§ 18. Функция

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 116–120-беттер.

Нені үйренесің

• Өмірден бір шаманың екінші шамаға тәуелділігін байқап, не неден тәуелді екенін айтуды.
• Тәуелсіз айнымалыны (аргумент $x$) тәуелді айнымалыдан ($y$, функцияның мәні) ажыратуды.
• Функция дегеніміздің не екенін түсінуді: әр $x$-ке бір ғана $y$ сәйкес келеді.
• Функцияның анықталу облысы мен мәндер жиынын табуды.
• Өспелі функцияны кемімелі функциядан ажыратуды.

Ой қозғау

• Бір дәптер 50 теңге болса, 3 дәптер қанша тұрады? $3 \cdot 50 = 150$ теңге.
• Сағатына 60 км жылдамдықпен 120 км жолды неше сағатта жүріп өтесің? $120 : 60 = 2$ сағат.
• Ал сағатына 40 км жүрсең ше? $120 : 40 = 3$ сағат. Жылдамдық азайды, уақыт көбейді.
• Қандай санға бөлуге болмайды? Нөлге.

Тақырыпты талдаймыз

Бір шама екіншісін ілестіреді

Сен дүкенге қарындаш алуға барасың. Бір қарындаштың бағасы өсті, демек, бүкіл сатып алу да қымбаттады. Астанадан Қарағандыға барасың: жылдамдық артқан сайын жолда кететін уақыт азаяды. Бәрінде бір сурет: бір шаманы өзгертесің, соңынан екінші шама да өзгереді.

$C$ құны $m$ бағасына былай тәуелді: $C = k \cdot m$, мұндағы $k$ — неше дана алынғаны. Жолдағы уақыт жылдамдыққа былай тәуелді: $t = \frac{s}{v}$, мұндағы $s$ — жолдың ұзындығы.

$k = 3$ дана алып, бағаларды қарастырайық:

Енді $s = 120$ км болсын:

Екі кестеде де бірінші шаманың әр мәніне екінші шаманың бір ғана мәні сәйкес келеді. Жаңа сөз дәл осы ерекшелікті ұстап тұр.

Функция дегеніміз не

📌 $x$ айнымалысының әр мәніне $y$ айнымалысының бір ғана мәні сәйкес келгенде, $y$ айнымалысының $x$ айнымалысына тәуелділігі функция деп аталады.

Кейіпкерлеріміздің екі рөлі бар:

• $x$ — тәуелсіз айнымалы, немесе аргумент. Оны өзіміз таңдаймыз.
• $y$ — тәуелді айнымалы, немесе функцияның мәні. Ол $x$-тен шығады.

Жоғарыдағы мысалдарда баға мен жылдамдық — аргументтер, ал құн мен уақыт — функцияның мәндері.

⚠️ Жиі кететін қате. «Тәуелділік бар — демек, бұл функция». Олай емес! Функция әр $x$-ке бір ғана $y$ мәнін талап етеді. Егер қандай да бір $x$ үшін екі $y$ шықса — бұл функция емес.

Анықталу облысы және мәндер жиыны

Аргумент қабылдайтын барлық мәндер функцияның анықталу облысын құрайды. Оны $D$ әрпімен белгілейді. Функция қабылдайтын барлық мәндер — мәндер жиыны, оны $E$ әрпімен белгілейді.

Құн туралы мысалда: $D = {50; 100; 200}$, ал $E = {150; 300; 600}$.

Егер есепте қандай $x$ мәндеріне рұқсат екені айтылмаса, барлық мүмкін болатын мәндерді аламыз. Мысалы:

• $y = 30x$: кез келген санды көбейтуге болады, сондықтан $D = (-\infty; +\infty)$.
• $y = \frac{120}{x}$: нөлге бөлуге болмайды, демек, $x \ne 0$ және $D = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «$\frac{120}{x}$ өрнегіне қандай сандарды қоюға болмайды?» Егер ол «нөлді, өйткені нөлге бөлуге болмайды» деп жауап беріп, мұны өз сөзімен түсіндіре алса, тақырып түсінілген.

Өседі ме, кемиді ме

📌 Аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні (кіші мәніне — кіші мәні) сәйкес болса, функция өспелі. Аргументтің үлкен мәніне функцияның кіші мәні сәйкес болса, функция кемімелі.

Құн бағаға қарай өседі: баға жоғары — көбірек төлейміз. Уақыт жылдамдыққа қарай кемиді: жылдамдық жоғары — жолда аз уақыт өткіземіз. $s = 120$ км болғандағы уақыт графигіне қара:

Өспейтін де, кемімейтін де функциялар болады. Бір оқушы кітап оқыды делік: бірінші күні 15 бет, содан кейін төрт күннің үшінде оқымады, бесінші күні тағы 20 бет, ал алтыншы күні қалған 30 бетті оқыды. 1 күнде ол 15 бет оқыды, 2 күнде сол 15 бет, 3 күнде тағы сол 15 бет. Күннің саны өсіп жатыр, ал оқылған беттер саны өспейді — функция өспелі емес.

🌟 «Функция» сөзін XVII ғасырда неміс ғалымы Готфрид Вильгельм Лейбниц енгізді. Интеграл белгісін де, қазір сенің телефоның «ойлайтын» екілік санау жүйесін де сол ойлап тапқан.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бір шама бір мезгілде тәуелді де, тәуелсіз де бола ала ма? Мысал келтір. Иә, әртүрлі формулаларда. Шаршының $a$ қабырғасы $P = 4a$ формуласында аргумент (периметр одан тәуелді), ал $a = \frac{P}{4}$ формуласында рөлі басқа: онда $P$ — аргумент, ал $a$ қабырғасы одан тәуелді.
• «Құнның бағаға тәуелділігі» функциясының анықталу облысында теріс сан бола ала ма? Нөл ше? Аралас оң сан ба? Теріс сан бола алмайды: баға нөлден кем болмайды. Нөл — мектеп есебінде әдетте болмайды (тегін тауарды есептемейміз). Аралас оң сан — болады, мысалы, ұсақ бірліктерге аударғанда баға $12\frac{1}{2}$ теңге болуы мүмкін.
• Бір функция өзінің анықталу облысында бір мезгілде өспелі де, кемімелі де бола ала ма? Жоқ. $x$ өссе, $y$ не өседі, не кемиді, екеуі бірдей болмайды.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 18.1

Төмендегілер тәуелді айнымалы болса, тәуелсіз айнымалыны табыңдар: 1) шаршының периметрі; 2) шаршының ауданы; 3) қозғалыс жылдамдығы; 4) тауардың бағасы; 5) тіктөртбұрыштың периметрі; 6) тіктөртбұрыштың ауданы; 7) текшенің көлемі; 8) тікбұрышты параллелепипедтің көлемі.

Қалай ойлаймыз. Өзіңнен сұра: «Мұны есептеу үшін нені білу керек?» Сол — аргумент. Формулада екінші шама болса, оны тұрақты деп санаймыз.

Шешуі.

1. Шаршының периметрі $P = 4a$ — $a$ қабырғасынан тәуелді.
2. Шаршының ауданы $S = a^{2}$ — ол да $a$ қабырғасынан тәуелді.
3. Жылдамдық $v = \frac{s}{t}$ — жол бірдей болғанда $t$ уақытынан тәуелді.
4. Баға $m = \frac{C}{k}$ — мөлшер бірдей болғанда $C$ құнынан тәуелді.
5. Тіктөртбұрыштың периметрі $P = 2(a + b)$ — ені тұрақты болғанда $a$ ұзындығынан тәуелді.
6. Ауданы $S = ab$ — ені тұрақты болғанда $a$ ұзындығынан тәуелді.
7. Текшенің көлемі $V = a^{3}$ — қырынан $a$ тәуелді.
8. Параллелепипедтің көлемі $V = abc$ — табаны тұрақты болғанда $c$ биіктігінен тәуелді.

Жауабы: 1) қабырғасы; 2) қабырғасы; 3) уақыт; 4) құны (мөлшері бірдей болғанда); 5) қабырғасының ұзындығы; 6) қабырғасының ұзындығы; 7) қыры; 8) биіктігі (табаны өзгермегенде).

№ 18.2

Төмендегілер тәуелсіз айнымалы болса, тәуелді айнымалыны табыңдар: 1) сатып алынған тауардың мөлшері; 2) қозғалыс уақыты; 3) қозғалыс жылдамдығы; 4) шаршының периметрі.

Қалай ойлаймыз. Енді керісінше: осы шаманы өзгертсек, не өзгереді?

Шешуі.

1. Сатып алынған тауардың $k$ мөлшері баға тұрақты болғанда $C = km$ құнын анықтайды.
2. Қозғалыс уақыты $t$ жылдамдық тұрақты болғанда $s = vt$ жолын анықтайды.
3. Қозғалыс жылдамдығы $v$ уақыт тұрақты болғанда $s = vt$ жолын анықтайды.
4. $P$ периметрі шаршының қабырғасын анықтайды: $a = \frac{P}{4}$.

Жауабы: 1) құны; 2) жол; 3) жол; 4) шаршының қабырғасы.

№ 18.3

1) Еңбек өнімділігі мен белгілі бір уақытта орындалған жұмыс; 2) белгілі бір уақытта орындалған жұмыс пен еңбек өнімділігі; 3) $x$ айнымалысы мен оның модулі; 4) $x$ айнымалысының модулі мен $x$ айнымалысы арасындағы тәуелділік функция бола ма?

Қалай ойлаймыз. Басты ережені тексереміз: бірінші шаманың әр мәніне екінші шаманың дәл бір мәні сәйкес келуі керек. Жұптағы бірінші шама — аргумент.

Шешуі.

1. Жұмыс $A = pt$. Берілген $t$ уақытында әр $p$ өнімділігіне бір жұмыс сәйкес келеді. Иә.
2. Өнімділік $p = \frac{A}{t}$. Әр $A$ жұмысына (берілген уақытта) бір өнімділік сәйкес келеді. Иә.
3. $y = |x|$. Әр санның бір модулі бар. Иә.
4. Мұнда аргумент — модуль. $|x| = 2$ болсын, сонда $x = 2$ немесе $x = -2$: екі мән. Жоқ.

Жауабы: 1) иә; 2) иә; 3) иә; 4) жоқ.

B деңгейі

№ 18.4

Төмендегі тәуелділік функция болатынын дәлелдеңдер: 1) барлық қабырғалары тең бесбұрыш периметрінің қабырғаның ұзындығына; 2) жемісі бар бірдей бес жәшік массасының бір жәшікте салынған жемістің массасына; 3) 10 бірдей қарындаш құнының бір қарындаш құнына; 4) оқулықтар санының оқушылар санына тәуелділігі.

Қалай ойлаймыз. Мұндағы «дәлелде» — формуланы жазып, ол бойынша аргументтің әр мәніне бір сан шығатынын түсіндір дегенді білдіреді.

Шешуі.

1. Қабырғасы $a$, периметрі $P = 5a$. Әр $a$ үшін $5a$ көбейтіндісі жалғыз. Бұл — функция.
2. Бір жәшіктің массасы $m$, бесеуінің массасы $M = 5m$. Бір $m$-ге бір $M$ сәйкес келеді.
3. Бір қарындаштың құны $c$, онның құны $S = 10c$. Бір $c$-ға бір $S$ сәйкес келеді.
4. Егер әр оқушыда $k$ оқулықтан болса, $n$ оқушыда $N = kn$. Әр $n$-ге бір $N$ сәйкес келеді.

Жауабы: төртеуі де — функция: 1) $P = 5a$; 2) $M = 5m$; 3) $S = 10c$; 4) $N = kn$.

№ 18.5

1) Қабырғалары тең көпбұрыш периметрінің оның ұзындығына тәуелділік функциясының; 2) су күйінің температураға тәуелділік функциясының анықталу облысын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Өзіңнен сұра: өмірде аргументтің қандай мәндері болады?

Шешуі.

1. Периметр $P = na$, мұндағы $n$ — қабырғалар саны. Қабырғаның ұзындығы — оң сан, демек, $a > 0$, яғни $D = (0; +\infty)$.
2. Судың күйі (мұз, сұйық су немесе бу) $t$ температурасына тәуелді. Температура кез келген болуы мүмкін, бірақ абсолют нөлден төмен емес: $t \ge -273{,}15\ °\text{C}$.

Жауабы: 1) $D = (0; +\infty)$; 2) $-273{,}15\ °\text{C}$ және одан жоғары кез келген температура.

C деңгейі

Мұнда ең қиын тапсырмалар. Ойлануға тырысудың өзі — жарайсың.

№ 18.6

1) Шаршы қабырғасы ұзындығының оның ауданына тәуелділігін; 2) жұмысқа жіберілген уақыттың еңбек өнімділігіне тәуелділігін беретін функция өспелі бола ма, әлде кемімелі бола ма?

Қалай ойлаймыз. Аргументтің екі мәнін ойлап тап та, нәтижелерді салыстыр.

Шешуі.

1. $a = \sqrt{S}$. Ауданы 4 см² — қабырғасы 2 см, ауданы 9 см² — қабырғасы 3 см. Аудан үлкен болса, қабырға да үлкен. Өспелі.
2. $t = \frac{A}{p}$. Жұмыс 100 іс болсын: сағатына 10 іс өнімділікпен уақыт 10 сағат, сағатына 20 іспен — бар болғаны 5 сағат. Өнімділік жоғары болса, уақыт аз. Кемімелі.

Жауабы: 1) өспелі; 2) кемімелі.

№ 18.7

Шаршы қабырғасының ұзындығы $2\ \text{см} \le a \le 5\ \text{см}$ мәндерін қабылдайды. Шаршының: 1) $P$ периметрі; 2) $S$ ауданы қандай мәндерді қабылдайды?

Қалай ойлаймыз. $P = 4a$ және $S = a^{2}$ функциялары өспелі, сондықтан ең кіші $a$-ға ең кіші $P$ мен $S$, ең үлкеніне — ең үлкен мәндер сәйкес келеді.

Шешуі. $P$: $4 \cdot 2 = 8$-ден $4 \cdot 5 = 20$-ға дейін. $S$: $2^{2} = 4$-тен $5^{2} = 25$-ке дейін.

Жауабы: 1) $8\ \text{см} \le P \le 20\ \text{см}$; 2) $4\ \text{см}^{2} \le S \le 25\ \text{см}^{2}$.

№ 18.8

Егер: 1) $a \le 4$ см; 2) $a \ge 3$ см; 3) $a \le 2{,}5$ см; 4) $a \ge 17{,}5$ см; 5) $3\ \text{см} \le a \le 5$ см; 6) $1{,}25\ \text{см} \le a \le 1{,}75$ см болса, онда қабырғасы $a$ см шаршының периметрі туралы не айтуға болады?

Қалай ойлаймыз. Бәрі алдыңғы есептегідей: $P = 4a$, әр теңсіздікті 4-ке көбейтеміз. Қабырға әрдайым нөлден үлкен екенін ұмытпа.

Шешуі.

1. $a \le 4$ және $a > 0$: $0 < P \le 16$.
2. $a \ge 3$: $P \ge 12$.
3. $a \le 2{,}5$: $0 < P \le 10$.
4. $a \ge 17{,}5$: $P \ge 70$.
5. $3 \le a \le 5$: $12 \le P \le 20$.
6. $1{,}25 \le a \le 1{,}75$: $5 \le P \le 7$.

Жауабы: 1) $0 < P \le 16$ см; 2) $P \ge 12$ см; 3) $0 < P \le 10$ см; 4) $P \ge 70$ см; 5) $12 \le P \le 20$ см; 6) $5 \le P \le 7$ см.

Хабарлама дайындаңдар

№ 18.9

Функция ұғымы XVII ғасырда пайда болған. Функция терминін енгізген неміс математигі Готфрид Вильгельм Лейбниц жайлы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Тапсырма есептеуге емес, әңгімелеуге арналған. 5–7 сөйлем жеткілікті: ол кім, қашан өмір сүрген, немен танымал, функцияларға қандай қатысы бар.

Шешуі. Хабарламаның үлгісі.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) Германияның Лейпциг қаласында дүниеге келген. Ол математик қана емес, философ, заңгер және өнертапқыш та болған. «Функция» сөзін XVII ғасырдың соңында қисық сызықтың нүктесіне байланысты шамалар үшін қолдана бастаған. Сонымен қатар Лейбниц ағылшын ғалымы Ньютоннан тәуелсіз математикалық анализді жасады, ал оның енгізген $dx$ және $\int$ белгілері күні бүгінге дейін қолданылады. Ол компьютерлер жұмыс істейтін екілік санау жүйесін сипаттады және көбейтіп, бөле алатын алғашқы машиналардың бірін жасады.

Жауабы: хабарлама дайын, үлгісі жоғарыда; өз деректеріңді энциклопедиядан тексер.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 18.10

Автомобиль, мотоцикл, пойыз және моторлы қайық жолда 2 сағат болды. Егер олардың жылдамдықтары сәйкесінше 80 км/сағ, 30 км/сағ, 65 км/сағ, 12 км/сағ болса, онда әрқайсысының жүрген жолын табыңдар. Жүрілген жол ұзындығының (арақашықтықтың) қозғалыс жылдамдығына тәуелділігін беретін формуланы жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жол жылдамдықты уақытқа көбейткенге тең. Уақыт бәріне бірдей — 2 сағат.

Шешуі.

1. Автомобиль: $80 \cdot 2 = 160$ км.
2. Мотоцикл: $30 \cdot 2 = 60$ км.
3. Пойыз: $65 \cdot 2 = 130$ км.
4. Қайық: $12 \cdot 2 = 24$ км.
5. Формула: $s = 2v$.

Жауабы: 160 км, 60 км, 130 км, 24 км; $s = 2v$.

№ 18.11

$P = 4a$ формуласын қолданып, 1) $a = 2{,}5$; $15$; $\frac{1}{8}$ болғанда $P$-ның мәнін; 2) $P = 8$; $1{,}6$; $\frac{1}{4}$ болғанда $a$-ның мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1) тармақта $a$-ны қойып, 4-ке көбейтеміз. 2) тармақта керісінше: $a = \frac{P}{4}$.

Шешуі.

1. $P = 4 \cdot 2{,}5 = 10$; $P = 4 \cdot 15 = 60$; $P = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$.
2. $a = 8 : 4 = 2$; $a = 1{,}6 : 4 = 0{,}4$; $a = \frac{1}{4} : 4 = \frac{1}{16}$.

Жауабы: 1) $10$; $60$; $\frac{1}{2}$; 2) $2$; $0{,}4$; $\frac{1}{16}$.

№ 18.12

$y = 3x - 9$ формуласын қолданып, 1) $y = 0$ болғанда $x$-тің; 2) $x = 0$ болғанда $y$-тің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1) тармақта $y = 0$ қойып, теңдеуді шешеміз. 2) тармақта $x = 0$ қойып, есептейміз.

Шешуі.

1. $3x - 9 = 0$, демек, $3x = 9$, $x = 3$.
2. $y = 3 \cdot 0 - 9 = -9$.

Жауабы: 1) $x = 3$; 2) $y = -9$.

Жадынама

• $\frac{a}{x}$ түріндегі формуладан $x = 0$ мәнін алып тастаймыз.
• $y = 30x$ үшін анықталу облысы — барлық сандар, $(-\infty; +\infty)$.
• Егер бір $x$ үшін екі $y$ шықса, функция жоқ.

Шағын тест