(6)$; 4) $C(-3)$ және $D(8)$; 5) $C(-6)$ және $D(-1)$; 6) $C(-2)$ және $D(2)$ болатын $C$ және $D$ нүктелерінің арақашықтығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Нүктелер нөлдің екі жағында болса, нөлге дейінгі қадамдарды қосамыз. Бір жағында болса — азайтамыз.

Шешуі.

1. $5 + 2 = 7$ см.
2. $6 + 4 = 10$ см.
3. $2 + 6 = 8$ см.
4. $3 + 8 = 11$ см.
5. Екеуі де солда: $6 - 1 = 5$ см.
6. $2 + 2 = 4$ см.

Жауабы: 7 см; 10 см; 8 см; 11 см; 5 см; 4 см.

№ 271

Координаталық түзуде 3 санынан: 1) 5 бірлікке; 2) 4 бірлікке; 3) 2 бірлікке; 4) 3 бірлікке тең қашықтықта орналасқан сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұндай сан әрқашан екеу: біреуі оңда, екіншісі солда.

Шешуі.

1. $3 + 5 = 8$ және $3 - 5 = -2$.
2. $3 + 4 = 7$ және $3 - 4 = -1$.
3. $3 + 2 = 5$ және $3 - 2 = 1$.
4. $3 + 3 = 6$ және $3 - 3 = 0$.

Жауабы: 1) $-2$ және 8; 2) $-1$ және 7; 3) 1 және 5; 4) 0 және 6.

№ 272

Координаталық түзуде $-2$ санынан: 1) 3 бірлікке; 2) 1 бірлікке; 3) 5 бірлікке; 4) 2 бірлікке тең қашықтықта орналасқан сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $-2$-ден оңға да, солға да қажетті бөлік санын жүреміз.

Шешуі.

1. Оңға 3 қадам: 1; солға 3 қадам: $-5$.
2. Оңға 1 қадам: $-1$; солға: $-3$.
3. Оңға 5 қадам: 3; солға: $-7$.
4. Оңға 2 қадам: 0; солға: $-4$.

Жауабы: 1) $-5$ және 1; 2) $-3$ және $-1$; 3) $-7$ және 3; 4) $-4$ және 0.

№ 273

1) 5-тен 2 бірлікке; 2) $-4$-тен 5 бірлікке; 3) $-6$-дан 6 бірлікке; 4) 3-тен 4 бірлікке; 5) $-5$-тен 3 бірлікке; 6) $-1$-ден 4 бірлікке тең қашықтықта орналасқан сандарды табыңдар.

Шешуі.

1. 3 және 7.
2. $-9$ және 1.
3. $-12$ және 0.
4. $-1$ және 7.
5. $-8$ және $-2$.
6. $-5$ және 3.

Жауабы: 1) 3; 7; 2) $-9$; 1; 3) $-12$; 0; 4) $-1$; 7; 5) $-8$; $-2$; 6) $-5$; 3.

№ 274

4; $-4$; 5; $-7$; $-9$; 11; $-10$; 8; $-1$ сандарының қайсылары: 1) $-5$ және 1; 2) $-8$ және 6; 3) $-2$ және 10; 4) $-10$ және 12 сандарының арасында орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Кесіндіні түзуде елестетіп, әр санды тексер: ішіне түседі ме, жоқ па. Кесіндінің ұштары есепке кірмейді.

Шешуі.

1. $-5$ пен 1 арасында: $-4$; $-1$.
2. $-8$ мен 6 арасында: $-7$; $-4$; $-1$; 4; 5.
3. $-2$ мен 10 арасында: $-1$; 4; 5; 8.
4. $-10$ мен 12 арасында $-10$-ның өзінен басқасының бәрі: $-9$; $-7$; $-4$; $-1$; 4; 5; 8; 11.

Жауабы: 1) $-4$; $-1$; 2) $-7$; $-4$; $-1$; 4; 5; 3) $-1$; 4; 5; 8; 4) $-9$; $-7$; $-4$; $-1$; 4; 5; 8; 11.

№ 275

$-2{,}3$; 7; 5,5; $-1{,}9$; 4; $-0{,}5$; $-4$; $-3$ сандарының қайсылары: 1) $-2$ және 3; 2) $-3$ және 5; 3) $-4$ және 7; 4) $-5$ және 8 сандарының арасында орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр санның орнын шамала: $-2{,}3$ саны $-2$-ден сәл солда, $-1{,}9$ саны $-2$-ден сәл оңда. Аралықтың ұштары есепке кірмейтінін ұмытпа.

Шешуі.

1. $-2$ мен 3 арасында: $-1{,}9$; $-0{,}5$.
2. $-3$ пен 5 арасында: $-2{,}3$; $-1{,}9$; $-0{,}5$; 4 (ал $-3$ — аралықтың ұшы, оны алмаймыз).
3. $-4$ пен 7 арасында: $-3$; $-2{,}3$; $-1{,}9$; $-0{,}5$; 4; 5,5.
4. $-5$ пен 8 арасында: сегіз санның бәрі.

Жауабы: 1) $-1{,}9$; $-0{,}5$; 2) $-2{,}3$; $-1{,}9$; $-0{,}5$; 4; 3) $-3$; $-2{,}3$; $-1{,}9$; $-0{,}5$; 4; 5,5; 4) барлық сандар.

B деңгейі

№ 276

1) $-9$ және 7; 2) $-5$ және 6 сандарының арасында орналасқан бес санды атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Кесіндінің ішіндегі кез келген сан жарайды: бүтін де, бөлшек те.

Шешуі. Мысалы:

1. $-8$; $-3$; 0; 2,5; 6.
2. $-4$; $-1$; 0; 3; 5,9.

Жауабы: мысалы, $-8$; $-3$; 0; 2,5; 6 және $-4$; $-1$; 0; 3; 5,9.

№ 277

29, 30-суреттерде кескінделген нүктелердің координаталарын жазыңдар. 29-суретте бірлік — 1 торкөз; $O$-дан солға қарай: $T$ — 8 торкөз, $S$ — 6, $K$ — 4; оңға қарай: $B$ — 5, $A$ — 7, $M$ — 11. 30-суретте бірлік — 2 торкөз; солға қарай: $M$ — 9 торкөз, $N$ — 7, $C$ — 3; оңға қарай: $R$ — 5, $Q$ — 9, $S$ — 11.

Қалай ойлаймыз. Торкөз санын бірліктің торкөзбен алынған ұзындығына бөлеміз. Нөлден солдағы сандарға «минус» қоямыз.

Шешуі.

1. 29-сурет: торкөздер — бірліктердің өзі. $T(-8)$, $S(-6)$, $K(-4)$, $B(5)$, $A(7)$, $M(11)$.
2. 30-сурет: 2-ге бөлеміз. $M(-4{,}5)$, $N(-3{,}5)$, $C(-1{,}5)$, $R(2{,}5)$, $Q(4{,}5)$, $S(5{,}5)$.

Жауабы: 1) $A(7)$; $B(5)$; $M(11)$; $K(-4)$; $S(-6)$; $T(-8)$; 2) $M(-4{,}5)$; $N(-3{,}5)$; $C(-1{,}5)$; $R(2{,}5)$; $Q(4{,}5)$; $S(5{,}5)$.

№ 278

Төмендегі сөйлемде кездесетін шамаларды математикалық белгілердің көмегімен жазыңдар: 1) ауаның температурасы бес градус суық; 2) өндірістің өнімі $a$ теңге тұрады; 3) көлдің тереңдігі жүз елу метр; 4) бөлмедегі температура жиырма бір градус жылы.

Қалай ойлаймыз. Аяз бен тереңдік — «нөлден төмен», сондықтан минус қоямыз. Жылы мен табыс — плюс.

Шешуі.

1. $-5\ ^\circ$C.
2. $+a$ тг.
3. $-150$ м.
4. $+21\ ^\circ$C.

Жауабы: $-5\ ^\circ$C; $+a$ тг; $-150$ м; $+21\ ^\circ$C.

№ 279

Бірлік кесіндісі 3 см болатын координаталық түзуді салыңдар. Осы түзуде 1; $-2$; 0,5; $-1{,}6$; $1\frac{5}{6}$; $\frac{1}{6}$ нүктелерін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. 3 см = 6 торкөз. Ыңғайлы: алтыдан бір — дәл 1 торкөз, жарты — 3 торкөз.

Шешуі.

1. 1 → 6 торкөз оңға.
2. $-2$ → 12 торкөз солға.
3. 0,5 → 3 торкөз оңға.
4. $-1{,}6$ → $1{,}6 \cdot 6 = 9{,}6$ торкөз солға (10 торкөзге жуық, нөлге сәл жақын).
5. $1\frac{5}{6}$ → $6 + 5 = 11$ торкөз оңға.
6. $\frac{1}{6}$ → 1 торкөз оңға.

Жауабы: шешуін қара.

№ 280

Бірлік кесіндісі 2 см болатын координаталық түзуді салыңдар. Осы түзуде $A(1)$; $B(-1{,}5)$; $C\left(\frac{1}{4}\right)$; $D(-2{,}5)$; $F(-2)$; $T\left(\frac{3}{4}\right)$; $K(3{,}5)$ нүктелерін белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. 2 см = 4 торкөз, демек, төрттен бір — 1 торкөз.

Шешуі. Нөлден оңға: $C$ — 1 торкөз, $T$ — 3, $A$ — 4, $K$ — 14 торкөз. Солға: $B$ — 6 торкөз, $F$ — 8, $D$ — 10.

Жауабы: солдан оңға қарай: $D$, $F$, $B$, $O$, $C$, $T$, $A$, $K$.

№ 281

1) $E(-3)$; 2) $S(4)$; 3) $K(-1)$; 4) $H(-8)$; 5) $P(7)$ нүктелерін координаталық түзуде белгілеңдер.

Шешуі. Бірлікті 1 торкөз ал. $H$ — 8 торкөз солға, $E$ — 3 солға, $K$ — 1 солға, $S$ — 4 оңға, $P$ — 7 оңға.

Жауабы: суретті қара.

C деңгейі

№ 282

1) 31, 32-суреттерде кескінделген координаталық түзуде 1 санын белгілеп, кескінделген нүктелердің координаталарын жазыңдар. 31-сурет: 2 саны $O$-дан 8 торкөз оңда тұр; $C$ — 7 торкөз солда, $B$ — 3 солда, $A$ — 2 оңда, $N$ — 4, $M$ — 5, $K$ — 10. 32-сурет: 3 саны $O$-дан 6 торкөз оңда тұр; $E$ — 9 торкөз солда, $D$ — 7, $C$ — 3; $B$ — 2 оңда, $A$ — 9, $J$ — 11. 2) Координаталық түзуде $-2$ санынан бірдей қашықтықта орналасқан екі санды жазыңдар. Осындай қанша сандар жұбын жазуға болады?

Қалай ойлаймыз. 2 бірлік = 8 торкөз болса, бір бірлік = 4 торкөз. Әрі қарай торкөздерді 4-ке бөлеміз. Бұл — күрделілігі жоғары есеп.

Шешуі.

1. 31-сурет: бірлік — 4 торкөз. $C\left(-\frac{7}{4}\right) = C\left(-1\frac{3}{4}\right)$; $B\left(-\frac{3}{4}\right)$; $A\left(\frac{2}{4}\right) = A\left(\frac{1}{2}\right)$; $N(1)$; $M\left(\frac{5}{4}\right) = M(1{,}25)$; $K\left(\frac{10}{4}\right) = K(2{,}5)$.
2. 32-сурет: 3 бірлік = 6 торкөз, бірлік — 2 торкөз. $E(-4{,}5)$; $D(-3{,}5)$; $C(-1{,}5)$; $B(1)$; $A(4{,}5)$; $J(5{,}5)$.
3. $-2$-ден 1 бірлік оңға және 1 бірлік солға жүрейік: $-1$ және $-3$. Кез келген қашықтыққа (1; 2; 0,5…) жүруге болады, сондықтан мұндай жұптар шексіз көп.

Жауабы: 1) $C\left(-1\frac{3}{4}\right)$; $B\left(-\frac{3}{4}\right)$; $A\left(\frac{1}{2}\right)$; $N(1)$; $M(1{,}25)$; $K(2{,}5)$ және $E(-4{,}5)$; $D(-3{,}5)$; $C(-1{,}5)$; $B(1)$; $A(4{,}5)$; $J(5{,}5)$; 2) мысалы, $-3$ және $-1$; жұптар шексіз көп.

Хабарлама дайындаңдар

№ 283

Теріс және оң сандардың геометриялық түсініктемесін беріп, координаталық түзуді енгізген француз математигі, физигі және философы Рене Декарт туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. 5–6 сөйлем жеткілікті: ол кім, не ойлап тапты, бұл неге маңызды.

Шешуі. Хабарлама үлгісі:

«Рене Декарт (1596–1650) — француз математигі, физигі және философы. Көп уақыт бойы Еуропа ғалымдары теріс сандарға сенбей, оларды „жалған“ деп атады. 1637 жылы Декарт „Геометрия“ кітабында сандарды түзудің бойындағы нүктелермен бейнелеуді ұсынды: оң сандар нөлдің бір жағында, теріс сандар екінші жағында орналасты. Осылайша теріс сандар көрнекі мағынаға ие болды. „Декарттық координаталар“ деген сөз оның атынан шыққан. Оның идеясынсыз графиктер де, координаталары бар карталар да, телефондағы GPS те болмас еді».

Жауабы: жоғарыдағы үлгі.

🌟 Декарттың есімімен координаталар жүйесі аталады: мектептегі координаталық жазықтықтың екі осін де ол ойлап тапқан жүйе бойынша саламыз.

Қайталау

№ 284

$\left(2\frac{11}{13} - 18\frac{7}{13} : 10\frac{1}{24}\right) : \frac{15}{62} - 2{,}4$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 241 саны алымда да, бөлімде де кездеседі — олар қысқарады.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара.

Жауабы: $1\frac{11}{15}$.

№ 285

$\dfrac{y}{2{,}8 + 8{,}7} = \dfrac{2\frac{3}{5}}{10 - 7{,}7}$ пропорциясының белгісіз мүшесін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдерін ықшамда, сосын пропорцияның негізгі қасиетін қолдан.

Шешуі.

1. $2{,}8 + 8{,}7 = 11{,}5$; $10 - 7{,}7 = 2{,}3$; $2\frac{3}{5} = 2{,}6$.
2. $\dfrac{y}{11{,}5} = \dfrac{2{,}6}{2{,}3}$, демек, $y = \dfrac{11{,}5 \cdot 2{,}6}{2{,}3} = 5 \cdot 2{,}6 = 13$.

Жауабы: 13.

№ 286

1) Аралығы 60 км болатын бір пункттен екінші пунктке сал 24 сағ, өзен ағысымен қозғалған катер $4\frac{2}{7}$ сағ жүзеді. Катердің меншікті жылдамдығын табыңдар. 2) Ауданы $36\pi$ см² болатын дөңгелекті шектейтін шеңбердің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сал ағыс жылдамдығымен жүзеді. Ағыспен катердің жылдамдығы = өз жылдамдығы + ағыс жылдамдығы.

Шешуі.

1. Ағыс жылдамдығы: $60 : 24 = 2{,}5$ км/сағ.
2. Катердің ағыспен жылдамдығы: $60 : 4\frac{2}{7} = 60 \cdot \frac{7}{30} = 14$ км/сағ.
3. Меншікті жылдамдығы: $14 - 2{,}5 = 11{,}5$ км/сағ.
4. Дөңгелек: $\pi r^2 = 36\pi$, демек, $r^2 = 36$, $r = 6$ см. Шеңбердің ұзындығы $2\pi r = 12\pi$ см.

Жауабы: 1) 11,5 км/сағ; 2) $12\pi$ см.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 287

Координаталық сәуледе $A(3)$; $B(1{,}5)$; $D(5{,}5)$ нүктелерін белгілеңдер. Әр нүкте координаталар басынан қанша бірлікте орналасқан?

Шешуі. 0-ден нүктеге дейін координатасындай бірлік бар: $A$ — 3, $B$ — 1,5, $D$ — 5,5.

Жауабы: 3; 1,5 және 5,5 бірлікте.

№ 288

Координаталар басынан 5 бірлікте, $2\frac{1}{3}$ бірлікте, $3\frac{2}{3}$ бірлікте орналасқан нүктелерді координаталық сәуледе кескіндеңдер.

Қалай ойлаймыз. Үштен бөлшек болғандықтан, бірлікті 3 торкөз етіп алған ыңғайлы.

Шешуі. 5 → нөлден 15 торкөз; $2\frac{1}{3}$ → 7 торкөз; $3\frac{2}{3}$ → 11 торкөз.

Жауабы: координаталары 5; $2\frac{1}{3}$; $3\frac{2}{3}$ нүктелер.

Жадынама

• Нөлден оңда — оң сандар, солда — теріс сандар, нөл — шекара.
• Оң сандардың алдына «+» таңбасын жазбауға болады: $+23 = 23$.
• Координаталық түзу = $O$ нүктесі + $OE$ кесіндісі + көрсеткі.
• Аяз, тереңдік, шығын «−» таңбасымен жазылады.
• $-5$ пен 2 арасындағы қашықтық: $5 + 2 = 7$ бірлік.

Шағын тест