§ 3. Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу. Көрсеткіші нөлге тең дәреже — Алгебра 7 сынып, Әбілқасымова: талдау және жауаптар
Ookul.kz · сабақ талдау
Орысша

Кез келген есепті бірге талдайық!

§ 3. Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу. Көрсеткіші нөлге тең дәреже

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 32–38-беттер.

Нені үйренесің

  • Негіздері бірдей дәрежелерді бөлуді: көрсеткіштерді азайту арқылы.
  • Нөлден өзге кез келген санның нөлінші дәрежесі неге 1-ге тең екенін түсінуді.
  • Дәрежелері көбейтілетін де, бөлінетін де өрнектерді ықшамдауды.
  • Белгісіз көрсеткішті табуды және дәрежелері бар өрнектердің мәндерін салыстыруды.

Ой қозғау

Дәрежелерді көбейтуді білесің. Енді кері амалды еске түсір.

  • $\frac{3^{5}}{3^{4}}$ бөлшегін қалай қысқартамыз? Бес үштікті төрт үштікке бөлеміз: төрт жұп қысқарады, бір үштік қалады. Шығатыны $3$.
  • $\frac{7^{8}}{7^{4}}$ неге тең? Төрт жетіні қысқартамыз, төртеуі қалады: $7^{4}$. Көрсеткіш $8-4=4$.
  • Ал жоғарыда да, төменде де бірдей сан болса, мысалы, $\frac{5^{3}}{5^{3}}$ ше? Бәрі қысқарып, $1$ қалады. Осы фактіні есіңде сақта, ол төменде керек болады.

Тақырыпты талдаймыз

Дәрежелерді сызып тастап бөлеміз

Әріптермен мысал қарастырайық: $b^{15}:b^{9}$ неге тең?

Бөлшек түрінде жаз. Жоғарыда $b$ әрпінің он бес көбейткіші, төменде тоғыз. Тоғыз жұп қысқарады, жоғарыда алты көбейткіш қалады.

📌 Ереже. Егер $b\ne0$, ал $m$ және $n$ натурал сандар және $m>n$ болса, онда $b^{m}:b^{n}=b^{m-n}$. Негізін өзгеріссіз қалдырамыз, бөлінгіштің көрсеткішінен бөлгіштің көрсеткішін азайтамыз.

Неге дәл $m>n$? Бөлінгіштің көрсеткіші кіші болғанда, «минусы» бар дәреже не екенін әлі білмейміз. Бұл туралы бөлек параграф болады.

💡 Дәлелдеу алдыңғы ережеге сүйенеді. $b^{m}=b^{n}\cdot b^{m-n}$ деп жазамыз, $b^{n}$-ға бөлеміз, $b^{m-n}$ қалады. Бұл — дәрежелерді көбейтуді оңнан солға қарай оқу.

Нөлінші дәреже: кездейсоқ емес келісім

Көрсеткіштер тең болса ше? Мысалы, $a^{n}:a^{n}$. Кез келген сан өзіне бөлгенде $1$ береді. Ал көрсеткіштерді азайту ережесі бойынша:

$a^{n}:a^{n}=a^{n-n}=a^{0}.$

Демек, $a^{0}=1$. Бөлу ережесі әрқашан жұмыс істеуі үшін $a^{0}$ бірге тең болуы тиіс.

📌 Ереже. Кез келген $a\ne0$ саны үшін $a^{0}=1$. Мысалы, $10^{0}=1$, $5^{0}=1$, $28^{0}=1$, $(-16)^{0}=1$.

⚠️ Жиі кететін қате. $5^{0}=0$ немесе $5^{0}=5$ деп ойлайды. Олай емес: көрсеткіштегі нөл «көбейткіштер жоқ» дегенді білдіреді, ал көбейткіші жоқ көбейтінді $1$-ге тең, бос қосынды нөлге тең болатыны сияқты.

$a$ неге нөл бола алмайды? Өйткені онда нөлге бөлер едік: $0^{n}:0^{n}$ мағынасыз. $0^{0}$ өрнегін бұл параграфта қарастырмаймыз.

Қарапайым мысал

$a^{37}:a^{15}$ өрнегін ықшамдайық. Негізі сол, көрсеткіштерді азайтамыз: $37-15=22$. Жауабы: $a^{22}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $a^{0}$ неге нөл емес, $1$-ге тең екенін сұраңыз. Жақсы жауап былай естіледі: «Өйткені $a^{n}:a^{n}=1$, ал көрсеткіштерді азайту ережесі бойынша бұл $a^{0}$». Егер ол тек «солай деп айтқан» деп қайталаса, бірдей көбейткіштерді сызып тастауға қайта оралыңыз.

Өзіңді тексер

  • Дәрежелерді ереже бойынша бөлу үшін негіз бен көрсеткіштер қандай болуы мүмкін? Негізі нөлден өзге кез келген сан және екі дәрежеде де бірдей. Көрсеткіштер натурал сандар, бөлінгіштің көрсеткіші бөлгіштің көрсеткішінен үлкен.
  • Көрсеткіші нөлге тең дәреженің негізі неге нөл бола алмайды? $a^{0}=1$ теңдігі $a^{n}:a^{n}$ бөлуінен шығарылған. $a=0$ болғанда нөлге бөлуге тура келер еді, ал ол тыйым салынған.
  • $a$-ның қандай мәндерінде $a^{0}=1$ дұрыс? Нөлден басқа барлық сандарда.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 3.1

Өрнекті дәреже түрінде жазыңдар: 1) $x^{10}:x^{7}$; 2) $y^{13}:y^{8}$; 3) $z^{41}:z^{19}$; 4) $35^{21}:35^{9}$; 5) $(1{,}8)^{14}:(1{,}8)^{9}$; 6) $(0{,}8)^{50}:(0{,}8)^{31}$; 7) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{28}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{20}$; 8) $\left(-\frac{17}{20}\right)^{43}:\left(-\frac{17}{20}\right)^{26}$; 9) $\left(-5\frac{4}{18}\right)^{17}:\left(-5\frac{4}{18}\right)^{8}$.

Қалай ойлаймыз. Негіз бір. Оны қалдырып, көрсеткіштерді азайтамыз.

Шешуі.

  1. $x^{10-7}=x^{3}$.
  2. $y^{13-8}=y^{5}$.
  3. $z^{41-19}=z^{22}$.
  4. $35^{21-9}=35^{12}$.
  5. $(1{,}8)^{14-9}=(1{,}8)^{5}$.
  6. $(0{,}8)^{50-31}=(0{,}8)^{19}$.
  7. $\left(-\frac{1}{2}\right)^{28-20}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{8}$.
  8. $\left(-\frac{17}{20}\right)^{43-26}=\left(-\frac{17}{20}\right)^{17}$.
  9. $\left(-5\frac{4}{18}\right)^{17-8}=\left(-5\frac{4}{18}\right)^{9}$.

Жауабы: 1) $x^{3}$; 2) $y^{5}$; 3) $z^{22}$; 4) $35^{12}$; 5) $(1{,}8)^{5}$; 6) $(0{,}8)^{19}$; 7) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{8}$; 8) $\left(-\frac{17}{20}\right)^{17}$; 9) $\left(-5\frac{4}{18}\right)^{9}$.

№ 3.2

Өрнекті дәреже түрінде жазыңдар: 1) $(-8)^{50}:(-8)^{30}$; 2) $\left(\frac{3}{14}\right)^{3}:\left(\frac{3}{14}\right)^{2}$; 3) $(4{,}1)^{81}:(4{,}1)^{72}$; 4) $\left(\frac{a}{3}\right)^{31}:\left(\frac{a}{3}\right)^{21}$; 5) $(-k)^{38}:(-k)^{37}$; 6) $(-6{,}8)^{43}:(-6{,}8)^{42}$.

Қалай ойлаймыз. Сол ереже. Жауапта көрсеткіш $1$ шықса, оны жазбауға болады.

Шешуі.

  1. $(-8)^{50-30}=(-8)^{20}$.
  2. $\left(\frac{3}{14}\right)^{3-2}=\frac{3}{14}$.
  3. $(4{,}1)^{81-72}=(4{,}1)^{9}$.
  4. $\left(\frac{a}{3}\right)^{31-21}=\left(\frac{a}{3}\right)^{10}$.
  5. $(-k)^{38-37}=-k$.
  6. $(-6{,}8)^{43-42}=-6{,}8$.

Жауабы: 1) $(-8)^{20}$; 2) $\frac{3}{14}$; 3) $(4{,}1)^{9}$; 4) $\left(\frac{a}{3}\right)^{10}$; 5) $-k$; 6) $-6{,}8$.

№ 3.3

Өрнекті дәреже түрінде жазыңдар: 1) $(9+x)^{6}:(9+x)^{4}$; 2) $(m-n)^{9}:(m-n)^{5}$; 3) $(2x-1)^{7}:(2x-1)^{4}$; 4) $\left(\frac{a}{5}-3\right)^{25}:\left(\frac{a}{5}-3\right)^{23}$.

Қалай ойлаймыз. Негіз жақшадағы бүтін өрнек болуы мүмкін. Ереже дәл солай жұмыс істейді.

Шешуі.

  1. $(9+x)^{6-4}=(9+x)^{2}$.
  2. $(m-n)^{9-5}=(m-n)^{4}$.
  3. $(2x-1)^{7-4}=(2x-1)^{3}$.
  4. $\left(\frac{a}{5}-3\right)^{25-23}=\left(\frac{a}{5}-3\right)^{2}$.

Жауабы: 1) $(9+x)^{2}$; 2) $(m-n)^{4}$; 3) $(2x-1)^{3}$; 4) $\left(\frac{a}{5}-3\right)^{2}$.

№ 3.4

Дәрежені негіздері бірдей екі дәреженің бөліндісі түрінде жазыңдар: 1) $50^{22}$; 2) $\left(\frac{7}{3}\right)^{10}$; 3) $(-7{,}2)^{34}$; 4) $\left(-\frac{8}{9}\right)^{41}$.

Қалай ойлаймыз. Есеп кері: айырымы берілген көрсеткішке тең екі көрсеткішті табу керек. Кез келген сәйкес жұп жарайды.

Шешуі.

  1. $22=30-8$, демек, $50^{22}=50^{30}:50^{8}$.
  2. $10=15-5$, демек, $\left(\frac{7}{3}\right)^{10}=\left(\frac{7}{3}\right)^{15}:\left(\frac{7}{3}\right)^{5}$.
  3. $34=40-6$, демек, $(-7{,}2)^{34}=(-7{,}2)^{40}:(-7{,}2)^{6}$.
  4. $41=50-9$, демек, $\left(-\frac{8}{9}\right)^{41}=\left(-\frac{8}{9}\right)^{50}:\left(-\frac{8}{9}\right)^{9}$.

Жауабы: 1) $50^{30}:50^{8}$; 2) $\left(\frac{7}{3}\right)^{15}:\left(\frac{7}{3}\right)^{5}$; 3) $(-7{,}2)^{40}:(-7{,}2)^{6}$; 4) $\left(-\frac{8}{9}\right)^{50}:\left(-\frac{8}{9}\right)^{9}$ (көрсеткіштердің басқа жұптары да болады).

№ 3.5

3.1-кестеде $A=9^{7}:9^{6}-6\cdot101^{0}$, $B=13^{4}:13^{3}+17\cdot99^{0}$, $C=5^{10}:5^{8}-24\cdot8^{0}$ берілген. Келесі тұжырымдардың қайсылары ақиқат болады: 1) $B=9A+3C$; 2) $A>C-B$; 3) $C>A+B$; 4) $B:10=A+C$?

Қалай ойлаймыз. Алдымен $A$, $B$, $C$ сандарын тап. Нөлінші дәреже бірді береді, дәрежелерді бөлу көрсеткіштерді азайтуды береді.

Шешуі.

  1. $A=9^{1}-6\cdot1=9-6=3$.
  2. $B=13^{1}+17\cdot1=13+17=30$.
  3. $C=5^{2}-24\cdot1=25-24=1$.
  4. Тексереміз: 1) $9\cdot3+3\cdot1=30=B$, дұрыс. 2) $C-B=1-30=-29$, ал $3>-29$, дұрыс. 3) $A+B=33$, ал $C=1$: дұрыс емес. 4) $B:10=3$, ал $A+C=4$: дұрыс емес.

Жауабы: 1) және 2) тұжырымдары ақиқат.

№ 3.6

Теңдік ақиқат болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан жазыңдар: 1) $200^{10}=200^{21}:200^{}$; 2) $4{,}45^{39}:4{,}45^{}=4{,}45^{30}$; 3) $(-5ab)^{}:(-5ab)=(-5ab)^{11}$; 4) $\left(\frac{5}{16}t\right)^{}:\left(\frac{5}{16}t\right)^{2}=\left(\frac{5}{16}t\right)^{22}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлінгіштің көрсеткіші минус бөлгіштің көрсеткіші нәтиженің көрсеткішіне тең. Осыдан жетіспейтін санды табамыз.

Шешуі.

  1. $21-=10$, демек, $=21-10=11$.
  2. $39-=30$, демек, $=39-30=9$.
  3. $-1=11$, демек, $=11+1=12$.
  4. $-2=22$, демек, $=22+2=24$.

Жауабы: 1) $11$; 2) $9$; 3) $12$; 4) $24$.

№ 3.7

Теңдік ақиқат болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан жазыңдар: 1) $x^{60}=x^{80}:x^{15}:x^{}$; 2) $a^{}:a^{4}:a=a^{7}$; 3) $\left(-\frac{8}{15}k\right)^{38}=\left(-\frac{8}{15}k\right)^{40}:\left(-\frac{8}{15}k\right)^{}:\left(-\frac{8}{15}k\right)$; 4) $(1{,}1t)^{8}:(1{,}1t):(1{,}1t)^{}=1{,}1t$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда қатарынан екі бөлу бар. Екі көрсеткішті де біріншісінен азайтып, нәтижесіне теңейміз. Көрсеткіші жоқ $a$-ның көрсеткіші $1$ екенін ұмытпа.

Шешуі.

  1. $80-15-=60$. Сонда $65-=60$, $*=5$.
  2. $-4-1=7$. Сонда $=7+4+1=12$.
  3. $40--1=38$. Сонда $39-=38$, $*=1$.
  4. $8-1-=1$. Сонда $7-=1$, $*=6$.

Жауабы: 1) $5$; 2) $12$; 3) $1$; 4) $6$.

№ 3.8

$4{,}5^{0}$; $\left(-\frac{4}{5}\right)^{0}$; $x^{0}$; $(-2x+y)^{0}$; $(8{,}6a)^{0}$; $(-9{,}1bc)^{0}$ өрнегін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Нөлден өзге кез келген санның нөлінші дәрежесі $1$-ге тең. Негізі әріптері бар өрнек болса, оны нөлге тең емес деп санаймыз.

Шешуі.

  1. $4{,}5^{0}=1$.
  2. $\left(-\frac{4}{5}\right)^{0}=1$: жақша ішіндегі минус ештеңені өзгертпейді.
  3. $x^{0}=1$, $x\ne0$ болғанда.
  4. $(-2x+y)^{0}=1$, $-2x+y\ne0$ болғанда.
  5. $(8{,}6a)^{0}=1$, $a\ne0$ болғанда.
  6. $(-9{,}1bc)^{0}=1$, $b\ne0$ және $c\ne0$ болғанда.

Жауабы: барлық жағдайда $1$ (әріпті өрнектер үшін негізі нөлге тең емес болған жағдайда).

№ 3.9

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $a^{100}:a^{89}\cdot a^{2}$; 2) $b^{98}:b^{88}\cdot b^{15}$; 3) $(ax)^{41}\cdot(ax)^{12}:(ax)^{33}$; 4) $(3z)^{56}:(3z)^{51}\cdot(3z)$; 5) $\left(\frac{c}{5}\right)^{66}:\left(\frac{c}{5}\right)^{62}\cdot\left(\frac{c}{5}\right)^{3}$; 6) $(-kt)^{49}:(-kt)^{39}\cdot(-kt)^{10}$.

Қалай ойлаймыз. Амалдар солдан оңға қарай орындалады. Көбейту көрсеткіштерді қосады, бөлу азайтады, сондықтан соңғы көрсеткішті бірден есептеуге болады.

Шешуі.

  1. $100-89+2=13$, $a^{13}$ шығады.
  2. $98-88+15=25$, $b^{25}$ шығады.
  3. $41+12-33=20$, $(ax)^{20}$ шығады.
  4. $56-51+1=6$, $(3z)^{6}$ шығады.
  5. $66-62+3=7$, $\left(\frac{c}{5}\right)^{7}$ шығады.
  6. $49-39+10=20$, $(-kt)^{20}$ шығады.

Жауабы: 1) $a^{13}$; 2) $b^{25}$; 3) $(ax)^{20}$; 4) $(3z)^{6}$; 5) $\left(\frac{c}{5}\right)^{7}$; 6) $(-kt)^{20}$.

№ 3.10

Есептеңдер: 1) $3^{25}:3^{22}\cdot3^{2}$; 2) $6^{20}\cdot6^{18}:6^{35}$; 3) $\left(\frac{5}{9}\right)^{40}:\left(\frac{5}{9}\right)^{36}:\left(\frac{5}{9}\right)^{2}$; 4) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{50}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{49}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{4}$; 5) $(1{,}1)^{17}\cdot(1{,}1):(1{,}1)^{16}$; 6) $(-1{,}3)^{29}:(-1{,}3)^{28}\cdot(-1{,}3)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бір дәрежеге дейін ықшамдаймыз, содан кейін санды есептейміз.

Шешуі.

  1. $3^{25-22+2}=3^{5}=243$.
  2. $6^{20+18-35}=6^{3}=216$.
  3. $\left(\frac{5}{9}\right)^{40-36-2}=\left(\frac{5}{9}\right)^{2}=\frac{25}{81}$.
  4. $\left(-\frac{1}{2}\right)^{50-49+4}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{5}=-\frac{1}{32}$ (көрсеткіші тақ, минус қалады).
  5. $(1{,}1)^{17+1-16}=(1{,}1)^{2}=1{,}21$.
  6. $(-1{,}3)^{29-28+1}=(-1{,}3)^{2}=1{,}69$ (көрсеткіші жұп, минус жоғалады).

Жауабы: 1) $243$; 2) $216$; 3) $\frac{25}{81}$; 4) $-\frac{1}{32}$; 5) $1{,}21$; 6) $1{,}69$.

№ 3.11

$2^{10}:2^{6}$; $3^{5}:3^{3}$; $5^{16}:5^{14}$; $2\cdot2^{2}$; $0{,}7\cdot(10^{3}:10^{2})$; $4^{9}:4^{8}$ өрнектері берілген. Өрнектердің мәндерін табыңдар, оларды өсу ретімен орналастырыңдар және шыққан сандар қатарының медианасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Медиана — реттелген қатардың ортасындағы сан. Сандардың саны жұп болса, екі ортаңғысының орташасын аламыз.

Шешуі.

  1. $2^{10}:2^{6}=2^{4}=16$.
  2. $3^{5}:3^{3}=3^{2}=9$.
  3. $5^{16}:5^{14}=5^{2}=25$.
  4. $2\cdot2^{2}=2^{3}=8$.
  5. $0{,}7\cdot(10^{3}:10^{2})=0{,}7\cdot10=7$.
  6. $4^{9}:4^{8}=4$.
  7. Өсу ретімен: $4;\ 7;\ 8;\ 9;\ 16;\ 25$. Сан алтау, ортаңғылары $8$ және $9$. Медиана $(8+9):2=8{,}5$.

Жауабы: мәндері $16;\ 9;\ 25;\ 8;\ 7;\ 4$; қатар $4;\ 7;\ 8;\ 9;\ 16;\ 25$; медиана $8{,}5$.

B деңгейі

Мұнда есептер сәл қиынырақ, бірақ олар да сол ережемен шығарылады. Сен істей аласың!

№ 3.12

1) $a=5;\ -\frac{3}{11};\ 0{,}2;\ -4$ болса, онда $\frac{a^{20}\cdot a^{20}}{a^{17}\cdot a^{19}}$; 2) $b=8;\ -1{,}3;\ \frac{5}{3};\ -6$ болса, онда $\frac{b^{40}\cdot b^{10}\cdot b^{38}}{b^{37}\cdot b^{49}}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен өрнекті ықшамда (жоғарыдағы және төмендегі көрсеткіштерді қос, содан кейін азайт), тек содан кейін сандарды қой. Бұлай есептеу әлдеқайда оңай.

Шешуі.

  1. Жоғарыда $20+20=40$, төменде $17+19=36$. Өрнек $a^{4}$-ке тең.
    • $a=5$: $5^{4}=625$.
    • $a=-\frac{3}{11}$: $\left(\frac{3}{11}\right)^{4}=\frac{81}{14641}$ (минус жоғалады, көрсеткіші жұп).
    • $a=0{,}2$: $0{,}2^{4}=0{,}0016$.
    • $a=-4$: $(-4)^{4}=256$.
  2. Жоғарыда $40+10+38=88$, төменде $37+49=86$. Өрнек $b^{2}$-қа тең.
    • $b=8$: $64$.
    • $b=-1{,}3$: $1{,}69$.
    • $b=\frac{5}{3}$: $\frac{25}{9}=2\frac{7}{9}$.
    • $b=-6$: $36$.

Жауабы: 1) $625;\ \frac{81}{14641};\ 0{,}0016;\ 256$; 2) $64;\ 1{,}69;\ 2\frac{7}{9};\ 36$.

№ 3.13

$x$ айнымалысының қандай мәнінде: 1) $100^{34}:100^{32}:100^{x}$; 2) $(-40)^{50}:(-40)^{x}:(-40)^{21}$; 3) $\left(\frac{1}{6}\right)^{42}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{9}:\left(\frac{1}{6}\right)^{x}$; 4) $(-9{,}3)^{x}:(-9{,}3)^{24}:(-9{,}3)^{48}$ өрнегінің мәні 1-ге тең болады?

Қалай ойлаймыз. Дәреже (негізі $0$, $1$ және $-1$ емес болғанда) тек көрсеткіші нөлге тең болғанда ғана $1$-ге тең. Демек, теңдеу құрамыз: соңғы көрсеткіш $=0$.

Шешуі.

  1. $34-32-x=0$, демек, $2-x=0$ және $x=2$.
  2. $50-x-21=0$, демек, $29-x=0$ және $x=29$.
  3. $42+9-x=0$, демек, $x=51$.
  4. $x-24-48=0$, демек, $x=72$.

Жауабы: 1) $2$; 2) $29$; 3) $51$; 4) $72$.

№ 3.14

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $4^{5}:4^{3}$ және $2^{8}:2^{6}$; 2) $(-9)^{10}:(-9)^{9}$ және $(-8)^{9}:(-8)^{8}$; 3) $10^{20}:10^{19}\cdot10^{2}$ және $2^{40}:2^{35}\cdot2^{5}$; 4) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{60}:\left(-\frac{1}{3}\right)^{58}$ және $\left(-\frac{1}{2}\right)^{40}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{36}$.

Қалай ойлаймыз. Әр жағын бір дәрежеге дейін ықшамда, есепте және салыстыр.

Шешуі.

  1. $4^{2}=16$ және $2^{2}=4$. $16>4$.
  2. $(-9)^{1}=-9$ және $(-8)^{1}=-8$. $-9<-8$.
  3. $10^{3}=1000$ және $2^{10}=1024$. $1000<1024$.
  4. $\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$ және $\left(-\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}$. $\frac{1}{9}>\frac{1}{16}$ (бөлімі неғұрлым үлкен болса, бөлшек соғұрлым кіші).

Жауабы: 1)

gt;$; 2)
lt;$; 3)
lt;$; 4)
gt;$.

№ 3.15

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $9^{n}:9^{5}$; 2) $(-10)^{6}:(-10)^{m}$; 3) $3{,}7^{k}:3{,}7^{11}$; 4) $\left(\frac{3}{16}\right)^{6}:\left(\frac{3}{16}\right)^{d}$; 5) $\left(8\frac{1}{4}\right):\left(8\frac{1}{4}\right)^{c}$; 6) $(-2{,}4)^{t}:(-2{,}4)$; 7) $11^{k}:11^{4}\cdot11^{k+1}$; 8) $20^{10}:20^{t}\cdot20^{3+t}$; 9) $(-9)^{20t}:(-9)^{t+5}:(-9)$; 10) $\left(\frac{1}{4}\right)^{3k}:\left(\frac{1}{4}\right)^{k}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2k+3}$; 11) $\left(-\frac{1}{9}\right)^{5t-2}:\left(-\frac{1}{9}\right)\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^{5t}$; 12) $2{,}1^{t+3}\cdot2{,}1^{6t}:2{,}1^{4t+3}$.

Қалай ойлаймыз. Сол ережелер, тек көрсеткіштерде енді әріптер бар. Өрнекті азайтқанда оны жақшаға ал: $n-(t+5)$ — бұл $n-t-5$.

Шешуі.

  1. $9^{n-5}$.
  2. $(-10)^{6-m}$.
  3. $3{,}7^{k-11}$.
  4. $\left(\frac{3}{16}\right)^{6-d}$.
  5. $8\frac{1}{4}$ санының көрсеткіші $1$-ге тең: $\left(8\frac{1}{4}\right)^{1-c}$.
  6. $(-2{,}4)^{t-1}$.
  7. $k-4+(k+1)=2k-3$, $11^{2k-3}$ шығады.
  8. $10-t+(3+t)=13$, $20^{13}$ шығады ($t$ әріптері қысқарды).
  9. $20t-(t+5)-1=19t-6$, $(-9)^{19t-6}$ шығады.
  10. $3k-k+(2k+3)=4k+3$, $\left(\frac{1}{4}\right)^{4k+3}$ шығады.
  11. $(5t-2)-1+5t=10t-3$, $\left(-\frac{1}{9}\right)^{10t-3}$ шығады.
  12. $(t+3)+6t-(4t+3)=3t$, $2{,}1^{3t}$ шығады.

Жауабы: 1) $9^{n-5}$; 2) $(-10)^{6-m}$; 3) $3{,}7^{k-11}$; 4) $\left(\frac{3}{16}\right)^{6-d}$; 5) $\left(8\frac{1}{4}\right)^{1-c}$; 6) $(-2{,}4)^{t-1}$; 7) $11^{2k-3}$; 8) $20^{13}$; 9) $(-9)^{19t-6}$; 10) $\left(\frac{1}{4}\right)^{4k+3}$; 11) $\left(-\frac{1}{9}\right)^{10t-3}$; 12) $2{,}1^{3t}$.

C деңгейі

Ең қиындары. Бәрі шықпаса да, әрекеттің өзі сені мықты етеді. Осы есептерге дейін жеткенің жарайсың!

№ 3.16

Есептеңдер: 1) $(2^{30}:2^{15}:2^{10})\cdot(5^{27}:5^{26}\cdot5)$; 2) $(3^{13}:3^{12}\cdot3^{3}):(7^{17}:7^{15}:7^{2})$; 3) $(4^{10}:4^{8})\cdot(6^{8}:6^{6}):(24^{37}:24^{34})$; 4) $(9^{22}:9^{20})\cdot(8^{5}:8^{3}):(6^{18}:6^{15})$.

Қалай ойлаймыз. Әр жақшаны бір дәрежеге дейін ықшамдаймыз. Содан кейін сандарды есептейміз.

Шешуі.

  1. Бірінші жақша: $2^{30-15-10}=2^{5}=32$. Екінші: $5^{27-26+1}=5^{2}=25$. Көбейтінді $32\cdot25=800$.
  2. Бірінші жақша: $3^{13-12+3}=3^{4}=81$. Екінші: $7^{17-15-2}=7^{0}=1$. Бөлінді $81:1=81$.
  3. $4^{2}=16$, $6^{2}=36$, $24^{3}=13,824$. Есептейміз: $16\cdot36:13,824=576:13,824=\frac{1}{24}$.
  4. $9^{2}=81$, $8^{2}=64$, $6^{3}=216$. Есептейміз: $81\cdot64:216=5184:216=24$.

Жауабы: 1) $800$; 2) $81$; 3) $\frac{1}{24}$; 4) $24$.

№ 3.17

Дәрежені негіздері бірдей екі дәреженің бөліндісі түрінде жазыңдар: 1) $a^{k+5}$; 2) $d^{k+m}$; 3) $b^{2k+1}$; 4) $c^{4+5k}$.

Қалай ойлаймыз. Айырымы берілген көрсеткішке тең кез келген көрсеткіштер жұбын ойлап тап. Ең оңайы: көрсеткішке бір санды қосып, дәл сол санды бөлгішке қою.

Шешуі.

  1. $k+5=(k+10)-5$, $a^{k+10}:a^{5}$ шығады.
  2. $k+m=(k+2m)-m$, $d^{k+2m}:d^{m}$ шығады.
  3. $2k+1=(2k+2)-1$, $b^{2k+2}:b$ шығады.
  4. $4+5k=(4+6k)-k$, $c^{4+6k}:c^{k}$ шығады.

Жауабы: 1) $a^{k+10}:a^{5}$; 2) $d^{k+2m}:d^{m}$; 3) $b^{2k+2}:b$; 4) $c^{4+6k}:c^{k}$ (басқа жазбалар да болады).

№ 3.18

Есептеңдер: 1) $\frac{(-5)^{6}\cdot(-5)^{7}\cdot(-5)^{8}}{(-5)^{14}\cdot(-5)^{4}}$; 2) $\frac{1{,}2^{40}\cdot1{,}2^{25}\cdot1{,}2^{4}}{1{,}2^{59}\cdot1{,}2^{8}}$; 3) $\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{30}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{34}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{23}}$; 4) $\frac{\left(-\frac{1}{6}\right)^{25}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{19}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{16}}{\left(-\frac{1}{6}\right)^{8}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{49}}$.

Қалай ойлаймыз. Жоғарыдағы көрсеткіштерді қос, төмендегілерін қос, азайт. Бір дәреже қалады.

Шешуі.

  1. Жоғарыда $6+7+8=21$, төменде $14+4=18$. $(-5)^{3}=-125$.
  2. Жоғарыда $40+25+4=69$, төменде $59+8=67$. $1{,}2^{2}=1{,}44$.
  3. Жоғарыда $10+20+30=60$, төменде $34+23=57$. $\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}$.
  4. Жоғарыда $25+19+16=60$, төменде $8+49=57$. $\left(-\frac{1}{6}\right)^{3}=-\frac{1}{216}$.

Жауабы: 1) $-125$; 2) $1{,}44$; 3) $\frac{1}{27}$; 4) $-\frac{1}{216}$.

№ 3.19

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{(-6)^{19}\cdot(-6)^{33}}{3{,}2^{24}\cdot3{,}2^{6}}\cdot\frac{3{,}2^{96}\cdot3{,}2^{12}}{(-6)^{28}\cdot(-6)^{29}}\cdot\frac{(-6)^{6}}{3{,}2^{77}}$; 2) $\frac{1{,}7^{40}\cdot1{,}7^{12}\cdot20^{30}}{1{,}7^{39}\cdot20^{6}\cdot20^{7}}\cdot\frac{20^{7}\cdot20^{8}}{1{,}7^{13}\cdot1{,}7^{9}}\cdot\frac{1{,}7^{10}}{20^{31}}$.

Қалай ойлаймыз. Өрнек қорқынышты көрінеді, бірақ ол екі әртүрлі негізден тұрады. Әр негіз үшін жалпы көрсеткішті есептейміз: жоғарыдағы плюс, төмендегі минус.

Шешуі.

  1. Жоғарыдағы қадамдардағыдай: $(-6)\cdot3{,}2=-19{,}2$.
  2. Негізі $1{,}7$. Жоғарыда: $40+12+10=62$. Төменде: $39+13+9=61$. Нәтиже $1$. Негізі $20$. Жоғарыда: $30+7+8=45$. Төменде: $6+7+31=44$. Нәтиже $1$. Демек, $1{,}7\cdot20=34$.

Жауабы: 1) $-19{,}2$; 2) $34$.

№ 3.20

Теңдіктің ақиқаттығын тексеріңдер: 1) $\frac{x^{100}\cdot x^{20}\cdot x^{60}}{x^{89}\cdot x^{72}}=\frac{x^{55}\cdot x^{36}}{x^{41}\cdot x^{13}\cdot x^{18}}$; 2) $\frac{x^{33}\cdot x\cdot x^{69}}{x^{47}\cdot x^{49}}=\frac{x^{53}\cdot x^{56}\cdot x^{60}}{x^{81}\cdot x^{2}\cdot x^{79}}$; 3) $\frac{a^{17}\cdot a^{47}\cdot a^{56}}{a^{81}\cdot a^{39}}=\frac{a^{80}\cdot a^{5}\cdot a^{37}}{a^{59}\cdot a^{63}}$; 4) $\frac{a^{31}\cdot a^{18}\cdot a^{27}\cdot a^{19}}{a^{22}\cdot a^{54}\cdot a^{16}}=\frac{a^{39}\cdot a^{23}}{a^{59}}$.

Қалай ойлаймыз. Екі жағын да бір дәрежеге дейін ықшамда да, көрсеткіштерді салыстыр. Көрсеткіштер бірдей болса, теңдік дұрыс.

Шешуі.

  1. Сол жақта: $100+20+60=180$, $89+72=161$, нәтиже $x^{19}$. Оң жақта: $55+36=91$, $41+13+18=72$, нәтиже $x^{19}$. Дұрыс.
  2. Сол жақта: $33+1+69=103$, $47+49=96$, нәтиже $x^{7}$. Оң жақта: $53+56+60=169$, $81+2+79=162$, нәтиже $x^{7}$. Дұрыс.
  3. Сол жақта: $17+47+56=120$, $81+39=120$, нәтиже $a^{0}=1$. Оң жақта: $80+5+37=122$, $59+63=122$, нәтиже $a^{0}=1$. Дұрыс (екі жағы да $1$-ге тең).
  4. Сол жақта: $31+18+27+19=95$, $22+54+16=92$, нәтиже $a^{3}$. Оң жақта: $39+23=62$, $62-59=3$, нәтиже $a^{3}$. Дұрыс.

Жауабы: төрт жағдайда да теңдік дұрыс.

№ 3.21

3.2-кестені қолданып, келесі тұжырымдардың арасынан ақиқат тұжырымдарды көрсетіңдер. Кестеде: $A=8^{4}:8^{2}+6^{2}$; $B=7^{5}:7^{3}-29$; $C=0{,}3^{3}:0{,}3^{2}\cdot10^{3}$; $D=0{,}25^{4}:0{,}25^{3}\cdot10^{2}$. Тұжырымдар: 1) $A$-ның 25%-ы $D$-ға тең; 2) $B$-ның мәні $C$-ның мәнінен 15 есе артық; 3) $C=A+5B+4D$; 4) $C:3=A$.

Қалай ойлаймыз. Төрт санның бәрін тап, содан кейін тұжырымдарды кезекпен тексер.

Шешуі.

  1. $A=8^{2}+36=64+36=100$.
  2. $B=7^{2}-29=49-29=20$.
  3. $C=0{,}3\cdot1000=300$.
  4. $D=0{,}25\cdot100=25$.
  5. Тексеру: 1) $100$-дің $25%$-ы $25=D$, дұрыс. 2) $B=20$, $C=300$: $15$ есе артық болатыны дәл $C$, ал $B$ емес, демек, дұрыс емес. 3) $100+5\cdot20+4\cdot25=100+100+100=300=C$, дұрыс. 4) $300:3=100=A$, дұрыс.

Жауабы: 1), 3) және 4) тұжырымдары ақиқат.

Хабарлама дайындаңдар

№ 3.22

Әл-Каши — XV ғасырдың басында $a^{0}=1$ теңдігін ($a\ne0$) алғаш рет өз еңбектерінде қолданған самарқандтық ғалым. Ол туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл есептеу тапсырмасы емес, шағын баяндама. 5–6 сөйлем жеткілікті: кім, қайда және қашан өмір сүрді, немен танымал.

Шешуі. Хабарламаның үлгісі.

🌟 Ғиясаддин Жамшид әл-Каши XIV ғасырдың аяғы мен XV ғасырдың басында Орта Азияда өмір сүрген. Ол Самарқандта Темірдің немересі Ұлықбектің обсерваториясында жұмыс істеген. Әл-Каши көп есептеген: $\pi$ санын сол заманға ұшан-теңіз дәлдікпен есептеген және ондық бөлшектерді қолданған. Оның арифметика жөніндегі үлкен кітабы «Арифметика кілті» деп аталады. Есептеулерінде ол нөлінші дәрежені біз қазіргідей қолданған: нөлден өзге кез келген сан оның еңбегінде нөлінші дәрежеде бірге тең болған. Сонымен, сен бұл ережемен бес жүз жыл бұрынғы математиктер сияқты жұмыс істейсің.

Кеңес: интернеттен ғалымның портретін тауып, баяндамаға Самарқанд туралы бірнеше дерек қос.

Жауабы: жоғарыдағы хабарлама үлгісі (өз нұсқаң басқаша болуы мүмкін, басты нәрсе — әл-Каши туралы негізгі деректер мен нөлінші дәрежемен байланысы).

Келесі тақырыпқа дайындаламыз

Келесі параграф дәрежені дәрежеге шығару туралы. Бұл тапсырмалар ережені аңғартады.

№ 3.23

Өрнекті дәреже түрінде жазыңдар: 1) $(2^{3})^{4}$; 2) $(4^{2})^{3}$; 3) $((-2)^{3})^{2}$; 4) $(5^{2})^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Ішкі дәрежені сыртқы көрсеткіш көрсеткендей рет қатарынан жаз да, көрсеткіштерді қос.

Шешуі.

  1. $(2^{3})^{4}=2^{3}\cdot2^{3}\cdot2^{3}\cdot2^{3}=2^{3+3+3+3}=2^{12}$.
  2. $(4^{2})^{3}=4^{2}\cdot4^{2}\cdot4^{2}=4^{6}$.
  3. $((-2)^{3})^{2}=(-2)^{3}\cdot(-2)^{3}=(-2)^{6}$.
  4. $(5^{2})^{3}=5^{2+2+2}=5^{6}$.

Байқа: көрсеткіштер көбейтілді: $3\cdot4=12$, $2\cdot3=6$, $3\cdot2=6$, $2\cdot3=6$.

Жауабы: 1) $2^{12}$; 2) $4^{6}$; 3) $(-2)^{6}$; 4) $5^{6}$.

№ 3.24

Ақиқат теңдіктерді теріп жазыңдар: 1) $(7^{2})^{3}=7^{5}$; 2) $(8^{4})^{2}=8^{8}$; 3) $(3^{3})^{2}=3^{9}$.

Қалай ойлаймыз. Ішкі дәрежені сыртқы көрсеткіш көрсеткендей рет жазсақ, көрсеткіш неге тең болатынын тексер.

Шешуі.

  1. $(7^{2})^{3}=7^{2+2+2}=7^{6}$, ал $7^{5}$ емес. Дұрыс емес.
  2. $(8^{4})^{2}=8^{4+4}=8^{8}$. Дұрыс.
  3. $(3^{3})^{2}=3^{3+3}=3^{6}$, ал $3^{9}$ емес. Дұрыс емес.

Жауабы: тек 2) теңдігі дұрыс.

Жадынама

  • Бөлу ережесі: $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$, негізін қалдырамыз.
  • Нөлінші дәреже: $a^{0}=1$, егер $a\ne0$ болса.
  • Ұзын өрнектерде алдымен бір соңғы көрсеткішті есептейміз.
  • Көрсеткіш әріпті өрнек болса, азайғышты жақшаға аламыз.
  • Негіздегі минус: жұп көрсеткіш плюс береді, тақ көрсеткіш минус береді.

Шағын тест

← § 2. Негіздері бірдей дәрежелерді көбейту · § 4. Дәрежені дәрежеге шығару →