§ 21. Функцияны графиктік тәсілмен беру

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 128–135-беттер.

Нені үйренесің

• Графиктің — абсциссасы $x$, ординатасы $y$ болатын нүктелер жиыны екенін түсінуді.
• График бойынша берілген $x$ үшін функцияның мәнін табуды.
• График бойынша функцияның анықталу облысын табуды.
• Функцияның қай жерде өсетінін және кемитінін, қай жерде оң, қай жерде теріс болатынын анықтауды.
• Функцияның графигін «жай сызықтан» айыруды: бір $x$-ке тек бір $y$ сәйкес болуы керек.

Ой қозғау

• Нүктенің абсциссасы мен ординатасы дегеніміз не? Абсцисса — $x$ координатасы (көлденең), ордината — $y$ координатасы (тік). $A(2;,5)$ нүктесінің абсциссасы $2$, ординатасы $5$.
• $B(-3;,4)$ нүктесінің координаталарын қалай оқимыз? Координаталар басынан $3$ солға және $4$ жоғары жүреміз.
• «Функцияның анықталу облысы» деген не? Функцияға қоюға болатын $x$-тің барлық мәні.
• $(-1;,-1)$ нүктесі қай ширекте жатыр? Үшіншіде: екі координатасы да теріс.

Тақырыпты талдаймыз

График — бұл нүктелер

Функцияны формуламен де, кестемен де емес, суретпен беруге болады. Координаталық жазықтықты алып, оған нүктелер белгілейміз. Ереже қарапайым: нүктенің абсциссасы — аргументтің $x$ мәні, ал ординатасы — функцияның $y$ мәні.

Кейде нүкте бар болғаны үшеу ғана болады. Онда график — үш бөлек «дақ», басқа ештеңе жоқ.

Графикті былай оқимыз: $x=2$ болғанда $y=2$ ($A(2;,2)$ нүктесі), $x=1$ болғанда $y=3$ ($B(1;,3)$ нүктесі), $x=-1$ болғанда $y=-1$ ($C(-1;,-1)$ нүктесі). Бұл функцияның басқа мәні жоқ.

Егер график — тұтас сызық болса

Онда нүкте шексіз көп, ал $y$ мәнін «көзбен, тор бойынша» іздейміз. Функцияның $x=3$ болғандағы мәнін білгің келе ме? Үш қадам.

1. $Ox$ осінен $3$ санын тауып, график сызығына дейін жоғары көтерілеміз.
2. Тік сызық графикті қиған $M$ нүктесін белгілейміз.
3. $M$ нүктесінен $Oy$ осіне дейін көлденең солға жүріп, санды оқимыз.

Демек, $x=3$ болғанда функцияның мәні $2$-ге тең.

Анықталу облысы: $x$ осі бойымен қараймыз

Анықталу облысын білгің келе ме? График нүктелерінің қандай абсциссалары бар екенін қара. Графикпен көлденең бойынша «боялған» бөлік анықталу облысы болады.

• Абсциссалары $-2,,-1,,0,,1,,2$ болатын бес нүкте болса, анықталу облысы — осы бес сан.
• Сызық $x=-2$-ден $x=3$-ке дейін жүріп, екі шеткі нүкте де орнында тұрса, анықталу облысы — $[-2;,3]$ аралығы.
• Сызық екі жаққа да шексіз кетсе, анықталу облысы — $(-\infty;,+\infty)$, яғни барлық сан.

💡 Төртбұрышты жақша: графиктің шеткі нүктесі бар. Дөңгелек жақша: бұл нүкте жоқ («қағылған»), ал шексіздіктің жақшасы әрдайым дөңгелек.

Өседі ме, кемиді ме

Графикті дәптердегі жолды оқығандай солдан оңға қарай жүріп шығамыз.

• Жоғары көтерілеміз — функция өседі.
• Төмен түсеміз — функция кемиді.
• Көлденең түзу жүреміз — функция өспейді де, кемімейді де (ол тұрақты).

Графикте «төбе» де, «шұңқыр» да болады. Мысалы, төбесі $x=-1$ нүктесінде төмен тұрған «құс қанаты» сияқты графикте оның сол жағында функция кемиді (яғни $(-\infty;,-1]$ аралығында), ал оң жағында өседі ($[-1;,+\infty)$ аралығында). Бұл жағдайда функцияда екі монотондылық аралығы бар дейді.

⚠️ Жиі кететін қате. Өсу және кему аралықтарын $x$ осі бойынша жазады, $y$ осі бойынша емес. Егер $1$ мен $5$ — $y$-тің мәндері болса, «функция 1-ден 5-ке дейін өседі» деген жауап қате. Аргументтің $x$ мәндері керек.

Оң ба, теріс пе

• График $Ox$ осінен жоғары жатқан жерде $y>0$ (функция оң).
• График $Ox$ осінен төмен жатқан жерде $y<0$ (функция теріс).
• График $Ox$ осін қиып өтетін немесе жанасатын жерде $y=0$. Мұндай $x$ функцияның нөлі деп аталады.

Әр сызық функцияны бермейді

Функцияда әр $x$-ке дәл бір $y$ сәйкес келеді. Бұл дегеніміз: кез келген тік түзу графикті бір реттен артық қимауы керек. Тексеру қарапайым, «сызғыш-тік түзу» сияқты.

Мұнда $x=1$ болғанда бірден екі мән шықты: $y=1$ және $y=-1$. Функция үшін олай болмайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балаңыздан кез келген графикте (жаңалықтағы температура немесе баға графигі болса да) үш нәрсені көрсетуін сұраңыз: қай жерде «өседі», қай жерде «кемиді», қай жерде «нөлден жоғары». Бұл — кейін физика мен экономикада қажет болатын дағды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Координаталық жазықтықтың үш нүктесі функцияның графигі бола ала ма? Иә, егер олардың абсциссалары әртүрлі болса. Онда $x$-тің үш мәнінің әрқайсысына дәл бір $y$ сәйкес келеді.
• Әрбір график функцияны бере ме? Жоқ. Егер $x$-тің бір мәніне $y$-тің екі немесе одан көп мәні сәйкес келсе (графикте бір тік түзудің бойында жатқан нүктелер бар), мұндай график функцияны бермейді.
• График бойынша функцияның мәнін қалай табады? $Ox$ осінде керек $x$-ті белгілеп, графикке дейін көтеріледі (немесе түседі), содан кейін көлденең жүріп $Oy$ осіне өтеді.
• График бойынша анықталу облысын қалай табады? Графиктің барлық нүктелерінің абсциссаларын жинайды.
• Функцияның қай жерде өсетінін қалай көреді? Солдан оңға жүргенде график жоғары бағытталған жерде.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 21.1

21.7-суретте кескінделген график функция бола ма: 1) «жоғары, көлденең, жоғары» сынық сызық; 2) көлбеу түзу; 3) тік тізбектелген нүктелер; 4) сол жақта бір нүкте және оң жақта бірдей биіктіктегі төрт нүкте?

Қалай ойлаймыз. Ойша тік сызықтар жүргіземіз. Бір тік сызық графикті екі рет кездестірсе, функция жоқ.

Шешуі.

1. Сынық сызық солдан оңға қайтпай жүреді. Тік сызық оны бір рет қияды. Функция бар.
2. Көлбеу түзу. Кез келген тік сызық оны дәл бір рет қияды. Функция бар.
3. Барлық нүктелер бірінің үстінде бірі, бір тік түзудің бойында тұр. Бір $x$-ке $y$-тің бірнеше мәні сәйкес. Функция жоқ.
4. Барлық нүктелердің абсциссалары әртүрлі (біреуі сол жақта, төртеуі оң жақта). Әр $x$-ке бір $y$ сәйкес. Функция бар.

Жауабы: 1) иә; 2) иә; 3) жоқ; 4) иә.

№ 21.2

21.8-суретте берілген графигі бойынша функцияның анықталу облысын табыңдар: 1) бес нүкте; 2) алты нүкте; 3) екі буынды сынық сызық; 4) көлбеу түзу.

Қалай ойлаймыз. Анықталу облысы — графиктің барлық нүктелерінің абсциссалары. Суреттегі бір тор — бір бірлік.

Шешуі.

1. График нүктелерінің абсциссалары $-2;,-1;,0;,3;,4$ (суретте бұл $(-2;,-1)$, $(-1;,0)$, $(0;,1)$, $(3;,1)$, $(4;,1)$ нүктелері). График — бөлек нүктелер, сондықтан анықталу облысы бес саннан тұратын жиын.
2. Нүктелер $(-2;,4)$, $(-1;,2)$, $(0;,3)$, $(1;,1)$, $(2;,1)$, $(3;,3)$. Абсциссалары: $-2;,-1;,0;,1;,2;,3$.
3. Сынық сызық $(-2;,1)$ нүктесінен басталып, $(2;,3)$ нүктесіне көтеріледі және $(4;,1)$ нүктесіне түседі. Көлденеңінен ол $-2$-ден $4$-ке дейінгінің бәрін шеткі нүктелерімен қоса алады.
4. $y=x$ түзуі, $(-3;,-3)$ нүктесінен $(5;,5)$ нүктесіне дейін сызылған. Көлденеңінен $-3$-тен $5$-ке дейін.

Жауабы: 1) ${-2;,-1;,0;,3;,4}$; 2) ${-2;,-1;,0;,1;,2;,3}$; 3) $[-2;,4]$; 4) $[-3;,5]$.

№ 21.3

21.9-суретте берілген графигі бойынша функцияның анықталу облысын табыңдар; өсетін функцияларды, кемитін функцияларды көрсетіңдер: 1) $(-2;,5)$ нүктесінен $(3;,1)$ нүктесіне дейінгі қисық; 2) оңға қарай көтерілетін тегіс қисық; 3) оңға және жоғары көтерілетін тегіс қисық.

Қалай ойлаймыз. Анықталу облысы — көлденең бойынша, өсу — «солдан оңға жүргенде көтерілеміз бе» деген сұрақ.

Шешуі.

1. Қисық абсциссасы $-2$ нүктеден басталып, абсциссасы $3$ нүктеде аяқталады (екі нүкте де белгіленген). Солдан оңға жүріп, төмен түсеміз: $5$-тен $1$-ге дейін. Функция кемиді.
2. Қисық еш жерде үзілмейді (белгіленген шеткі нүктелер жоқ), ол $x$ осінің бойымен түгел жүріп, үнемі көтеріледі. Анықталу облысы — барлық сан, функция өседі.
3. Белгіленген шеткі нүктелері жоқ, жоғары өрлейтін қисық. Анықталу облысы — барлық сан, функция өседі.

Жауабы: 1) $[-2;,3]$, кемиді; 2) $(-\infty;,+\infty)$, өседі; 3) $(-\infty;,+\infty)$, өседі.

№ 21.4

21.10-суретте күн бойы температураның өзгеру графигі берілген: сағат $3$-те $5,°C$-тан сағат $12$-де $30,°C$-қа дейін, сағат $15$-ке дейін дәл $30,°C$, содан кейін сағат $21$-де $10,°C$-қа дейін төмендеу. Температураның: 1) көтерілген; 2) төмендеген; 3) ең үлкен мәнді қабылдаған; 4) ең төменгі мәнді қабылдаған уақыт аралығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. График көтерілсе — температура артады. Түссе — кемиді. Ең жоғарғы нүкте — ең үлкен мән, ең төменгісі — ең кіші мән.

Шешуі.

1. График жоғары жүрген кезде температура артады: сағат $3$-тен $12$-ге дейін.
2. График төмен жүрген кезде кемиді: сағат $15$-тен $21$-ге дейін.
3. Ең үлкен мән $30,°C$. Ол график көлденең жүрген кезде сақталады: сағат $12$-den $15$-ке дейін.
4. Графиктегі ең кіші мән — $5,°C$, бұл сағат $3$-тегі нүкте.

Жауабы: 1) сағат $3$-тен $12$-ге дейін; 2) сағат $15$-тен $21$-ге дейін; 3) сағат $12$-den $15$-ке дейін (ең үлкені $30,°C$); 4) сағат $3$-те (ең кішісі $5,°C$).

💡 Алматыда ыстық шілде күні график осыған ұқсас болар еді: түске дейін көтерілу, кешке қарай төмендеу.

№ 21.5

21.11-суретте қор биржасындағы акциялардың бес күндік бағасы көрсетілген: $1$-күні $500$, $2$-күні $1500$, $3$-күні $1000$, $4$-күні $1000$, $5$-күні $2000$. Акция бағасының: 1) көтерілген; 2) төмендеген; 3) тұрақты болған күндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көрші күндерді салыстырамыз: көп, аз немесе бірдей.

Шешуі.

1. Баға $1$-күннен $2$-күнге дейін ($500$-ден $1500$-ге дейін) және $4$-күннен $5$-күнге дейін ($1000$-нан $2000$-ға дейін) өсті.
2. Баға $2$-күннен $3$-күнге дейін ($1500$-ден $1000$-ға дейін) түсті.
3. Баға $3$-күннен $4$-күнге дейін өзгерген жоқ (екі күні де $1000$).

Жауабы: 1) $1$-күннен $2$-күнге дейін және $4$-күннен $5$-күнге дейін; 2) $2$-күннен $3$-күнге дейін; 3) $3$-күннен $4$-күнге дейін.

B деңгейі

№ 21.6

21.12-суреттегі график бойынша функцияның: 1) анықталу облысын; 2) аргументтің қандай мәндерінде функцияның нөлге тең болатынын; 3) а) өсетін; ә) кемитін сан аралықтарын; 4) а) оң мәндер; ә) теріс мәндер қабылдайтын сан аралықтарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бәрін $x$ осі бойынша оқимыз: анықталу облысы — ең сол жақ шеткі нүктеден ең оң жақ шеткі нүктеге дейін, нөлдер — график $Ox$ осін кездестіретін жерде, ал таңбалар — график осьтен жоғары немесе төмен жатуына қарай.

Шешуі. 1) график. Сынық сызық $(-6;,0)$ нүктесінен басталып, шамамен $x=-4$ болғанда төбеге (биіктігі $3$) көтеріледі, $x=-2$ арқылы төмен түсіп $(0;,-3)$ нүктесіне барады, $x=2$ арқылы көтеріліп $x=3$ болғанда төбеге жетеді, $x=4$ дейін сәл төмендейді де, $x=6$-ға дейін көлденең жүреді.

1. Анықталу облысы $[-6;,6]$.
2. График $Ox$ осін $x=-6$, $x=-2$, $x=2$ нүктелерінде кездестіреді.
3. а) $[-6;,-4]$ және $[0;,3]$ аралықтарында өседі. ә) $[-4;,0]$ және $[3;,4]$ аралықтарында кемиді ($[4;,6]$ аралығында функция тұрақты).
4. а) График осьтен жоғары: $x$ $-6$-дан $-2$-ге дейін (шеткі нүктелерсіз) және $2$-ден $6$-ға дейін: $(-6;,-2)\cup(2;,6]$. ә) Осьтен төмен: $(-2;,2)$.

Шешуі. 2) график. Сынық сызық $(-7;,3)$ нүктесінен басталып, $(-4;,1)$ нүктесіне түседі, $(4;,3)$ нүктесіне көтеріледі, $(5;,-5)$ нүктесіне тік құлайды да, $(8;,7)$ нүктесіне дейін шұғыл өседі.

1. Анықталу облысы $[-7;,8]$.
2. График $Ox$ осін екі рет қияды: $x=4$-тен $x=5$-ке түсу кезінде ($y=0$ болатын нүктеде; бұл $x=4\frac{3}{8}\approx 4{,}4$) және шамамен $x=6$ маңында өрлеу кезінде. Демек, функцияның нөлдері: шамамен $4{,}4$ және $6$.
3. а) $[-4;,4]$ және $[5;,8]$ аралықтарында өседі. ә) $[-7;,-4]$ және $[4;,5]$ аралықтарында кемиді.
4. а) График осьтен жоғары болғанда оң: $[-7;,4{,}4)\cup(6;,8]$. ә) Теріс: $(4{,}4;,6)$.

Жауабы:

1. график: 1) $[-6;,6]$; 2) $-6;,-2;,2$; 3) а) $[-6;,-4]$, $[0;,3]$; ә) $[-4;,0]$, $[3;,4]$; 4) а) $(-6;,-2)\cup(2;,6]$; ә) $(-2;,2)$.
2. график: 1) $[-7;,8]$; 2) шамамен $4{,}4$ және $6$; 3) а) $[-4;,4]$, $[5;,8]$; ә) $[-7;,-4]$, $[4;,5]$; 4) а) шамамен $[-7;,4{,}4)\cup(6;,8]$; ә) шамамен $(4{,}4;,6)$.

№ 21.7

Егер $y=5x-3$ функциясының анықталу облысы $-1;,0;,0{,}5;,1;,1{,}5$ сандары болса, онда функцияны кесте арқылы беріңдер және графигін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр $x$-ті формулаға қоямыз, $y$ шығады, содан кейін $(x;,y)$ жұптарын белгілейміз. $x$ тек бесеу болғандықтан, график — тек бес нүкте, сызық емес.

Шешуі.

1. $x=-1$: $y=5\cdot(-1)-3=-8$.
2. $x=0$: $y=-3$.
3. $x=0{,}5$: $y=2{,}5-3=-0{,}5$.
4. $x=1$: $y=5-3=2$.
5. $x=1{,}5$: $y=7{,}5-3=4{,}5$.

Жауабы: $(-1;,-8)$, $(0;,-3)$, $(0{,}5;,-0{,}5)$, $(1;,2)$, $(1{,}5;,4{,}5)$ жұптары — графиктің бес нүктесі.

C деңгейі

Бұл ең қиын бөлім. Бір тармағын болса да шығарсаң, бұл тамаша: сен графиктерді ересек адамдай оқисың.

№ 21.8

21.13-суретте салынған график бойынша (үш сурет: А, В және С) функцияның: 1) анықталу облысын; 2) аргументтің қандай мәндерінде функцияның мәні нөлге тең болатынын; 3) а) өсетін; ә) кемитін сан аралықтарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен көлденеңінен график қай жерде бар екенін қараймыз. Сосын қай жерде ол «көтеріледі», қай жерде «түседі».

Шешуі. А графигі. «Гиперболаға» ұқсас екі тармақ: бірі бірінші ширекте, екіншісі үшінші ширекте. $Oy$ осінің маңында бірде-бір нүкте жоқ, демек $x=0$ анықталу облысына кірмейді. Ешбір тармақ $Ox$ осіне жетпейді, демек нөлдер жоқ. Бірінші тармақ солдан оңға қарай төмен жүреді, екіншісі де.

1. Анықталу облысы: $(-\infty;,0)\cup(0;,+\infty)$.
2. Нөлдер жоқ.
3. а) Өсу аралықтары жоқ. ә) $(-\infty;,0)$ және $(0;,+\infty)$ аралықтарында кемиді.

Шешуі. В графигі. Екі тармақ та $Ox$ осінен төмен жатыр, $Oy$ осінің маңында төмен кетеді. Сол жақ тармақ солдан оңға қарай төмен жүреді, оң жақ тармақ — солдан оңға қарай жоғары.

1. Анықталу облысы: $(-\infty;,0)\cup(0;,+\infty)$.
2. Нөлдер жоқ, график $Ox$ осін қимайды.
3. а) $(0;,+\infty)$ аралығында өседі. ә) $(-\infty;,0)$ аралығында кемиді.

Шешуі. С графигі. Үш бөлек бөлік: $x=-7$-ден $x=-3$-ке дейінгі кесінді (жоғары), $x=-2$-ден $x=3$-ке дейінгі кесінді (жоғары), сосын $x=4$-тен $x=6$-ға дейінгі көлденең бөлік және $x=6$-дан $x=8$-ге дейін $Ox$ осіне дейін төмен түсетін бөлік.

1. Анықталу облысы — үш аралықтың бірігуі $[-7;,-3]\cup[-2;,3]\cup[4;,8]$. Бөліктердің арасындағы $(-3;,-2)$ және $(3;,4)$ аралықтары түсіп қалады.
2. График $Ox$ осін тек соңында, $x=8$ нүктесінде кездестіреді.
3. а) $[-7;,-3]$ және $[-2;,3]$ аралықтарында өседі. ә) $[6;,8]$ аралығында кемиді ($[4;,6]$ аралығында тұрақты).

Жауабы: А) 1) $(-\infty;,0)\cup(0;,+\infty)$; 2) нөлдер жоқ; 3) а) жоқ; ә) $(-\infty;,0)$ және $(0;,+\infty)$. В) 1) $(-\infty;,0)\cup(0;,+\infty)$; 2) нөлдер жоқ; 3) а) $(0;,+\infty)$; ә) $(-\infty;,0)$. С) 1) $[-7;,-3]\cup[-2;,3]\cup[4;,8]$; 2) $x=8$; 3) а) $[-7;,-3]$ және $[-2;,3]$; ә) $[6;,8]$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 21.9

Егер $y=\frac{1}{3}x$ болса, онда 21.1-кестені толтырыңдар: $x$ мәндері $-9;,-6;,-3;,0;,3;,6;,9$.

Қалай ойлаймыз. Әр $x$-ті $\frac{1}{3}$-ге көбейтеміз. Бұл $3$-ке бөлумен бірдей.

Шешуі. $-9\cdot\frac{1}{3}=-3$; $-6\cdot\frac{1}{3}=-2$; $-3\cdot\frac{1}{3}=-1$; $0\cdot\frac{1}{3}=0$; $3\cdot\frac{1}{3}=1$; $6\cdot\frac{1}{3}=2$; $9\cdot\frac{1}{3}=3$.

Жауабы: $y$ мәндері $-3;,-2;,-1;,0;,1;,2;,3$.

№ 21.10

21.9-жаттығуда $(x;,y)$ координаталарымен берілген нүктелерді координаталық жазықтықта салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кестенің әр бағаны — бір нүкте. $x$-ті көлденеңінен табамыз, сосын $y$-ті тігінен.

Шешуі. Жеті нүкте шығады: $(-9;,-3)$, $(-6;,-2)$, $(-3;,-1)$, $(0;,0)$, $(3;,1)$, $(6;,2)$, $(9;,3)$.

Жауабы: координаталар басы арқылы өтетін бір түзудің бойында жатқан жеті нүкте.

Жадынама

• График — тек сызық емес, нүктелер жиыны: бірнеше нүктеден де тұра алады.
• Функцияның мәнін $y$ осі бойынша оқимыз, ал аралықтарды $x$ осі бойынша жазамыз.
• Функцияның нөлі — график $Ox$ осін кездестіретін $x$.
• Бір $x$-ке — бір $y$. Әйтпесе бұл функция емес.

Шағын тест