§ 14. Бірмүше мен көпмүшені бірмүшеге бөлу

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 бөлім: Көпмүшелер. 97–100-беттер.

Нені үйренесің

• Бірмүшені бірмүшеге бөлуді: коэффициенттер бөлек, дәрежелер бөлек.
• Қалдықсыз бөлу қашан мүмкін болмайтынын түсінуді.
• Көпмүшені бірмүшеге оның әрбір мүшесін бөлу арқылы бөлуді.
• Бөлу амалы бар өрнектерді ықшамдауды және олардың мәндерін табуды.

Ой қозғау

• $a^{7}:a^{3}$ неге тең? Негіздері бірдей дәрежелерді бөлгенде көрсеткіштер азайтылады: $a^{4}$.
• Қосындыны санға қалай бөледі? Әрбір қосылғышты сол санға бөліп, нәтижелерін қосады: $(a+b):c=a:c+b:c$.
• $a\neq 0$ болғанда $a^{n}:a^{n}$ неге тең? Бірге.
• Ондық бөлшекті бөлшекке қалай бөледі? Мысалы, $40:0{,}5=80$: $0{,}5$-ке бөлу $2$-ге көбейтумен бірдей.

Тақырыпты талдаймыз

Бірмүше бірмүшеге: сандар бөлек, әріптер бөлек

Үйдегі шаруаны бөліскенді елестет: алдымен сандарды бөлеміз, содан кейін әр әріптің дәрежесімен жұмыс істейміз. Мұнда да солай. Бірмүшелер стандарт түрде жазылған болуы керек. Сосын коэффициенттерді бөлеміз, ал әр әріптің көрсеткіштерін азайтамыз.

📌 Бірмүшені бірмүшеге бөлу үшін коэффициенттерін бөл және негіздері бірдей дәрежелерді бөлу ережесін қолдан.

$36x^{3}y^{2}:(0{,}9y)$ өрнегін алайық. Сандар: $36:0{,}9=40$. $x$ әрпі тек бөлінгіште бар, сондықтан ол сол күйінде қалады: $x^{3}$. $y$ әрпі: $y^{2}:y=y$. Нәтиже: $40x^{3}y$.

⚠️ Жиі кететін қате. Қалдықсыз бөлу тек бөлгіштің әрбір әрпі бөлінгіште бар болғанда және оның көрсеткіші бөлгіштегіден кем болмағанда ғана мүмкін. Мысалы, $x^{2}:x^{3}$ немесе $a:b$ бірмүшемен өрнектелмейді. Мұндай өрнектер алгебралық бөлшектер болады, оларды 6-бөлімде оқимыз.

Көпмүше бірмүшеге: әр мүшенің өз бөлуі

Қосындыны санға бөлеміз: $(a+b):c=a:c+b:c$. Көпмүшемен де дәл солай: бірмүшеге әрбір мүшені бөліп, нәтижелерін қосамыз.

📌 Көпмүшені бірмүшеге бөлу үшін көпмүшенің әрбір мүшесін осы бірмүшеге бөліп, нәтижелерін қос.

Мысал: $(12x^{3}y-18x^{2}y^{2}+6xy):(6xy)=2x^{2}-3xy+1$. Соңғы мүшеге назар аудар: $6xy:6xy=1$, ал бірді жоғалтуға болмайды.

⚠️ Жиі кететін қате. Мүше өзін-өзіне бөлінгенде $1$ шығады, $0$ емес. Мүшенің таңбасы да онымен бірге жауапқа көшеді.

Көпмүшені бөлгенде көпмүше шықса, ол бірмүшеге қалдықсыз бөлінеді дейді. Бірақ бұл әрдайым бола бермейді. Мысалы, $(mn+mp-np):(mn)=1+\frac{p}{n}-\frac{p}{m}$ енді көпмүше емес. Тағы бір келісім: көпмүшені бөлгенде айнымалылар бөлгіштің мәні нөлге тең болмайтындай мәндерді қабылдайды, өйткені нөлге бөлуге болмайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бөлуді көбейту арқылы тексеруге болады: жауапты бөлгішке көбейткенде бөлінгіш қайтып шығуы керек. Баладан осы тексеруді соңғы қадам ретінде жасатыңыз.

🌟 Бөлу белгісін «:» XVII ғасырда Готфрид Лейбниц енгізген. Көбейту үшін біз қолданатын нүктені де сол ойлап тапқан.

Өзіңді тексер

• Бірмүшені бірмүшеге бөлгенде қандай түрлендірулер қолданылады? Бірмүшелерді стандарт түрге келтіреді, коэффициенттерін бөледі және негіздері бірдей дәрежелерді бөлу ережесін қолданады.
• Көпмүшені бірмүшеге қалай бөледі? Көпмүшенің әрбір мүшесін осы бірмүшеге бөліп, нәтижелерін қосады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 14.1

Бөлуді орындаңдар: 1) $46a^{2}b:(2a)$; 2) $50xy^{2}:(-5y)$; 3) $14x^{2}y^{3}:(-7xy)$; 4) $72cd^{3}:(9cd^{2})$; 5) $\frac{5}{6}a^{2}c^{2}:\left(\frac{3}{5}ac\right)$; 6) $0{,}24k^{4}t:\left(\frac{4}{9}k^{3}t\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен сандарды бөлеміз, сосын әр әріптің көрсеткіштерін азайтамыз.

Шешуі.

1. $46:2=23$; $a^{2}:a=a$; $b$ қалады: $23ab$.
2. $50:(-5)=-10$; $y^{2}:y=y$; $x$ қалады: $-10xy$.
3. $14:(-7)=-2$; $x^{2}:x=x$; $y^{3}:y=y^{2}$: $-2xy^{2}$.
4. $72:9=8$; $c:c=1$; $d^{3}:d^{2}=d$: $8d$.
5. $\frac{5}{6}:\frac{3}{5}=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{3}=\frac{25}{18}$; $a^{2}:a=a$; $c^{2}:c=c$: $\frac{25}{18}ac$.
6. $0{,}24:\frac{4}{9}=0{,}24\cdot\frac{9}{4}=0{,}54$; $k^{4}:k^{3}=k$; $t:t=1$: $0{,}54k$.

Жауабы: 1) $23ab$; 2) $-10xy$; 3) $-2xy^{2}$; 4) $8d$; 5) $\frac{25}{18}ac$ ($1\frac{7}{18}ac$); 6) $0{,}54k$.

№ 14.2

Бөлуді орындаңдар: 1) $(-20a+12ab+18ac):(-2a)$; 2) $(4{,}8b-0{,}6bc-1{,}5bd):(0{,}3b)$; 3) $\left(\frac{14}{15}x^{2}-\frac{32}{25}xy+\frac{54}{5}xz\right):\left(\frac{2}{5}x\right)$; 4) $\left(-\frac{100}{63}nm+\frac{50}{77}nk-\frac{20}{21}nt\right):\left(-\frac{20}{7}n\right)$.

Қалай ойлаймыз. Әрбір мүшені бөлек бөлеміз. Бөлшекке бөлуді аударылған бөлшекке көбейтумен ауыстырамыз.

Шешуі.

1. $-20a:(-2a)=10$; $12ab:(-2a)=-6b$; $18ac:(-2a)=-9c$. Нәтиже: $10-6b-9c$.
2. $4{,}8b:0{,}3b=16$; $-0{,}6bc:0{,}3b=-2c$; $-1{,}5bd:0{,}3b=-5d$. Нәтиже: $16-2c-5d$.
3. $\frac{14}{15}\cdot\frac{5}{2}=\frac{7}{3}$, демек $\frac{7}{3}x$. $-\frac{32}{25}\cdot\frac{5}{2}=-\frac{16}{5}$, демек $-\frac{16}{5}y$. $\frac{54}{5}\cdot\frac{5}{2}=27$, демек $27z$.
4. $-\frac{100}{63}\cdot\left(-\frac{7}{20}\right)=\frac{5}{9}$, демек $\frac{5}{9}m$. $\frac{50}{77}\cdot\left(-\frac{7}{20}\right)=-\frac{5}{22}$, демек $-\frac{5}{22}k$. $-\frac{20}{21}\cdot\left(-\frac{7}{20}\right)=\frac{1}{3}$, демек $\frac{1}{3}t$.

Жауабы: 1) $10-6b-9c$; 2) $16-2c-5d$; 3) $\frac{7}{3}x-\frac{16}{5}y+27z$; 4) $\frac{5}{9}m-\frac{5}{22}k+\frac{1}{3}t$.

№ 14.3

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $40x^{2}y:(8x)-6xy$; 2) $2{,}8ab^{2}:(0{,}7b)+1{,}3ab$; 3) $\frac{4}{9}s^{2}t^{2}:\left(\frac{2}{3}st\right)+\frac{1}{3}st$; 4) $8\frac{1}{3}n^{3}m^{3}:\left(1\frac{3}{5}n^{2}m^{2}\right)-1{,}9n$; 5) $8a^{2}b:(4ab)+15ac^{2}:(5c^{2})$; 6) $7{,}5x^{2}y^{2}:(3x^{2}y)-3{,}9my:(12m)$; 7) $2{,}1ab^{2}:\left(\frac{4}{3}b^{2}\right)-2{,}7at^{3}:\left(\frac{8}{9}t^{3}\right)$; 8) $6\frac{1}{4}c^{2}d:\left(2\frac{1}{2}cd\right)+8\frac{1}{4}c^{2}t^{2}:\left(5\frac{1}{2}ct^{2}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөлу амалдарын орындаймыз (олар қосудан бұрын орындалады), сосын ұқсас мүшелерді біріктіреміз.

Шешуі.

1. $40x^{2}y:8x=5xy$; $5xy-6xy=-xy$.
2. $2{,}8ab^{2}:0{,}7b=4ab$; $4ab+1{,}3ab=5{,}3ab$.
3. $\frac{4}{9}:\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}st$ шығады; $\frac{2}{3}st+\frac{1}{3}st=st$.
4. $8\frac{1}{3}:1\frac{3}{5}=\frac{25}{3}\cdot\frac{5}{8}=\frac{125}{24}$; $n^{3}m^{3}:n^{2}m^{2}=nm$. $\frac{125}{24}nm-1{,}9n$ шығады, ұқсас мүшелер жоқ.
5. $8a^{2}b:4ab=2a$; $15ac^{2}:5c^{2}=3a$; $2a+3a=5a$.
6. $7{,}5:3=2{,}5$, $2{,}5y$ шығады; $3{,}9:12=0{,}325$, $0{,}325y$ шығады; $2{,}5y-0{,}325y=2{,}175y$.
7. $2{,}1:\frac{4}{3}=1{,}575$, $1{,}575a$ шығады; $2{,}7:\frac{8}{9}=3{,}0375$, $3{,}0375a$ шығады; айырма $-1{,}4625a$.
8. $\frac{25}{4}:\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$, $2{,}5c$ шығады; $\frac{33}{4}:\frac{11}{2}=\frac{3}{2}$, $1{,}5c$ шығады; қосынды $4c$.

Жауабы: 1) $-xy$; 2) $5{,}3ab$; 3) $st$; 4) $\frac{125}{24}nm-1{,}9n$; 5) $5a$; 6) $2{,}175y$; 7) $-1{,}4625a$; 8) $4c$.

№ 14.4

14.1-кестеге сәйкес $A=13x^{5}:x^{3}+48$, мұндағы $x=2$, және $B=47x^{7}:x^{4}+97$, мұндағы $x=-1$. Келесі тұжырымдардың арасынан ақиқат тұжырымдарды анықтаңдар: 1) $B$ мәні $A$ мәнінің $50%$-ын құрайды; 2) $A=B+60$; 3) $B=2A-150$; 4) $A>3B$.

Қалай ойлаймыз. Әр өрнекті ықшамдаймыз, санды қоямыз, $A$ мен $B$ шығады, содан кейін тұжырымдарды тексереміз.

Шешуі. $A=13x^{2}+48=13\cdot 4+48=100$. $B=47x^{3}+97=47\cdot(-1)+97=50$.

1. $50$ — $100$-дің жартысы: ақиқат.
2. $B+60=110\ne 100$: ақиқат емес.
3. $2\cdot 100-150=50=B$: ақиқат.
4. $3B=150>100$, демек $A>3B$ ақиқат емес.

Жауабы: 1) және 3) тұжырымдар ақиқат.

B деңгейі

№ 14.5

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $90a^{2}b^{2}:(18a^{2}b)+0{,}14a^{2}b:(7ab)$, мұндағы $a=-5$; $b=2$; 2) $4{,}95x^{3}y^{4}:(2{,}2x^{3}y^{2})-7{,}7x^{5}y^{4}:(0{,}11x^{4}y^{4})$, мұндағы $x=\frac{3}{7}$; $y=-\frac{14}{15}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамдап, сосын сандарды қойған жақсы: есептеу жеңілдейді.

Шешуі.

1. $90a^{2}b^{2}:18a^{2}b=5b$; $0{,}14a^{2}b:7ab=0{,}02a$. Өрнек: $5b+0{,}02a=5\cdot 2+0{,}02\cdot(-5)=10-0{,}1=9{,}9$.
2. $4{,}95:2{,}2=2{,}25$, демек $2{,}25y^{2}$. $7{,}7:0{,}11=70$, демек $70x$. Өрнек: $2{,}25y^{2}-70x$. Мұнда $y^{2}=\frac{196}{225}$ және $2{,}25\cdot\frac{196}{225}=1{,}96$. Ал $70\cdot\frac{3}{7}=30$. Нәтиже: $1{,}96-30=-28{,}04$.

Жауабы: 1) $9{,}9$; 2) $-28{,}04$.

№ 14.6

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $76a^{2}b^{2}:(38ab)$ және $3ab$, мұндағы $a=-2$; $b=3$; 2) $-5xy$ және $105x^{3}y^{2}:(-21x^{2}y)$, мұндағы $x=0{,}2$; $y=7$; 3) $a^{5}b^{4}:(a^{3}b^{3})$ және $a^{7}b^{9}:(a^{6}b^{8})$, мұндағы $a=-2$; $b=-2$; 4) $33c^{4}d^{2}:(1{,}1c^{3}d)$ және $20cd$, мұндағы $c=0{,}5$; $d=-0{,}1$; 5) $6a^{2}b:(0{,}5ab)$ және $8ab^{2}:(0{,}2ab)$, мұндағы $a=2$; $b=3$; 6) $3{,}5n^{3}m:(7nm)$ және $5{,}7nm^{4}:(19m^{3})$, мұндағы $n=-1$; $m=1$.

Қалай ойлаймыз. Әр өрнекті ықшамдаймыз, сандарды қоямыз, сандарды салыстырамыз.

Шешуі.

1. $76a^{2}b^{2}:38ab=2ab=-12$; $3ab=-18$. $-12>-18$ болғандықтан, бірінші өрнек үлкен.
2. $105x^{3}y^{2}:(-21x^{2}y)=-5xy$, яғни өрнектер бірдей. Екеуі де $-5\cdot 0{,}2\cdot 7=-7$-ге тең.
3. $a^{5}b^{4}:a^{3}b^{3}=a^{2}b=4\cdot(-2)=-8$; $a^{7}b^{9}:a^{6}b^{8}=ab=4$. Бірінші өрнек кіші.
4. $33c^{4}d^{2}:1{,}1c^{3}d=30cd=30\cdot(-0{,}05)=-1{,}5$; $20cd=-1$. Бірінші өрнек кіші.
5. $6a^{2}b:0{,}5ab=12a=24$; $8ab^{2}:0{,}2ab=40b=120$. Бірінші өрнек кіші.
6. $3{,}5n^{3}m:7nm=0{,}5n^{2}=0{,}5$; $5{,}7nm^{4}:19m^{3}=0{,}3nm=-0{,}3$. Бірінші өрнек үлкен.

Жауабы: 1) $-12>-18$; 2) $-7=-7$; 3) $-8<4$; 4) $-1{,}5<-1$; 5) $24<120$; 6) $0{,}5>-0{,}3$.

№ 14.7

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(200x^{4}y^{3}-55x^{3}y^{2}):(5x^{3}y^{2})+11=40xy$; 2) $1{,}1a-(12{,}1a^{3}b^{2}-44a^{2}b^{2}):(11a^{2}b^{2})=4$; 3) $1{,}6s^{4}t:(0{,}04s^{3}t)-41{,}22s=-1{,}22s$; 4) $(8{,}47n^{5}m^{4}+77n^{4}m^{3}):(7{,}7n^{4}m^{3})-10=1{,}1nm$.

Қалай ойлаймыз. Сол жақ бөлігін түрлендіреміз. Ол оң жақ бөлігіне келсе, тепе-теңдік дәлелденді.

Шешуі.

1. $200x^{4}y^{3}:5x^{3}y^{2}=40xy$; $55x^{3}y^{2}:5x^{3}y^{2}=11$. $40xy-11+11=40xy$ шығады.
2. $12{,}1a^{3}b^{2}:11a^{2}b^{2}=1{,}1a$; $44a^{2}b^{2}:11a^{2}b^{2}=4$. Жақша $1{,}1a-4$-ке тең. Сонда $1{,}1a-(1{,}1a-4)=1{,}1a-1{,}1a+4=4$.
3. $1{,}6s^{4}t:0{,}04s^{3}t=40s$. $40s-41{,}22s=-1{,}22s$ шығады.
4. $8{,}47:7{,}7=1{,}1$, демек $1{,}1nm$; $77:7{,}7=10$. $1{,}1nm+10-10=1{,}1nm$ шығады.

Жауабы: төрт тармақта да сол жақ бөлігі оң жақ бөлігіне тең, тепе-теңдіктер дәлелденді.

C деңгейі

Мұнда қиын есептер басталады. Бірден шықпаса қорықпа: әрекеттің өзі миды жаттықтырады!

№ 14.8

1) $(20x^{5}-14x^{4}):0{,}2x^{4}\ge(99x^{7}-x^{6}):x^{6}-29$ теңсіздігін қанағаттандыратын ең кіші бүтін санды табыңдар. 2) $(36x^{13}-5x^{10}):x^{9}-5>(72x^{5}+300x):2x$ теңсіздігін қанағаттандыратын ең үлкен бүтін санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлуді орында, сызықтық теңсіздік шығады. Оны әдеттегідей шеш.

Шешуі.

1. $(20x^{5}-14x^{4}):0{,}2x^{4}=100x-70$; $(99x^{7}-x^{6}):x^{6}=99x-1$. Теңсіздік: $100x-70\ge 99x-1-29$, яғни $100x-70\ge 99x-30$. Ауыстырамыз: $x\ge 40$. Ең кіші бүтін сан $40$.
2. $(36x^{13}-5x^{10}):x^{9}=36x^{4}-5x$; $(72x^{5}+300x):2x=36x^{4}+150$. Теңсіздік: $36x^{4}-5x-5>36x^{4}+150$. $36x^{4}$-ті қысқартамыз: $-5x>155$, демек $x<-31$ ($-5$-ке бөлгенде таңба өзгереді). Ең үлкен бүтін сан $-32$.

Жауабы: 1) $40$; 2) $-32$.

№ 14.9

$A=(46a^{4}b^{3}+12a^{3}b^{2}):(2a^{3}b^{2})-23ab$ болсын, ал $B$ мәні $A$ мәнінің $50%$-ына тең болсын. Өлшемдері $A$ м $\times$ $B$ м болатын тіктөртбұрыш пішінді қабырғаны тұсқағазбен желімдеу керек. Егер қабырғада өлшемдері $0{,}9$ м $\times$ $2$ м болатын есік тұрса, онда тұсқағаз жапсыратын ауданды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $A$-ны ықшамда: айнымалылар кетуі керек. Сосын $B$-ны, қабырғаның ауданын тауып, есіктің ауданын алып тастаймыз.

Шешуі.

1. $46a^{4}b^{3}:2a^{3}b^{2}=23ab$; $12a^{3}b^{2}:2a^{3}b^{2}=6$. Демек $A=23ab+6-23ab=6$.
2. $B=0{,}5\cdot 6=3$.
3. Қабырғаның ауданы $6\cdot 3=18$ м$^{2}$. Есіктің ауданы: $0{,}9\cdot 2=1{,}8$ м$^{2}$.
4. Желімдеу керек аудан: $18-1{,}8=16{,}2$ м$^{2}$.

Жауабы: $16{,}2$ м$^{2}$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 14.10

$9yax^{3}$; $-8yx$; $3xy^{2}n^{3}$; $4xy$; $5xay^{5}$; $-3xy$; $-9xay^{5}$ бірмүшелері берілген. Осы бірмүшелердің құрамындағы ортақ көбейткішті табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бірмүшеде қандай әріптер бар екенін және олардың ең кіші көрсеткішін қараймыз.

Шешуі. $x$ әрпі барлық жерде бар, ең кіші көрсеткіші $1$. $y$ әрпі де барлық жерде бар, ең кіші көрсеткіші $1$. $a$ және $n$ әріптері барлығында жоқ. Коэффициенттердің ($9$, $-8$, $3$, $4$, $5$, $-3$, $-9$) $1$-ден үлкен ортақ бөлгіші жоқ.

Жауабы: $xy$.

№ 14.11

Көбейтудің үлестірімділік заңын қолданып, ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарыңдар: 1) $2a+2b$; 2) $xy+xz$; 3) $8c-10d$; 4) $abc-abd$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — үлестірімділік заңын оңнан солға қарай оқу: $ab+ac=a(b+c)$.

Шешуі.

1. ортақ көбейткіш $2$: $2(a+b)$.
2. ортақ көбейткіш $x$: $x(y+z)$.
3. $\text{ЕҮОБ}(8;10)=2$: $2(4c-5d)$.
4. ортақ көбейткіш $ab$: $ab(c-d)$.

Жауабы: 1) $2(a+b)$; 2) $x(y+z)$; 3) $2(4c-5d)$; 4) $ab(c-d)$.

Жадынама

• Бөлу алдында бірмүшелерді стандарт түрге келтір.
• Бөлгіш нөлге тең болмауы керек.
• Бөлу амалы бар өрнектерді алдымен ықшамда, сосын сандарды қой.

Шағын тест