§ 8. Қарама-қарсы сандар. Бүтін сандар. Рационал сандар

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 67–73-беттер.

Нені үйренесің

• Берілген санға қарама-қарсы санды табуды: 7 үшін ол $-7$, ал $-2{,}5$ үшін ол 2,5.
• $-a$ жазуын түсініп, «қос минусты» ашуды: $-(-a) = a$.
• Натурал, бүтін және рационал сандарды ажыратуды.
• Бүтін сандарды жұп және тақ сандарға бөлуді, оның ішінде теріс сандарды да.
• $-x = 432$ түріндегі қарапайым теңдеулерді шешуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 287 және 288 тапсырмалары.

• $A(3)$, $B(1{,}5)$, $D(5{,}5)$ нүктелері. Әрқайсысы нөлден неше бірлік қашықтықта? 3; 1,5 және 5,5 бірлік — координатасындай.
• Сәуледе нөлден $2\frac{1}{3}$ қашықтықта тұрған нүкте қайда? Координатасы $2\frac{1}{3}$ нүктесінде. Бірлік 3 торкөз болса, нөлден 7 торкөз.
• Түзуде нөлден 4 бірлік қашықтықта қандай сандар тұр? Екі сан: 4 және $-4$.
• Ал 0 бірлік қашықтықта ше? Тек 0-дің өзі.

💡 Соңғы екі сұрақ — сабақтың кілті. 4 және $-4$ сандары нөлден бірдей қашықтықта тұр, бірақ әртүрлі жаққа қарайды.

Тақырыпты талдаймыз

Нөлдегі айна

Мына жұптарды ал: 1 және $-1$; $-4$ және 4; 6,5 және $-6{,}5$. Олар неден ерекшеленеді? Тек таңбасымен. Ал түзуде олар нөлден бірдей қашықтықта, бірақ қарама-қарсы жақта тұр — зат пен оның айнадағы көрінісі сияқты.

📌 Бір-бірінен тек таңбасымен өзгешеленетін екі сан қарама-қарсы сандар деп аталады. 0 саны өз-өзіне қарама-қарсы.

Мысалдар: 345 және $-345$; $-12{,}35$ және 12,35; $67\frac{1}{5}$ және $-67\frac{1}{5}$.

$-a$ дегеніміз не

$a$ санына қарама-қарсы санды $-a$ деп жазады. Мұнда оңай адасуға болады: $-a$ — міндетті түрде теріс сан емес!

• $a = 25$ болса, $-a = -25$.
• $a = -42$ болса, $-a = -(-42) = 42$.

📌 Кез келген $a$ саны үшін $-(-a) = a$. Қатар тұрған екі минус бір-бірін «өшіреді»: айнадағы көріністің көрінісі — қайтадан алғашқы сан.

⚠️ Жиі кететін қате. $-c$ жазуын көріп, бірден «бұл теріс сан» дейді. Ал $c = -91$ болса, $-c = 91$ — оң сан. Алдымен орнына қой, сосын шеш.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Таңбасы ауысатын жаңғырық» ойынын ойнаңыз: сіз санды айтасыз, бала қарама-қарсысын айтады. Қақпандар қосыңыз: 0, $-(-5)$, $-(-(-2))$. Әр минус — бір бұрылыс, бұрылыс саны жұп болса, бастапқы санға қайтып келеміз.

Бүтін сандар

Натурал сандар: 1, 2, 3, … Оларға қарама-қарсы сандар: $-1$, $-2$, $-3$, … Нөлмен бірге олар бүтін сандарды құрайды:

$\ldots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$

Бүтін сандар жұп (2-ге бөлінеді, 0, 2, 4, 6, 8 цифрларымен аяқталады) және тақ (1, 3, 5, 7, 9 цифрларымен аяқталады) болып бөлінеді. Таңбасының маңызы жоқ: $-14$ — жұп, $-723$ — тақ. Ал нөл — жұп сан!

Рационал сандар

Бүтін сандарға оң және теріс бөлшектерді де қосайық: $7\frac{1}{2}$, $-25\frac{3}{4}$, $-0{,}09$. Олардың бәрі бірге рационал сандар деп аталады.

«Матрешка» шығады: натурал сандар ($N$) бүтін сандардың ($Z$) ішінде жатыр, ал бүтін сандар рационал сандардың ($Q$) ішінде. Кез келген натурал сан — бүтін сан, кез келген бүтін сан — рационал сан. Керісінше болмайды: $-3$ — бүтін сан, бірақ натурал емес.

🌟 $Q$ әрпі итальянның quoziente — «бөлінді» деген сөзінен шыққан. Кез келген рационал санды екі бүтін санның бөліндісі түрінде жазуға болады: $-0{,}5 = \frac{-1}{2}$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Кез келген ондық бөлшекке қарама-қарсы ондық бөлшек бола ма? Иә. 0,16 үшін ол $-0{,}16$, ал $-41{,}4$ үшін 41,4. Тек таңбасын өзгертеміз.
• $d$ — теріс сан. $-d$ қандай сан болады? Оң сан. Мысалы, $d = -3$ болса, $-d = 3$.
• $b$-ның оң сан емес екені белгілі. $-b$ қандай сан болады? «Оң емес» — теріс сан немесе нөл. Сонда $-b$ оң сан немесе нөл, яғни теріс емес.
• Қарама-қарсы төрттаңбалы сандарға мысал келтір. Мысалы, 2026 және $-2026$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 289

5; $-7$; 0,61; 12,78; $-55$; 200; $-0{,}09$; $-33$ сандарының арасынан: 1) оң сандарды; 2) теріс сандарды теріп жазыңдар.

Шешуі. «Минус» таңбасына қараймыз.

1. 5; 0,61; 12,78; 200.
2. $-7$; $-55$; $-0{,}09$; $-33$.

Жауабы: 1) 5; 0,61; 12,78; 200; 2) $-7$; $-55$; $-0{,}09$; $-33$.

№ 290

$-11{,}4$; $\frac{8}{19}$; $-\frac{1}{50}$; $-10{,}1$; 777,7; $-6\frac{5}{6}$ сандарының арасынан: 1) оң сандарды; 2) теріс сандарды теріп жазыңдар.

Шешуі.

1. Оң сандар: $\frac{8}{19}$; 777,7.
2. Теріс сандар: $-11{,}4$; $-\frac{1}{50}$; $-10{,}1$; $-6\frac{5}{6}$.

Жауабы: 1) $\frac{8}{19}$; 777,7; 2) $-11{,}4$; $-\frac{1}{50}$; $-10{,}1$; $-6\frac{5}{6}$.

№ 291

Берілген сандарға қарама-қарсы сандарды жазыңдар: 7; $-29$; 105; $-39$; $-6{,}22$; $\frac{4}{9}$; $-\frac{15}{17}$; 41,4; $-8\frac{10}{13}$.

Қалай ойлаймыз. Минус болса — алып тастаймыз. Болмаса — қоямыз.

Шешуі. $-7$; 29; $-105$; 39; 6,22; $-\frac{4}{9}$; $\frac{15}{17}$; $-41{,}4$; $8\frac{10}{13}$.

Жауабы: $-7$; 29; $-105$; 39; 6,22; $-\frac{4}{9}$; $\frac{15}{17}$; $-41{,}4$; $8\frac{10}{13}$.

№ 292

Берілген сандарға қарама-қарсы сандарды жазыңдар: $-5$; 24; $-\frac{8}{23}$; 8,8; $-0{,}49$; $-6\frac{4}{9}$; $-500$; $-76{,}76$.

Шешуі. 5; $-24$; $\frac{8}{23}$; $-8{,}8$; 0,49; $6\frac{4}{9}$; 500; 76,76.

Жауабы: 5; $-24$; $\frac{8}{23}$; $-8{,}8$; 0,49; $6\frac{4}{9}$; 500; 76,76.

№ 293

Кестені толтырыңдар: жоғарғы жолда $k$, төменгі жолда $-k$. Берілгені: $k = 15$; $-k = 29$; $k = 4{,}8$; $k = -7{,}2$; $-k = 9\frac{5}{8}$; $k = -\frac{6}{7}$; $-k = -4\frac{2}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Әр бағанда екі қарама-қарсы сан тұр. Біреуін білсең, екіншісін таңбасын өзгертіп жаз.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 294

Кестені толтырыңдар: $t$ және $-t$. Берілгені: $t = -64$; $-t = -368$; $t = 9{,}4$; $-t = -\frac{7}{12}$; $-t = -1\frac{4}{17}$; $t = \frac{28}{31}$; $-t = 300$.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 295

1) $c = -91$; $\frac{8}{13}$; 5,8; $-3{,}2$; $4\frac{1}{7}$ болса, онда $-c$; 2) $c = 40$; $-2{,}2$; $\frac{9}{16}$; $-220$; $-5\frac{4}{15}$ болса, онда $-c$ өрнегінің мәні қандай?

Шешуі.

1. $-(-91) = 91$; $-\frac{8}{13}$; $-5{,}8$; $-(-3{,}2) = 3{,}2$; $-4\frac{1}{7}$.
2. $-40$; 2,2; $-\frac{9}{16}$; 220; $5\frac{4}{15}$.

Жауабы: 1) 91; $-\frac{8}{13}$; $-5{,}8$; 3,2; $-4\frac{1}{7}$; 2) $-40$; 2,2; $-\frac{9}{16}$; 220; $5\frac{4}{15}$.

№ 296

1) $-d = 14$; $-45$; 87; $-209$ болса; 2) $-d = 90{,}9$; $3\frac{3}{4}$; $-1{,}3$; $-7\frac{2}{19}$ болса, онда $d$ өрнегінің мәні қандай?

Қалай ойлаймыз. $d$ саны $-d$-ға қарама-қарсы. Демек, тағы да таңбасын өзгертеміз.

Шешуі.

1. $d = -14$; 45; $-87$; 209.
2. $d = -90{,}9$; $-3\frac{3}{4}$; 1,3; $7\frac{2}{19}$.

Жауабы: 1) $-14$; 45; $-87$; 209; 2) $-90{,}9$; $-3\frac{3}{4}$; 1,3; $7\frac{2}{19}$.

№ 297

Қарама-қарсы сандардағы жұлдызшаның орнына сәйкес цифрларды жазыңдар: 1) 91,*3 және $-91{,}3$*; 2) $-275{,}$*7 және 2*5,47.

Қалай ойлаймыз. Қарама-қарсы сандардың цифрлары бірдей, тек таңбасы өзгеше. Бірдей орындағы цифрларды салыстыр.

Шешуі.

1. Бірінші санда үтірден кейін * және 3, екіншісінде 3 және *. Демек, екі жұлдызша да — 3: 91,33 және $-91{,}33$.
2. Біріншісінде үтірден кейін *7, екіншісінде 47 — жұлдызша 4. Біріншісінің бүтін бөлігі 275, демек, екіншісінде 2*5 = 275, жұлдызша 7.

Жауабы: 1) 91,33 және $-91{,}33$; 2) $-275{,}47$ және 275,47.

№ 298

Теңдеуді шешіңдер: 1) $-x = 432$; 2) $-y = -1000$; 3) $-t = \frac{6}{19}$; 4) $-z = -5{,}32$.

Қалай ойлаймыз. $-x = a$ болса, $x = -a$. Оң жағының таңбасын өзгертеміз.

Шешуі. 1) $x = -432$; 2) $y = 1000$; 3) $t = -\frac{6}{19}$; 4) $z = 5{,}32$.

Жауабы: 1) $-432$; 2) 1000; 3) $-\frac{6}{19}$; 4) 5,32.

№ 299

Теңдеуді шешіңдер: 1) $-x = -41{,}6$; 2) $-y = 30{,}1$; 3) $-t = -12\frac{1}{3}$; 4) $-z = -\frac{4}{21}$.

Шешуі. 1) $x = 41{,}6$; 2) $y = -30{,}1$; 3) $t = 12\frac{1}{3}$; 4) $z = \frac{4}{21}$.

Жауабы: 1) 41,6; 2) $-30{,}1$; 3) $12\frac{1}{3}$; 4) $\frac{4}{21}$.

B деңгейі

№ 300

2005–2008 жылдар аралығында әртүрлі дақылдардың өнімділігі мынадай болған: 1) бидай — 9,5 ц/га; 11,7 ц/га; 13 ц/га; 9,7 ц/га; 2) картоп — 150 ц/га; 154 ц/га; 155,8 ц/га; 143,7 ц/га; 3) көгөніс — 196 ц/га; 201 ц/га; 211 ц/га; 204 ц/га; 4) қант қызылшасы — 210 ц/га; 197 ц/га; 209 ц/га; 241 ц/га; 249 ц/га; 204,3 ц/га; 5) күнбағыс — 6,3 ц/га; 5,9 ц/га; 5,9 ц/га; 4,1 ц/га. 1) Бидайдың; 2) картоптың; 3) көгөністің; 4) қант қызылшасының; 5) күнбағыстың бір гектардан алынған өнімділігі жылдан-жылға қанша центнерге өзгерген? Өнімділіктің осы өзгерістерін «+» және «−» таңбаларын қолданып жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жаңа мәннен ескі мәнді азайтамыз. Өссе — «+», кемісе — «−» деп жазамыз.

Шешуі.

Мысалы, бидай: $9{,}5 \to 11{,}7$ — өсті, $11{,}7 - 9{,}5 = 2{,}2$, «$+2{,}2$» деп жазамыз. Қант қызылшасы үшін оқулықта алты сан берілген (210; 197; 209; 241; 249; 204,3), бірақ жылдар төртеу. Алғашқы төрт сан 2005–2008 жылдарға келеді. Қалған екі санды жалғастыра берсек, тағы $249 - 241 = +8$ және $204{,}3 - 249 = -44{,}7$ шығады.

Жауабы: кестеде (ц/га).

📕 Оқулықта қант қызылшасы үшін алты өнімділік көрсетілген, ал есептің шарты бойынша жылдар төртеу (2005–2008). Артық екі санды («249» және «204,3») басып шығарғанда қате жіберілген сияқты.

№ 301

Төменде 2008–2009 жылдарға сәйкес тұрғындар саны көрсетілген: 1) Алматы облысы бойынша 1 643 278 және 1 667 143 адам; 2) Астана қаласы бойынша 602 684 және 639 311 адам; 3) Қостанай облысы бойынша 894 192 және 889 368 адам; 4) Солтүстік Қазақстан облысы бойынша 635 921 және 648 236 адам. Тұрғындар санының өзгеруін «+» және «−» таңбаларын қолданып жазыңдар.

Шешуі.

1. Алматы облысы: $1,667,143 - 1,643,278 = 23,865$ — өсім, $+23,865$.
2. Астана: $639,311 - 602,684 = 36,627$ — өсім, $+36,627$.
3. Қостанай облысы: $894,192 - 889,368 = 4824$ — кему, $-4824$.
4. Солтүстік Қазақстан облысы: $648,236 - 635,921 = 12,315$ — өсім, $+12,315$.

Жауабы: $+23,865$; $+36,627$; $-4824$; $+12,315$ адам.

№ 302

*Берілген теңдік тура болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан қойыңдар: 1) $-33 = *$; 2) $-(+46) = *$; 3) $-(-10) = $.

Шешуі. 1) $-33$; 2) $-(+46) = -46$; 3) $-(-10) = 10$.

Жауабы: 1) $-33$; 2) $-46$; 3) 10.

№ 303

Берілген теңдік тура болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан қойыңдар: 1) $-(-89{,}1) = $; 2) $-(+32) = -$; 3) $-(-) = -7{,}5$.*

Қалай ойлаймыз. 3-тармақта «минус минус» бір-бірін өшіреді: $-(-*) = *$.

Шешуі. 1) 89,1; 2) $-(+32) = -32$, жұлдызшаның орнында 32; 3) $* = -7{,}5$.

Жауабы: 1) 89,1; 2) 32; 3) $-7{,}5$.

№ 304

1) $-c = 12{,}3 - 12\frac{2}{15}$; 2) $-c = 8\frac{5}{12} - 8{,}25$; 3) $-c = \frac{15}{28} \cdot \frac{35}{36} + \frac{13}{48}$; 4) $-c = 13\frac{4}{7} : 3\frac{13}{21} + 6{,}25$ болса, $c$-ны табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен оң жағын есепте. $-c$ шығады. Сосын таңбасын өзгерт — бұл $c$ болады.

Шешуі.

1. $12{,}3 - 12\frac{2}{15} = 12\frac{9}{30} - 12\frac{4}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$; $c = -\frac{1}{6}$.
2. $8\frac{5}{12} - 8\frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$; $c = -\frac{1}{6}$.
3. $\frac{15}{28} \cdot \frac{35}{36} = \frac{25}{48}$; $\frac{25}{48} + \frac{13}{48} = \frac{38}{48} = \frac{19}{24}$; $c = -\frac{19}{24}$.
4. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $c = -10$.

Жауабы: 1) $-\frac{1}{6}$; 2) $-\frac{1}{6}$; 3) $-\frac{19}{24}$; 4) $-10$.

№ 305

$z$-тің қандай мәнінде берілген өрнек тура болады: 1) $40 + (-z) = 0$; 2) $8{,}6 - (-z) = 0$; 3) $(-z) - 50{,}2 = 0$; 4) $-67 + (-z) = 0$; 5) $-39 - (-z) = 0$; 6) $-(-z) + 100 = 0$; 7) $-(-z) - 2{,}22 = 0$; 8) $-555 + (-z) = 0$?

Қалай ойлаймыз. Екі санның қосындысы нөлге тең болса, олар қарама-қарсы сандар. Ал айырымы нөлге тең болса, сандар тең. Сондықтан минустармен жұмыс істеу ережелерін білмей-ақ ойлауға болады.

Шешуі.

1. $40$ және $-z$ қарама-қарсы: $-z = -40$, $z = 40$.
2. $8{,}6$ және $-z$ тең: $-z = 8{,}6$, $z = -8{,}6$.
3. $-z = 50{,}2$, $z = -50{,}2$.
4. $-z$ саны $-67$-ге қарама-қарсы: $-z = 67$, $z = -67$.
5. $-39 = -z$, $z = 39$.
6. $-(-z) = z$; $z + 100 = 0$, $z = -100$.
7. $z - 2{,}22 = 0$, $z = 2{,}22$.
8. $-z = 555$, $z = -555$.

Жауабы: 1) 40; 2) $-8{,}6$; 3) $-50{,}2$; 4) $-67$; 5) 39; 6) $-100$; 7) 2,22; 8) $-555$.

№ 306

1) $-5{,}8$ және 9,1; 2) $-4{,}2$ және 10,01; 3) $-12{,}3$ және $-4{,}4$; 4) $-0{,}9$ және 1,8; 5) $-6{,}4$ және 0,6; 6) $-8{,}1$ және $-7{,}9$ сандарының арасында қандай жұп сандар және қандай тақ сандар орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Жұп-тақтық тек бүтін сандарда болады. Аралықтың ішіндегі бүтін сандарды тауып, оларды жұп және тақ сандарға бөл.

Шешуі.

1. $-5$-тен 9-ға дейінгі бүтін сандар. Жұп: $-4$; $-2$; 0; 2; 4; 6; 8. Тақ: $-5$; $-3$; $-1$; 1; 3; 5; 7; 9.
2. $-4$-тен 10-ға дейін. Жұп: $-4$; $-2$; 0; 2; 4; 6; 8; 10. Тақ: $-3$; $-1$; 1; 3; 5; 7; 9.
3. $-12$-ден $-5$-ке дейін. Жұп: $-12$; $-10$; $-8$; $-6$. Тақ: $-11$; $-9$; $-7$; $-5$.
4. Тек 0 және 1. Жұп: 0. Тақ: 1.
5. $-6$-дан 0-ге дейін. Жұп: $-6$; $-4$; $-2$; 0. Тақ: $-5$; $-3$; $-1$.
6. Тек $-8$ — ол жұп. Тақ сан жоқ.

Жауабы: шешуін қара.

C деңгейі

№ 307

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-(-(-(-(-a))))$, мұндағы $a = -50$; 9,09; $-20\frac{10}{13}$; 2) $-(-(-(-(-(-(-(-c)))))))$, мұндағы $c = 81$; $-4\frac{5}{7}$; $-\frac{9}{23}$.

Қалай ойлаймыз. Минустардың санын санап шық. Әр жұп бір-бірін өшіреді. Минус саны жұп болса — санның өзі шығады, тақ болса — қарама-қарсы сан.

Шешуі.

1. Бес минус — тақ, өрнек $-a$-ға тең: $-(-50) = 50$; $-9{,}09$; $20\frac{10}{13}$.
2. Сегіз минус — жұп, өрнек $c$-ға тең: 81; $-4\frac{5}{7}$; $-\frac{9}{23}$.

Жауабы: 1) 50; $-9{,}09$; $20\frac{10}{13}$; 2) 81; $-4\frac{5}{7}$; $-\frac{9}{23}$.

№ 308

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-b$, мұндағы $b = 1{,}55 \cdot \frac{25}{31} + 3\frac{29}{30} : 0{,}4$; 2) $b$, мұндағы $-b = \left(13\frac{1}{32} - 9\frac{9}{16}\right) : 27{,}75 + 1{,}375$.

Шешуі.

1. $1{,}55 = \frac{31}{20}$, $\frac{31}{20} \cdot \frac{25}{31} = \frac{25}{20} = 1\frac{1}{4}$.
2. $3\frac{29}{30} : 0{,}4 = \frac{119}{30} \cdot \frac{5}{2} = \frac{119}{12} = 9\frac{11}{12}$.
3. $b = 1\frac{3}{12} + 9\frac{11}{12} = 11\frac{2}{12} = 11\frac{1}{6}$, сонда $-b = -11\frac{1}{6}$.
4. Екіншісінде: $13\frac{1}{32} - 9\frac{18}{32} = 3\frac{15}{32} = \frac{111}{32}$.
5. $27{,}75 = \frac{111}{4}$, $\frac{111}{32} : \frac{111}{4} = \frac{4}{32} = 0{,}125$.
6. $0{,}125 + 1{,}375 = 1{,}5$. Бұл — $-b$, демек, $b = -1{,}5$.

Жауабы: 1) $-11\frac{1}{6}$; 2) $-1{,}5$.

Хабарлама дайындаңдар

№ 309

Рационал сандар туралы хабарлама дайындаңдар.

Шешуі. Хабарлама үлгісі:

«Рационал сандар — $\frac{m}{n}$ бөлшегі түрінде жазуға болатын барлық сандар, мұндағы $m$ — бүтін сан, ал $n$ — натурал сан. Оларға натурал сандар, нөл, теріс бүтін сандар және „+“ немесе „−“ таңбасы бар барлық жай және ондық бөлшектер кіреді. Атауы латынның ratio — „қатынас“, „бөлу“ деген сөзінен шыққан. Оларды $Q$ әрпімен белгілейді. Натурал сандар ($N$) — бүтін сандардың ($Z$) бөлігі, ал бүтін сандар — рационал сандардың бөлігі. Кез келген екі рационал санның арасында әрқашан тағы бір сан табылады, мысалы, олардың орташа мәні. Бірақ рационал емес сандар да бар, мысалы, $\pi$».

Жауабы: жоғарыдағы үлгі.

Қайталау

№ 310

1) 25 м мата 15 000 тг тұрады. 36 м мата қанша теңге тұрады? 2) Шеңбердің ұзындығы $5{,}4\pi$ см. Осы шеңбермен шектелген дөңгелектің ауданын табыңдар. 3) 400-дің 56%-ы немесе 1400-дің 16%-ының қайсысы үлкен?

Шешуі.

1. Бір метр: $15,000 : 25 = 600$ тг; 36 м: $600 \cdot 36 = 21,600$ тг.
2. $2\pi r = 5{,}4\pi$, демек, $r = 2{,}7$ см; $S = \pi \cdot 2{,}7^2 = 7{,}29\pi$ см².
3. $400 \cdot 0{,}56 = 224$; $1400 \cdot 0{,}16 = 224$. Сандар тең.

Жауабы: 1) 21 600 тг; 2) $7{,}29\pi$ см²; 3) олар тең (екеуі де 224).

№ 311

$4{,}2 \cdot (3{,}302 - 24{,}102) : (-1{,}6) \cdot \frac{2}{3}$ өрнегінің мәнін есептеңдер. Ол мән кейбір бамбуктың күніне қанша сантиметрге өсетінін көрсетеді.

Қалай ойлаймыз. Мұнда теріс сандар кездеседі. Олармен амал қолдану ережелерін кейін үйренеміз, ал әзірше біреуі жеткілікті: көбейту мен бөлуде екі минус плюс береді. Жақшада минус шығады, бөлгіш те минус — демек, жауап оң.

Шешуі.

1. $3{,}302 - 24{,}102 = -20{,}8$ (кішіден үлкенді алдық, айырым $20{,}8$ «−» таңбасымен).
2. $4{,}2 \cdot 20{,}8 = 87{,}36$; таңбасымен: $-87{,}36$.
3. $-87{,}36 : (-1{,}6) = 54{,}6$ (минус минусқа — плюс).
4. $54{,}6 \cdot \frac{2}{3} = 36{,}4$.

Жауабы: күніне 36,4 см.

🌟 Бұл рас: бамбуктың кейбір түрі тәулігіне бір метрге жуық өседі! Бұл — жер бетіндегі ең тез өсетін өсімдіктердің бірі.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 312

$-6$; $-8$; 3; 5; $-1$ сандарын координаталық түзуде кескіндеңдер.

Шешуі. Бірлік — 1 торкөз. Нөлден солға: 1, 6 және 8 торкөз. Оңға: 3 және 5 торкөз. Солдан оңға қарай: $-8$; $-6$; $-1$; 3; 5.

Жауабы: нүктелердің солдан оңға қарай реті: $-8$; $-6$; $-1$; 3; 5.

№ 313

Бірлік кесіндіні екі торкөзге тең етіп координаталық түзу салыңдар. Түзудің бойына төрт нүкте белгілеп, координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Нүктелерді өзің таңдайсың. Негізгісі — сантиметрлерді дұрыс санау (бір бірлік — 2 торкөз).

Шешуі. Мысалы: $A(-3)$ — 6 торкөз солға; $B(-1{,}5)$ — 3 торкөз солға; $C(2)$ — 4 торкөз оңға; $D(4{,}5)$ — 9 торкөз оңға.

Жауабы: мысалы, $A(-3)$, $B(-1{,}5)$, $C(2)$, $D(4{,}5)$.

№ 314

Координаталық түзуде $A(4)$ нүктесін кескіндеңдер. Берілген нүктеден үш бірлікке оңға қарай, жеті бірлікке солға қарай орналасқан нүктелерді белгілеп, координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Оңға қарай — қосамыз, солға қарай — азайтамыз.

Шешуі. $4 + 3 = 7$; $4 - 7 = -3$.

Жауабы: $B(7)$ және $C(-3)$.

Жадынама

• Қарама-қарсы сандар нөлден бірдей қашықтықта, қарама-қарсы жақта тұрады.
• $-a$ әрқашан теріс бола бермейді: $a = -42$ болса, $-a = 42$.
• Сан алдындағы минус саны жұп болса — минустар жоғалады, тақ болса — біреуі қалады.
• $N \subset Z \subset Q$: натурал сандар бүтін сандардың ішінде, бүтін сандар рационал сандардың ішінде.
• $-x = a$ болса, $x = -a$.

Шағын тест