Өзіңді тексер! II бөлім

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 бөлім: Көпмүшелер. 113–116-беттер.

Нені қайталаймыз

Бұл «Көпмүшелер» бөлімі бойынша қорытынды тест: бірмүшелер және дәрежелер (§ 10–11), көпмүшелер және олармен амалдар (§ 12–14), ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару және топтау (§ 15–16), өрнектерді тепе-тең түрлендіру (§ 17). Әр сұрақта төрт жауап бар, дұрысы біреу. Алдымен өзің шығар, содан кейін шешумен салыстыр.

Бұл тесттің жауаптары оқулықтың соңында басылмаған, сондықтан төмендегі әріптердің бәрі есептеу арқылы алынды және мәнін қойып тексерілді.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1

$(3x^2y)^3\cdot 5y^7$ бірмүшесін стандарт түрде жазыңдар. A. $135x^6y^8$; B. $45x^7y^{10}$; C. $135x^5y^8$; D. $135x^6y^{10}$.

Қалай ойлаймыз. Әр көбейткішті кубқа шығарамыз, сосын бірдей әріптерді көбейтеміз.

Шешуі. $(3x^2y)^3=27x^6y^3$. $5y^7$-ге көбейтеміз: $27\cdot 5=135$, $y^3\cdot y^7=y^{10}$. Шығады: $135x^6y^{10}$.

Жауабы: D.

№ 2

$(2ab^5)^4\cdot(5a^7b^2)^2$ өрнегін ықшамдаңдар. A. $80a^{13}b^{24}$; B. $400a^{18}b^{24}$; C. $250a^{18}b^{13}$; D. $400a^{13}b^{24}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтіндіні дәрежеге шығару: әр көбейткішті дәрежеге шығарамыз.

Шешуі. $(2ab^5)^4=16a^4b^{20}$, $(5a^7b^2)^2=25a^{14}b^4$. Көбейтінді: $16\cdot 25=400$, $a^{4+14}=a^{18}$, $b^{20+4}=b^{24}$.

Жауабы: B.

№ 3

$2{,}5a^3b\cdot\frac{4}{25}a^2b^4$ өрнегін ықшамдап, $a=-1$, $b=-1$ болғандағы мәнін табыңдар. A. $-0{,}4$; B. $-2{,}5$; C. $0{,}4$; D. $2{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен коэффициенттер: $2{,}5\cdot\frac{4}{25}=\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{25}=\frac{2}{5}$.

Шешуі. Бірмүше: $0{,}4a^5b^5$. $a=-1$, $b=-1$ болғанда: $(-1)^5\cdot(-1)^5=(-1)\cdot(-1)=1$. Демек, $0{,}4\cdot 1=0{,}4$.

Жауабы: C.

№ 4

$(24m^5n^3)^2:(12m^3n)^3$ бөлуін орындаңдар. A. $\frac{1}{3}m^2n^2$; B. $3mn^2$; C. $3m^2n^3$; D. $\frac{1}{3}mn^3$.

Қалай ойлаймыз. Бөлінгіш пен бөлгішті бөлек дәрежеге шығарамыз, сосын дәрежелер мен сандарды бөлеміз.

Шешуі. $(24m^5n^3)^2=576m^{10}n^6$; $(12m^3n)^3=1728m^9n^3$. Бөлеміз: $\frac{576}{1728}=\frac{1}{3}$, $m^{10-9}=m$, $n^{6-3}=n^3$.

Жауабы: D.

№ 5

$x$-тің қандай мәнінде $x^2-6x-1$ және $6+x^2+x$ өрнектерінің мәндері тең болады? A. $1$; B. $-1$; C. $0$; D. $6$.

Қалай ойлаймыз. Өрнектерді теңестіреміз. Квадраттар қысқарады.

Шешуі. $x^2-6x-1=6+x^2+x$, демек, $-6x-1=6+x$, $-7x=7$, $x=-1$. Тексеру: $1+6-1=6$ және $6+1-1=6$. Дұрыс.

Жауабы: B.

№ 6

$8x^6y^3-12x^3y^3$ өрнегінің ортақ көбейткішін табыңдар. A. $x^3y^3$; B. $2x^3y^3$; C. $2x^3-4$; D. $4x^3y^3$.

Қалай ойлаймыз. Коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішін және әріптердің ең кіші дәрежелерін аламыз.

Шешуі. 8 мен 12-нің ЕҮОБ-і 4-ке тең. $x$-тің ең кіші дәрежесі — $x^3$, $y$-тікі — $y^3$. Шығады: $4x^3y^3(2x^3-3)$.

Жауабы: D.

№ 7

$4n^3m^2+8n^3m^3-12n^2m^3$ өрнегіндегі ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарыңдар. A. $4nm(n^2m+2n^2m^2-3nm^2)$; B. $n^2m^2(4n+8nm-12m)$; C. $4n^2m^2(n+2nm-3m)$; D. $4n^2m(nm+2nm-3nm^2)$.

Қалай ойлаймыз. Ең «толық» көбейткішті шығарамыз: 4 саны, $n$-нің ең кіші дәрежесі 2, $m$-нің ең кіші дәрежесі 2.

Шешуі. Ортақ көбейткіш $4n^2m^2$. Қосындыларды бөлеміз: $4n^3m^2:(4n^2m^2)=n$; $8n^3m^3:(4n^2m^2)=2nm$; $-12n^2m^3:(4n^2m^2)=-3m$. Жиыны $4n^2m^2(n+2nm-3m)$. B нұсқасы да мағынасы жағынан дұрыс, бірақ 4 саны шығарылмаған, сондықтан ортақ көбейткіш толық шығарылмаған.

Жауабы: C.

№ 8

$(x^2+5x)-x(x-5)=0$ теңдеуін шешіңдер. A. $0$; B. $1;5$; C. $0;5$; D. түбірі жоқ.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз.

Шешуі. $x^2+5x-x^2+5x=10x$. Сонда $10x=0$, $x=0$. Түбірі біреу.

Жауабы: A.

№ 9

$3m^5+7m^3-18-3m^5+7m^3-18$ көпмүшесінің дәрежесін анықтаңдар. A. $6$; B. $5$; C. $0$; D. $3$.

Қалай ойлаймыз. Көпмүшенің дәрежесін стандарт түріндегі көпмүшеден анықтайды. Алдымен ұқсас мүшелерді біріктірейік.

Шешуі. $3m^5-3m^5=0$; $7m^3+7m^3=14m^3$; $-18-18=-36$. Шықты: $14m^3-36$. Ең жоғарғы дәреже — $3$.

Жауабы: D.

№ 10

$6a^3+9ab-5b^2-8ab-4b^2$ көпмүшесін стандарт түрде жазыңдар. A. $6a^3+17ab-9b^2$; B. $6a^3+ab+9b^2$; C. $6a^3+ab-9b^2$; D. $6a^3-ab+9b^2$.

Қалай ойлаймыз. Ұқсас мүшелерді қосамыз: $ab$-лы және $b^2$-лы.

Шешуі. $9ab-8ab=ab$; $-5b^2-4b^2=-9b^2$. Шықты: $6a^3+ab-9b^2$.

Жауабы: C.

№ 11

$3b^2+a^2b+5ab^2+4a^2b-5ab^2-3b^2$ көпмүшесін стандарт түрге келтіріп, $a=1$, $b=-1$ болғандағы мәнін табыңдар. A. $5$; B. $-5$; C. $-10$; D. $10$.

Қалай ойлаймыз. Көп мүшелер бір-бірін жояды.

Шешуі. $3b^2-3b^2=0$; $5ab^2-5ab^2=0$; $a^2b+4a^2b=5a^2b$. $a=1$, $b=-1$ болғанда: $5\cdot 1\cdot(-1)=-5$.

Жауабы: B.

№ 12

$\dfrac{(2m^5n^4)^7\cdot(4m^3n^5)^2}{(2m^4n^4)^{10}}$ өрнегін ықшамдаңдар. A. $\frac{2m}{n^2}$; B. $\frac{m^2}{2n}$; C. $\frac{m}{n^2}$; D. $\frac{2m^2}{n}$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін екінің, $m$-нің және $n$-нің дәрежелеріне келтіреміз. Сонда алымды бөлімге бөлшектеп бөлуге болады.

Шешуі. Алымы: $2^7m^{35}n^{28}\cdot 16m^6n^{10}=2^{11}m^{41}n^{38}$ ($16=2^4$ болғандықтан). Бөлімі: $2^{10}m^{40}n^{40}$. Бөлеміз: $2^{11-10}=2$, $m^{41-40}=m$, $n^{38-40}=n^{-2}$.

Жауабы: A: $\frac{2m}{n^2}$.

№ 13

$(t^2+8t-9)-(t^2-11t+10)=18t-20$ теңдеуін шешіңдер. A. $-0{,}5$; B. $2$; C. $-1$; D. $1$.

Қалай ойлаймыз. Алдында минус тұрған жақшаны ашқанда барлық таңбаларды өзгертеміз.

Шешуі. $t^2+8t-9-t^2+11t-10=19t-19$. Сонда $19t-19=18t-20$, $t=-1$.

Жауабы: C.

№ 14

$-0{,}8c(c+5)-0{,}7(10c+5)+0{,}8c^2+10c-4$ өрнегін ықшамдаңдар. A. $1{,}6c^2-c-7{,}5$; B. $-c-7{,}5$; C. $-c-0{,}5$; D. $-19c-7{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды ашамыз, таңбаларға мұқият боламыз.

Шешуі. $-0{,}8c^2-4c-7c-3{,}5+0{,}8c^2+10c-4$. Квадраттар қысқарады; $c$-лар: $-4-7+10=-1$; сандар: $-3{,}5-4=-7{,}5$. Шықты: $-c-7{,}5$.

Жауабы: B.

№ 15

$81m^9n^8:(24m^8n^5)$ өрнегін ықшамдап, $m=32$, $n=-\frac{1}{3}$ болғандағы мәнін табыңдар. A. $-12$; B. $12$; C. $4$; D. $-4$.

Қалай ойлаймыз. Коэффициенттерді бөлеміз, көрсеткіштерді азайтамыз.

Шешуі. $\frac{81}{24}=\frac{27}{8}$. Бірмүше: $\frac{27}{8}mn^3$. $m=32$ болғанда: $\frac{27}{8}\cdot 32=108$. $n^3=-\frac{1}{27}$. Жиыны $108\cdot\left(-\frac{1}{27}\right)=-4$.

Жауабы: D.

№ 16

Егер $2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)$ болса, онда $a^2+b^2$ өрнегінің мәнін табыңдар. A. $1$; B. $3$; C. $4$; D. $2$.

Қалай ойлаймыз. Екі жағын да ашып салыстырайық: $a^2+b^2$ туралы бір нәрсе шығуы керек.

Шешуі. Сол жағы: $2(ab+a+b+1)=2ab+2a+2b+2$. Оң жағы: $(a+b)^2+2(a+b)=a^2+2ab+b^2+2a+2b$. Теңестіреміз: $2ab+2a+2b+2=a^2+2ab+b^2+2a+2b$. Қысқартқаннан кейін: $2=a^2+b^2$.

Жауабы: D.

№ 17

$(125a^3-25a^3):(5a^2)-(25a^2-2a^2):a$ өрнегінің $a=5$ болғандағы мәнін табыңдар. A. $5$; B. $-5$; C. $10$; D. $-15$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаларды ықшамдаймыз, сосын бөлеміз.

Шешуі. $125a^3-25a^3=100a^3$, $100a^3:(5a^2)=20a$. Екінші бөлігі: $25a^2-2a^2=23a^2$, $23a^2:a=23a$. Айырмасы: $20a-23a=-3a$. $a=5$ болғанда: $-15$.

Жауабы: D.

№ 18

$(n^2-n-1)(n^2-n+1)$ көбейтіндісін стандарт түрдегі көпмүшеге келтіріңдер. A. $2n^2-n$; B. $n^4-2n^2-1$; C. $n^2+2n^2+n+1$; D. $n^4-2n^3+n^2-1$.

Қалай ойлаймыз. Бұл $(u-1)(u+1)=u^2-1$ өрнегіне ұқсайды, мұндағы $u=n^2-n$.

Шешуі. $(n^2-n)^2-1=n^4-2n^3+n^2-1$. Көбейту арқылы тексеру: $n^4-n^3+n^2-n^3+n^2-n-n^2+n-1=n^4-2n^3+n^2-1$.

Жауабы: D.

№ 19

$3x(x-2)-(3x-1)(x+4)\ge 8(2-x)$ теңсіздігін қанағаттандыратын ең үлкен бүтін санды табыңдар. A. $0$; B. $-1$; C. $1$; D. $-2$.

Қалай ойлаймыз. Сол және оң жақтарын ықшамдап, сызықтық теңсіздікті шешеміз.

Шешуі. $3x^2-6x-(3x^2+11x-4)=-17x+4$. Оң жағы: $16-8x$. Сонда $-17x+4\ge 16-8x$, $-9x\ge 12$, $x\le-\frac{4}{3}$. $-1\frac{1}{3}$ санынан сол жақта (өзін қоса) жатқан ең үлкен бүтін сан — $-2$.

Жауабы: D.

№ 20

$3a+3a^2-b-ab$ көпмүшесін көбейткіштерге жіктеңдер. A. $(3a-b)(1-a)$; B. $(3a-b)(1+a)$; C. $(a-3b)(1+a)$; D. $(3a+b)(a-1)$.

Қалай ойлаймыз. Топтау тәсілі: алғашқы екі мүшеде $3a$, соңғы екеуінде $b$ бар.

Шешуі. $3a(1+a)-b(1+a)=(1+a)(3a-b)$. Тексеру: $(3a-b)(1+a)=3a+3a^2-b-ab$. Дұрыс.

Жауабы: B.

№ 21

1-кестеде С дәруменін қабылдау көрсеткіштері өрнекпен берілген. Баланың жасы 1–2 жас: $45x^5y^3:(x^5y^2)$; 3–6 жас: $12x^6y^2:(0{,}2x^6y)$; 7–10 жас: $35x^7y^5:(0{,}5x^7y^3)$. Көрсеткіш — бір тәулікте.

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр өрнекті ықшамдаймыз, сосын $y=1$ қоямыз.

Шешуі. $45x^5y^3:(x^5y^2)=45y$; $12x^6y^2:(0{,}2x^6y)=60y$; $35x^7y^5:(0{,}5x^7y^3)=70y^2$.

1) Егер $y=1$ болса, әр жастың С дәруменін қабылдаудың бір тәуліктегі көрсеткішін табыңдар. Шығады: $45$; $60$; $70$. Жауабы: B (A. 45; 50; 70; B. 45; 60; 70; C. 40; 50; 60; D. 45; 60; 80).

2) 3–6 жастағы балалардың көрсеткіші 1–2 жастағы балалардың көрсеткішінен қанша пайыз артық? (A. 20%; B. 30%; C. 10%; D. 25%.) Айырмасы $60-45=15$. $45$-тен үлесі: $\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\approx 33{,}3%$. Мұндай нұсқа жоқ. Ең жақыны — D ($25%$): бұл $45$-тің $60$-тан қанша пайыз кем екенін көрсетеді, яғни $\frac{15}{60}=25%$.

📕 Нұсқалардың ішінде дұрыс жауап жоқ: шын мәнінде 3–6 жастағы көрсеткіш $33\frac{1}{3}%$-ға артық ($\frac{15}{45}$). D нұсқасы ($25%$) $45$-ке емес, $60$-қа бөлгенде шығады.

3) 7–10 жастағы балалардың бір тәулікте С дәруменін қабылдау көрсеткіші 3–6 жастағы балаларға қарағанда қаншаға артық? (A. 11; B. 10; C. 13; D. 12.) $70-60=10$. Жауабы: B.

Жауабы: 1) B; 2) D (нұсқаларда нақты $33\frac{1}{3}%$ жоқ); 3) B.

№ 22

19 баланың 15-і қолөнер үйірмесіне барады. Қолөнер және ән айту үйірмелеріне баратын балалар саны $a=-1$ және $c=1$ болғандағы $1{,}9a^5c^2+1{,}1a^5c^2+6$ өрнегінің мәніне тең. Қанша бала ән айту үйірмесіне барады? A. $6$; B. $5$; C. $7$; D. $4$.

Қалай ойлаймыз. Бұл Эйлер шеңберлері: екі үйірме, қиылысындағы балалар екі рет саналады.

Шешуі. Өрнектің мәні: $3a^5c^2+6=3\cdot(-1)\cdot 1+6=3$. Демек, екі үйірмеге де 3 бала барады. Барлық 19 бала кемінде бір үйірмеге барады. Ән айтуды $V$ деп белгілейік: $19=15+V-3$, одан $V=19-15+3=7$.

Тексеру: тек қолөнер $15-3=12$, екеуіне де $3$, тек ән $7-3=4$. Барлығы $12+3+4=19$.

Жауабы: C.

№ 23

Кинотеатрда күні бойы 5 сеанс болған. Диаграммада осы сеанстарға барған көрермендер саны берілген (1-сурет), мұндағы $x$ пен $y$ — қандай да бір сандар: I сеанс — $y$, II — $160$, III — $145$, VI — $130$, V — $x$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен өрнектерден $x$ пен $y$-ті табамыз, сосын қосып, 5-ке бөлеміз.

Шешуі.

1. $x$-тің мәні $a=2$ болғанда $0{,}5a^2(0{,}4a^3+70)-0{,}2a^5$ өрнегінің мәніне тең. Жақшаны ашамыз: $0{,}2a^5+35a^2-0{,}2a^5=35a^2=35\cdot 4=140$. Жауабы: B (A. 141; B. 140; C. 143; D. 144).
2. $y$-тің мәні $a=-5$ болғанда $24a^{11}-a^3(1+24a^8)$ өрнегінің мәніне тең. Жақшаны ашамыз: $24a^{11}-a^3-24a^{11}=-a^3=-(-125)=125$. Жауабы: A (A. 125; B. 128; C. 126; D. 124).
3. Бес сеансқа барлығы барған көрермен: $140+130+145+160+125=700$. Жауабы: A (A. 700; B. 680; C. 690; D. 710).
4. Арифметикалық орташасы: $700:5=140$. Жауабы: D (A. 136; B. 142; C. 138; D. 140).

Жауабы: 1) B ($x=140$); 2) A ($y=125$); 3) A ($700$); 4) D ($140$).

Жадынама

• Алдында минус тұрған жақшаны ашқанда ішіндегі барлық таңбаны өзгерт.
• Көбейткіштерге жіктеуді кері көбейту арқылы тексер.
• Тесттерде ықшамдағаннан кейін өрнек жиі өте қысқа болып қалады.

Шағын тест