§ 2. Негіздері бірдей дәрежелерді көбейту

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 28–32-беттер.

Нені үйренесің

• Негіздері бірдей дәрежелерді көбейтуді: көрсеткіштерді қосу арқылы.
• Бұл ереженің неге дұрыс екенін түсіндіруді.
• Дәрежені екі және үш дәреженің көбейтіндісіне жіктеуді.
• Теңдікте жетіспейтін көрсеткішті табуды.
• Көрсеткіштерінде әріптері бар өрнектермен жұмыс істеуді.

Ой қозғау

Өткен параграфтағы 1.17–1.19 жаттығулары дәл осы туралы болатын. Олардан нені есте сақтау керек.

• $2^{3}\cdot2^{4}$ неге тең және жауабын дәреже түрінде қалай жазамыз? Үш екілік пен төрт екілік жеті екілік береді: $2^{7}=128$.
• $(-6)^{7}\cdot(-6)^{2}=(-6)^{14}$ деген дұрыс па? Жоқ. Жеті мен екіні көбейтпей, қосу керек: $(-6)^{9}$ шығады.
• Негіз бен көрсеткіш дегеніміз не? Негіз — қайталанатын көбейткіш, көрсеткіш — оның неше рет қайталанатыны.

Тақырыпты талдаймыз

Көбейткіштерді қолмен санайық

$a^{6}\cdot a^{2}$ өрнегін алайық. Бәрін жазып шығамыз:

$a^{6}\cdot a^{2}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{6\text{ рет}}\cdot\underbrace{a\cdot a}{2\text{ рет}}=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{6+2\text{ рет}}=a^{8}.$

Негізі өзгеріссіз қалды, ал көрсеткіштері қосылды.

Жалпы түрдегі ереже

📌 Егер негіздері бірдей болса, онда $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$. Негіздері бірдей дәрежелерді көбейту үшін негізін өзгеріссіз қалдырып, көрсеткіштерін қосамыз.

Дәлелдеуі мысалдағыдай: $m$ көбейткіш пен тағы $n$ көбейткіш бірге $m+n$ көбейткіш болады.

Ереже үш, тіпті он дәрежеге де бірден жұмыс істейді: $x^{6}\cdot x^{5}\cdot x^{2}\cdot x=x^{6+5+2+1}=x^{14}$. Ұмытпа: жалаң $x$ әрпінің көрсеткіші $1$-ге тең.

💡 Негіз кез келген нәрсе бола алады: сан, бөлшек, теріс сан және тіпті жақшадағы бүтін өрнек: $(x+y)^{3}\cdot(x+y)^{15}=(x+y)^{18}$.

Ереже жұмыс істемейтін жерлер

⚠️ Жиі кететін қате 1. $2^{3}\cdot2^{4}=2^{7}$, ал $4^{7}$ да, $2^{12}$ де емес. Негіз өзгермейді, көрсеткіштер көбейтілмейді.

⚠️ Жиі кететін қате 2. Егер негіздері әртүрлі болса, көрсеткіштерді қосуға болмайды: $2^{3}\cdot3^{4}$ өрнегі $6^{7}$-ге тең емес. Мұнда ереже «үнсіз».

Кері бағыт: дәрежені жіктеу

Ереже оңнан солға қарай да жұмыс істейді. $a^{31}$ дәрежесін көрсеткіштерінің қосындысы 31 болатын кез келген екі дәрежеге бөлуге болады: $a^{19}\cdot a^{12}$, $a^{20}\cdot a^{11}$ және т.с.с. Жауап жалғыз емес, бұл қалыпты жағдай.

Көрсеткіштегі әріптер

Көрсеткіш те өрнек болуы мүмкін: $5^{k}\cdot5^{4}=5^{k+4}$. Бәрін әдеттегідей қосамыз, тек нәтиже әріппен қалады. Мысалы, $8^{4n}\cdot8^{n}=8^{5n}$, өйткені $4n+n=5n$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан көрсеткіштердің неге қосылатынын өз сөзімен түсіндіруін өтініңіз. Егер ол «барлығы неше көбейткіш шықты» деп айтса, ереже жаттап алынбай, түсініліп алынған.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Негіздері бірдей және теріс, көрсеткіштері тақ екі дәрежені көбейткенде қандай сан (теріс немесе оң) шығады? Оң сан. Мысалы, $(-2)^{3}\cdot(-2)^{5}=(-2)^{8}=256$: екі тақ көрсеткіштің қосындысы жұп, демек, минустар жұп-жұптан жойылады.
• Ережені қолдану үшін негіздер мен көрсеткіштер қандай болуы мүмкін? Негіздері бірдей болуы керек, ал олардың өзі кез келген сан немесе өрнек бола алады. Бұл параграфта көрсеткіштер натурал сандар.
• $d^{3}\cdot d^{7}\cdot d\cdot d^{11}=d^{22}$ неге? Барлық көрсеткіштерді қосамыз: $3+7+1+11=22$ (көрсеткіші жоқ $d$-ның көрсеткіші 1 екенін ұмытпаймыз).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 2.1

Өрнекті дәреже түрінде жазыңдар: 1) $x^{5}x^{12}$; 2) $y^{4}y^{11}$; 3) $z^{20}z^{6}$; 4) $40^{20}\cdot40^{3}$; 5) $(0{,}3)^{7}\cdot(0{,}3)^{29}$; 6) $(8{,}4)^{3}\cdot(8{,}4)^{15}$; 7) $\left(\frac{2}{7}\right)^{31}\cdot\left(\frac{2}{7}\right)^{6}$; 8) $\left(\frac{15}{19}\right)^{3}\cdot\left(\frac{15}{19}\right)^{19}$; 9) $\left(4\frac{4}{9}\right)^{14}\cdot\left(4\frac{4}{9}\right)^{28}$; 10) $(-5)^{4}\cdot(-5)^{11}$; 11) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{4}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{8}$; 12) $(-6{,}2)^{6}\cdot(-6{,}2)^{7}$; 13) $(-c)^{10}\cdot(-c)^{51}$; 14) $\left(-\frac{d}{2}\right)^{9}\cdot\left(-\frac{d}{2}\right)^{9}$; 15) $(-1{,}4k)^{5}\cdot(-1{,}4k)^{20}$.

Қалай ойлаймыз. Әр мысалда негіз бір, демек, оны қалдырып, көрсеткіштерді қосамыз.

Шешуі.

1. $5+12=17$. 2. $4+11=15$. 3. $20+6=26$. 4. $20+3=23$. 5. $7+29=36$. 6. $3+15=18$. 7. $31+6=37$. 8. $3+19=22$. 9. $14+28=42$. 10. $4+11=15$. 11. $4+8=12$. 12. $6+7=13$. 13. $10+51=61$. 14. $9+9=18$. 15. $5+20=25$.

Жауабы: 1) $x^{17}$; 2) $y^{15}$; 3) $z^{26}$; 4) $40^{23}$; 5) $0{,}3^{36}$; 6) $8{,}4^{18}$; 7) $\left(\frac{2}{7}\right)^{37}$; 8) $\left(\frac{15}{19}\right)^{22}$; 9) $\left(4\frac{4}{9}\right)^{42}$; 10) $(-5)^{15}$; 11) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{12}$; 12) $(-6{,}2)^{13}$; 13) $(-c)^{61}$; 14) $\left(-\frac{d}{2}\right)^{18}$; 15) $(-1{,}4k)^{25}$.

№ 2.2

Өрнекті дәреже түрінде жазыңдар: 1) $(3-a)^{4}\cdot(3-a)^{10}$; 2) $(x+y)^{3}\cdot(x+y)^{15}$; 3) $(2b-3)^{6}\cdot(2b-3)^{23}$; 4) $\left(\frac{1}{2}c+2\right)^{21}\cdot\left(\frac{1}{2}c+2\right)^{14}$; 5) $\left(4-\frac{2}{3}t\right)^{19}\cdot\left(4-\frac{2}{3}t\right)^{2}$; 6) $(9{,}2-k)^{15}\cdot(9{,}2-k)^{34}$.

Қалай ойлаймыз. Өрнегі бар жақшаны бір бүтін негіз деп санаймыз.

Шешуі. Көрсеткіштерді қосамыз: 1) $4+10=14$; 2) $3+15=18$; 3) $6+23=29$; 4) $21+14=35$; 5) $19+2=21$; 6) $15+34=49$.

Жауабы: 1) $(3-a)^{14}$; 2) $(x+y)^{18}$; 3) $(2b-3)^{29}$; 4) $\left(\frac{1}{2}c+2\right)^{35}$; 5) $\left(4-\frac{2}{3}t\right)^{21}$; 6) $(9{,}2-k)^{49}$.

№ 2.3

Дәрежені негіздері бірдей екі дәреженің көбейтіндісі түрінде жазыңдар: 1) $9^{10}$; 2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8}$; 3) $\left(-\frac{4}{11}\right)^{15}$; 4) $(-20)^{7}$; 5) $\left(5\frac{1}{9}\right)^{40}$; 6) $(-d)^{41}$; 7) $(8{,}5c)^{14}$; 8) $\left(-3\frac{2}{3}x\right)^{13}$.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткішті кез келген тәсілмен екі қосылғышқа бөл. Нұсқалар көп, кез келгені жарайды.

Шешуі. Мысалы: 1) $10=4+6$; 2) $8=3+5$; 3) $15=7+8$; 4) $7=3+4$; 5) $40=15+25$; 6) $41=20+21$; 7) $14=6+8$; 8) $13=5+8$.

Жауабы: 1) $9^{4}\cdot9^{6}$; 2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{5}$; 3) $\left(-\frac{4}{11}\right)^{7}\cdot\left(-\frac{4}{11}\right)^{8}$; 4) $(-20)^{3}\cdot(-20)^{4}$; 5) $\left(5\frac{1}{9}\right)^{15}\cdot\left(5\frac{1}{9}\right)^{25}$; 6) $(-d)^{20}\cdot(-d)^{21}$; 7) $(8{,}5c)^{6}\cdot(8{,}5c)^{8}$; 8) $\left(-3\frac{2}{3}x\right)^{5}\cdot\left(-3\frac{2}{3}x\right)^{8}$ (басқа жіктеулер де болады).

№ 2.4

Теңдік ақиқат болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан қойыңдар: 1) $a^{31}=a^{19}\cdot a^{}$; 2) $b^{24}=b^{}\cdot b^{16}$; 3) $(-d)^{52}=(-d)^{34}\cdot(-d)^{}$; 4) $(xy)^{9}=(xy)^{3}\cdot(xy)^{}$; 5) $\left(\frac{k}{3}\right)^{20}=\left(\frac{k}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{k}{3}\right)^{}$; 6) $(1{,}3t)^{}:(1{,}3t)^{8}=(1{,}3t)^{13}$.

Қалай ойлаймыз. Оң жақтағы көрсеткіштердің қосындысы сол жақтағы көрсеткішті беруі керек. Керек санды азайту арқылы табамыз.

Шешуі.

1. $31-19=12$. 2. $24-16=8$. 3. $52-34=18$. 4. $9-3=6$. 5. $20-10=10$.
2. Мұнда бөлу: белгісіз минус $8$ тең $13$, демек, $*=13+8=21$. Тексеру: $21-8=13$.

Жауабы: 1) $12$; 2) $8$; 3) $18$; 4) $6$; 5) $10$; 6) $21$.

№ 2.5

Теңдік ақиқат болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан қойыңдар: 1) $x^{40}=x^{9}\cdot x^{}\cdot x^{23}$; 2) $a^{}\cdot a^{5}\cdot a^{23}=a^{41}$; 3) $(ab)^{}\cdot(ab)\cdot(ab)^{9}=(ab)^{14}$; 4) $\left(\frac{c}{4}\right)^{20}\cdot\left(\frac{c}{4}\right)^{}=\frac{c}{4}\cdot\left(\frac{c}{4}\right)^{25}$; 5) $(-k)^{5}\cdot(-k)^{}\cdot(-k)^{5}=(-k)^{15}$; 6) $\left(\frac{2}{5}y\right)^{6}\cdot\left(\frac{2}{5}y\right)^{}=\frac{2}{5}y\cdot\left(\frac{2}{5}y\right)^{8}$.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткіштерге теңдеу құрамыз: сол жақтағы қосынды оң жақтағы қосындыға тең.

Шешуі.

1. $9++23=40$, демек, $=40-32=8$.
2. $+5+23=41$, демек, $=41-28=13$.
3. $+1+9=14$, демек, $=4$ ($(ab)$-ның көрсеткіші 1).
4. $20+=1+25$, демек, $=26-20=6$.
5. $5++5=15$, демек, $=5$.
6. $6+=1+8$, демек, $=3$.

Жауабы: 1) $8$; 2) $13$; 3) $4$; 4) $6$; 5) $5$; 6) $3$.

№ 2.6

1) $4\cdot2^{13}$ көбейтіндісін 2 санының; 2) $625\cdot5^{4}$ көбейтіндісін 5 санының; 3) $256\cdot4^{7}$ көбейтіндісін 4 санының; 4) $3^{20}\cdot243$ көбейтіндісін 3 санының дәрежесі түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бәрі бір негізді дәреже болуы керек. Ол үшін қарапайым санды керекті негіздің дәрежесіне айналдырамыз.

Шешуі.

1. $4=2^{2}$, демек, $2^{2}\cdot2^{13}=2^{15}$.
2. $625=5^{4}$, демек, $5^{4}\cdot5^{4}=5^{8}$.
3. $256=4^{4}$ (өйткені $4\cdot4=16$, $16\cdot16=256$), демек, $4^{4}\cdot4^{7}=4^{11}$.
4. $243=3^{5}$, демек, $3^{20}\cdot3^{5}=3^{25}$.

Жауабы: 1) $2^{15}$; 2) $5^{8}$; 3) $4^{11}$; 4) $3^{25}$.

B деңгейі

№ 2.7

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $5^{k}\cdot5^{4}$; 2) $6^{m}\cdot6^{10}$; 3) $1{,}7^{7}\cdot1{,}7^{c}$; 4) $(-4)^{3}\cdot(-4)^{d}$; 5) $\left(\frac{6}{13}\right)^{c}\cdot\left(\frac{6}{13}\right)^{6}$; 6) $(-5{,}2)^{9}\cdot(-5{,}2)^{n}$; 7) $8^{4n}\cdot8^{n}$; 8) $(-3)^{3k}\cdot(-3)^{8k}$; 9) $3{,}7^{8n}\cdot3{,}7^{8n}$.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткіштерде әріптер болса да, оларды қосамыз. Бірдей әріптерді жинаймыз: $4n+n=5n$.

Шешуі. 1) $k+4$; 2) $m+10$; 3) $7+c$; 4) $3+d$; 5) $c+6$; 6) $9+n$; 7) $4n+n=5n$; 8) $3k+8k=11k$; 9) $8n+8n=16n$.

Жауабы: 1) $5^{k+4}$; 2) $6^{m+10}$; 3) $1{,}7^{7+c}$; 4) $(-4)^{3+d}$; 5) $\left(\frac{6}{13}\right)^{c+6}$; 6) $(-5{,}2)^{9+n}$; 7) $8^{5n}$; 8) $(-3)^{11k}$; 9) $3{,}7^{16n}$.

№ 2.8

Егер $A=5^{9}\cdot5^{10}$; $B=9^{16}\cdot9^{3}$; $C=7^{8}\cdot7^{17}$ болса, онда $3A+9B-2C$ өрнегінің мәні қандай цифрмен аяқталатынын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәрежелерді ережемен ықшамдаймыз, содан кейін тек соңғы цифрлармен жұмыс істейміз.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $5+1-4=2$.

Ескертпе: бүкіл сан теріс ($2C$ саны $3A+9B$ қосындысынан әлдеқайда үлкен), сондықтан модулі бойынша ол $8$ цифрымен аяқталады. $2$ цифры 10-ға бөлгендегі қалдыққа қарағанда шығады.

Жауабы: $2$ (соңғы цифрлар ережесі бойынша).

№ 2.9

Дәрежені негіздері бірдей үш дәреженің көбейтіндісі түрінде жазыңдар: 1) $15^{13n}$; 2) $(-42)^{8m}$; 3) $\left(\frac{9}{16}\right)^{20t}$; 4) $(-1{,}1)^{11k}$.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткішті үш қосылғышқа бөлу керек, олардың қосындысы бастапқы көрсеткішке тең болсын. Кез келген бөлу жарайды.

Шешуі.

1. $13n=5n+4n+4n$.
2. $8m=3m+3m+2m$.
3. $20t=5t+7t+8t$.
4. $11k=k+4k+6k$.

Жауабы: 1) $15^{5n}\cdot15^{4n}\cdot15^{4n}$; 2) $(-42)^{3m}\cdot(-42)^{3m}\cdot(-42)^{2m}$; 3) $\left(\frac{9}{16}\right)^{5t}\cdot\left(\frac{9}{16}\right)^{7t}\cdot\left(\frac{9}{16}\right)^{8t}$; 4) $(-1{,}1)^{k}\cdot(-1{,}1)^{4k}\cdot(-1{,}1)^{6k}$ (басқа жіктеулер де болады).

№ 2.10

Дәрежені негіздері бірдей үш дәреженің көбейтіндісі түрінде жазыңдар: 1) $(-100)^{6k}$; 2) $99^{7k}$; 3) $\left(8\frac{3}{5}\right)^{17t}$; 4) $7{,}7^{3k}$.

Қалай ойлаймыз. № 2.9-дағыдай: көрсеткішті үш қосылғышқа бөлеміз.

Шешуі.

1. $6k=2k+2k+2k$.
2. $7k=k+2k+4k$.
3. $17t=5t+5t+7t$.
4. $3k=k+k+k$.

Жауабы: 1) $(-100)^{2k}\cdot(-100)^{2k}\cdot(-100)^{2k}$; 2) $99^{k}\cdot99^{2k}\cdot99^{4k}$; 3) $\left(8\frac{3}{5}\right)^{5t}\cdot\left(8\frac{3}{5}\right)^{5t}\cdot\left(8\frac{3}{5}\right)^{7t}$; 4) $7{,}7^{k}\cdot7{,}7^{k}\cdot7{,}7^{k}$ (басқа жіктеулер де болады).

№ 2.11

Дәрежені негіздері бірдей дәрежелердің көбейтіндісі түрінде жазыңдар. Әртүрлі жағдайларды қарастырыңдар: 1) $a^{3}$; 2) $(-6)^{4}$; 3) $\left(\frac{5}{18}\right)^{5}$; 4) $(x+y)^{4}$.

Қалай ойлаймыз. Ең қарапайым тәсіл: негізді көрсеткіштің санындай рет жазу. Басқа тәсілдер алдымен дәрежені екіге бөліп, әрқайсысын көбейтінді түрінде жазғанда шығады.

Шешуі.

1. $a^{3}=a\cdot a\cdot a$. Былай да болады: $a^{3}=a\cdot a^{2}$.
2. $(-6)^{4}=(-6)\cdot(-6)\cdot(-6)\cdot(-6)$. Немесе былай: $(-6)^{4}=(-6)^{2}\cdot(-6)^{2}=36\cdot36$.
3. $\left(\frac{5}{18}\right)^{5}$ — $\frac{5}{18}$ санының бес көбейткіші. Басқа тәсіл: $\left(\frac{5}{18}\right)^{2}\cdot\left(\frac{5}{18}\right)^{3}$.
4. $(x+y)^{4}=(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)$. Немесе: $(x+y)^{2}\cdot(x+y)^{2}$.

Жауабы: шешуін қара: әр тармақ үшін негізгі жазба және кемінде бір баламалы тәсіл.

C деңгейі

№ 2.12

Теңдік ақиқат болатындай етіп жұлдызшаның орнына өрнек қойыңдар: 1) $a^{k}\cdot a^{}=a^{k+n}$; 2) $b^{}\cdot b^{3n}=b^{m+3n}$; 3) $(cd)^{}=(cd)^{2t}\cdot(cd)^{5}$; 4) $(5z)^{6}\cdot(5z)^{}=(5z)^{6+3k}$.

Қалай ойлаймыз. Соңғы көрсеткіштен бар көрсеткішті азайтамыз. 3-тармақта жұлдызша сол жақта тұр, сондықтан көрсеткіштерді қосу керек.

Шешуі.

1. $(k+n)-k=n$.
2. $(m+3n)-3n=m$.
3. $2t+5$.
4. $(6+3k)-6=3k$.

Жауабы: 1) $n$; 2) $m$; 3) $2t+5$; 4) $3k$.

№ 2.13

Теңдік ақиқат болатындай етіп жұлдызшаның орнына өрнек қойыңдар: 1) $c^{k}\cdot c^{}=c^{2k+1}$; 2) $d^{5k}\cdot d^{}=d^{8k+2}$; 3) $z^{6k}\cdot z^{}=z^{10k+10}$; 4) $m^{}\cdot m^{13k}=m^{16k+13}$.

Қалай ойлаймыз. Соңғы көрсеткіштен белгілі көбейткіштің көрсеткішін азайтамыз. Әріпті бөліктерді сандардан бөлек азайтамыз.

Шешуі.

1. $(2k+1)-k=k+1$.
2. $(8k+2)-5k=3k+2$.
3. $(10k+10)-6k=4k+10$.
4. $(16k+13)-13k=3k+13$. $16k$-дан $13k$-ны азайтып, $+13$-ті қалдырамыз.

Жауабы: 1) $k+1$; 2) $3k+2$; 3) $4k+10$; 4) $3k+13$.

№ 2.14

Берілген теңдіктің ақиқат теңдік болатынын дәлелдеңдер: 1) $x^{k+4n-9}\cdot x^{7-3k}\cdot x^{6+2k-4n}=x^{4}$; 2) $x^{5m+11}\cdot x^{20-4m+2n}\cdot x^{m-2n-30}=x^{2m+1}$.

Қалай ойлаймыз. «Дәлелдеу» — сол жағынан дәл оң жағындағы өрнектің шығатынын көрсету. Негіз бірдей, сондықтан үш көрсеткішті қосып, не қалғанын қараймыз.

Шешуі.

1. Сол жақтағы көрсеткіш: $(k+4n-9)+(7-3k)+(6+2k-4n)$. $k$ әріптері: $k-3k+2k=0$. $n$ әріптері: $4n-4n=0$. Сандар: $-9+7+6=4$. $x^{4}$ шықты.
2. Сол жақтағы көрсеткіш: $(5m+11)+(20-4m+2n)+(m-2n-30)$. $m$ әріптері: $5m-4m+m=2m$. $n$ әріптері: $2n-2n=0$. Сандар: $11+20-30=1$. $x^{2m+1}$ шықты.

Екі жақ та тең, демек, теңдіктер дұрыс.

Жауабы: дәлелденді: 1-тармақта сол жақтағы көрсеткіш $4$-ке, 2-тармақта $2m+1$-ге тең.

Келесі тақырыпқа дайындаламыз

Келесі параграф дәрежелерді бөлу туралы. Бұл тапсырмалар басты ережеге жетелейді.

№ 2.15

Дәрежелерді көбейтінді түрінде жазыңдар және бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{3^{5}}{3^{4}}$; 2) $\frac{4^{4}}{4^{5}}$; 3) $\frac{(2{,}3)^{4}}{(2{,}3)^{3}}$; 4) $\frac{(-0{,}8)^{3}}{(-0{,}8)^{2}}$.

Қалай ойлаймыз. Алымы мен бөліміндегі көбейткіштерді жазып, бірдей жұптарды сызып таста.

Шешуі.

1. Жоғарыда бес үштік, төменде төрт. Төрт жұп кетеді, бір үштік қалады: $3^{1}=3$.
2. Жоғарыда төрт төрттік, төменде бес. Бөлімде бір төрттік қалады: $\frac{1}{4}$. (Мұндай бөлшекті дәреже түрінде жазуды кейінірек білесің.)
3. Жоғарыда $2{,}3$ санының төрт көбейткіші, төменде үш. $2{,}3$ қалады.
4. Жоғарыда $-0{,}8$ санының үш көбейткіші, төменде екі. $-0{,}8$ қалады.

Байқа: 1, 3, 4-тармақтарда көрсеткіштер азайтылады.

Жауабы: 1) $3$; 2) $\frac{1}{4}$; 3) $2{,}3$; 4) $-0{,}8$.

№ 2.16

Ақиқат теңдіктерді көшіріп жазыңдар: 1) $\frac{2^{9}}{2^{3}}=2^{3}$; 2) $\frac{7^{8}}{7^{4}}=7^{4}$; 3) $\frac{(0{,}25)^{12}}{(0{,}25)^{4}}=(0{,}25)^{8}$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ көбейткіштерді қысқарт: қысқартудан кейін неше көбейткіш қалады?

Шешуі.

1. Жоғарыда тоғыз екілік, төменде үш. $9-3=6$ екілік қалады, яғни $2^{6}$, ал $2^{3}$ емес. Дұрыс емес.
2. $8-4=4$, $7^{4}$ шығады. Дұрыс.
3. $12-4=8$, $(0{,}25)^{8}$ шығады. Дұрыс.

Жауабы: 2) және 3) теңдіктері дұрыс.

Жадынама

• Ереже: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$.
• Негіздері міндетті түрде бірдей болуы керек, көрсеткіштерін қосамыз.
• Көрінбейтін көрсеткіш 1-ге тең.
• Көрсеткіштерде әріптер болса, әріптерді де, сандарды да бөлек қосамыз.
• Белгісіз көрсеткішті табу үшін жиынтықтан белгілісін азайтамыз.

Шағын тест