§ 15. Көпмүшені ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару тәсілі арқылы көбейткіштерге жіктеу

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 бөлім: Көпмүшелер. 100–105-беттер.

Нені үйренесің

• «Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу» дегеннің не екенін түсінуді.
• Көпмүше мүшелерінің ортақ көбейткішін табуды: сан, бірмүше немесе тіпті жақша.
• Оны жақшаның сыртына шығарып, нәтижені көбейту арқылы тексеруді.
• $x(x+a)=0$ түріндегі теңдеулерді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешуді.

Ой қозғау

• $a(b+c)=ab+ac$ қасиеті қалай аталады? Көбейтудің үлестірімділік қасиеті. Мұнда оны оңнан солға қарай оқимыз.
• $\text{ЕҮОБ}(14;49;35)$ неге тең? $7$.
• Көбейтінді қашан нөлге тең болады? Көбейткіштердің кемінде біреуі нөлге тең болғанда ғана.
• $-(b-a)$ неге тең? Бұл $a-b$: жақшаның алдындағы таңбаны өзгертсең, мүшелердің орны ауысқандай болады.

Тақырыпты талдаймыз

Көбейттік, енді керісінше жасаймыз

13-параграфта сен жақшаны аштың: $3a(a+2)=3a^{2}+6a$. Енді міндет кері: $3a^{2}+6a$ қосындысы бар, оны қайтадан көбейтінді түрінде жазу керек. Бұл — көпмүшені көбейткіштерге жіктеу.

Нені шығару керегін қалай табамыз? Әрбір мүшеде бар нәрсені іздейміз.

1. Коэффициенттердің ішінен ең үлкен ортақ бөлгішті аламыз.
2. Әрбір әріпті барлық мүшеде кездесетін ең кіші көрсеткішімен аламыз.

$12a^{3}b^{2}-18a^{2}b^{3}+6a^{2}b$ көпмүшесін алайық. $12$, $18$, $6$ сандарының ЕҮОБ-ы $6$. $a$ әрпі: ең кіші көрсеткіші $2$. $b$ әрпі: ең кіші көрсеткіші $1$. Ортақ көбейткіш $6a^{2}b$.

⚠️ Жиі кететін қате. Егер мүше ортақ көбейткішпен бірдей болса, жақшада оның орнына $1$ қалады, бос орын емес. Мысалы, $x^{2}+x=x(x+1)$.

📌 Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің дұрыстығын көбейту арқылы тексереді: жақшаны ортақ көбейткішке көбейтсең, бастапқы көпмүше шығады.

Ортақ көбейткіш жақша болуы мүмкін

Кейде тұтас жақша қайталанады: $19(3t+2k)-a(3t+2k)+3b(3t+2k)$. $(3t+2k)$-ны шығарамыз да, $(3t+2k)(19-a+3b)$ аламыз. Мұндағы жақша бір үлкен әріптей.

Таңбаны ауыстыру көмектеседі: $a-b=-(b-a)$

Кейде жақшалар тек таңбасымен ерекшеленеді: $(9-c^{3})d+(c^{3}-9)m$. $c^{3}-9$ орнына $-(9-c^{3})$ қоямыз. Сонда $(9-c^{3})d-(9-c^{3})m=(9-c^{3})(d-m)$ шығады.

💡 Егер жақшалар «дерлік бірдей» болса, біреуінен минусты шығар, сонда олар бірдей болады.

Бұл не үшін керек? Теңдеулерді шешеміз

Егер теңдеу көбейтіндіге жіктелсе, ол көбейткіштердің біреуі нөлге тең болғанда нөлге тең болады. $x^{2}+0{,}5x=0$ теңдеуін шешейік. $x$-ті жақшаның сыртына шығарамыз: $x(x+0{,}5)=0$. Онда $x=0$ немесе $x=-0{,}5$. Екі түбір бар.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Көбейткіштерге жіктеу теңдеулерді шешуге, бөлшектерді қысқартуға және алда келетін қысқаша көбейту формулаларына керек. Бала шатасса, әрдайым жақшаны ашу арқылы тексерсін.

🌟 Өрнекті көбейткіштерге жіктеу идеясын ежелгі Шығыс математиктері-ақ қолданған. Ал «алгебра» сөзі қазіргі Өзбекстан жерінде, Хорезмде өмір сүрген әл-Хорезмидің еңбегінен шыққан.

Өзіңді тексер

• Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу дегеніміз не? Оны бірмүшелердің және көпмүшелердің көбейтіндісі түрінде жазу.
• Көпмүше мүшелерінің ортақ көбейткіші қандай болуы мүмкін? Сан, бірмүше немесе көпмүше (жақша). Мысалы, $x(a+b)+y(a+b)$ өрнегінде ортақ көбейткіш $(a+b)$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 15.1

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $2a+6$; 2) $6xy+x$; 3) $8m-12n$; 4) $ab-b^{2}$; 5) $c^{2}-c$; 6) $y^{2}+by$.

Қалай ойлаймыз. Екі мүшеде де бар нәрсені іздейміз: санды және әріпті. Мүше ортақ көбейткішке толық «кеткенде» $1$ қалатынын ұмытпаймыз.

Шешуі.

1. $2a+6=2(a+3)$.
2. $6xy+x=x(6y+1)$.
3. $8m-12n=4(2m-3n)$.
4. $ab-b^{2}=b(a-b)$.
5. $c^{2}-c=c(c-1)$.
6. $y^{2}+by=y(y+b)$.

Жауабы: 1) $2(a+3)$; 2) $x(6y+1)$; 3) $4(2m-3n)$; 4) $b(a-b)$; 5) $c(c-1)$; 6) $y(y+b)$.

№ 15.2

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $15ab-8ac+\frac{2}{7}ad$; 2) $-\frac{3}{8}xy+0{,}9xz-15x$; 3) $0{,}1mn+2mk-4m$; 4) $12tk-8tx-7t$; 5) $\frac{3}{4}at+0{,}17ax-5a$; 6) $-\frac{6}{5}dx+\frac{3}{11}dy-21d$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда коэффициенттердің ортақ сандық бөлгіші жоқ, сондықтан тек әріпті шығарамыз.

Шешуі.

1. Ортақ көбейткіш $a$: $a\left(15b-8c+\frac{2}{7}d\right)$.
2. Ортақ көбейткіш $x$: $x\left(-\frac{3}{8}y+0{,}9z-15\right)$.
3. Ортақ көбейткіш $m$: $m(0{,}1n+2k-4)$.
4. Ортақ көбейткіш $t$: $t(12k-8x-7)$.
5. Ортақ көбейткіш $a$: $a\left(\frac{3}{4}t+0{,}17x-5\right)$.
6. Ортақ көбейткіш $d$: $d\left(-\frac{6}{5}x+\frac{3}{11}y-21\right)$.

Жауабы: 1) $a\left(15b-8c+\frac{2}{7}d\right)$; 2) $x\left(-\frac{3}{8}y+0{,}9z-15\right)$; 3) $m(0{,}1n+2k-4)$; 4) $t(12k-8x-7)$; 5) $a\left(\frac{3}{4}t+0{,}17x-5\right)$; 6) $d\left(-\frac{6}{5}x+\frac{3}{11}y-21\right)$.

№ 15.3

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $3ab+9ac+27ad$; 2) $4xy+8xz-16x$; 3) $0{,}2mn-0{,}8mk+1{,}6m$; 4) $9tk-18tx+27t$; 5) $0{,}75at+\frac{3}{4}ax-\frac{9}{16}a$; 6) $-\frac{2}{3}dx+\frac{4}{9}dy-\frac{8}{9}d$.

Қалай ойлаймыз. Енді коэффициенттердің ортақ бөлгіші бар. Бөлшектер үшін олардың бәрі бөлінетін ең үлкен бөлшекті шығар.

Шешуі.

1. ЕҮОБ $3$, ортақ әріп $a$: $3a(b+3c+9d)$.
2. ЕҮОБ $4$, әріп $x$: $4x(y+2z-4)$.
3. $0{,}2m$: $0{,}2m(n-4k+8)$.
4. ЕҮОБ $9$, әріп $t$: $9t(k-2x+3)$.
5. $0{,}75=\frac{3}{4}=\frac{12}{16}$. Барлық коэффициенттер $\frac{3}{16}$-ға еселі ($\frac{12}{16}$, $\frac{12}{16}$, $\frac{9}{16}$): $\frac{3}{16}a(4t+4x-3)$.
6. Коэффициенттер $-\frac{6}{9}$, $\frac{4}{9}$, $-\frac{8}{9}$ — $\frac{2}{9}$-ға еселі: $\frac{2}{9}d(-3x+2y-4)$, немесе $-\frac{2}{9}d(3x-2y+4)$.

Жауабы: 1) $3a(b+3c+9d)$; 2) $4x(y+2z-4)$; 3) $0{,}2m(n-4k+8)$; 4) $9t(k-2x+3)$; 5) $\frac{3}{16}a(4t+4x-3)$; 6) $-\frac{2}{9}d(3x-2y+4)$.

№ 15.4

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $16a^{2}b^{3}-32ab^{2}+64abc$; 2) $9x^{3}y^{4}-27x^{2}yz+54xy^{2}$; 3) $\frac{3}{16}a^{4}bc+\frac{7}{32}a^{3}bc-\frac{9}{64}a^{4}b^{2}c$; 4) $\frac{5}{9}x^{8}y^{2}z^{3}+\frac{11}{27}x^{6}y^{3}z^{2}-\frac{11}{54}x^{7}y^{4}z$; 5) $0{,}125m^{2}n^{3}-0{,}25mn+0{,}625m^{2}n$; 6) $328t^{2}k^{3}+82t^{2}k^{2}-246t^{3}k^{2}$; 7) $0{,}09m^{6}n^{5}+0{,}27m^{3}n^{8}-0{,}09m^{3}n^{5}$; 8) $1{,}6t^{11}k^{4}-3{,}2t^{10}k+0{,}8t^{9}k$; 9) $14m^{4}-49m^{2}nk+7m^{2}n$; 10) $-8t^{8}k^{3}y+64t^{3}k^{8}-4t^{3}k^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Үш қадам: сан, содан кейін әр әріп ең кіші көрсеткішімен, содан кейін әрбір мүшені бөлу.

Шешуі.

1. ЕҮОБ $16$; $a$, $b$ бірінші дәрежеде: $16ab(ab^{2}-2b+4c)$.
2. ЕҮОБ $9$; $xy$: $9xy(x^{2}y^{3}-3xz+6y)$.
3. Бөлімін $64$-ке келтірейік: $\frac{12}{64}$, $\frac{14}{64}$, $\frac{9}{64}$. Ортақ коэффициент $\frac{1}{64}$, әріптер $a^{3}bc$: $\frac{1}{64}a^{3}bc(12a+14-9ab)$.
4. Бөлімі $54$: $\frac{30}{54}$, $\frac{22}{54}$, $\frac{11}{54}$. Ортақ әріптер $x^{6}y^{2}z$: $\frac{1}{54}x^{6}y^{2}z(30x^{2}z^{2}+22yz-11xy^{2})$.
5. $0{,}125$, $0{,}25$, $0{,}625$ сандарының ЕҮОБ-ы $0{,}125$; әріптер $mn$: $0{,}125mn(mn^{2}-2+5m)$.
6. $328=4\cdot 82$, $246=3\cdot 82$; әріптер $t^{2}k^{2}$: $82t^{2}k^{2}(4k+1-3t)$.
7. $0{,}09$ және $0{,}27=3\cdot 0{,}09$; әріптер $m^{3}n^{5}$: $0{,}09m^{3}n^{5}(m^{3}+3n^{3}-1)$.
8. Барлығында $0{,}8$: $1{,}6=2\cdot 0{,}8$, $3{,}2=4\cdot 0{,}8$; әріптер $t^{9}k$: $0{,}8t^{9}k(2t^{2}k^{3}-4t+1)$.
9. $14=7\cdot 2$, $49=7\cdot 7$; әріптер $m^{2}$: $7m^{2}(2m^{2}-7nk+n)$.
10. ЕҮОБ $4$; әріптер $t^{3}k^{3}$: $4t^{3}k^{3}(-2t^{5}y+16k^{5}-1)$.

Жауабы: 1) $16ab(ab^{2}-2b+4c)$; 2) $9xy(x^{2}y^{3}-3xz+6y)$; 3) $\frac{1}{64}a^{3}bc(12a+14-9ab)$; 4) $\frac{1}{54}x^{6}y^{2}z(30x^{2}z^{2}+22yz-11xy^{2})$; 5) $0{,}125mn(mn^{2}-2+5m)$; 6) $82t^{2}k^{2}(4k+1-3t)$; 7) $0{,}09m^{3}n^{5}(m^{3}+3n^{3}-1)$; 8) $0{,}8t^{9}k(2t^{2}k^{3}-4t+1)$; 9) $7m^{2}(2m^{2}-7nk+n)$; 10) $4t^{3}k^{3}(-2t^{5}y+16k^{5}-1)$.

№ 15.5

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $12(a+b)-c(a+b)+5d(a+b)$; 2) $14(m-n)+x(m-n)-3x(m-n)$; 3) $-1{,}5(x+y)+x(x+y)-y(x+y)+(x+y)$; 4) $(t+k)-8x(t+k)-16(t+k)$; 5) $(c+d)x-(c+d)y+5(c+d)+5xy(c+d)$; 6) $5a(3a-8)-3b(3a-8)+9ab(3a-8)-(3a-8)$; 7) $7y(7x-y)+x(7x-y)-7xy(7x-y)+(7x-y)$; 8) $(a+b)^{2}(x+y)-x(a+b)^{2}-y(a+b)^{2}+(a+b)^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Әр мүшеде бірдей жақша бар. Оны шығарамыз, ал жаңа жақшаға қалғандарын жинаймыз.

Шешуі.

1. $(a+b)(12-c+5d)$.
2. $(m-n)(14+x-3x)=(m-n)(14-2x)$.
3. $(x+y)(-1{,}5+x-y+1)=(x+y)(x-y-0{,}5)$.
4. $(t+k)(1-8x-16)=(t+k)(-8x-15)=-(t+k)(8x+15)$.
5. $(c+d)(x-y+5+5xy)$.
6. $(3a-8)(5a-3b+9ab-1)$.
7. $(7x-y)(7y+x-7xy+1)$.
8. $(a+b)^{2}(x+y-x-y+1)=(a+b)^{2}$.

Жауабы: 1) $(a+b)(12-c+5d)$; 2) $(m-n)(14-2x)$; 3) $(x+y)(x-y-0{,}5)$; 4) $-(t+k)(8x+15)$; 5) $(c+d)(x-y+5+5xy)$; 6) $(3a-8)(5a-3b+9ab-1)$; 7) $(7x-y)(x+7y-7xy+1)$; 8) $(a+b)^{2}$.

№ 15.6

$x^{3}-2x^{2}$, $x^{6}+2x^{4}$, $3-6x$ көпмүшелері арасынан ортақ көбейткіші: 1) $x^{2}$; 2) $x-2$ өрнегі болатын көпмүшелерді теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр көпмүшені көбейткіштерге жіктеп, не шыққанын қараймыз.

Шешуі. $x^{3}-2x^{2}=x^{2}(x-2)$. $x^{6}+2x^{4}=x^{4}(x^{2}+2)$. $3-6x=3(1-2x)$.

1. $x^{2}$ көбейткіші $x^{3}-2x^{2}$ көпмүшесінде де, $x^{6}+2x^{4}$ көпмүшесінде де бар ($x^{4}=x^{2}\cdot x^{2}$). $3-6x$ көпмүшесінде жоқ.
2. $x-2$ көбейткіші тек $x^{3}-2x^{2}$ көпмүшесінде бар.

Жауабы: 1) $x^{3}-2x^{2}$ және $x^{6}+2x^{4}$; 2) $x^{3}-2x^{2}$.

B деңгейі

№ 15.7

Көбейткішке жіктеңдер: 1) $4b(7-8a)+a(8a-7)-(14-16a)+(7-8a)ab$; 2) $3x(5y-4)-y(4-5y)+(15y-12)-3xy(4-5y)$; 3) $mn(m-3n)-m(m-3n)-n(m-3n)+8(6n-2m)$; 4) $\left(-\frac{2}{3}t+k\right)x-\left(k-\frac{2}{3}t\right)y+(3k-2t)xy-(-2t+3k)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалар таңбасымен немесе көбейткішімен ерекшеленеді. Оларды бірдей етіп, сосын шығар.

Шешуі.

1. $8a-7=-(7-8a)$ және $14-16a=2(7-8a)$. Шығады: $4b(7-8a)-a(7-8a)-2(7-8a)+ab(7-8a)=(7-8a)(4b-a-2+ab)$.
2. $4-5y=-(5y-4)$ және $15y-12=3(5y-4)$. Шығады: $3x(5y-4)+y(5y-4)+3(5y-4)+3xy(5y-4)=(5y-4)(3x+y+3+3xy)$.
3. $6n-2m=-2(m-3n)$. Шығады: $(m-3n)(mn-m-n-16)$.
4. $-2t+3k=3k-2t$; $-\frac{2}{3}t+k=k-\frac{2}{3}t=\frac{1}{3}(3k-2t)$. $(3k-2t)$-ны шығарамыз: $(3k-2t)\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+xy-1\right)$.

Жауабы: 1) $(7-8a)(4b-a-2+ab)$; 2) $(5y-4)(3x+y+3+3xy)$; 3) $(m-3n)(mn-m-n-16)$; 4) $(3k-2t)\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+xy-1\right)$.

№ 15.8

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x^{2}+6x=0$; 2) $x^{2}-5x=0$; 3) $\frac{7}{8}x+x^{2}=0$; 4) $\frac{12}{13}x-x^{2}=0$; 5) $x+\frac{2}{3}x^{2}=0$; 6) $x-\frac{7}{9}x^{2}=0$; 7) $\frac{1}{25}x+\frac{1}{125}x^{2}=0$; 8) $\frac{1}{49}x-\frac{1}{343}x^{2}=0$.

Қалай ойлаймыз. $x$-ті жақшаның сыртына шығар: $x\cdot(\ldots)=0$. Әрбір көбейткішті нөлге теңестір.

Шешуі.

1. $x(x+6)=0$: $x=0$ немесе $x=-6$.
2. $x(x-5)=0$: $0$ немесе $5$.
3. $x\left(\frac{7}{8}+x\right)=0$: $0$ немесе $-\frac{7}{8}$.
4. $x\left(\frac{12}{13}-x\right)=0$: $0$ немесе $\frac{12}{13}$.
5. $x\left(1+\frac{2}{3}x\right)=0$: $x=0$ немесе $\frac{2}{3}x=-1$, $x=-\frac{3}{2}=-1{,}5$.
6. $x\left(1-\frac{7}{9}x\right)=0$: $x=0$ немесе $x=\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}$.
7. $x\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{125}x\right)=0$: $x=0$ немесе $\frac{x}{125}=-\frac{1}{25}$, $x=-5$.
8. $x\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{343}x\right)=0$: $x=0$ немесе $\frac{x}{343}=\frac{1}{49}$, $x=7$.

Жауабы: 1) $0$; $-6$; 2) $0$; $5$; 3) $0$; $-\frac{7}{8}$; 4) $0$; $\frac{12}{13}$; 5) $0$; $-1{,}5$; 6) $0$; $1\frac{2}{7}$; 7) $0$; $-5$; 8) $0$; $7$.

№ 15.9

Теңдеуді шешіңдер: 1) $z(2z-5)+5(2z-5)=0$; 2) $3(4-z)-7z(z-4)=0$; 3) $z(0{,}5z+5)-6(5+0{,}5z)=0$; 4) $z(8-z)+z-8=0$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ жақшаны тап (қажет болса, таңбасын ауыстыр), оны шығар да, көбейткіштерді нөлге теңестір.

Шешуі.

1. $(2z-5)(z+5)=0$: $z=2{,}5$ немесе $z=-5$.
2. $-7z(z-4)=7z(4-z)$. Шығады: $(4-z)(3+7z)=0$: $z=4$ немесе $z=-\frac{3}{7}$.
3. $(0{,}5z+5)(z-6)=0$: $z=-10$ немесе $z=6$.
4. $z-8=-(8-z)$. Шығады: $(8-z)(z-1)=0$: $z=8$ немесе $z=1$.

Жауабы: 1) $2{,}5$; $-5$; 2) $4$; $-\frac{3}{7}$; 3) $-10$; $6$; 4) $1$; $8$.

№ 15.10

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $(0{,}16a+0{,}32b)a-(0{,}64b+1{,}28a)b$; 2) $(0{,}09a-0{,}81b)b-(0{,}81b-7{,}29a)a$; 3) $(4{,}9x-3{,}43y)xy-(3{,}43y-4{,}9x)x$; 4) $\left(\frac{7}{9}ab-k\right)a-\left(k-\frac{7}{9}ab\right)k-\left(k-\frac{7}{9}ab\right)b$; 5) $(2{,}5xy+1{,}25m)+(1{,}25m+2{,}5xy)y-(1{,}25m+2{,}5xy)x$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды бірдей ет те, оларды шығар. Ондық бөлшектерде $0{,}16$ немесе $0{,}09$ сияқты ортақ көбейткішті ізде.

Шешуі.

1. Ортақ жақша шығу үшін $0{,}16a+0{,}32b=0{,}16(a+2b)$ және $0{,}64a+1{,}28b=0{,}64(a+2b)$ болуы керек. Сонда $0{,}16(a+2b)a-0{,}64(a+2b)b=0{,}16(a+2b)(a-4b)$. Бұл оқулықтың жауабымен сәйкес.
2. Ыңғайлы жақша $(0{,}09b-0{,}81a)b-(0{,}81b-7{,}29a)a$ деп оқығанда шығады. Сонда $0{,}09(b-9a)b-0{,}81(b-9a)a=(b-9a)(0{,}09b-0{,}81a)=0{,}09(b-9a)^{2}$.
3. $-(3{,}43y-4{,}9x)=4{,}9x-3{,}43y$. Шығады: $(4{,}9x-3{,}43y)xy+(4{,}9x-3{,}43y)x=(4{,}9x-3{,}43y)x(y+1)$. Тағы $0{,}49$-ды шығаруға болады: $0{,}49x(y+1)(10x-7y)$.
4. $k-\frac{7}{9}ab=-\left(\frac{7}{9}ab-k\right)$. Шығады: $\left(\frac{7}{9}ab-k\right)a+\left(\frac{7}{9}ab-k\right)k+\left(\frac{7}{9}ab-k\right)b=\left(\frac{7}{9}ab-k\right)(a+b+k)$.
5. Ортақ жақша $(2{,}5xy+1{,}25m)$: $(2{,}5xy+1{,}25m)(1+y-x)$. $2{,}5$-ті шығарып, $2{,}5(xy+0{,}5m)(1+y-x)$ алуға болады.

📕 1-тармақтың шартында «$(0{,}64b+1{,}28a)b$» деп басылған, ал оқулықтың жауабы «$(0{,}64a+1{,}28b)b$» үшін шығады: тек сонда ғана екі жақшада да $a+2b$ тұрады. 2-тармақта да, шамасы, әріптердің орны ауысып кеткен: ортақ жақша «$(0{,}09b-0{,}81a)b$» үшін шығады.

Жауабы: 1) $0{,}16(a+2b)(a-4b)$; 2) $0{,}09(b-9a)^{2}$ (түзетілген шарт үшін); 3) $0{,}49x(y+1)(10x-7y)$; 4) $\left(\frac{7}{9}ab-k\right)(a+b+k)$; 5) $2{,}5(xy+0{,}5m)(1+y-x)$.

C деңгейі

Бұл — ең қиын тапсырмалар. Бастай алсаң да, сен — жарайсың!

№ 15.11

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $\left(\frac{121}{144}mnx+\frac{22}{12}mx\right)-n\left(\frac{11}{12}n+2\right)+\frac{1}{2}\left(4+1\frac{5}{6}n\right)$; 2) $(169abc-196cbax)+(13^{2}y-14^{2}yx)-(14^{2}x-13^{2})$; 3) $(225x^{2}yz^{3}-289yz)-(15^{2}x^{2}z^{2}-17^{2})+(17^{2}-225x^{2}z^{2})$; 4) $(450tk^{3}-225k^{2})+t(8t^{2}k-4t)-2\left(\frac{1}{2}-tk\right)$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — «байқап көру» есептері. $169=13^{2}$ сияқты сандарды байқап, ортақ жақшаны таңда.

Шешуі.

1. $\frac{121}{144}mnx+\frac{22}{12}mx=\frac{11}{12}mx\left(\frac{11}{12}n+2\right)$. Соңғы мүше: $\frac{1}{2}\left(4+\frac{11}{6}n\right)=2+\frac{11}{12}n=\frac{11}{12}n+2$. Демек, ортақ жақша $\left(\frac{11}{12}n+2\right)$: $\left(\frac{11}{12}n+2\right)\left(\frac{11}{12}mx-n+1\right)$.
2. $169=13^{2}$, $196=14^{2}$. Жақшаны ашамыз: $13^{2}abc-14^{2}abcx+13^{2}y-14^{2}xy-14^{2}x+13^{2}$. Топтаймыз: $13^{2}(abc+y+1)-14^{2}x(abc+y+1)=(169-196x)(abc+y+1)$.
3. Жақшаны ашамыз: $225x^{2}yz^{3}-289yz-225x^{2}z^{2}+289+289-225x^{2}z^{2}$. Топтаймыз: $225x^{2}z^{2}(yz-2)-289(yz-2)=(yz-2)(225x^{2}z^{2}-289)$.
4. Ашамыз: $450tk^{3}-225k^{2}+8t^{3}k-4t^{2}-1+2tk$. $(2tk-1)$ бойынша топтаймыз: $225k^{2}(2tk-1)+4t^{2}(2tk-1)+(2tk-1)=(2tk-1)(225k^{2}+4t^{2}+1)$.

Жауабы: 1) $\left(\frac{11}{12}n+2\right)\left(\frac{11}{12}mx-n+1\right)$; 2) $(169-196x)(abc+y+1)$; 3) $(yz-2)(225x^{2}z^{2}-289)$; 4) $(2tk-1)(225k^{2}+4t^{2}+1)$.

№ 15.12

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(7x-5)x=1{,}5-2{,}1x$; 2) $(1-8x)x=11{,}2x-1{,}4$; 3) $\left(1{,}7x-\frac{1}{3}\right)x=\frac{1}{2}(3-15{,}3x)$; 4) $\left(\frac{x}{7}-1\frac{6}{7}\right)x=\frac{1}{35}(3{,}9-0{,}3x)$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін бір жаққа ауыстырып, көбейткіштерге жікте. Нөлге тең жақшалардың көбейтіндісі шығады.

Шешуі.

1. $(7x-5)x+2{,}1x-1{,}5=0$; $2{,}1x-1{,}5=0{,}3(7x-5)$. Сонда $(7x-5)(x+0{,}3)=0$: $x=\frac{5}{7}$ немесе $x=-0{,}3$.
2. $11{,}2x-1{,}4=1{,}4(8x-1)$. Теңдеу: $(1-8x)x-1{,}4(8x-1)=0$, яғни $(1-8x)(x+1{,}4)=0$: $x=\frac{1}{8}$ немесе $x=-1{,}4$.
3. $3-15{,}3x=-9\left(1{,}7x-\frac{1}{3}\right)$, демек оң жағы $=-4{,}5\left(1{,}7x-\frac{1}{3}\right)$. Теңдеу: $\left(1{,}7x-\frac{1}{3}\right)(x+4{,}5)=0$. Бұдан $x=-4{,}5$ немесе $1{,}7x=\frac{1}{3}$, $x=\frac{10}{51}$.
4. $\frac{x}{7}-1\frac{6}{7}=\frac{x-13}{7}$; $3{,}9-0{,}3x=-0{,}3(x-13)$. Теңдеу: $\frac{(x-13)x}{7}+\frac{0{,}3}{35}(x-13)=0$, яғни $(x-13)\left(\frac{x}{7}+\frac{3}{350}\right)=0$. Бұдан $x=13$ немесе $x=-\frac{3}{50}=-0{,}06$.

Жауабы: 1) $-0{,}3$; $\frac{5}{7}$; 2) $-1{,}4$; $\frac{1}{8}$; 3) $-4{,}5$; $\frac{10}{51}$; 4) $-0{,}06$; $13$.

№ 15.13

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x(14x^{2}-49x)-8x(2x-7)=0$; 2) $9x(125x-25x^{2})-x(15x-3x^{2})=0$; 3) $9y(0{,}81y^{2}-0{,}9y)=10y(0{,}1-0{,}09y)$; 4) $8y\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{9}{16}y\right)=\frac{1}{7}y^{2}-\frac{3}{28}y$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақша ішінен шығаруға болатынды шығар, сосын бүкіл теңдеудің ортақ көбейткішін шығар.

Шешуі.

1. $14x^{2}-49x=7x(2x-7)$. Шығады: $7x^{2}(2x-7)-8x(2x-7)=x(2x-7)(7x-8)=0$. Түбірлері: $0$; $3{,}5$; $\frac{8}{7}=1\frac{1}{7}$.
2. $125x-25x^{2}=25x(5-x)$ және $15x-3x^{2}=3x(5-x)$. Шығады: $225x^{2}(5-x)-3x^{2}(5-x)=222x^{2}(5-x)=0$. Түбірлері: $0$; $5$.
3. $0{,}81y^{2}-0{,}9y=0{,}9y(0{,}9y-1)$ және $0{,}1-0{,}09y=0{,}1(1-0{,}9y)$. Шығады: $8{,}1y^{2}(0{,}9y-1)=y(1-0{,}9y)$, яғни $y(0{,}9y-1)(8{,}1y+1)=0$. Түбірлері: $0$; $\frac{10}{9}$; $-\frac{10}{81}$.
4. $8y\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{9}{16}y\right)=6y^{3}-4{,}5y^{2}=6y^{2}\left(y-\frac{3}{4}\right)$. Оң жағы $\frac{1}{7}y\left(y-\frac{3}{4}\right)$. Шығады: $y\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(6y-\frac{1}{7}\right)=0$. Түбірлері: $0$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{42}$.

Жауабы: 1) $0$; $1\frac{1}{7}$; $3{,}5$; 2) $0$; $5$; 3) $0$; $\frac{10}{9}$; $-\frac{10}{81}$; 4) $0$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{42}$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 15.14

Көбейтуді орындаңдар: 1) $(5+a)(5-a)$; 2) $(a+4)(a-4)$; 3) $(c+7)(c-7)$; 4) $(d+8)(8-d)$; 5) $(m+n)(m-4)$; 6) $(k+t)(k-t)$.

Қалай ойлаймыз. «Әрқайсысын әрқайсысына» көбейтеміз, 13-параграфтағыдай. Ортаңғы мүшелерге не болатынын қара: алғашқы төртеуінде олар жойылады.

Шешуі.

1. $25-5a+5a-a^{2}=25-a^{2}$.
2. $a^{2}-4a+4a-16=a^{2}-16$.
3. $c^{2}-7c+7c-49=c^{2}-49$.
4. $64-8d+8d-d^{2}=64-d^{2}$.
5. $m^{2}-4m+mn-4n$.
6. $k^{2}-kt+kt-t^{2}=k^{2}-t^{2}$.

💡 Заңдылықты байқадың ба? $(p+q)(p-q)=p^{2}-q^{2}$. Бұл — қысқаша көбейту формуласы, ол туралы V бөлімде тұтас сөз болады.

Жауабы: 1) $25-a^{2}$; 2) $a^{2}-16$; 3) $c^{2}-49$; 4) $64-d^{2}$; 5) $m^{2}-4m+mn-4n$; 6) $k^{2}-t^{2}$.

Жадынама

• Көбейткішпен бірдей болған мүшенің орнына жақшада $1$ қалады.
• $x(x+a)=0$ теңдеуінен $0$ және $-a$ түбірлері шығады.
• Ортақ көбейткіш сан, бірмүше немесе көпмүше болуы мүмкін.

Шағын тест