§ 17. Өрнектерді тепе-тең түрлендіру

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 бөлім: Көпмүшелер. 109–113-беттер.

Нені үйренесің

• Тепе-теңдік пен тепе-тең өрнектердің не екенін түсіндіруді.
• Өрнекті ықшамдауды: жақшаны ашу, көпмүшелерді көбейту, ұқсас қосылғыштарды біріктіру.
• Көпмүшені көбейтінді түрінде жазуды: ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару және топтау.
• Теңдіктің бір немесе екі бөлігін түрлендіріп, тепе-теңдікті дәлелдеуді.
• Теңдеулер мен теңсіздіктерді алдымен екі жағын ықшамдап барып шешуді.

Ой қозғау

Бұл тақырыпқа керек нәрсенің бәрін өткен параграфтардан білесің. Үш нәрсені еске түсірейік.

• Тепе-теңдік дегеніміз не? Айнымалының кез келген мәнінде ақиқат болатын теңдік. Мысалы, $2(x+1)=2x+2$.
• Көпмүшені көпмүшеге қалай көбейтеді? Бірінші көпмүшенің әр мүшесін екіншісінің әр мүшесіне көбейтіп, нәтижелерін қосады: $(a+2)(a+3)=a^2+3a+2a+6=a^2+5a+6$.
• «Ұқсас қосылғыштарды біріктіру» деген не? Әріптік бөлігі бірдей қосылғыштарды қосу: $5x^2-2x^2=3x^2$.

Тақырыпты талдаймыз

«Тепе-тең түрлендіру» дегеніміз не

$3(x+2)$ және $3x+6$ өрнектері $x$-тің кез келген мәнінде бірдей сан береді. Оларды тепе-тең өрнектер дейді. Бір өрнекті айнымалылардың барлық мәнінде оған тең басқа өрнекпен алмастырсаң, бұл — тепе-тең түрлендіру.

💡 Өрнекті түрлендіру — адамның киімін ауыстырғанмен бірдей: киім басқа, адам сол. Өрнектің мәні өзгермейді.

Тепе-теңдікті дәлелдеудің үш жолы бар:

1. Оң жағындағы өрнек алынғанша сол жағын түрлендіру.
2. Сол жағындағы өрнек алынғанша оң жағын түрлендіру.
3. Бірдей өрнек алынғанша теңдіктің екі жағын да түрлендіру.

⚠️ Жиі кететін қате. Тепе-теңдік дәлелденбейінше қосылғыштарды теңдік белгісінің арғы жағына «көшіруге» болмайды. Олай істесең, дәлелдейтінің алдын ала рас деп алғаның болады. Әр бөлікпен жеке-жеке жұмыс істе.

Ықшамдаймыз: жақша, көбейту, ұқсас қосылғыштар

$(5x-2)(3x^2+2x-9)-7\left(\frac{4}{7}x^2-7x\right)-16x^3$ өрнегін ықшамдайық.

Қосындыны көбейтіндіге айналдырамыз

Кейде керісінше істеу керек: қосындыдан көбейтінді жасау. Ол үшін ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарып, топтаймыз.

Мысал: $7a^2b-6ab-21ab^3+18b^3$.

1. Барлық қосылғыштарда ортақ көбейткіш — $b$: $b(7a^2-6a-21ab^2+18b^2)$.
2. Топтаймыз: $b\big((7a^2-21ab^2)+(18b^2-6a)\big)=b\big(7a(a-3b^2)+6(3b^2-a)\big)$.
3. Екінші қосылғыштағы таңбаны ауыстырамыз: $3b^2-a=-(a-3b^2)$, сонда $b\big(7a(a-3b^2)-6(a-3b^2)\big)=b(a-3b^2)(7a-6)$.

📌 Егер жақшалар тек таңбаларымен ерекшеленсе, біреуінен минусты жақшаның сыртына шығар: $(3b^2-a)=-(a-3b^2)$. Сонда жақшалар бірдей болады.

Теңсіздіктің ішінде ықшамдау

$(4x-1)(5+6x)-3x\le(2+3x)(8x-1)$ теңсіздігі ақиқат болатындай ең кіші бүтін санды табайық.

1. Көпмүшені көпмүшеге көбейтеміз: $20x+24x^2-5-6x-3x\le 16x-2+24x^2-3x$.
2. Ұқсас қосылғыштарды біріктіреміз: $11x+24x^2-5\le 13x-2+24x^2$.
3. $24x^2$ екі жақта да бар, олар қысқарады. Белгісіздерді бір жаққа, сандарды екінші жаққа жинаймыз: $11x-13x\le -2+5$, яғни $-2x\le 3$.
4. $-2$-ге бөлеміз де, теңсіздік таңбасын өзгертеміз: $x\ge -1{,}5$.
5. $-1{,}5$ шешімге кіреді (теңсіздік қатаң емес). Бірақ ол бүтін сан емес, одан оңға қарай ең кіші бүтін сан — $-1$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл параграфтың басты тұзағы — таңбалар. Баладан дауыстап айтқызыңыз: «жақшаның алдындағы минус жақша ішіндегі барлық таңбаны өзгертеді» және «теріс санға бөлгенде теңсіздік таңбасы өзгереді».

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Өрнекті қалай түрлендіреді? Жақшаны ашады, көпмүшелерді көбейтеді, ұқсас қосылғыштарды біріктіреді. Көбейтінді керек болса — ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарады немесе қосылғыштарды топтайды.
• Тепе-теңдікті дәлелдеу дегеніміз не? Түрлендірулер тізбегімен теңдіктің екі бөлігі айнымалылардың кез келген мәнінде бірдей болатынын көрсету.
• Теңсіздіктің ең кіші бүтін шешімін қалай табады? Теңсіздікті ықшамдап, шешеді де, шешімдер аралығындағы ең жақын бүтін санды алады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 17.1

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(x^8-2)(x^4-1)-x^{12}+2x^4$; 2) $a^9-9a^5-(a^4-9)(a^5+3)$; 3) $(x^{15}+5)(x^3+2)-10-x^{18}$; 4) $a^{42}-14a^7-(a^6-14)(a^7-1)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен көбейтіндіні ашамыз. Жоғары дәрежелер қысқарса, бұл — жақсы белгі.

Шешуі.

1. $(x^8-2)(x^4-1)=x^{12}-x^8-2x^4+2$. Сонда $x^{12}-x^8-2x^4+2-x^{12}+2x^4=2-x^8$.
2. $(a^4-9)(a^5+3)=a^9+3a^4-9a^5-27$. Сонда $a^9-9a^5-a^9-3a^4+9a^5+27=27-3a^4$.
3. $(x^{15}+5)(x^3+2)=x^{18}+2x^{15}+5x^3+10$. Сонда $x^{18}+2x^{15}+5x^3+10-10-x^{18}=2x^{15}+5x^3$.
4. $(a^6-14)(a^7-1)=a^{13}-a^6-14a^7+14$. Сонда $a^{42}-14a^7-a^{13}+a^6+14a^7-14=a^{42}-a^{13}+a^6-14$.

Жауабы: 1) $2-x^8$; 2) $27-3a^4$; 3) $2x^{15}+5x^3$; 4) $a^{42}-a^{13}+a^6-14$.

№ 17.2

Ықшамдаңдар: 1) $0{,}5a^2c^4(a^4-c^2+6)-0{,}5a^6c^4-0{,}5a^2c^6$; 2) $4{,}8x^8y^7-(12x^6y^6-6)-2{,}4x^6y^5(2x^2y^2-5y+3)$; 3) $2{,}5t^8s^{10}(4t^2-6c^2-3)+15t^8c^2s^{10}-10t^{10}s^{10}$; 4) $9a^{20}b^{16}-1{,}8a^{10}b^{18}-0{,}9a^5b^9(10a^{15}b^7+2a^5b^9)$.

Қалай ойлаймыз. Бірмүшені жақшадағы әр қосылғышқа көбейтеміз: коэффициенттерді көбейтеміз, бірдей әріптердің көрсеткіштерін қосамыз.

Шешуі.

1. $0{,}5a^2c^4\cdot a^4=0{,}5a^6c^4$; $0{,}5a^2c^4\cdot(-c^2)=-0{,}5a^2c^6$; $0{,}5a^2c^4\cdot 6=3a^2c^4$. Бәрін қосамыз: $0{,}5a^6c^4-0{,}5a^2c^6+3a^2c^4-0{,}5a^6c^4-0{,}5a^2c^6=3a^2c^4-a^2c^6$.
2. Екінші бөлігі: $-12x^6y^6+6$. Үшінші бөлігі: $-2{,}4x^6y^5\cdot 2x^2y^2=-4{,}8x^8y^7$, $+12x^6y^6$, $-7{,}2x^6y^5$. Қосамыз: $4{,}8x^8y^7-12x^6y^6+6-4{,}8x^8y^7+12x^6y^6-7{,}2x^6y^5=6-7{,}2x^6y^5$.
3. $2{,}5t^8s^{10}\cdot 4t^2=10t^{10}s^{10}$; $2{,}5t^8s^{10}\cdot(-6c^2)=-15t^8c^2s^{10}$; $2{,}5t^8s^{10}\cdot(-3)=-7{,}5t^8s^{10}$. Қалғаны: $10t^{10}s^{10}-15t^8c^2s^{10}-7{,}5t^8s^{10}+15t^8c^2s^{10}-10t^{10}s^{10}=-7{,}5t^8s^{10}$.
4. $0{,}9a^5b^9\cdot 10a^{15}b^7=9a^{20}b^{16}$; $0{,}9a^5b^9\cdot 2a^5b^9=1{,}8a^{10}b^{18}$. Барлығы: $9a^{20}b^{16}-1{,}8a^{10}b^{18}-9a^{20}b^{16}-1{,}8a^{10}b^{18}=-3{,}6a^{10}b^{18}$.

Жауабы: 1) $3a^2c^4-a^2c^6$; 2) $6-7{,}2x^6y^5$; 3) $-7{,}5t^8s^{10}$; 4) $-3{,}6a^{10}b^{18}$.

№ 17.3

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $15x^{17}:x^{13}-16x^4$, мұндағы $x=-1$; 2) $-33y^6:y^4+37y^2$, мұндағы $y=0{,}5$; 3) $15z^9:z^6-160z^3$, мұндағы $z=-0{,}5$; 4) $250t^8:t^5+6t^3$, мұндағы $t=-4$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамдаймыз (дәрежелерді бөлгенде көрсеткіштерін азайтамыз), содан кейін санды қоямыз. Осылай есептеу оңай.

Шешуі.

1. $15x^{4}-16x^4=-x^4$. $x=-1$ болғанда: $-(-1)^4=-1$.
2. $-33y^2+37y^2=4y^2$. $y=0{,}5$ болғанда: $4\cdot 0{,}25=1$.
3. $15z^3-160z^3=-145z^3$. $z=-0{,}5$ болғанда: $-145\cdot(-0{,}125)=18{,}125=\frac{145}{8}$.
4. $250t^3+6t^3=256t^3$. $t=-4$ болғанда: $256\cdot(-64)=-16384$.

Жауабы: 1) $-1$; 2) $1$; 3) $18{,}125$; 4) $-16384$.

№ 17.4

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $0{,}07a^8b^4:a^7+0{,}03a^2b^6:(ab^2)$, мұндағы $a=7$; $b=-2$; 2) $2{,}5x^4y:x^5-2{,}6x^{10}y:x$, мұндағы $x=-1$; $y=10$; 3) $47{,}3t^6z^2:(t^5z)+2{,}7t^9z^3:(t^8z^2)$, мұндағы $z=0{,}2$; $t=-3$; 4) $-9{,}4a^{25}b^9:a^8-0{,}6a^{10}\cdot(a^7b^9)$, мұндағы $a=1$; $b=-1$.

Қалай ойлаймыз. Әр бірмүшені ықшамдаймыз, содан кейін ұқсас қосылғыштарды қосамыз.

Шешуі.

1. $0{,}07ab^4+0{,}03ab^4=0{,}1ab^4$. $a=7$, $b=-2$ болғанда: $0{,}1\cdot 7\cdot 16=11{,}2$.
2. $2{,}5x^4y:x^5=\frac{2{,}5y}{x}$, $2{,}6x^{10}y:x=2{,}6x^9y$. $x=-1$, $y=10$ болғанда: $\frac{25}{-1}-2{,}6\cdot(-1)\cdot 10=-25+26=1$.
3. $47{,}3tz+2{,}7tz=50tz$. $t=-3$, $z=0{,}2$ болғанда: $50\cdot(-3)\cdot 0{,}2=-30$.
4. $-9{,}4a^{17}b^9-0{,}6a^{17}b^9=-10a^{17}b^9$. $a=1$, $b=-1$ болғанда: $-10\cdot 1\cdot(-1)=10$.

Жауабы: 1) $11{,}2$; 2) $1$; 3) $-30$; 4) $10$. 3) және 4) тармақтар оқулықтағы жауаппен сәйкес келді.

№ 17.5

Алгебралық қосындыны көбейтінді түрінде жазыңдар: 1) $x^2+bx-ax-ab$; 2) $x^2-cx+bx-bc$; 3) $z^2+zx-zk-xk$; 4) $y^2+my-km-ky$.

Қалай ойлаймыз. Төрт қосылғыш — екі-екіден топтаймыз: бірінші мен екіншіні, үшінші мен төртіншіні. Егер бірінші нұсқа сәтсіз болса, басқаша топтаймыз.

Шешуі.

1. $(x^2+bx)-(ax+ab)=x(x+b)-a(x+b)=(x+b)(x-a)$.
2. $(x^2-cx)+(bx-bc)=x(x-c)+b(x-c)=(x-c)(x+b)$.
3. $(z^2+zx)-(zk+xk)=z(z+x)-k(z+x)=(z+x)(z-k)$.
4. $(y^2+my)-(ky+km)=y(y+m)-k(y+m)=(y+m)(y-k)$.

Жауабы: 1) $(x+b)(x-a)$; 2) $(x-c)(x+b)$; 3) $(z+x)(z-k)$; 4) $(y+m)(y-k)$.

№ 17.6

Алгебралық қосындыны көбейтінді түрінде жазыңдар: 1) $x^4y^2+3x^4-2y^2-6$; 2) $x^3y^3-2x^3+5y^3-10$; 3) $-x^5y^2+7y^2+x^5-7$; 4) $27-9x^2-x^2y^6+3y^6$.

Қалай ойлаймыз. Сол жұптар, тек енді жақшаларда дәрежелер тұр. Жұптың алдындағы минус таңбасын қадағала.

Шешуі.

1. $x^4(y^2+3)-2(y^2+3)=(y^2+3)(x^4-2)$.
2. $x^3(y^3-2)+5(y^3-2)=(y^3-2)(x^3+5)$.
3. $y^2(7-x^5)+(x^5-7)=-y^2(x^5-7)+(x^5-7)=(x^5-7)(1-y^2)$.
4. $9(3-x^2)+y^6(3-x^2)=(3-x^2)(9+y^6)$.

Жауабы: 1) $(y^2+3)(x^4-2)$; 2) $(y^3-2)(x^3+5)$; 3) $(x^5-7)(1-y^2)$; 4) $(3-x^2)(9+y^6)$.

№ 17.7

Алгебралық қосындыны көбейтінді түрінде жазыңдар: 1) $3a+ax-3b+3c-bx+cx$; 2) $4x+6b+4y-by-24-bx$; 3) $ak-18a-bk+7k+18b-126$; 4) $nx-4x-5mx-100m+20n-80$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда алты қосылғыш. Жақшаның сыртына шығарғаннан кейін бірдей жақша қалатын үш жұпты іздейміз.

Шешуі.

1. $(3a-3b+3c)+(ax-bx+cx)=3(a-b+c)+x(a-b+c)=(a-b+c)(3+x)$.

2. $4x+4y-24=4(x+y-6)$; $6b-by-bx=-b(x+y-6)$. Барлығы $(x+y-6)(4-b)$.

3. $ak-18a=a(k-18)$; $-bk+18b=-b(k-18)$; $7k-126=7(k-18)$. Барлығы $(k-18)(a-b+7)$.

4. $nx-4x-5mx=x(n-4-5m)$; $20n-80-100m=20(n-4-5m)$. Барлығы $(x+20)(n-5m-4)$.

5. және 4) тармақтар оқулықтың жауаптарында былай жазылған: $(-a+b-7)(18-k)$ және $(20+x)(n-5m-4)$. Бұл — сол жауап: 3) тармақта екі жақшаның да таңбалары ауыстырылған, ал көбейтінді өзгермейді.

Жауабы: 1) $(a-b+c)(x+3)$; 2) $(x+y-6)(4-b)$; 3) $(k-18)(a-b+7)$; 4) $(x+20)(n-5m-4)$.

№ 17.8

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x+4{,}5)(6x-1)-(3x+1{,}6)(2x-1)=-3{,}8x$; 2) $(3{,}5-x)(7x+2)+(3{,}5x-1)(7+2x)=-450$; 3) $(8x+3)(1-0{,}9x)+7{,}4=(4x-5)(1-1{,}8x)$; 4) $498+(2{,}7-5x)(6x-7)=(9-0{,}5x)(60x+1)$.

Қалай ойлаймыз. Екі жақтағы жақшаларды да ашамыз. $x^2$ бар мүшелер қысқарады, сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $(x+4{,}5)(6x-1)=6x^2+26x-4{,}5$; $(3x+1{,}6)(2x-1)=6x^2+0{,}2x-1{,}6$. Айырмасы: $25{,}8x-2{,}9=-3{,}8x$, одан $29{,}6x=2{,}9$, $x=\frac{29}{296}$.

2. $(3{,}5-x)(7x+2)=22{,}5x+7-7x^2$; $(3{,}5x-1)(7+2x)=22{,}5x-7+7x^2$. Қосындысы: $45x=-450$, $x=-10$.

3. Сол жағы: $8x-7{,}2x^2+3-2{,}7x+7{,}4=-7{,}2x^2+5{,}3x+10{,}4$. Оң жағы: $4x-7{,}2x^2-5+9x=-7{,}2x^2+13x-5$. Сонда $5{,}3x+10{,}4=13x-5$, $15{,}4=7{,}7x$, $x=2$.

4. Сол жағы: $498-30x^2+51{,}2x-18{,}9=-30x^2+51{,}2x+479{,}1$. Оң жағы: $540x+9-30x^2-0{,}5x=-30x^2+539{,}5x+9$. Сонда $470{,}1=488{,}3x$, $x=\frac{4701}{4883}$.

5. тармақты $x=2$ болғанда тексереміз: сол жағы $19\cdot(-0{,}8)+7{,}4=-7{,}8$, оң жағы $3\cdot(-2{,}6)=-7{,}8$. Дұрыс.

Жауабы: 1) $\frac{29}{296}$; 2) $-10$; 3) $2$; 4) $\frac{4701}{4883}$. 2) тармақ оқулықтағы жауаппен сәйкес келді.

№ 17.9

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $x(x^3-4)-x^4\le 18-x$; 2) $x^3+x(20-x^2)\ge 24x-3$; 3) $x(31+x^4)-x^5>37x-68$; 4) $x^9-x(47+x^8)>19-45x$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашамыз: жоғары дәрежелер қысқарады, сызықтық теңсіздік қалады. Теріс санға бөлгенде таңбаны ауыстыруды ұмытпа.

Шешуі.

1. $x^4-4x-x^4\le 18-x$, яғни $-4x\le 18-x$, $-3x\le 18$, $x\ge -6$.
2. $x^3+20x-x^3\ge 24x-3$, яғни $20x\ge 24x-3$, $-4x\ge -3$, $x\le 0{,}75$.
3. $31x+x^5-x^5>37x-68$, яғни $31x>37x-68$, $-6x>-68$, $x<\frac{34}{3}=11\frac{1}{3}$.
4. $x^9-47x-x^9>19-45x$, яғни $-47x>19-45x$, $-2x>19$, $x<-9{,}5$.

Жауабы: 1) $[-6;+\infty)$; 2) $(-\infty;0{,}75]$; 3) $\left(-\infty;11\frac{1}{3}\right)$; 4) $(-\infty;-9{,}5)$. Бәрі оқулықтағы жауаппен сәйкес келді.

B деңгейі

№ 17.10

Егер $A=5x^6+x^4-9$ және $B=10x^6-5x^4+1{,}8$ болса, онда: 1) $A+5B=55x^6-24x^4$; 2) $-2A+B=-7x^4+19{,}8$; 3) $10A+2B=70x^6-86{,}4$; 4) $-3A-1{,}5B=-30x^6+4{,}5x^4+24{,}3$ теңдігі орындалатынын тексеріңдер.

Қалай ойлаймыз. Бұл — тепе-теңдікті дәлелдеу: $A$ мен $B$-ны сол жағына қойып, оң жағы шыққанша түрлендіреміз.

Шешуі.

1. $5B=50x^6-25x^4+9$. $A+5B=5x^6+x^4-9+50x^6-25x^4+9=55x^6-24x^4$.
2. $-2A=-10x^6-2x^4+18$. $-2A+B=-10x^6-2x^4+18+10x^6-5x^4+1{,}8=-7x^4+19{,}8$.
3. $10A=50x^6+10x^4-90$, $2B=20x^6-10x^4+3{,}6$. Қосындысы: $70x^6-86{,}4$.
4. $-3A=-15x^6-3x^4+27$, $-1{,}5B=-15x^6+7{,}5x^4-2{,}7$. Қосындысы: $-30x^6+4{,}5x^4+24{,}3$.

Жауабы: төрт теңдік те орындалады, сол жақтары оң жақтарына дейін түрлендірілді.

№ 17.11

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(x^2-8x+7)(x+5)+3x(x+11)=x^3+35$; 2) $(y+9)(10-3y+y^2)-0{,}5y(12y-34)=90+y^3$; 3) $(2a^2-a+11)(8a-3)+7a(-13+2a)=-33+16a^3$; 4) $(13x+6)(4x^2-x-9)-5x(2{,}2x-24{,}6)=-54+52x^3$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын түрлендіріп, оң жағын аламыз. Жақшаны ашамыз, ұқсас қосылғыштарды біріктіреміз.

Шешуі.

1. $(x^2-8x+7)(x+5)=x^3-3x^2-33x+35$. Оған $3x^2+33x$ қосамыз: $x^3+35$ шығады.
2. $(y+9)(y^2-3y+10)=y^3+6y^2-17y+90$. Одан $(6y^2-17y)$ шегереміз: $y^3+90$ шығады.
3. $(2a^2-a+11)(8a-3)=16a^3-14a^2+91a-33$. Оған $-91a+14a^2$ қосамыз: $16a^3-33$ шығады.
4. $(13x+6)(4x^2-x-9)=52x^3+11x^2-123x-54$. $5x(2{,}2x-24{,}6)=11x^2-123x$ шегереміз: $52x^3-54$ шығады.

Жауабы: төрт тепе-теңдік те дәлелденді.

№ 17.12

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(8a^3b-c^4)\cdot(15a^5b^4):(3a^4b^3)-40a^4b^2$, мұндағы $a=0{,}2$; $b=0{,}5$; $c=-2$; 2) $0{,}9x^{10}y^7\cdot(10x^8y^3z^6-9):(20x^9y^6)+0{,}40xy$, мұндағы $x=-1$; $y=5$; $z=1$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамдаймыз, содан кейін санды қоямыз: дәрежелер қысқарып, сандар шағын болады.

Шешуі.

1. $(15a^5b^4):(3a^4b^3)=5ab$. Сонда $(8a^3b-c^4)\cdot 5ab=40a^4b^2-5abc^4$. $40a^4b^2$ шегереміз: $-5abc^4$ қалады. $a=0{,}2$, $b=0{,}5$, $c=-2$ болғанда: $-5\cdot 0{,}2\cdot 0{,}5\cdot 16=-8$.
2. $0{,}9x^{10}y^7:(20x^9y^6)=0{,}045xy$. Сонда $0{,}045xy(10x^8y^3z^6-9)=0{,}45x^9y^4z^6-0{,}405xy$. $0{,}4xy$ қосамыз: $0{,}45x^9y^4z^6-0{,}005xy$. $x=-1$, $y=5$, $z=1$ болғанда: $0{,}45\cdot(-1)\cdot 625-0{,}005\cdot(-5)=-281{,}25+0{,}025=-281{,}225$.

Жауабы: 1) $-8$; 2) $-281{,}225$.

№ 17.13

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $(x^4-3)(x+5)=29-2x+x^4(x+5)$; 2) $(10-x^6)(7+x)=11x-63-x^6(x+7)$; 3) $(2+x)x^5-15x+41=(x^5-13)(2+x)$; 4) $99-23x+x^8(x-9)=-(17-x^8)(x-9)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашып, бірдей бөліктерді бір жаққа көшіреміз. Жоғары дәрежелер кетеді.

Шешуі.

1. Сол жағы: $x^5+5x^4-3x-15$. Оң жағы: $29-2x+x^5+5x^4$. Қысқартқаннан кейін: $-3x-15=29-2x$, $-x=44$, $x=-44$.
2. Сол жағы: $70+10x-7x^6-x^7$. Оң жағы: $11x-63-x^7-7x^6$. Қысқартқаннан кейін: $70+10x=11x-63$, $x=133$.
3. Сол жағы: $2x^5+x^6-15x+41$. Оң жағы: $2x^5+x^6-26-13x$. Қысқартқаннан кейін: $-15x+41=-26-13x$, $67=2x$, $x=33{,}5$.
4. Оң жағы: $-(17-x^8)(x-9)=-17x+153+x^8(x-9)$. Сол жағы: $99-23x+x^8(x-9)$. Қысқартқаннан кейін: $99-23x=-17x+153$, $-6x=54$, $x=-9$.

Жауабы: 1) $-44$; 2) $133$; 3) $33{,}5$; 4) $-9$. 1) және 2) тармақтар оқулықтағы жауаппен сәйкес келді.

№ 17.14

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(x^3-2)(x+1)\le x^4+x^3-23$; 2) $-x^8+49\le(10-x^7)(5+x)+5x^7$; 3) $(x^2-4x+8)\cdot 5<2x(2{,}5x-1)$; 4) $3x(1{,}1x+2)>0{,}1x(33x+10)-6$.

Қалай ойлаймыз. Бәрі теңдеулердегідей, тек соңында бөлгендегі таңбаға қарау керек.

Шешуі.

1. Сол жағы: $x^4+x^3-2x-2\le x^4+x^3-23$. Сонда $-2x\le -21$, $x\ge 10{,}5$.
2. $(10-x^7)(5+x)=50+10x-5x^7-x^8$. $5x^7$ қоссақ: $50+10x-x^8$. Теңсіздік: $-x^8+49\le 50+10x-x^8$, яғни $-1\le 10x$, $x\ge -0{,}1$.
3. Сол жағы: $5x^2-20x+40$. Оң жағы: $5x^2-2x$. Сонда $40<18x$, $x>\frac{20}{9}=2\frac{2}{9}$.
4. Сол жағы: $3{,}3x^2+6x$. Оң жағы: $3{,}3x^2+x-6$. Сонда $5x>-6$, $x>-1{,}2$.

Жауабы: 1) $[10{,}5;+\infty)$; 2) $[-0{,}1;+\infty)$; 3) $\left(2\frac{2}{9};+\infty\right)$; 4) $(-1{,}2;+\infty)$. 1)–3) тармақтар оқулықтағы жауаппен сәйкес келді.

C деңгейі

Мұнда ең қиын тапсырмалар. Кем дегенде біреуін шығарсаң — жарайсың, сен енді алгебраист сияқты ойлайсың.

№ 17.15

Теңсіздіктің шешімі болатын ең кіші бүтін санды табыңдар: 1) $(x^2-3x+5)(x+3)\le x^3+7x-1$; 2) $(y^2-y+8)(4-y)-2{,}4\le 5y^2-y^3-6y$; 3) $z^3+2{,}8z-2{,}2>(9-z-z^2)(1{,}2-z)+0{,}2z^2+11{,}5$; 4) $-2{,}2x-7{,}15-0{,}5x^2<(1{,}7+x+x^2)(0{,}5-x)+x^3$.

Қалай ойлаймыз. Ықшамдаймыз, сызықтық теңсіздікті шешеміз, содан кейін ең жақын лайықты бүтін санды таңдаймыз. Егер шекара кірмесе, санның өзін алмаймыз.

Шешуі.

1. $(x^2-3x+5)(x+3)=x^3-4x+15$. Сонда $x^3-4x+15\le x^3+7x-1$, $16\le 11x$, $x\ge\frac{16}{11}\approx 1{,}45$. Ең кіші бүтін сан: $2$.
2. $(y^2-y+8)(4-y)=-y^3+5y^2-12y+32$. Теңсіздік: $-y^3+5y^2-12y+29{,}6\le 5y^2-y^3-6y$, одан $29{,}6\le 6y$, $y\ge 4{,}93\ldots$. Ең кіші бүтін сан: $5$.
3. $(9-z-z^2)(1{,}2-z)=z^3-0{,}2z^2-10{,}2z+10{,}8$. Оң жағы: $z^3-10{,}2z+22{,}3$. Теңсіздік: $2{,}8z-2{,}2>-10{,}2z+22{,}3$, $13z>24{,}5$, $z>1{,}88\ldots$. Ең кіші бүтін сан: $2$.
4. $(1{,}7+x+x^2)(0{,}5-x)=-x^3-0{,}5x^2-1{,}2x+0{,}85$. $x^3$-пен бірге оң жағы: $-0{,}5x^2-1{,}2x+0{,}85$. Теңсіздік: $-2{,}2x-7{,}15<-1{,}2x+0{,}85$, $-x<8$, $x>-8$. Ең кіші бүтін сан: $-7$.

Жауабы: 1) $2$; 2) $5$; 3) $2$; 4) $-7$. 1) және 2) тармақтар оқулықтағы жауаппен сәйкес келді.

№ 17.16

Теңсіздіктің шешімі болатын ең үлкен бүтін санды табыңдар: 1) $(x^5-6)\cdot x+7x^4\ge x^4(7+x^2)-1{,}8$; 2) $(x^9+11)\cdot 6x-15x^5\le -33+3x^5(2x^5-5)$; 3) $7x^3(6x^5-3)+44>2x(21x^7+11)-21x^3$; 4) $9x^2(10x^7-3)+135<4{,}5x(20x^8-3)-27x^2$.

Қалай ойлаймыз. Бәрі сол, тек енді ең үлкен бүтін санды таңдаймыз. «Кіші» таңбасы болса, шекарадан солға қарай аламыз.

Шешуі.

1. Сол жағы: $x^6-6x+7x^4$. Оң жағы: $7x^4+x^6-1{,}8$. Сонда $-6x\ge -1{,}8$, $x\le 0{,}3$. Ең үлкен бүтін сан: $0$.
2. Сол жағы: $6x^{10}+66x-15x^5$. Оң жағы: $-33+6x^{10}-15x^5$. Сонда $66x\le -33$, $x\le -0{,}5$. Ең үлкен бүтін сан: $-1$.
3. Сол жағы: $42x^8-21x^3+44$. Оң жағы: $42x^8+22x-21x^3$. Сонда $44>22x$, $x<2$. Ең үлкен бүтін сан (2-ден қатаң кіші): $1$.
4. Сол жағы: $90x^9-27x^2+135$. Оң жағы: $90x^9-13{,}5x-27x^2$. Сонда $135<-13{,}5x$, $x<-10$. Ең үлкен бүтін сан ($-10$-нан қатаң кіші): $-11$.

Жауабы: 1) $0$; 2) $-1$; 3) $1$; 4) $-11$. 1), 3), 4) тармақтар оқулықтағы жауаппен сәйкес келді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 17.17

Тіктөртбұрыштың ұзындығын 5 есе арттырып, енін өзгеріссіз қалдырса, онда оның ауданы қалай өзгереді?

Қалай ойлаймыз. Тіктөртбұрыштың ауданы ұзындығы мен енінің көбейтіндісіне тең. Мысал үшін сандарды қойып көрейік.

Шешуі.

1. Болған: ұзындығы $a$, ені $b$, ауданы $S=ab$.
2. Болды: ұзындығы $5a$, ені $b$, ауданы $5a\cdot b=5ab$.
3. Мысал: өлшемі $10\times 4$ м егістік, ауданы $40$ м². Ұзындығын $50$ м-ге дейін ұзартсақ: $50\cdot 4=200$ м², яғни $5$ есе көп.

Жауабы: ауданы 5 есе артады.

№ 17.18

1 кг шие 800 тг тұрады. Шиенің құны қандай: 1) 300 г; 2) 500 г; 3) 1 кг 250 г; 4) 2 кг; 5) 2,5 кг; 6) $2\frac{3}{4}$ кг? 17.1-кестені толтырыңдар. Шиенің массасы артқан сайын оның құны қалай өзгереді? Егер 2 есе, 3 есе артық шие сатып алынса, құны қанша есе артады?

Қалай ойлаймыз. Құн массаны бағаға көбейткенге тең: $C=800\cdot m$. Граммды килограммға айналдырамыз.

Шешуі.

Есептейміз: $0{,}3\cdot 800=240$; $0{,}5\cdot 800=400$; $1{,}25\cdot 800=1000$; $2\cdot 800=1600$; $2{,}5\cdot 800=2000$; $2{,}75\cdot 800=2200$.

Масса артқан сайын құн да артады. $2$ есе көп сатып алсақ (мысалы, $0{,}25$ кг орнына $0{,}5$ кг), $2$ есе көп төлейміз. $3$ есе көп сатып алсақ — $3$ есе көп төлейміз.

Жауабы: 240, 400, 1000, 1600, 2000, 2200 тг; масса артқан сайын құн да артады; масса неше есе артса, құн да сонша есе артады.

Жадынама

• Алдында минус тұрған жақша ішіндегі барлық қосылғыштың таңбасын өзгертеді.
• Жоғары дәрежелер жиі қысқарады: бұл — бәрі дұрыс жүріп жатқанының белгісі.
• Ең кіші бүтін сан үшін шекарадан оңға қарай ең жақын бүтін санды, ең үлкен бүтін сан үшін солға қарай алады.
• Жауабыңды әрдайым, кем дегенде ықшамдалған өрнекке қойып, тексер.

Шағын тест