§ 11. Масштабты пайдаланып, картада арақашықтықты қалай дұрыс есептеуге болады

Жаратылыстану, 6 сынып. Оқулық: Қаратабанов Р.Ә. және т.б. (Алматыкітап баспасы, 2023). 2 тарау: Адам. Жер шары. Ғалам. 66–72-беттер.

Нені үйренесің

• Масштаб дегеніміз не және ол не үшін керек екенін түсіндіруді.
• Масштабтың үш түрін танып білуді: сандық, атаулы, сызықтық.
• Сандық масштабты атаулыға және керісінше бірер секундта айналдыруды.
• Арақашықтықты картадан сызғышпен және өлшегіш циркульмен өлшеуді.
• «Карта ↔ жер» есептерін шығаруды.

Ой қозғау

• 1 м-де неше сантиметр бар? 100 см.
• 1 км-де неше метр бар? 1000 м. Демек, 1 км-де $1000 \cdot 100 = 100,000$ см.
• 1 дм-де неше сантиметр бар? 10 см.
• Қай карта толығырақ: 1 : 10 000 ме, әлде 1 : 1 000 000 ба? 1 : 10 000. Масштабтағы сан неғұрлым кіші болса, масштаб соғұрлым ірі.

💡 100 000 санын есіңде сақта: бір километрде осынша сантиметр бар. Бүкіл сабақ осыған сүйенеді.

Тақырыпты талдаймыз

Дәптерге 5 × 10 м бөлмені қалай сызамыз

Дәптерге қабырғалары 5 м және 10 м тіктөртбұрыш сызып көр. Ештеңе шықпайды: дәптердің ені бар болғаны 20 см! Демек, өлшемдерді бірдей есе кішірейту керек.

Мысалы, келісейік: дәптердегі 1 см — өмірдегі 2 м болсын. Сонда 5 м — 2,5 см, ал 10 м — 5 см болады. Параграфтағы суретте дәл осындай тіктөртбұрыш торлы қағазда салынған, оның астында «1 см-де 2 м», «1 : 200» деп жазылған және бөліктері бар кішкентай сызғыш берілген.

Мұндай тіктөртбұрыштың нақты ұзындығы мен енін білуге не көмектеседі? Масштабты көрсететін жазу. Онсыз сызба нақты өлшемдер туралы ештеңе айтпайды.

📌 Масштаб — сызбада, планда немесе картада бейнеленген кезде заттың нақты өлшемі неше есе кішірейтілгенін немесе ұлғайтылғанын білдіретін сан.

Масштабтың үш түрі

Бір масштабты үш тәсілмен жазуға болады:

Атаулы масштаб — ең түсінікті: онда 1 см-де неше метр не километр бар екені тікелей жазылған.

Сандық масштаб — алымы бірге тең бөлшек: $\frac{1}{250,000}$. Бөлімі картадағы сызықтар жердегіден неше есе қысқа екенін көрсетеді.

📌 Сандық масштабтың оң және сол жағында әрқашан сантиметр тұрады. 1 : 250 000 дегені: картадағы 1 см = жердегі 250 000 см.

Бес нөлмен жасалатын қулық

1 км-де дәл 100 000 см бар — бұл бір және бес нөл. Сондықтан:

• бөлімнің соңғы бес нөлін саусағыңмен жап — қалғаны 1 см-дегі километр болады;
• екі нөлді жапсаң — 1 см-дегі метр қалады (1 м-де 100 см).

Мысалы: 1 : 500 000. Бес нөлді жабамыз — 5 қалды. Демек, 1 см-де 5 км.

Ал нөл бестен аз болса ше? 1 : 250 000: «25»-тен кейін тек төрт нөл бар. Соңынан бес таңбаны жабамыз — 2,5 км шығады.

⚠️ Жиі кететін қате. Барлық нөлді қатарынан жауып тастайды. 1 : 20 000 000 санында жеті нөл бар, бірақ жабу керегі тек бесеу: 200 қалады, яғни 1 см-де 200 км, 2 км емес.

Сызықтық масштаб

Сызықтық масштаб — тең кесінділерге бөлінген түзу сызық. Бөліктердің жанына әрқайсысы неше метр не километрге сәйкес келетіні жазылады.

Сызғыштағы бір кесіндінің ұзындығы масштабтың негізі деп аталады. Бізде ол 1 см-ге тең. Ал осы негізге неше метр не километр сәйкес келетіні — масштабтың шамасы. Ең сол жақтағы кесінді әдетте майдаланып бөлінеді, «құйрықтарын» нақты өлшеу үшін.

Картадан арақашықтықты қалай өлшейміз

1-тәсіл. Сызғышпен және сандық масштабпен. А және Б ауылдарының арасындағы қашықтықты табу керек, масштабы 1 : 50 000 (1 см-де 0,5 км). Картаның суретіне сызғыш қойылған, АБ кесіндісі — 5 см.

2-тәсіл. Өлшегіш циркульмен және сызықтық масштабпен. Циркульдің аяқтарын картадағы екі нүктеге қояды. Содан кейін айрығын өзгертпей, циркульді сызықтық масштабқа көшіріп, жауабын оқиды. Суретте циркуль 1070 м көрсеткен: негізгі сызғыш бойынша 1 км және сол жақтағы ұсақ бөліктер бойынша тағы 70 м.

3-тәсіл. Үлкен қашықтықты циркульдің «қадамымен» өлшеу. Циркульдің айрығын дәл бүтін километрге, мысалы 1 км-ге қояды. Содан кейін картадағы сызық бойымен «қадамдап» жүріп, қадамдарды санайды. Суретте төрт «қадам» 1 км-ден жасалып, қалдығы сызықтық масштаб бойынша өлшенген — 680 м. Барлығы: $4 \text{ км} + 680 \text{ м} = 4$ км 680 м.

🌟 «Google Жер» бағдарламасында «Сызғыш» құралы бар: екі нүкте қоясың — бағдарлама қашықтықты өзі жазады. Ғалымдар мен ұшқыштар қалалар арасындағы үлкен қашықтықты осылай тексереді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балаға қала немесе облыстың қағаз картасын және сызғыш беріңіз. Үйден әжесінің үйіне немесе мектепке дейінгі қашықтықты тапсын, содан кейін оны телефондағы картамен салыстырыңыз. «Жүздеген метрге дейін» сәйкес келсе, бала қатты қуанады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Масштаб дегеніміз не? Кескіннің нақты заттан неше есе кіші (немесе үлкен) екенін көрсететін сан.
• Масштабтың үш түрін ата. Сандық, атаулы, сызықтық.
• Сандық масштабты километрге қалай тез айналдыруға болады? Бөліміндегі бес нөлді жабу керек.
• Масштабтың негізі мен шамасы дегеніміз не? Негізі — сызғыш кесіндісінің ұзындығы (1 см); шамасы — оған неше метр не километр сәйкес келетіні.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1

Дәптерге жай қарындаш пен сызғыш арқылы ені 5 м және ұзындығы 10 м болатын тіктөртбұрыш сыз. Тапсырманы дұрыс орындау үшін не істеу қажет?

Қалай ойлаймыз. Нақты өлшемдер дәптерге сыймайды. Масштабты таңдау керек — неше есе кішірейтеміз.

Шешуі.

1. Масштабты таңдаймыз, мысалы 1 см-де 2 м (1 : 200).
2. 5 м қабырға: $5 : 2 = 2{,}5$ см. 10 м қабырға: $10 : 2 = 5$ см.
3. 2,5 × 5 см тіктөртбұрыш сызып, астына масштабты жазамыз.

Жауабы: масштабты таңдау керек; 1 : 200 масштабында 2,5 см × 5 см тіктөртбұрыш шығады.

№ 2

Картаның сандық масштабын атаулы масштабқа айналдыр: 1 : 250 000; 1 : 125 000 000; 1 : 20 000 000; 1 : 600 000; 1 : 500 000; 1 : 8 000 000; 1 : 1 000 000; 1 : 12 500 00.

Қалай ойлаймыз. Соңынан бес нөлді жабамыз — 1 см-дегі километр шығады.

Шешуі.

📕 Оқулықтағы шартта қате болуы мүмкін: соңғы масштаб «1 : 12 500 00» болып басылған. Ол 1 : 12 500 000 болса керек. Біз осылай шештік.

Жауабы: 2,5 км; 1250 км; 200 км; 6 км; 5 км; 80 км; 10 км; 125 км (1 : 1 250 000 болса — 12,5 км).

№ 3

Атаулы масштабты сандық масштабқа айналдыр: 1 см-де — 5 км; 50 м; 320 км; 500 м; 10 км; 250 км; 75 км; 500 км.

Қалай ойлаймыз. Кері қулық: километрге бес нөл қосамыз, метрге — екі нөл. Сантиметр шығады.

Шешуі.

• 1 см-де 5 км → 1 : 500 000
• 1 см-де 50 м → 1 : 5000
• 1 см-де 320 км → 1 : 32 000 000
• 1 см-де 500 м → 1 : 50 000
• 1 см-де 10 км → 1 : 1 000 000
• 1 см-де 250 км → 1 : 25 000 000
• 1 см-де 75 км → 1 : 7 500 000
• 1 см-де 500 км → 1 : 50 000 000

Жауабы: 1 : 500 000; 1 : 5000; 1 : 32 000 000; 1 : 50 000; 1 : 1 000 000; 1 : 25 000 000; 1 : 7 500 000; 1 : 50 000 000.

№ 4

Ауылдардың арасындағы қашықтық — 4,5 км. 1 см : 1000 м масштабпен жасалған картада сәйкес бөліктің ұзындығы нешеге тең?

Қалай ойлаймыз. Мұнда жерден картаға көшеміз, сондықтан масштаб шамасына бөлеміз.

Шешуі. 1000 м = 1 км, демек 1 см-де 1 км. $4{,}5 \text{ км} : 1 \text{ км} = 4{,}5$ см.

Жауабы: 4,5 см.

№ 5

Масштаб бойынша қашықтықты анықта. А нүктесінен Б нүктесіне дейінгі қашықтық картада 5 см-ге тең, картаның масштабы 1 см-де 2 км. Жердегі қашықтығын анықта.

Шешуі. $5 \cdot 2 = 10$ км.

Жауабы: 10 км.

№ 6

1 : 2500 масштабты картада өзен жағалауларының арасындағы қашықтық 4 см-ді құрайды. Өзеннің ені қандай?

Қалай ойлаймыз. Масштаб ірі, сондықтан жауапты метрмен жазған ыңғайлы.

Шешуі.

1. 1 : 2500 → 1 см-де 2500 см = 25 м.
2. $4 \cdot 25 = 100$ м.

Жауабы: 100 м.

№ 7

Туған өлкеге саяхат жасау кезінде оқушылар масштабы 1 : 1 000 000 болатын картаны пайдаланған. Егер картада екі қаланың жол бойынша арақашықтығы 0,6 дм-ге тең болса, 12 км/сағ жылдамдықпен жүрген велосипедші бір қаладан екінші қалаға жетуі үшін қанша уақыт жұмсайды?

Қалай ойлаймыз. Тұзақ — дециметр! Масштаб сантиметрмен есептейді, сондықтан алдымен 0,6 дм-ді см-ге айналдырамыз.

Шешуі. $0{,}6 \text{ дм} = 6 \text{ см}$; $6 \cdot 10 = 60$ км; $60 : 12 = 5$ сағ.

Жауабы: 5 сағат.

№ 8

Атлас карталарымен жұмыс істеу. Төмендегі маршруттар бойынша саяхатшы қанша қашықтықты жүріп өтуі қажет екендігін анықта: 1) Алматы – Қарағанды – Астана – Қостанай; 2) Алматы – Бішкек – Қызылорда – Ақтөбе; 3) Атырау – Ақтөбе – Астана – Павлодар.

Қалай ойлаймыз. Атласпен жұмыс ережесі бойынша әрекет ет: картаның атауын оқы, масштабты тап (әдетте оң жақ төменгі бұрышта), маршруттың әр кесіндісін сызғышпен өлше, масштаб шамасына көбейт және қос. Өзіңді «Google Жер» бағдарламасындағы «Сызғышпен» тексеруге болады: қаланы іздеуден тауып, белгі қой да, сызық жүргіз.

Шешуі. Қалалар арасындағы түзу сызықпен алынған шамамен қашықтықтар (атласың бойынша аздап басқаша шығуы мүмкін):

Атлас бойынша есептеу үлгісі: егер масштаб 1 : 10 000 000 (1 см-де 100 км) болса, ал Алматыдан Бішкекке дейін 1,9 см болса, $1{,}9 \cdot 100 = 190$ км.

Жауабы: түзу сызықпен шамамен 1560 км, 1820 км және 1920 км.

№ 9

Өзің тұратын аумақ картасының масштабтарын анықта. 1. Өзің тұратын аумақ бейнеленген картаны тап. Егер үйде ондай карта болмаса, таныстарың мен достарыңнан, кітапханашыдан немесе кітап дүкенінің сатушысынан сұра.

Қалай ойлаймыз. Атластағы облыс картасы, Қазақстан картасы, қала картасы, туристік сызба, телефондағы карта жарайды. Үйде болмаса, кітапханадан немесе кітап дүкенінен сұра.

Жауап үлгісі. Алматы үшін: атластағы Қазақстан картасы, Алматы облысының картасы, Медеу төңірегінің туристік картасы, қала картасы.

Жауабы: әркімнің жиыны өзінше, 3–4 карта болғаны жөн.

№ 10

2. Сен тұратын жер бейнеленген карталардың масштабын жазып ал. Қандай масштаб ірі, қайсысы ұсақ?

Қалай ойлаймыз. Бөлімдегі сандарды салыстыр: сан неғұрлым кіші болса, масштаб соғұрлым ірі.

Жауап үлгісі.

• Қазақстан картасы — 1 : 8 000 000 (ұсақ).
• Облыс картасы — 1 : 2 000 000.
• Туристік карта — 1 : 50 000.
• Қала картасы — 1 : 25 000 (ең ірі).

Жауабы: бөлімі кіші масштаб — ең ірі; бөлімі үлкен — ең ұсақ.

№ 11

3. Түрлі масштабтағы карталарды салыстыр және қандай масштабтағы картада ауданы бойынша үлкенірек, қайсысында кішірек аумақ бейнеленгенін анықта.

Жауап үлгісі. 1 : 8 000 000 картасына бүкіл ел сыяды. 1 : 25 000 картасына қаланың тек бір бөлігі ғана сыяды. Масштаб ұсақ болған сайын, дәл сондай көлемді парақта аумақ көбірек сияды.

Жауабы: үлкен аумақ — ұсақ масштабты карталарда, кіші аумақ — ірі масштабты карталарда.

№ 12

4. Қандай масштабты картада жер барынша нақтырақ, ал қайсысында нақтылық азырақ екенін анықта. Картада бейнеленген аумақтың ауданы мен оның нақтылығы масштабына қалай тәуелді болатындығы жайында тұжырым жаса.

Жауап үлгісі.

• Қала картасында көшелер, саябақтар, жекелеген ғимараттар көрінеді.
• Қазақстан картасында біздің қала — жай ғана дөңгелек.
• Қорытынды: масштаб неғұрлым ірі болса, аумақ соғұрлым кіші және детальдар соғұрлым көп. Масштаб неғұрлым ұсақ болса, аумақ үлкен, бірақ детальдар аз.

Жауабы: аудан мен нақтылық керісінше байланысты: аумақ үлкен болған сайын детальдар аз.

№ 13

Рефлексиялық экран. Өзіңнің сабақтағы әрекетіңді бағала. Сұрақтарға жауап бер. Шынайы бол: «Мен бүгін ... білдім», «... қызықты болды», «... қиын болды», «Мен енді ... жасай аламын» және т.б.

Қалай ойлаймыз. 4–5 сөйлемді таңдап, шынайы аяқта.

Жауап үлгісі.

• Мен бүгін масштаб сандық, атаулы және сызықтық болатынын білдім.
• Нөлдің нешеуін жабу керек екенін шатастырмау қиын болды.
• Мен енді картадан қалалар арасындағы қашықтықты таба аламын.
• Мені картаның үстімен циркульмен «қадамдап» жүруге болатыны таңдандырды.

Жауабы: әркімнің жауабы өзінше.

Жадынама

• 1 км = 100 000 см; 1 м = 100 см.
• 1 : 500 000 → 1 см-де 5 км; 1 см-де 50 м → 1 : 5000.
• Жердегі қашықтық = картадағы см × 1 см-дегі км (немесе м).
• Сызғышпен, сызықтық масштаб бойынша циркульмен, циркульдің «қадамымен» өлшеуге болады.

Шағын тест