§ 20. Функцияны кестемен беру тәсілі

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 124–128-беттер.

Нені үйренесің

• Функцияның кестемен қалай берілетінін түсінуді: жоғарғы жолда $x$ мәндері, төменгі жолда $y$ мәндері.
• Кестенің функцияны беретін-бермейтінін тексеруді.
• Кесте бойынша анықталу облысын табуды.
• Кесте бойынша функцияның өспелі немесе кемімелі екенін анықтауды.
• Мәндер кестесі бойынша функцияның формуласын жазуды.

Ой қозғау

• Тәуелді айнымалы қалай аталады? Функцияның мәні, әдетте $y$.
• Тәуелсіз айнымалы қалай аталады? Аргумент, әдетте $x$.
• Функцияны формуламен қалай беруге болады? $x$ арқылы $y$-ті қалай табуды жазамыз, мысалы $y = 2x$.
• $y = 2x$ функциясында $x = 15$ болғанда $y$ неге тең? $2 \cdot 15 = 30$.

Тақырыпты талдаймыз

Екі қабатты кесте

Функцияны кестемен беруге болады. Ереже қарапайым: жоғарғы жолға аргументтің $x$ мәндерін, төменгі жолға функцияның сәйкес $y$ мәндерін жазамыз.

Кестені екі жолмен оқуға болады:

• Алға қарай. Аргументтің 30-ға тең мәніне функцияның 60-қа тең мәні сәйкес.
• Кері қарай. Функцияның 36-ға тең мәніне аргументтің 18-ге тең мәні сәйкес.

Анықталу облысы — жоғарғы жол

Жоғарғы жолдағы $x$-тің барлық мәні функцияның анықталу облысын құрайды. Жоғарыдағы кесте үшін: $D = {15; 18; 20; 21; 30; 40}$. Мұнда бұл аралық емес, жай ғана сандар жиыны, өйткені кестеде аргументтің басқа мәні жоқ.

Өсе ме, кемиді ме

$x$ мәндерін ретімен (өсу ретімен) орналастырып, $y$ не істейтініне қара.

• $y$ да өссе, функция өспелі.
• $y$ кемісе, функция кемімелі.
• Егер $y$ кейде өсіп, кейде кемісе, функция өспелі де, кемімелі де емес.

Біздің кестеде $x$ өседі: 15, 18, 20, 21, 30, 40 — және $y$ да өседі: 30, 36, 40, 42, 60, 80. Функция өспелі.

💡 Егер кестедегі $x$ мәндері ретімен жазылмаса, қорқатын ештеңе жоқ. Бағандарды ойша $x$ өсу ретімен тұратындай етіп ауыстырып ал.

Кез келген кесте функция бермейді

⚠️ Жиі кететін қате. «Кесте бар, демек функция» деп ойлау. Олай емес! Егер жоғарғы жолда бір $x$ екі рет кездесіп, оның астында әртүрлі $y$ тұрса, функция жоқ.

Мұнда $x = 1$ мәніне $y = 4$ те, $y = 5$ те сәйкес келеді. «Бір $x$-ке — бір $y$» ережесі бұзылған.

Ал бір $x$ екі рет кездесіп, астында бір $y$ тұрса, ештеңе бұзылмайды: бұл жай қайталану.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балаңызға өмірден кесте құрастыруды ұсыныңыз: «1, 2, 3 келі алма неше теңге тұрады». Содан кейін әр салмаққа бір баға сәйкес келетінін бірге тексеріңіз.

🌟 Функциялардың кестесін адамдар компьютер шықпай тұрып мыңдаған жыл бұрын жасаған: ежелгі астрономдар жұлдыздардың әр күндегі орнын жазып, тұтылудың қашан болатынын кесте бойынша алдын ала біліп отырған.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Функцияны кестемен қалай беруге болады? Жоғарғы жолға $x$ мәндерін, төменгі жолға сәйкес $y$ мәндерін жазады. Бұл ретте бір $x$-ке бір $y$ сәйкес болуы керек.
• Кесте бойынша анықталу облысын қалай табады? Жоғарғы жолдағы барлық сандарды жазып шығады.
• Кесте бойынша функцияның өспелі екенін білуге бола ма? Иә. $x$-ті өсу ретімен орналастырып, $y$-ке қарайды: өссе — өспелі, кемісе — кемімелі, әйтпесе — екеуі де емес.
• Кестенің функцияны беретінін қалай анықтайды? Жоғарғы жолда бірдей $x$-тің астында әртүрлі $y$ жоқ екенін қарайды.
• Кестеде $x$-ті міндетті түрде өсу немесе кему ретімен жазу керек пе? Жоқ, реті кез келген болады. Бірақ өсу-кемуді тексеру үшін мәндерді ретімен орналастырған ыңғайлы.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 20.1

20.3-кесте функция бола ма? Жоғарғы жол — $x$, төменгі жол — $y$. 1) $x$: $1; 2; 3$, $y$: $0{,}5; 1; 1{,}5$. 2) $x$: $-1; -2; 1; 2$, $y$: $1; 2; 1; 2$. 3) $x$: $1; 2; 1$, $y$: $-1; -2; 1$. 4) $x$: $4; 2; 1$, $y$: $0; 0; 0$.

Қалай ойлаймыз. Жоғарғы жолдан бірдей сандарды іздейміз. Олар бар болса, астындағы $y$-терге қараймыз: олар бірдей болуы керек.

Шешуі.

1. $x$ мәндері — 1, 2, 3, бәрі әртүрлі. Бұл функция ($y = 0{,}5x$).
2. $x$ мәндері — $-1; -2; 1; 2$, бәрі әртүрлі. Функция болады. Мұнда $-1$ мен $1$ үшін $y = 1$, ал $-2$ мен $2$ үшін $y = 2$; бұл бөгет емес, себебі тек $x$-тің қайталанбауы маңызды.
3. $x = 1$ екі рет кездеседі: оның астында $y = -1$ және $y = 1$. Мәндері әртүрлі. Функция емес.
4. $x$ мәндері — 4, 2, 1, бәрі әртүрлі. Функция (тұрақты, әрдайым $y = 0$).

Жауабы: 1) иә; 2) иә; 3) жоқ; 4) иә.

№ 20.2

20.4-кестемен берілген $y$ функциясының анықталу облысын табыңдар: 1) $x$: $1; 2; 3; 4$, $y$: $1; 4; 9; 16$; 2) $x$: $1; 2; 4; 9$, $y$: $-1; 0; 2; 7$.

Қалай ойлаймыз. Анықталу облысы — жоғарғы жолдағы барлық сандар.

Шешуі.

1. Жоғарғы жол: $1; 2; 3; 4$.
2. Жоғарғы жол: $1; 2; 4; 9$.

Жауабы: 1) $D = {1; 2; 3; 4}$; 2) $D = {1; 2; 4; 9}$.

№ 20.3

20.5-кестемен берілген функция өспелі ме, әлде кемімелі ме? 1) $x$: $7; 8; 9; 12$, $y$: $1; 2; 3; 4$. 2) $x$: $44; 30; 15; 6$, $y$: $40; 20; 10; 1$. 3) $x$: $10; 20; 30; 40$, $y$: $5; 15; 10; 20$. 4) $x$: $11; 12; 13; 14$, $y$: $15; 14; 13; 12$.

Қалай ойлаймыз. $x$-ті өсу ретімен орналастырып, $y$-тің қайда бағытталатынын қараймыз. Кестедегі $x$ реті басқа болса, алдымен бағандарды ауыстыр.

Шешуі.

1. $x$ өседі: 7, 8, 9, 12, $y$ өседі: 1, 2, 3, 4. Өспелі.
2. Жоғарыда талданды: өспелі.
3. $x$ өседі: 10, 20, 30, 40, ал $y$: 5, 15, 10, 20 — алдымен өседі, сосын кемиді, сосын тағы өседі. Өспелі де, кемімелі де емес.
4. $x$ өседі: 11, 12, 13, 14, ал $y$ кемиді: 15, 14, 13, 12. Кемімелі.

Жауабы: 1) өспелі; 2) өспелі; 3) өспелі де, кемімелі де емес; 4) кемімелі.

№ 20.4

20.6-кестемен берілген функцияны формула арқылы жазыңдар. 1) $x$: $1; 2; 3; 4$, $y$: $3; 6; 9; 12$. 2) $y$: $4; 7; 10; 13$. 3) $y$: $2; 5; 8; 11$. 4) $y$: $-3; -6; -9; -12$. Функцияның анықталу облысы қандай сандардан тұрады? Функциялардың қайсысы өспелі, қайсысы кемімелі?

Қалай ойлаймыз. $x$ 1-ге артқанда $y$ қанша өзгеретінін қараймыз. Бұл — $x$ көбейтілетін сан. Сосын бірінші бағанды тексеріп, керек санды қосамыз.

Шешуі.

1. $y$ 3-ке өседі: $3 \cdot 1 = 3$ ✓. Формула $y = 3x$.
2. Қадам 3, $x = 1$ болғанда 4 керек: $3 \cdot 1 + 1 = 4$. Формула $y = 3x + 1$. Тексеру: $x = 4$ болғанда 13 ✓.
3. Қадам 3, $x = 1$ болғанда 2 керек: $3 \cdot 1 - 1 = 2$. Формула $y = 3x - 1$. Тексеру: $x = 4$ болғанда 11 ✓.
4. Қадам $-3$: $y = -3x$. Тексеру: $x = 4$ болғанда $-12$ ✓.

Барлығының анықталу облысы: ${1; 2; 3; 4}$. 1), 2), 3) функцияларда $y$ $x$-пен бірге өседі — өспелі. 4) функцияда $y$ кемиді — кемімелі.

Жауабы: 1) $y = 3x$; 2) $y = 3x + 1$; 3) $y = 3x - 1$; 4) $y = -3x$; $D = {1; 2; 3; 4}$; өспелі — 1), 2), 3); кемімелі — 4).

B деңгейі

№ 20.5

1) Жүргізуші өз көлігінің жанармай шығынын жазады. Ол жанармай шығыны жүріп өткен арақашықтыққа тәуелді екенін біледі. 20.7-кестеде жанармай шығыны көрсетілген: арақашықтық (км) 50; 100; 150; 200, шығын (л) 5; 10; 15; 20. Жанармай шығынының жүріп өткен арақашықтыққа тәуелділігін сипаттайтын функцияның формуласын жазыңдар. 2) Жұмысшы толық емес жұмыс күнімен жұмыс істейді және күн сайын белгіленген мөлшерде жалақы табады. 20.8-кестеде жұмысшының бірнеше күнде алған жалақысы көрсетілген: күндер 1; 2; 3; 4, жалақы (тг) 600; 1200; 1800; 2400. Жалақының жұмыс күндерінің санына тәуелділігін сипаттайтын функцияның формуласын жазыңдар. 3) Зерттеу көрсеткендей, өсімдіктер сіңіретін көмірқышқыл газының мөлшері олардың отырғызу алаңына байланысты (20.9-кесте): аудан (м²) 10; 20; 30; 40, газ мөлшері (кг) 2; 4; 6; 8. Өсімдіктер сіңірілген көмірқышқыл газының отырғызу алаңына тәуелділігін сипаттайтын функцияның формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Аргументтің бір бірлігіне — 1 км-ге, 1 күнге, 1 м²-ге — қанша келетінін табамыз. Сол санды $x$-ке көбейтеміз.

Шешуі.

1. $5 : 50 = 0{,}1$ л 1 км-ге. Тексеру: $100 \cdot 0{,}1 = 10$ ✓. Формула $y = 0{,}1x$.
2. Күніне $600$ тг. Тексеру: $3 \cdot 600 = 1800$ ✓. Формула $y = 600x$.
3. $2 : 10 = 0{,}2$ кг 1 м²-ге. Тексеру: $40 \cdot 0{,}2 = 8$ ✓. Формула $y = 0{,}2x$.

Жауабы: 1) $y = 0{,}1x$; 2) $y = 600x$; 3) $y = 0{,}2x$.

№ 20.6

20.10-кесте бойынша функцияның формуласын жазыңдар және функцияның өспелі немесе кемімелі болатынын анықтаңдар. 1) $x$: $-7; -6; -5; -4; -3; -2; -1$, $y$: $49; 36; 25; 16; 9; 4; 1$. 2) $x$: $-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3$, $y$: $-27; -8; -1; 0; 1; 8; 27$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші бағандағы $x$ пен $y$ арасындағы байланысты іздейміз, сосын қалғандарын тексереміз. 49, 36, 25 сандары — квадраттар; 27, 8, 1 сандары — кубтар.

Шешуі.

1. $49 = 7^{2} = (-7)^{2}$, $36 = (-6)^{2}$, … $1 = (-1)^{2}$. Формула $y = x^{2}$. $x$ $-7$-ден $-1$-ге дейін өскенде $y$ мәндері кемиді: 49, 36, …, 1. Кемімелі.
2. $(-3)^{3} = -27$, $(-2)^{3} = -8$, $0^{3} = 0$, $3^{3} = 27$. Формула $y = x^{3}$. $x$ өскенде $y$ да өседі. Өспелі.

Жауабы: 1) $y = x^{2}$, кемімелі; 2) $y = x^{3}$, өспелі.

C деңгейі

Мұнда ең қиын тапсырмалар. Тырысып көрудің өзі мақтауға тұрарлық!

№ 20.7

Егер $y = x^{2}$ функциясының анықталу облысы: 1) $-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3$; 2) $-30; -20; -10; 0; 10; 20; 30$; 3) $-8; -7; -6; -5; -4$; 4) $-0{,}3; -0{,}2; -0{,}1; 0; 0{,}1; 0{,}2; 0{,}3$; 5) $-\frac{1}{100}; -\frac{1}{10}; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}$; 6) $-\frac{1}{5}; -\frac{1}{4}; -\frac{1}{3}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}$ сандары болса, онда функцияны кесте арқылы беріңдер.

Қалай ойлаймыз. Әр $x$-ті жай ғана квадраттаймыз. Минус жоғалады: $(-3)^{2} = 9$, ал $-9$ емес.

Шешуі.

Жауабы: кестелер жоғарыда. Назар аудар: $x$ және $-x$ сандары бірдей $y$ береді, ал $y \ge 0$ әрдайым.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 20.8

Координаталық жазықтықта келесі нүктелерді белгілеңдер: $A(-3; 4)$, $B(5; 6)$, $C(2; -3)$, $D(-1{,}5; -2)$, $M(0; -2)$, $N(3; 0)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшада алдымен $x$ (нөлден оңға немесе солға), содан кейін $y$ (жоғары немесе төмен) тұрады.

Шешуі.

1. $A(-3; 4)$: 3 тор солға, 4 жоғары. Бұл екінші ширек.
2. $B(5; 6)$: 5 оңға, 6 жоғары. Бірінші ширек.
3. $C(2; -3)$: 2 оңға, 3 төмен. Төртінші ширек.
4. $D(-1{,}5; -2)$: бір жарым тор солға, 2 төмен. Үшінші ширек.
5. $M(0; -2)$: $x = 0$, сондықтан нүкте $Oy$ осінде, координаталар басынан 2 төмен жатыр.
6. $N(3; 0)$: $y = 0$, нүкте $Ox$ осінде, координаталар басынан 3 оңға жатыр.

Жауабы: нүктелер суретте белгіленген: $A$ — II ширек, $B$ — I, $C$ — IV, $D$ — III, $M$ $Oy$ осінде, $N$ $Ox$ осінде.

№ 20.9

1) Абсцисса осіне тиісті бірнеше нүкте, ордината осіне тиісті бірнеше нүкте салыңдар. Осы нүктелер координаталарының қандай ерекшелігі бар? 2) Абсцисса осінен жоғары орналасқан бірнеше нүкте және абсцисса осінен төмен орналасқан бірнеше нүкте салыңдар. Осы нүктелер координаталарының қандай ерекшелігі бар? 3) Ордината осінің сол жақ бөлігінде орналасқан бірнеше нүкте және ордината осінің оң жақ бөлігінде орналасқан бірнеше нүкте салыңдар. Осы нүктелер координаталарының қандай ерекшелігі бар?

Қалай ойлаймыз. Бұл есептеу емес, бақылау: 3–4 нүкте қойып, сандарға қара.

Шешуі.

1. $Ox$ осінде: $(-2; 0)$, $(1; 0)$, $(4; 0)$. $Oy$ осінде: $(0; -3)$, $(0; 1)$, $(0; 5)$. Заңдылық: $Ox$ осіндегі нүктелердің ординатасы $y = 0$, $Oy$ осіндегі нүктелердің абсциссасы $x = 0$.
2. $Ox$ осінен жоғары: $(-2; 3)$, $(1; 1)$, $(4; 5)$ — ординаталары оң, $y > 0$. Төмен: $(-2; -3)$, $(1; -1)$, $(4; -5)$ — ординаталары теріс, $y < 0$.
3. $Oy$ осінен солға: $(-4; 2)$, $(-1; -3)$, $(-2; 0)$ — абсциссалары теріс, $x < 0$. Оңға: $(3; 2)$, $(1; -3)$, $(2; 0)$ — абсциссалары оң, $x > 0$.

Жауабы: $Ox$ осінде: $y = 0$; $Oy$ осінде: $x = 0$; $Ox$ осінен жоғары: $y > 0$, төмен: $y < 0$; $Oy$ осінен солға: $x < 0$, оңға: $x > 0$.

Жадынама

• $x$ мәндері ретсіз жазылған кестені тексермес бұрын өсу ретімен орналастыр.
• $x$ қайталанып, $y$ сол күйі қалса — болады, ал $y$ басқа болса — болмайды.
• $y = x^{2}$ үшін $x$ және $-x$ бірдей $y$ береді; $y = x^{3}$ үшін — әртүрлі.

Шағын тест