§ 19. Функцияны формула арқылы беру

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 120–124-беттер.

Нені үйренесің

• «Функцияны беру» дегеннің не екенін түсінуді және оны берудің үш тәсілін білуді.
• Формула бойынша берілген $x$-ке сәйкес функцияның мәнін, керісінше, берілген $y$ бойынша $x$-ті табуды.
• Функцияның анықталу облысын формула бойынша табуды.
• Графиктің $Ox$ осін қай жерде қиятынын және қандай $x$ үшін функцияның мәндері оң немесе теріс болатынын табуды.
• Есептің шартына қарап тәуелділікті формуламен жазуды.

Ой қозғау

• Функция дегеніміз не? Әр $x$ мәніне бір ғана $y$ мәні сәйкес келетін тәуелділік.
• $x$ пен $y$ қалай аталады? $x$ — аргумент (тәуелсіз айнымалы), $y$ — функцияның мәні.
• $3 \cdot 5 - 5$ неге тең? $15 - 5 = 10$.
• $2x = 8$ теңдеуін шеш. $x = 8 : 2 = 4$.

Тақырыпты талдаймыз

«Функцияны беру» дегеніміз не

📌 Функцияны беру — берілген аргументтің мәндеріне сәйкес функцияның мәндерін табуды көрсету.

Тәсілдері бірнешеу. Біріншісі — формула, оны аналитикалық тәсіл дейді. Қалғандары (кесте және график) келесі параграфтарда болады.

Автобус 2 сағат жүріп келеді делік. Жылдамдығы $x$ км/сағ болса, жүрген жолы $y = 2x$. Әр $x$-ке бір ғана $y$ шығады, демек, формула шынымен де функцияны береді.

«Бері» және «кері» есептейміз

$x$-тен $y$-ке. $x$ орнына санды қоямыз. $x = 40; 45; 50; 60$ болғанда $y = 80; 90; 100; 120$ км шығады.

$y$-тен $x$-ке. $y$ орнына санды қойып, теңдеуді шешеміз. Егер жол 86 км болса, $2x = 86$ және $x = 43$ км/сағ.

⚠️ Жиі кететін қате. Кез келген формула функцияны бермейді. Мысалы, $|y| = x$. $x = 2$ болғанда $y = 2$ де, $y = -2$ де келеді. Бір $x$-ке екі $y$ — бұл енді функция емес.

Функция өседі ме, кемиді ме

Формула функцияның өспелі екенін тексеруге көмектеседі. $y = 3x - 5$ функциясының өспелі екенін дәлелдейік. $x_1 > x_2$ болатын екі мәнді алып, $y_1$ мен $y_2$-ні салыстырамыз:

График $Ox$ осін қай жерде қияды

$Ox$ осіндегі барлық нүктелердің ординатасы $y = 0$. Демек, $y = 0$ қойып, теңдеуді шешу керек.

$y = 3x - 5$ үшін: $3x - 5 = 0$, $3x = 5$, $x = 1\frac{2}{3}$. График осьті $\left(1\frac{2}{3}; 0\right)$ нүктесінде қиып өтеді.

Мәндер қашан оң, қашан теріс болады

$y = 3x - 5$ функциясы қандай $x$ үшін теріс болатынын білгіміз келеді. $3x - 5 < 0$ теңсіздігін жазамыз, сонда $3x < 5$ және $x < 1\frac{2}{3}$. Жауабы: $x \in \left(-\infty; 1\frac{2}{3}\right)$.

💡 $y = 3x - 5$ үшін $x = 1\frac{2}{3}$ нүктесі — «шекара». Одан солда функция теріс, оңда — оң. Бұл жоғарыдағы графиктен де көрінеді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $Ox$ осімен қиылысуын іздегенде формулаға $y$ орнына неге 0 қоятынын өз сөзімен түсіндіруді сұраңыз. Дұрыс жауап: $Ox$ осінде биіктік (ордината) әрдайым нөлге тең.

🌟 «Формула» сөзі саған баяғыдан таныс: $S = ab$, $P = 4a$, $s = vt$. Олардың бәрі функцияны береді, тек қай айнымалыны аргумент деп алатынымызды шешу керек.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Неліктен функцияны формула арқылы беруге болады? Формула $x$ бойынша $y$-ті қалай табуды көрсетеді. Санды қойдың — жалғыз мән алдың.
• Қандай уақытта формула функцияны береді? Аргументтің әрбір мүмкін мәніне формула $y$-тің бір ғана мәнін берсе.
• Қандай кезде формула функцияны бермейді? Қандай да бір $x$ үшін $y$-тің екі немесе одан да көп мәні шықса. Мысалы, $|y| = x$ формуласы $x = 2$ болғанда $y = 2$ және $y = -2$ береді.
• Формула бойынша анықталу облысын қалай табады? Қоюға болатын барлық сандарды жазады. Бөлшегі бар формуладан бөлімі нөлге айналатын $x$ мәндерін алып тастайды.
• Функцияның берілген мәні бойынша аргументтің мәнін қалай табады? Осы мәнді формулаға $y$ орнына қойып, $x$-ке қатысты теңдеуді шешеді.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 19.1

Функцияның анықталу облысын табыңдар: 1) $y = \frac{1}{3}x$; 2) $y = \frac{x}{2} + 5$; 3) $y = \frac{3}{x + 2}$; 4) $y = \frac{x(x - 2)}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Қоюға болмайтын сандарды іздейміз. Тыйым салынған тек біреу: нөлге бөлу. Тек санға бөлсек, тыйым жоқ.

Шешуі.

1. $\frac{1}{3}$-ге көбейту кез келген $x$ үшін мүмкін.
2. 2-ге бөлу және 5-ті қосу да кез келген $x$ үшін мүмкін.
3. $x + 2$-ге бөлеміз: ол нөл болмауы керек, сондықтан $x \ne -2$.
4. 2 санына бөлеміз, ал $x(x - 2)$ өрнегін кез келген $x$ үшін есептеуге болады.

Жауабы: 1) $(-\infty; +\infty)$; 2) $(-\infty; +\infty)$; 3) $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$; 4) $(-\infty; +\infty)$.

№ 19.2

1) $x = 1782$; $1101$; $\frac{2}{3}$; $0{,}3$ болса, онда $y = \frac{1}{3}x + 8$; 2) $x = 40$; $100$; $\frac{1}{2}$; $8$ болса, онда $y = \frac{1}{8} + 25%,x$ функциясының мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр $x$-ті қойып, амалдар ретімен есептейміз. $25% = 0{,}25 = \frac{1}{4}$, сондықтан екінші тармақта $y = \frac{1}{8} + \frac{x}{4}$.

Шешуі.

1. $x = 1782$: $594 + 8 = 602$. $x = 1101$: $367 + 8 = 375$. $x = \frac{2}{3}$: $\frac{2}{9} + 8 = 8\frac{2}{9}$. $x = 0{,}3$: $0{,}1 + 8 = 8{,}1$.
2. $x = 40$: $\frac{1}{8} + 10 = 10\frac{1}{8}$. $x = 100$: $\frac{1}{8} + 25 = 25\frac{1}{8}$. $x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$. $x = 8$: $\frac{1}{8} + 2 = 2\frac{1}{8}$.

Жауабы: 1) $602$; $375$; $8\frac{2}{9}$; $8{,}1$; 2) $10\frac{1}{8}$; $25\frac{1}{8}$; $\frac{1}{4}$; $2\frac{1}{8}$.

№ 19.3

1) $y = \frac{1}{3}$; $0{,}3$; $8$; $30$ болса, онда $y = \frac{1}{3}x + 8$; 2) $y = \frac{1}{4}$; $0{,}5$; $10$ болса, онда $y = \frac{1}{8} + 25%,x$ функциясы үшін $x$ аргументінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Енді $y$ белгілі, $x$-ті табу керек: $y$-ті қойып, теңдеуді шешеміз.

Шешуі.

1. $\frac{x}{3} + 8 = y$, демек, $x = 3(y - 8)$.
   • $y = \frac{1}{3}$: $x = 3\left(\frac{1}{3} - 8\right) = 1 - 24 = -23$.
   • $y = 0{,}3$: $x = 3 \cdot (-7{,}7) = -23{,}1$.
   • $y = 8$: $x = 0$.
   • $y = 30$: $x = 3 \cdot 22 = 66$.
2. $\frac{1}{8} + \frac{x}{4} = y$, демек, $x = 4\left(y - \frac{1}{8}\right) = 4y - \frac{1}{2}$.
   • $y = \frac{1}{4}$: $x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
   • $y = 0{,}5$: $x = 2 - 0{,}5 = 1{,}5$.
   • $y = 10$: $x = 40 - 0{,}5 = 39{,}5$.

Жауабы: 1) $-23$; $-23{,}1$; $0$; $66$; 2) $\frac{1}{2}$; $1{,}5$; $39{,}5$.

№ 19.4

$x$-тің қандай мәнінде функцияның мәні нөлге тең: 1) $y = 3x + 8$; 2) $y = 5x + 1$; 3) $y = -12x + 18$; 4) $y = 4x - 8$; 5) $y = -2x - 8$; 6) $y = -10x + 2$?

Қалай ойлаймыз. Бұл — график $Ox$ осін қиятын нүктелер. Формуланы нөлге теңестіріп, теңдеуді шешеміз.

Шешуі.

1. $3x + 8 = 0$, $x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$.
2. $5x + 1 = 0$, $x = -\frac{1}{5} = -0{,}2$.
3. $-12x + 18 = 0$, $12x = 18$, $x = 1{,}5$.
4. $4x - 8 = 0$, $x = 2$.
5. $-2x - 8 = 0$, $-2x = 8$, $x = -4$.
6. $-10x + 2 = 0$, $10x = 2$, $x = 0{,}2$.

Жауабы: 1) $-2\frac{2}{3}$; 2) $-0{,}2$; 3) $1{,}5$; 4) $2$; 5) $-4$; 6) $0{,}2$. 4)–6) жауаптар оқулықтағы жауаптармен сәйкес келеді.

№ 19.5

1) Бригада бір күнде $x$ кг сәбіз жинайды. Егер ол бірдей өнімділікпен жұмыс жасайтын болса, онда 5 күнде жиналған сәбіз массасын есептеу формуласын жазыңдар. 2) Бір автомобильге арналған тұрақ орнын жалға беру күніне $c$ теңгені құрайды. Егер күн сайын автотұраққа 25 автомобиль қойылатын болса, онда 6 күнде автотұрақты жалға берудің жалпы құнын табу формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қадам-қадаммен талдаймыз: күніне қанша болса, оны күн санына көбейтеміз.

Шешуі.

1. Бір күнде $x$ кг, 5 күнде $m = 5x$ кг.
2. Бір күнде 25 автомобильге: $25c$ теңге. 6 күнде $S = 6 \cdot 25c = 150c$ теңге.

Жауабы: 1) $m = 5x$; 2) $S = 150c$.

B деңгейі

№ 19.6

$x$-тің қандай мәнінде функцияның мәні оң болады: 1) $y = 0{,}1x + 10$; 2) $y = -0{,}1x + 10$; 3) $y = -0{,}1x - 10$; 4) $y = 0{,}1x - 10$?

Қалай ойлаймыз. $y > 0$ теңсіздігін жазып, шешеміз. Есіңде болсын: теріс санға бөлгенде теңсіздік таңбасы қарама-қарсыға ауысады.

Шешуі.

1. $0{,}1x + 10 > 0$, $0{,}1x > -10$, $x > -100$.
2. $-0{,}1x + 10 > 0$, $-0{,}1x > -10$, $-0{,}1$-ге бөлеміз: $x < 100$.
3. $-0{,}1x - 10 > 0$, $-0{,}1x > 10$, $x < -100$.
4. $0{,}1x - 10 > 0$, $0{,}1x > 10$, $x > 100$.

Жауабы: 1) $(-100; +\infty)$; 2) $(-\infty; 100)$; 3) $(-\infty; -100)$; 4) $(100; +\infty)$.

№ 19.7

$x$-тің қандай мәнінде функцияның мәні теріс болады: 1) $y = 100x + 4$; 2) $y = 4x + 100$; 3) $y = -2x - 8$; 4) $y = 2x + 8$?

Қалай ойлаймыз. Дәл сондай, тек енді $y < 0$ шешеміз.

Шешуі.

1. $100x + 4 < 0$, $x < -\frac{4}{100} = -0{,}04$.
2. $4x + 100 < 0$, $4x < -100$, $x < -25$.
3. $-2x - 8 < 0$, $-2x < 8$, $-2$-ге бөліп, таңбаны өзгертеміз: $x > -4$.
4. $2x + 8 < 0$, $2x < -8$, $x < -4$.

Жауабы: 1) $(-\infty; -0{,}04)$; 2) $(-\infty; -25)$; 3) $(-4; +\infty)$; 4) $(-\infty; -4)$. 2) және 3) жауаптар оқулықтағы жауаптармен сәйкес келеді.

№ 19.8

Дүкенде сатып алынған әрбір тауарға 10% жеңілдік бар. Сатып алушы 5 дана тауар сатып алды, әр тауардың бастапқы бағасы $x$ тг. Жеңілдікті ескере отырып, сатып алынған тауарлардың құнын табу формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 10% жеңілдік — біз 90%-ын төлейміз. Демек, бір дананың бағасы $0{,}9x$.

Шешуі.

1. Жеңілдікпен баға: $x - 0{,}1x = 0{,}9x$.
2. 5 дана үшін: $S = 5 \cdot 0{,}9x = 4{,}5x$.

Мысалы, егер $x = 1000$ теңге болса, 5000 теңгенің орнына $S = 4500$ теңге болады.

Жауабы: $S = 4{,}5x$ теңге.

C деңгейі

Бұл — ең қиын тапсырмалар. Егер бірден шықпаса, қорықпа: ең бастысы — сен тырысып жатырсың.

№ 19.9

$x$ аргументінің қандай мәндерінде функцияның мәні теріс емес болады: 1) $y = -3{,}5x + 4\frac{2}{3}$; 2) $y = \frac{5}{9}x - 14\frac{7}{18}$; 3) $y = -\frac{7}{8}x + 4\frac{4}{7}$; 4) $y = -1\frac{2}{3}x - 12{,}5$?

Қалай ойлаймыз. «Теріс емес» дегеніміз $y \ge 0$ (нөл де келеді), сондықтан аралықтардың ұштарын қосамыз (жақшалар шаршы). Теріс санға бөлгенде таңбаны ауыстырамыз.

Шешуі.

1. $-3{,}5x + \frac{14}{3} \ge 0$, $3{,}5x \le \frac{14}{3}$, $x \le \frac{14}{3} : \frac{7}{2} = \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
2. Жоғарыда талданды: $x \ge 25{,}9$.
3. $-\frac{7}{8}x + \frac{32}{7} \ge 0$, $\frac{7}{8}x \le \frac{32}{7}$, $x \le \frac{32}{7} \cdot \frac{8}{7} = \frac{256}{49} = 5\frac{11}{49}$.
4. $-\frac{5}{3}x - 12{,}5 \ge 0$, $-\frac{5}{3}x \ge 12{,}5$, $-\frac{5}{3}$-ке бөліп, таңбаны өзгертеміз: $x \le -12{,}5 \cdot \frac{3}{5} = -7{,}5$.

Жауабы: 1) $\left(-\infty; 1\frac{1}{3}\right]$; 2) $[25{,}9; +\infty)$; 3) $\left(-\infty; 5\frac{11}{49}\right]$; 4) $(-\infty; -7{,}5]$.

№ 19.10

1) Бригада күніне $a$ км жол төсейді. Ауа райына байланысты еңбек өнімділігі төмендейді, сондықтан мұндай күндері бригада $c$ км жол төсейді. 11 күннің $x$ күнінде ауа райы қолайсыз болса, онда осы 11 күнде салынған жолдың жалпы ұзындығын табу формуласын жазыңдар; 2) алғашқы 4 күнде бригада $a$ кг егін жинаған. Техника жетілдірілгеннен кейін келесі $x$ күнде бригаданың еңбек өнімділігі күн сайын 10 кг-ға артты. Бригаданың барлық күнде қанша килограмм егін жинағанын табу формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектеп санаймыз: әр түрлі күн қанша, әрқайсысында қанша.

Шешуі.

1. Жақсы күндер $11 - x$, олар $a(11 - x)$ км береді. Жаман күндер $x$, олар $cx$ км береді. Барлығы $S = a(11 - x) + cx$.
2. Алғашқы 4 күн: $4a$ кг. Одан кейін $x$ күн күніне $(a + 10)$ кг: $x(a + 10)$ кг. Барлығы $S = 4a + x(a + 10)$.

Жауабы: 1) $S = a(11 - x) + cx$ км; 2) $S = 4a + x(a + 10)$ кг.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 19.11

Егер $y = 2{,}2x$ болса, онда мына 19.1-кестені толтырыңдар. Кестедегі $x$: $5$; $-3$; $27$; $-1\frac{1}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Әр $x$-ті 2,2-ге көбейтеміз. Аралас сан $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$.

Шешуі.

1. $x = 5$: $y = 11$.
2. $x = -3$: $y = -6{,}6$.
3. $x = 27$: $y = 59{,}4$.
4. $x = -1\frac{1}{3}$: $y = -\frac{4}{3} \cdot \frac{11}{5} = -\frac{44}{15} = -2\frac{14}{15}$.

Жауабы: $11$; $-6{,}6$; $59{,}4$; $-2\frac{14}{15}$.

№ 19.12

19.2-кестені $y = 3x - 2$ функциясы үшін толтырыңдар. Берілгені: $y = 4$; $x = \frac{1}{3}$; $x = 1\frac{1}{6}$; $y = 2{,}5$; $y = -5$ (әр бағанда бір сан белгілі, екіншісін табу керек).

Қалай ойлаймыз. $x$ белгілі жерде $y = 3x - 2$ есептейміз. $y$ белгілі жерде $3x - 2 = y$ теңдеуін шешеміз, яғни $x = \frac{y + 2}{3}$.

Шешуі.

1. $y = 4$: $x = \frac{4 + 2}{3} = 2$.
2. $x = \frac{1}{3}$: $y = 1 - 2 = -1$.
3. $x = 1\frac{1}{6}$: $y = 3 \cdot \frac{7}{6} - 2 = 3{,}5 - 2 = 1{,}5$.
4. $y = 2{,}5$: $x = \frac{4{,}5}{3} = 1{,}5$.
5. $y = -5$: $x = \frac{-3}{3} = -1$.

Жауабы: $x = 2$; $y = -1$; $y = 1{,}5$; $x = 1{,}5$; $x = -1$.

Жадынама

• Бөлшектен бөлімі 0 болатын $x$ мәндерін алып тастаймыз.
• Функцияның өспелі екенін дәлелдеу үшін $x_1 > x_2$ аламыз да, $y_1 - y_2 > 0$ екенін көрсетеміз.
• 10% жеңілдік — 0,9 көбейткіші.

Шағын тест