§ 16. Көпмүшені топтау тәсілі арқылы көбейткіштерге жіктеу

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 бөлім: Көпмүшелер. 105–109-беттер.

Нені үйренесің

• Барлық қосылғышқа ортақ көбейткіш болмағанда топтау керек екенін түсінуді.
• Төрт мүшелі және алты мүшелі көпмүшелерді үш қадамдық алгоритммен көбейткіштерге жіктеуді.
• Топтауды әртүрлі тәсілмен жүргізіп, нәтижені көбейту арқылы тексеруді.
• $x^2+px+q$ түріндегі үшмүшелерді ортаңғы қосылғышты екіге бөлу арқылы жіктеуді.
• Сол жағы көбейткіштерге жіктелетін, ал оң жағы нөлге тең теңдеулерді шешуді.

Ой қозғау

Өткен параграфтағы ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығаруды еске түсір. Қыздырынуға үш сұрақ.

• $6x+9y$ өрнегінен ортақ көбейткішті қалай шығарады? Ортақ көбейткіш 3: $6x+9y=3(2x+3y)$.
• Жіктеудің дұрыс екенін қалай тексереді? Жақшаны қайта ашып, бастапқы көпмүшені алады.
• Көбейткіштердің бірі нөлге тең болса, көбейтінді неге тең? Нөлге: $0\cdot 17=0$.

Тақырыпты талдаймыз

Шығаратын ештеңе болмағанда

$ax+ay+bx+by$ көпмүшесін алайық. Төрт қосылғыштың да ортақ көбейткіші жоқ: біріншісінде $a$ мен $x$ бар, соңғысында $b$ мен $y$. Бірақ қосылғыштарды жұптарға біріктіруге болады, әр жұпта ортақ көбейткіш табылады.

💡 Топтау — қосылғыштардың орнын ауыстырып, оларды жақшаға алу: әр жақшада өзінің ортақ көбейткіші табылатындай етіп.

Үш қадам

$20a-4ab+5c-bc$ көпмүшесінде көрсетейік.

1. Ортақ көбейткіші бар жұптарға біріктіреміз: $(20a+5c)+(-4ab-bc)$.
2. Әр жұптан көбейткішті шығарамыз: $5(4a+c)-b(4a+c)$.
3. Ортақ жақшаны шығарамыз: $(4a+c)(5-b)$.

Екі бөлікте де $(4a+c)$ жақшасы бірдей шықты. Бұл — топтаудың сәтті болғанының басты белгісі. Жақшалар әртүрлі болса, жұптар сәтсіз біріктірілген: басқасын байқап көр.

Екі тәсіл, бір нәтиже

Көпмүшені әртүрлі топтауға болады. $nt-mt-4t+5n-5m-20$ көпмүшесін жіктейік.

1-тәсіл: ортақ $n$, $m$ және саны бар бағандар бойынша: $(nt+5n)-(mt+5m)-(4t+20)=n(t+5)-m(t+5)-4(t+5)=(t+5)(n-m-4)$.

2-тәсіл: «бірінші үштік» және «екінші үштік» бойынша: $(nt-mt-4t)+(5n-5m-20)=t(n-m-4)+5(n-m-4)=(t+5)(n-m-4)$.

Жауап бір, өйткені көбейткіштерге жіктеу көбейткіштердің орнына дейінгі дәлдікпен жалғыз.

📌 Алгоритм. 1) Қосылғыштарды ортақ көбейткіші бар топтарға бөл. 2) Әр топтың ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығар. 3) Шыққан ортақ жақшаны шығар.

Қосылғыштар жетпегенде

$z^2+14z+33$ көпмүшесі — үшмүше, оны жұптарға бөлу мүмкін емес. Айла: ортаңғы $14z$ қосылғышын $3z+11z$ қосындысына жікте. Неге дәл солай? Өйткені $3\cdot 11=33$ және $3+11=14$.

$z^2+14z+33=z^2+11z+3z+33=z(z+11)+3(z+11)=(z+11)(z+3)$.

⚠️ Жиі кететін қате. Минусты шығарғанда таңбаны шатастыру. $-4ab-bc$ өрнегінен $-b$ шығарсаң: $-b(4a+c)$, жақшада плюстер қалады, өйткені $-b\cdot 4a=-4ab$ және $-b\cdot c=-bc$. Ал $-3x+6$ өрнегінен $-3$ шығарсаң: $-3(x-2)$, мұнда таңба өзгереді. Әрдайым жақшаны ашып тексер.

Бұл не үшін керек: теңдеулер

$y^2+2y-63=0$ теңдеуін шешейік. Сол жағын жіктейміз: $y^2+2y-63=y^2-7y+9y-63=y(y-7)+9(y-7)=(y-7)(y+9)$.

$(y-7)(y+9)=0$ шықты. Көбейтінді көбейткіштердің біреуі нөлге тең болғанда нөлге тең: $y-7=0$ немесе $y+9=0$. Демек, $y=7$ немесе $y=-9$.

🌟 Квадрат теңдеулердің түбірлерін табу формулалары пайда болмай тұрып-ақ, адамдар оларды дәл осылай, көбейткіштерге жіктеу арқылы шешкен. Бұл идея саған 8-сыныпта да керек болады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан әр жіктеуден кейін жақшаны қайта көбейттіріңіз. Бұл 30 секунд, бірақ таңбадағы қате бірден табылады. Егер шығарғаннан кейін жақшалар әртүрлі шықса, бәрін қайта жазбаңыз: қосылғыштардың орнын ауыстыру жеткілікті.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу үшін топтау тәсілін қандай жағдайда қолдануға болады? Барлық қосылғыштың ортақ көбейткіші болмағанда, бірақ қосылғыштарды топтарға біріктіруге болатын және әр топта ортақ көбейткіш бар болғанда. Кейде ол үшін бір қосылғышты алдымен екі қосылғыштың қосындысымен ауыстырады.
• Көпмүшені топтау тәсілімен көбейткіштерге жіктеудің алгоритмі қандай? 1) Қосылғыштарды ортақ көбейткіші бар топтарға бөлу. 2) Әр топта ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару. 3) Шыққан ортақ жақшаны шығару.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 16.1

Топтау тәсілін қолданып, көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $x+xy+a+ay$; 2) $4+2m+2n+mn$; 3) $kt+t-2k-2$; 4) $ab+ac+7b+7c$; 5) $am+an+4m+4n$; 6) $xz+yz-3x-3y$.

Қалай ойлаймыз. Төрт қосылғыш: оларды екі жұпқа біріктіреміз, әр жұптан ортақ көбейткішті іздейміз. Жақшалар сәйкес келсе, жол дұрыс.

Шешуі.

1. $(x+xy)+(a+ay)=x(1+y)+a(1+y)=(1+y)(x+a)$.
2. $(4+2m)+(2n+mn)=2(2+m)+n(2+m)=(2+m)(2+n)$.
3. $(kt+t)-(2k+2)=t(k+1)-2(k+1)=(k+1)(t-2)$.
4. $(ab+ac)+(7b+7c)=a(b+c)+7(b+c)=(b+c)(a+7)$.
5. $(am+an)+(4m+4n)=a(m+n)+4(m+n)=(m+n)(a+4)$.
6. $(xz+yz)-(3x+3y)=z(x+y)-3(x+y)=(x+y)(z-3)$.

Жауабы: 1) $(1+y)(x+a)$; 2) $(2+m)(2+n)$; 3) $(k+1)(t-2)$; 4) $(b+c)(a+7)$; 5) $(m+n)(a+4)$; 6) $(x+y)(z-3)$.

№ 16.2

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $9x+xy+8y+72$; 2) $bx-4b+ax-4a$; 3) $4a-ay-by+4b$; 4) $7ax-ay+7bx-by$; 5) $11ay-by-77a+7b$; 6) $13x-ax+13y-ay$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда қосылғыштар араласып тұр. Ортақ әрпі немесе саны бар жұптарды ізде, қосылғыштардың орнын ауыстырудан қорықпа.

Шешуі.

1. Орнын ауыстырамыз: $(9x+xy)+(8y+72)=x(9+y)+8(y+9)=(y+9)(x+8)$.
2. $(bx-4b)+(ax-4a)=b(x-4)+a(x-4)=(x-4)(a+b)$.
3. $(4a-ay)+(4b-by)=a(4-y)+b(4-y)=(4-y)(a+b)$.
4. $(7ax-ay)+(7bx-by)=a(7x-y)+b(7x-y)=(7x-y)(a+b)$.
5. $(11ay-by)-(77a-7b)=y(11a-b)-7(11a-b)=(11a-b)(y-7)$.
6. $(13x-ax)+(13y-ay)=x(13-a)+y(13-a)=(13-a)(x+y)$.

Жауабы: 1) $(y+9)(x+8)$; 2) $(x-4)(a+b)$; 3) $(4-y)(a+b)$; 4) $(7x-y)(a+b)$; 5) $(11a-b)(y-7)$; 6) $(13-a)(x+y)$. 5) және 6) жауаптары оқулықпен сәйкес.

№ 16.3

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер (көпмүшелерде бөлшектер мен ондық сандар бар): 1) $0{,}5xt+yt+0{,}5xk+yk$; 2) $xk+0{,}5yk+xt+0{,}5yt$; 3) $0{,}7ax-bx+0{,}7ay-by$; 4) $\frac{2}{3}by-ay+\frac{2}{3}bx-ax$; 5) $\frac{5}{6}a-ax+\frac{5}{6}b-bx$; 6) $\frac{7}{8}ax-a+\frac{7}{8}bx-b$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектер мен ондық сандар идеяны өзгертпейді: дәл солай топтаймыз, ал бөлшегі бар жақша жауапта қалады.

Шешуі.

1. $t(0{,}5x+y)+k(0{,}5x+y)=(0{,}5x+y)(t+k)$.
2. $k(x+0{,}5y)+t(x+0{,}5y)=(x+0{,}5y)(k+t)$.
3. $x(0{,}7a-b)+y(0{,}7a-b)=(0{,}7a-b)(x+y)$.
4. $y\left(\frac{2}{3}b-a\right)+x\left(\frac{2}{3}b-a\right)=\left(\frac{2}{3}b-a\right)(x+y)$.
5. $a\left(\frac{5}{6}-x\right)+b\left(\frac{5}{6}-x\right)=\left(\frac{5}{6}-x\right)(a+b)$.
6. $a\left(\frac{7}{8}x-1\right)+b\left(\frac{7}{8}x-1\right)=\left(\frac{7}{8}x-1\right)(a+b)$.

Жауабы: 1) $(0{,}5x+y)(t+k)$; 2) $(x+0{,}5y)(k+t)$; 3) $(0{,}7a-b)(x+y)$; 4) $\left(\frac{2}{3}b-a\right)(x+y)$; 5) $\left(\frac{5}{6}-x\right)(a+b)$; 6) $\left(\frac{7}{8}x-1\right)(a+b)$.

№ 16.4

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $2ax+3bx+10a+15b$; 2) $3my-2ny-9m+6n$; 3) $7ax+8ay-28x-32y$; 4) $48m+56n-6am-7an$; 5) $12{,}1y-4{,}4z+8yz-22y^2$; 6) $0{,}09t-0{,}07k+27at-21ak$.

Қалай ойлаймыз. Енді жұптардағы ортақ көбейткіштер — сандар: 5, 3, 4, 8. Шығарғаннан кейін жақшалар сәйкес келетіндей етіп жұптарды таңда.

Шешуі.

1. $x(2a+3b)+5(2a+3b)=(2a+3b)(x+5)$.
2. $y(3m-2n)-3(3m-2n)=(3m-2n)(y-3)$.
3. $a(7x+8y)-4(7x+8y)=(7x+8y)(a-4)$.
4. $8(6m+7n)-a(6m+7n)=(6m+7n)(8-a)$.
5. $(12{,}1y-4{,}4z)+(8yz-22y^2)=1{,}1(11y-4z)+2y(4z-11y)=1{,}1(11y-4z)-2y(11y-4z)=(11y-4z)(1{,}1-2y)$.
6. $(0{,}09t-0{,}07k)+(27at-21ak)=0{,}01(9t-7k)+3a(9t-7k)=(9t-7k)(0{,}01+3a)$.

Жауабы: 1) $(2a+3b)(x+5)$; 2) $(3m-2n)(y-3)$; 3) $(7x+8y)(a-4)$; 4) $(6m+7n)(8-a)$; 5) $(11y-4z)(1{,}1-2y)$; 6) $(9t-7k)(0{,}01+3a)$. 5) және 6) тармақтары оқулықпен сәйкес.

№ 16.5

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $a-0{,}25b+4ax-bx$; 2) $0{,}6b-3{,}5x+1{,}2by-7xy$; 3) $\frac{1}{7}ax+\frac{1}{3}bx+3a+7b$; 4) $\frac{3}{8}by-\frac{2}{7}xy-21b+16x$; 5) $4x-5b-\frac{x^2}{5}+\frac{xb}{4}$; 6) $3by-4nx+\frac{aby}{4}-\frac{anx}{3}$; 7) $20xy-21ab+\frac{5}{6}xyc-\frac{7}{8}abc$; 8) $x-6a+\frac{xy}{3}-2ay$; 9) $\frac{abx}{9}+\frac{cax}{27}-3b-c$; 10) $\frac{abm}{3}+\frac{abn}{4}-4m-3n$; 11) $\frac{kxy}{5}-\frac{txy}{3}+3k-5t$; 12) $4tx+7kx+\frac{ty}{7}+\frac{ky}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — зейін қоюға арналған жаттығу. Басты айла: $4a-b$ немесе $3k-5t$ сияқты «жасырын» екімүшені тауып, ол көрінетіндей сандық көбейткішті таңдау.

Шешуі.

1. $(a-0{,}25b)+(4ax-bx)=0{,}25(4a-b)+x(4a-b)=(4a-b)(0{,}25+x)$.
2. $(0{,}6b-3{,}5x)+(1{,}2by-7xy)=0{,}1(6b-35x)+0{,}2y(6b-35x)=(6b-35x)(0{,}1+0{,}2y)$.
3. $\left(\frac{1}{7}ax+3a\right)+\left(\frac{1}{3}bx+7b\right)=\frac{a}{7}(x+21)+\frac{b}{3}(x+21)=(x+21)\left(\frac{a}{7}+\frac{b}{3}\right)$.
4. $\left(\frac{3}{8}by-21b\right)+\left(16x-\frac{2}{7}xy\right)=\frac{3b}{8}(y-56)-\frac{2x}{7}(y-56)=(y-56)\left(\frac{3b}{8}-\frac{2x}{7}\right)$.
5. $\left(4x-\frac{x^2}{5}\right)+\left(\frac{xb}{4}-5b\right)=\frac{x}{5}(20-x)-\frac{b}{4}(20-x)=(20-x)\left(\frac{x}{5}-\frac{b}{4}\right)$.
6. $\left(3by+\frac{aby}{4}\right)-\left(4nx+\frac{anx}{3}\right)=\frac{by}{4}(12+a)-\frac{nx}{3}(12+a)=(12+a)\left(\frac{by}{4}-\frac{nx}{3}\right)$.
7. $\left(20xy+\frac{5}{6}xyc\right)-\left(21ab+\frac{7}{8}abc\right)=\frac{5xy}{6}(24+c)-\frac{7ab}{8}(24+c)=(24+c)\left(\frac{5xy}{6}-\frac{7ab}{8}\right)$.
8. $\left(x+\frac{xy}{3}\right)-(6a+2ay)=\frac{x}{3}(3+y)-2a(3+y)=(3+y)\left(\frac{x}{3}-2a\right)$.
9. $\left(\frac{abx}{9}+\frac{cax}{27}\right)-(3b+c)=\frac{ax}{27}(3b+c)-(3b+c)=(3b+c)\left(\frac{ax}{27}-1\right)$.
10. $\left(\frac{abm}{3}+\frac{abn}{4}\right)-(4m+3n)=\frac{ab}{12}(4m+3n)-(4m+3n)=(4m+3n)\left(\frac{ab}{12}-1\right)$.
11. $\left(\frac{kxy}{5}-\frac{txy}{3}\right)+(3k-5t)=\frac{xy}{15}(3k-5t)+(3k-5t)=(3k-5t)\left(\frac{xy}{15}+1\right)$.
12. $(4tx+7kx)+\left(\frac{ty}{7}+\frac{ky}{4}\right)=x(4t+7k)+\frac{y}{28}(4t+7k)=(4t+7k)\left(x+\frac{y}{28}\right)$.

Кем дегенде бір тармақты көбейту арқылы тексер. Мысалы, 5-тармақта: $(20-x)\left(\frac{x}{5}-\frac{b}{4}\right)=4x-5b-\frac{x^2}{5}+\frac{xb}{4}$ — сәйкес келді.

Жауабы: 1) $(4a-b)(0{,}25+x)$; 2) $(6b-35x)(0{,}1+0{,}2y)$; 3) $(x+21)\left(\frac{a}{7}+\frac{b}{3}\right)$; 4) $(y-56)\left(\frac{3b}{8}-\frac{2x}{7}\right)$; 5) $(20-x)\left(\frac{x}{5}-\frac{b}{4}\right)$; 6) $(12+a)\left(\frac{by}{4}-\frac{nx}{3}\right)$; 7) $(24+c)\left(\frac{5xy}{6}-\frac{7ab}{8}\right)$; 8) $(3+y)\left(\frac{x}{3}-2a\right)$; 9) $(3b+c)\left(\frac{ax}{27}-1\right)$; 10) $(4m+3n)\left(\frac{ab}{12}-1\right)$; 11) $(3k-5t)\left(\frac{xy}{15}+1\right)$; 12) $(4t+7k)\left(x+\frac{y}{28}\right)$.

Оқулықтың жауаптар бөлімінде 16.5 жоқ. Әр жіктеу жақшаларды көбейту арқылы тексерілген.

№ 16.6

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $6x^2-6xy+8x+8y$, мұндағы $x=-4$, $y=2$; 2) $b^2+bc+ab+ac$, мұндағы $a=-1$, $b=-2$, $c=-0{,}5$; 3) $3xy-x^3y^3-6+2x^2y^2$, мұндағы $x=\frac{2}{3}$, $y=\frac{3}{4}$.

Қалай ойлаймыз. 1 және 2-тармақтарда алдымен топтау арқылы жіктейміз, сосын сандарды қоямыз: есептеу жеңілдейді. 3-тармақта жіктеу керек емес: $xy$ әдемі сан шығатынын байқа.

Шешуі.

1. $6x^2-6xy+8x+8y=6x(x-y)+8(x+y)$. $x=-4$, $y=2$ болғанда: $x-y=-6$, $x+y=-2$. Шығады: $6\cdot(-4)\cdot(-6)+8\cdot(-2)=144-16=128$.
2. $b^2+bc+ab+ac=b(b+c)+a(b+c)=(b+c)(b+a)$. $a=-1$, $b=-2$, $c=-0{,}5$ болғанда: $b+c=-2{,}5$, $b+a=-3$, көбейтінді $(-2{,}5)\cdot(-3)=7{,}5$.
3. $xy=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$. Сонда $x^3y^3=\frac{1}{8}$, $x^2y^2=\frac{1}{4}$. Өрнек $3\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{8}-6+2\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2}-\frac{1}{8}-6+\frac{1}{2}=2-\frac{1}{8}-6=-4\frac{1}{8}$-ге тең.

Жауабы: 1) 128; 2) 7,5; 3) $-4\frac{1}{8}$, яғни $-\frac{33}{8}$.

B деңгейі

№ 16.7

Үш қосылғыштан топтап, көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $am+an+ak+bm+bn+bk$; 2) $ax+bx+cx+ay+by+cy$; 3) $mx+my+mz-nx-ny-nz$; 4) $ta+tb+tc-ak-bk-ck$; 5) $am-an-ak-bm+bn+bk$; 6) $ax-bx-cx-ay+by+cy$.

Қалай ойлаймыз. Алты қосылғышты екі үштікке бөлеміз. Әр үштіктен ортақ көбейткішті табамыз, сонда үш қосылғыштан тұратын бірдей жақшалар шығуы керек.

Шешуі.

1. $a(m+n+k)+b(m+n+k)=(m+n+k)(a+b)$.
2. $x(a+b+c)+y(a+b+c)=(a+b+c)(x+y)$.
3. $m(x+y+z)-n(x+y+z)=(x+y+z)(m-n)$.
4. $t(a+b+c)-k(a+b+c)=(a+b+c)(t-k)$.
5. $a(m-n-k)-b(m-n-k)=(m-n-k)(a-b)$. Екінші үштіктің таңбаларын тексеру: $-b(m-n-k)=-bm+bn+bk$ — солай.
6. $x(a-b-c)-y(a-b-c)=(a-b-c)(x-y)$. Тексеру: $-y(a-b-c)=-ay+by+cy$.

Жауабы: 1) $(m+n+k)(a+b)$; 2) $(a+b+c)(x+y)$; 3) $(x+y+z)(m-n)$; 4) $(a+b+c)(t-k)$; 5) $(m-n-k)(a-b)$; 6) $(a-b-c)(x-y)$. 1–4) тармақтары оқулықпен сәйкес.

№ 16.8

Ортаңғы қосылғышты екіге бөліп, көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $a^2+2a-15$; 2) $b^2+3b-28$; 3) $x^2+15x+54$; 4) $y^2-5y+6$; 5) $m^2+15m+56$; 6) $n^2-n-110$; 7) $k^2-17k+72$; 8) $t^2-2t-63$.

Қалай ойлаймыз. $x^2+px+q$ үшін екі сан ізделеді: олардың көбейтіндісі $q$-ге, қосындысы $p$-ға тең. Осы сандар ортаңғы қосылғышты «бөледі».

Шешуі.

1. 5 және $-3$ сандары ($5\cdot(-3)=-15$, $5-3=2$): $a^2-3a+5a-15=a(a-3)+5(a-3)=(a-3)(a+5)$.
2. 7 және $-4$ сандары ($-28$ және $3$): $b^2-4b+7b-28=b(b-4)+7(b-4)=(b-4)(b+7)$.
3. 6 және 9 сандары: $(x+6)(x+9)$ (жоғарыда талданды).
4. $-2$ және $-3$ сандары ($6$ және $-5$): $y^2-2y-3y+6=y(y-2)-3(y-2)=(y-2)(y-3)$.
5. 7 және 8 сандары ($56$ және $15$): $m^2+7m+8m+56=m(m+7)+8(m+7)=(m+7)(m+8)$.
6. $-11$ және 10 сандары ($-110$ және $-1$): $n^2-11n+10n-110=n(n-11)+10(n-11)=(n-11)(n+10)$.
7. $-8$ және $-9$ сандары ($72$ және $-17$): $k^2-8k-9k+72=k(k-8)-9(k-8)=(k-8)(k-9)$.
8. $-9$ және 7 сандары ($-63$ және $-2$): $t^2-9t+7t-63=t(t-9)+7(t-9)=(t-9)(t+7)$.

Жауабы: 1) $(a-3)(a+5)$; 2) $(b-4)(b+7)$; 3) $(x+6)(x+9)$; 4) $(y-2)(y-3)$; 5) $(m+7)(m+8)$; 6) $(n-11)(n+10)$; 7) $(k-8)(k-9)$; 8) $(t-9)(t+7)$. 1), 3) және 8) тармақтары оқулықпен сәйкес.

№ 16.9

Теңдеудің сол жақ бөлігіне топтау тәсілін қолданып, теңдеуді шешіңдер: 1) $x^2-5x+6=0$; 2) $x^2+5x+6=0$; 3) $x^2+x-6=0$; 4) $x^2-x-6=0$; 5) $x^2-5x+4=0$; 6) $x^2+5x+4=0$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын № 16.8-дегідей жіктейміз де, әр жақшаны нөлге теңестіреміз.

Шешуі.

1. $x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)=0$. Түбірлері 2 және 3.
2. $x^2+2x+3x+6=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)=0$. Түбірлері $-2$ және $-3$.
3. $x^2+3x-2x-6=x(x+3)-2(x+3)=(x+3)(x-2)=0$. Түбірлері $-3$ және 2.
4. $x^2-3x+2x-6=x(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x+2)=0$. Түбірлері 3 және $-2$.
5. $x^2-x-4x+4=x(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x-4)=0$. Түбірлері 1 және 4.
6. $x^2+x+4x+4=x(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x+4)=0$. Түбірлері $-1$ және $-4$.

Жауабы: 1) 2; 3; 2) $-3$; $-2$; 3) $-3$; 2; 4) $-2$; 3; 5) 1; 4; 6) $-4$; $-1$. 1–5) тармақтары оқулықпен сәйкес.

C деңгейі

№ 16.10

Топтау тәсілін қолданып, көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $2am-2bm+2cm+3an-3bn+3cn$; 2) $3mx+3nx+3kx-2my-2ny-2ky$; 3) $7tx+7ty+7tz+4kx+4ky+4kz$; 4) $11at+11ak+11ap-9bt-9bk-9pb$.

Қалай ойлаймыз. С деңгейінің тапсырмасы, бірақ схема № 16.7-дегідей: екі үштік. Тек енді әр үштікте алдымен сандық көбейткішті шығарамыз. Қиын деңгейді шешіп жатқаның үшін жарайсың!

Шешуі.

1. $2m(a-b+c)+3n(a-b+c)=(a-b+c)(2m+3n)$.
2. $3x(m+n+k)-2y(m+n+k)=(m+n+k)(3x-2y)$.
3. $7t(x+y+z)+4k(x+y+z)=(x+y+z)(7t+4k)$.
4. $11a(t+k+p)-9b(t+k+p)=(t+k+p)(11a-9b)$.

Жауабы: 1) $(2m+3n)(a-b+c)$; 2) $(3x-2y)(m+n+k)$; 3) $(7t+4k)(x+y+z)$; 4) $(11a-9b)(t+k+p)$. Оқулықпен сәйкес.

№ 16.11

Жақшалардағы өрнектерді топтау арқылы көбейткіштерге жіктеңдер және теңдеудің түбірлерін табыңдар: 1) $(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)=0$; 2) $(2+3x+x^2)(12+7x+x^2)=0$; 3) $(1-2x^2+x)(5-10{,}5x+x^2)=0$; 4) $(12-7x+x^2)(5x-1-6x^2)=0$.

Қалай ойлаймыз. Әр жақшаны көбейткіштерге жіктейміз, сосын әр көбейткішті нөлге теңестіреміз. Қанша көбейткіш болса, сонша түбір.

Шешуі.

1. Жоғарыда талданды: түбірлері 1; 2; 3; 4.
2. $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$. Түбірлері $-1$; $-2$; $-3$; $-4$.
3. Бірінші жақша: $-2x^2+x+1=-(2x^2-x-1)=-(2x^2-2x+x-1)=-(x-1)(2x+1)$. Екіншісі: $x^2-10{,}5x+5=x^2-10x-0{,}5x+5=x(x-10)-0{,}5(x-10)=(x-10)(x-0{,}5)$. Түбірлері: $x=1$, $x=-0{,}5$, $x=10$, $x=0{,}5$.
4. Бірінші жақша: $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$. Екіншісі: $-6x^2+5x-1=-(6x^2-5x+1)=-(6x^2-2x-3x+1)=-(3x-1)(2x-1)$. Түбірлері: 3; 4; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$.

3-тармақты тексеру: $x=10$ болғанда екінші жақша $5-105+100=0$. Дұрыс.

Жауабы: 1) 1; 2; 3; 4; 2) $-1$; $-2$; $-3$; $-4$; 3) $-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$; 1; 10; 4) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$; 3; 4. 1–3) тармақтары оқулықпен сәйкес.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 16.12

Қабырғасы $a$ см шаршыдан және ұзындығы $a$ см, ені $b$ см екі тіктөртбұрыштан тұратын фигураның ауданын есептейтін формуланы жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Күрделі фигураның ауданы — оның бөліктерінің аудандарының қосындысы. Шаршыны және тіктөртбұрыштарды бөлек есептейміз.

Шешуі.

1. Шаршы: $a\cdot a=a^2$.
2. Бір тіктөртбұрыш: $a\cdot b=ab$. Олар екеу, демек $2ab$.
3. Бүкіл фигура: $S=a^2+2ab$.

Ортақ көбейткішті шығаруға болады: $S=a(a+2b)$. Бұл — сол бір аудан.

Жауабы: $S=a^2+2ab$ см².

Жадынама

• Топтауды әртүрлі жүргізуге болады, жауап бір болады.
• Шығарғаннан кейін жақшалар сәйкес келмесе, басқа жұптарды байқап көр.
• Тексеру — жақшаны ашып, бастапқы көпмүшемен салыстыру.
• Минус таңбасы жақшадағы таңбалардың өзгеруімен бірге шығарылады.

Шағын тест