§ 23. Сызықтық функциялар графиктерінің өзара орналасуы

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 140–145-беттер.

Нені үйренесің

• $y=kx+b$ формулалары бойынша графиктердің қиылысатынын, параллель болатынын немесе беттесетінін анықтауды.
• Мұның неге солай болатынын түсіндіруді: оған $k$ мен $b$ сандары қалай әсер етеді.
• Теңдеуді шешіп, екі графиктің қиылысу нүктесін табуды.
• Графиктері қажетті жағдайда орналасатын сызықтық функцияның формуласын құрастыруды.

Ой қозғау

• Сызықтық функция қандай түрде жазылады? $y=kx+b$, мұндағы $k$ мен $b$ — сандар, ал $x$ — айнымалы.
• Сызықтық функцияның графигі не болады? Түзу сызық.
• Мұндай графикті салу үшін неше нүкте керек? Екеу. Үшіншісін тексеру үшін алады.
• График $Oy$ осін қай нүктеде қияды? $(0;,b)$ нүктесінде: $x=0$ болғанда $y=b$ шығады.
• $y=2x-5$ функциясында $x=3$ болғанда $y$ неге тең? $y=2\cdot 3-5=1$.

Тақырыпты талдаймыз

Үш сурет, бір жұмбақ

Бір координаталар жүйесінде бірнеше түзу сызып, олардың қалай орналасқанын қарайық. Алдымен еңкеюі әртүрлі екі түзу.

Бұл түзулерде $k$ әртүрлі: $-\frac{2}{3}$ және $2$. Олар $A(3;,1)$ нүктесінде қиылысты.

Енді $b=2$ бірдей, ал $k$ әртүрлі үш түзу.

Үшеуі де $(0;,2)$ нүктесі арқылы өтеді, өйткені $b=2$ — түзудің $Oy$ осін қиятын биіктігі. Ал олар еңкеюлері әртүрлі болғандықтан қиылысты.

Ең соңында $k=-\frac{1}{3}$ бірдей, бірақ $b$ әртүрлі — $0$, $-2$ және $2$ болатын үш түзу.

Еңкеюі бірдей, сондықтан түзулер рельс сияқты параллель жүреді. Ал олардың бір-бірінен жылжып тұруы $b$-ның әртүрлі болуынан.

Неге солай болады

Екі функция алайық: $y=k_1x+b_1$ және $y=k_2x+b_2$. Графиктердің ортақ нүктесі болуы үшін қандай да бір $x$ кезінде $y$ мәндері тең болуы керек:

$k_1x+b_1=k_2x+b_2.$

$x$-ті бір жаққа, сандарды екінші жаққа көшіріп, $x$-ті жақшаның сыртына шығарамыз:

$(k_1-k_2),x=b_2-b_1.$

Одан әрі үш жағдай бар.

1. $k_1\ne k_2$. Онда $k_1-k_2\ne 0$, сондықтан бөлуге болады: $x=\dfrac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$. Бұл — жалғыз сан, демек, нүкте де жалғыз. Түзулер қиылысады.
2. $k_1=k_2$ және $b_1\ne b_2$. Теңдеу $0\cdot x=b_2-b_1$ түріне келеді, ал оң жағында нөл емес сан тұр. Шешімі жоқ: ортақ нүкте жоқ. Түзулер параллель.
3. $k_1=k_2$ және $b_1=b_2$. Бұл $0\cdot x=0$ теңдеуі: кез келген $x$ келеді. Формула бір, түзулер беттеседі.

📌 $y=kx+b$ және $y=tx+m$ графиктері: $k\ne t$ болғанда қиылысады; $k=t$, бірақ $b\ne m$ болғанда параллель; $k=t$ және $b=m$ болғанда беттеседі.

⚠️ Жиі кететін қате. $b$-ға қарап, $b$ бірдей болса, түзулер беттеседі деп шешу. Олай емес! $b$ бірдей, ал $k$ әртүрлі болса, түзулер $Oy$ осінде қиылысады. Әрқашан алдымен $k$-ны салыстыр.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан формула бойынша екі түзудің қалай орналасатынын алдымен айтқызыңыз, содан кейін ғана сыздырыңыз. Дұрыс болжаса, ереже жаттап алынбай, түсініліп алынған деген сөз. $x$-тің алдындағы сандарды ($k$-ны) салыстырып жатқанын, бос мүшелерді емес екенін қадағалаңыз.

Қадам-қадаммен: бір минутта қалай анықтаймыз

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Екі сызықтық функцияның графиктерінің тек бір ортақ нүктесі бола ала ма? Иә, $k$ әртүрлі болғанда: түзулер қиылысады.
• Ал тек екі ортақ нүктесі ше? Жоқ. Екі әртүрлі түзу екі рет кездесе алмайды: екі нүкте ортақ болса, түзулер беттеседі.
• Мүлде ортақ нүктесі болмауы мүмкін бе? Иә, олар параллель болғанда ($k$ бірдей, $b$ әртүрлі).
• Ал барлық нүктелері ортақ болуы ше? Иә, түзулер беттескенде.
• $y=kx+b$ және $y=tx+m$ графиктері қандай жағдайда қиылысады, параллель болады, беттеседі? $k\ne t$ болғанда қиылысады; $k=t$, $b\ne m$ болғанда параллель; $k=t$, $b=m$ болғанда беттеседі.
• Мысал келтір. Қиылысады: $y=x+1$ және $y=2x+1$. Параллель: $y=x+1$ және $y=x+4$. Беттеседі: $y=x+1$ және $y=1+x$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 23.1

1) $y=2x-10$ және $y=2x+9$; 2) $y=-3x+9$ және $y=-3x+9$; 3) $y=-5x+6$ және $y=-5x$; 4) $y=1{,}5+4x$ және $y=-4x+3$; 5) $y=7+2{,}3x$ және $y=3{,}2x-1$; 6) $y=10x$ және $y=1-10x$ функцияларының графиктері өзара қалай орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Әр функцияның $k$ мен $b$ сандарын жазып, ереже бойынша салыстырамыз: алдымен $k$, сосын $b$.

Шешуі.

1. $k=2$ және $k=2$, $b=-10$ және $b=9$: $k$ тең, $b$ әртүрлі.
2. $k=-3$ және $-3$, $b=9$ және $9$: бәрі бірдей.
3. $k=-5$ және $-5$, $b=6$ және $0$: $k$ тең, $b$ әртүрлі.
4. $k=4$ және $k=-4$: әртүрлі.
5. $k=2{,}3$ және $k=3{,}2$: әртүрлі.
6. $k=10$ және $k=-10$: әртүрлі.

Жауабы: 1) параллель; 2) беттеседі; 3) параллель; 4) қиылысады; 5) қиылысады; 6) қиылысады.

№ 23.2

1) $y=8x-1$; 2) $y=3-4x$; 3) $y=-2+2x$ сызықтық функциясы үшін: а) функцияның графигіне параллель; ә) графикпен қиылысатын; б) графикпен беттесетін сызықтық функцияның формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Параллель функция үшін $k$-ны сол күйінде қалдырып, $b$-ны өзгертеміз. Қиылысатын үшін $k$-ны өзгертеміз. Беттесетін үшін бәрін сол күйінде қалдырамыз.

Шешуі.

1. $y=8x-1$: а) $k=8$, $b$ басқа, мысалы $y=8x+5$; ә) $k$ басқа, мысалы $y=3x-1$; б) $y=8x-1$.
2. $y=3-4x$, яғни $k=-4$, $b=3$: а) $y=-4x+7$; ә) $y=x+3$; б) $y=-4x+3$.
3. $y=-2+2x$, яғни $k=2$, $b=-2$: а) $y=2x+1$; ә) $y=-x-2$; б) $y=2x-2$.

Жауабы: кез келген сәйкес мысалдар, мысалы: 1) а) $y=8x+5$, ә) $y=3x-1$, б) $y=8x-1$; 2) а) $y=-4x+7$, ә) $y=x+3$, б) $y=-4x+3$; 3) а) $y=2x+1$, ә) $y=-x-2$, б) $y=2x-2$.

№ 23.3

1) $y=2x-7$; 2) $y=1{,}4+3x$; 3) $y=x+3{,}5$; 4) $y=-10{,}5+3x$; 5) $y=3x-7$ сызықтық функциясының: а) графигіне параллель; ә) графигімен қиылысатын; б) графигімен беттесетін сызықтық функцияның формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бес функцияның $k$ мен $b$ сандарын жазамыз. Сосын № 23.2-дегі сияқты әр функцияға формула құрамыз. Ал берілген тізімнің ішінен де таңдап көруге болады.

Шешуі. Алдымен кесте:

Бұл — өз формулаңды құру: параллель үшін $k$ сол қалпында, $b$ басқа; қиылысатын үшін $k$ басқа; беттесетін үшін формула сол күйінде. Мысалы, 1) үшін: а) $y=2x+1$; ә) $y=5x-7$; б) $y=2x-7$.

Тізімнің ішінен таңдасақ: $k=3$ болатын 2, 4 және 5-функциялардың $b$ мәндері әртүрлі, сондықтан олар бір-біріне параллель. 1 және 3-функциялардың еңкеуі басқалармен қайталанбайды.

Жауабы: тізімнен таңдағанда:

1. а) жоқ; ә) 2, 3, 4, 5; б) жоқ.
2. а) 4 және 5; ә) 1 және 3; б) жоқ.
3. а) жоқ; ә) 1, 2, 4, 5; б) жоқ.
4. а) 2 және 5; ә) 1 және 3; б) жоқ.
5. а) 2 және 4; ә) 1 және 3; б) жоқ.

Тізімде өзара беттесетін екі график жоқ, сондықтан «б» тармағында функцияның өзі ғана өзімен беттеседі. Өз формулаңды құрсаң, жоғарыдағыдай кез келген сәйкес мысал жарайды.

№ 23.4

Графиктері: а) қиылысатын; ә) параллель; б) беттесетін екі сызықтық функцияның формулаларын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $k$ мен $b$ туралы ереже бойынша жұптарды ойлап табамыз.

Шешуі. а) $k$ әртүрлі: $y=2x+1$ және $y=-x+3$. ә) $k$ бірдей, $b$ әртүрлі: $y=3x+1$ және $y=3x-2$. б) $k$ және $b$ бірдей: $y=0{,}5x+4$ және $y=4+0{,}5x$.

Жауабы: мысалы, а) $y=2x+1$ және $y=-x+3$; ә) $y=3x+1$ және $y=3x-2$; б) $y=0{,}5x+4$ және $y=4+0{,}5x$.

№ 23.5

Функция графиктерінің қиылысу нүктелерінің координаталарын табыңдар: 1) $y=-6x+1$ және $y=-5x+9$; 2) $y=-17+3{,}4x$ және $y=-1{,}6x+68$; 3) $y=21-9x$ және $y=4x+8$; 4) $y=16{,}2+8x$ және $y=-0{,}8x+7{,}4$; 5) $y=1-3x$ және $y=-x-1$; 6) $y=1+7x$ және $y=6{,}5x$.

Қалай ойлаймыз. Қиылысу нүктесінде $y$ мәндері бірдей. Оң жақтарын теңестіріп, $x$-ті табамыз, сосын кез келген формулаға қойып, $y$-ті аламыз.

Шешуі.

1. $-6x+1=-5x+9$, $-x=8$, $x=-8$. Сонда $y=-6\cdot(-8)+1=49$.
2. $-17+3{,}4x=-1{,}6x+68$, $5x=85$, $x=17$. Сонда $y=-17+3{,}4\cdot 17=-17+57{,}8=40{,}8$.
3. $21-9x=4x+8$, $13=13x$, $x=1$. Сонда $y=21-9=12$.
4. $16{,}2+8x=-0{,}8x+7{,}4$, $8{,}8x=-8{,}8$, $x=-1$. Сонда $y=16{,}2-8=8{,}2$.
5. $1-3x=-x-1$, $2=2x$, $x=1$. Сонда $y=1-3=-2$.
6. $1+7x=6{,}5x$, $0{,}5x=-1$, $x=-2$. Сонда $y=6{,}5\cdot(-2)=-13$.

Жауабы: 1) $(-8;,49)$; 2) $(17;,40{,}8)$; 3) $(1;,12)$; 4) $(-1;,8{,}2)$; 5) $(1;,-2)$; 6) $(-2;,-13)$.

B деңгейі

№ 23.6

Функция графиктерінің қиылысатынын дәлелдеңдер: 1) $y=9+x$ және $y=5x+6$; 2) $y=-0{,}5x+13$ және $y=8+x$; 3) $y=6x-5{,}1$ және $y=9x-6$.

Қалай ойлаймыз. Функциялардың $k$ мәндері әртүрлі екенін көрсету жеткілікті: онда түзулер міндетті түрде қиылысады.

Шешуі.

1. $y=x+9$ функциясында $k=1$, $y=5x+6$ функциясында $k=5$. Әртүрлі.
2. Біріншісінде $k=-0{,}5$, екіншісінде $y=x+8$ болғандықтан $k=1$. Әртүрлі.
3. $k=6$ және $k=9$. Әртүрлі.

$k$ әртүрлі болғандықтан, $(k_1-k_2)x=b_2-b_1$ теңдеуінің жалғыз шешімі бар, яғни ортақ нүкте біреу. Демек, түзулер қиылысады.

Жауабы: үш жағдайда да $k_1\ne k_2$, сондықтан графиктер қиылысады.

№ 23.7

1) $y=1{,}4x+2$ және $y=x+2$; 2) $y=-x+1{,}5$ және $y=2x-3$; 3) $y=7+9x$ және $y=-9x-0{,}9$; 4) $y=-\frac{5}{11}x+2$ және $y=x-14$ сызықтық функцияларының графиктерін салып, олардың өзара орналасуын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. $k$ бойынша алдын ала белгілі: бәрінде $k$ әртүрлі, демек, барлығында қиылысады. Нүктені табу қалды: формулаларды теңестіреміз.

Шешуі. Салу үшін әрқайсысынан екі нүкте аламыз.

1. $y=1{,}4x+2$: $(0;,2)$ және $(5;,9)$. $y=x+2$: $(0;,2)$ және $(3;,5)$. Қиылысу нүктесі $(0;,2)$ (екеуінде де $b=2$).
2. $y=-x+1{,}5$: $(0;,1{,}5)$ және $(1{,}5;,0)$. $y=2x-3$: $(0;,-3)$ және $(1{,}5;,0)$. Теңестіреміз: $-x+1{,}5=2x-3$, $3x=4{,}5$, $x=1{,}5$, $y=0$.
3. $y=9x+7$: $(0;,7)$ және $(-1;,-2)$. $y=-9x-0{,}9$: $(0;,-0{,}9)$ және $(-1;,8{,}1)$. $9x+7=-9x-0{,}9$, $18x=-7{,}9$, $x=-\frac{79}{180}$, $y=9\cdot\left(-\frac{79}{180}\right)+7=-3{,}95+7=3{,}05$.
4. $y=-\frac{5}{11}x+2$: $(0;,2)$ және $(11;,-3)$. $y=x-14$: $(0;,-14)$ және $(14;,0)$. $-\frac{5}{11}x+2=x-14$, $16=\frac{16}{11}x$, $x=11$, $y=-3$.

Жауабы: төрт жағдайда да графиктер қиылысады: 1) $(0;,2)$ нүктесінде; 2) $(1{,}5;,0)$; 3) $\left(-\frac{79}{180};,3{,}05\right)$; 4) $(11;,-3)$.

№ 23.8

1) $y=-4$; 2) $y=\frac{8}{9}$; 3) $y=0$ функциясының графигіне параллель болатын бірнеше сызықтық функцияның формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл графиктер — горизонталь түзулер, олардың $k=0$. Оларға параллель түзулер де горизонталь: $k=0$, ал $b$ саны басқа.

Шешуі.

1. $y=-4$ — бұл $y=0\cdot x-4$. Параллельдері: $y=1$, $y=5$, $y=-7$.
2. $y=\frac{8}{9}$. Параллельдері: $y=2$, $y=-3$, $y=0{,}5$.
3. $y=0$ — бұл $Ox$ осі. Оған параллельдер: $y=1$, $y=-2$, $y=10$.

Жауабы: $b$ саны басқа болатын кез келген $y=b$, мысалы: 1) $y=1$, $y=5$; 2) $y=2$, $y=-3$; 3) $y=1$, $y=-2$.

№ 23.9

1) $b=-3;\ 5$ болғанда $y=0{,}5x+b$; 2) $k=4;\ -\frac{1}{4}$ болғанда $y=kx-2$ формуласымен берілген функциялардың графиктерін бір координаталар жазықтығына салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мәндерді қойып, екі нүкте бойынша саламыз. 1-тармақта $b$ өзгереді, еңкею бір — параллель түзулер шығады. 2-тармақта $k$ өзгереді — түзулер $(0;,-2)$ нүктесінде қиылысады.

Шешуі.

1. $b=-3$: $y=0{,}5x-3$, нүктелері $(0;,-3)$ және $(6;,0)$. $b=5$: $y=0{,}5x+5$, нүктелері $(0;,5)$ және $(-10;,0)$. Екеуінде де $k=0{,}5$, сондықтан түзулер параллель.
2. $k=4$: $y=4x-2$, нүктелері $(0;,-2)$ және $(1;,2)$. $k=-\frac{1}{4}$: $y=-\frac{1}{4}x-2$, нүктелері $(0;,-2)$ және $(4;,-3)$. Түзулер $(0;,-2)$ нүктесінде қиылысады.

Жауабы: 1) екі параллель түзу; 2) $(0;,-2)$ нүктесінде қиылысатын екі түзу.

№ 23.10

Ордината осін: 1) $A(0;,-3{,}5)$; 2) $B(0;,-2\frac{1}{2})$; 3) $C(0;,\frac{5}{6})$; 4) $D(0;,-4{,}8)$ нүктесінде қиятын және а) $y=4x-7$; ә) $y=10-2{,}5x$ функциясы графигіне параллель болатын сызықтық функцияның формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $Oy$ осіндегі $(0;,b)$ нүктесі бірден $b$ санын береді. 1–3-тармақтарда $k$ кез келген. 4-тармақта $k$ берілген функциядағыдай алынады.

Шешуі.

1. $b=-3{,}5$: мысалы, $y=x-3{,}5$.
2. $b=-2\frac{1}{2}=-2{,}5$: мысалы, $y=2x-2{,}5$.
3. $b=\frac{5}{6}$: мысалы, $y=3x+\frac{5}{6}$.
4. $b=-4{,}8$. а) $k=4$: $y=4x-4{,}8$. ә) $y=10-2{,}5x$, демек $k=-2{,}5$: $y=-2{,}5x-4{,}8$.

Жауабы: 1) мысалы $y=x-3{,}5$; 2) мысалы $y=2x-2{,}5$; 3) мысалы $y=3x+\frac{5}{6}$; 4) а) $y=4x-4{,}8$; ә) $y=-2{,}5x-4{,}8$.

C деңгейі

Бұл — ең қиын тапсырмалар. Тіпті талпыныстың өзі үлкен жетістік!

№ 23.11

Егер $y=3x+b$, $y=4x+b$, $y=-x+b$, $y=2{,}2x+b$ сызықтық функциясының графиктері: 1) $y=x+7{,}2$; 2) $y=-5x+9$; 3) $y=3{,}4x-8$; 4) $y=-\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}$ сызықтық функция графигімен бір нүктеде қиылысса, $b$ санын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Төрт функцияда да $b$ бірдей. Демек, олардың бәрі $Oy$ осіндегі $(0;,b)$ нүктесі арқылы өтеді. Төртінші график те сол нүктеден өтуі керек, яғни оның $x=0$ кездегі мәні $b$-ға тең.

Шешуі. Әр функцияға $x=0$ қоямыз.

1. $y=0+7{,}2=7{,}2$.
2. $y=-5\cdot 0+9=9$.
3. $y=3{,}4\cdot 0-8=-8$.
4. $y=-\frac{3}{8}\cdot 0-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$.

Жауабы: 1) $b=7{,}2$; 2) $b=9$; 3) $b=-8$; 4) $b=-\frac{1}{4}$.

№ 23.12

Графигі координаталар басы арқылы өтетін және 1) $y=7x+5$; 2) $y=3{,}2x-4$; 3) $y=-\frac{6}{7}x+3$; 4) $y=-4{,}5x-8$ функциясы графигіне параллель болатын $y=kx+b$ функциясының графигі қай ширектерде орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Параллель болса, $k$ бірдей. Координаталар басы арқылы өтсе, $b=0$, яғни $y=kx$. $k>0$ болса, түзу «жоғары» бағытталады (I және III ширектер), $k<0$ болса — «төмен» (II және IV).

Шешуі.

1. $k=7>0$, график $y=7x$.
2. $k=3{,}2>0$, график $y=3{,}2x$.
3. $k=-\frac{6}{7}<0$, график $y=-\frac{6}{7}x$.
4. $k=-4{,}5<0$, график $y=-4{,}5x$.

Жауабы: 1) I және III ширектерде; 2) I және III; 3) II және IV; 4) II және IV.

№ 23.13

Графигі $A(-1;,3)$ нүктесі арқылы өтетін және ордината осін ординатасы: 1) 4,8; 2) $-6{,}05$; 3) 8,6; 4) $9\frac{1}{3}$ болатын нүктеде қиятын сызықтық функцияның формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $Oy$ осімен қиылысу нүктесінің ординатасы — бұл $b$. $y=kx+b$ формуласына $x=-1$, $y=3$ қойып, $k$-ны табамыз: $3=-k+b$, одан $k=b-3$.

Шешуі.

1. $b=4{,}8$, $k=4{,}8-3=1{,}8$.
2. $b=-6{,}05$, $k=-6{,}05-3=-9{,}05$.
3. $b=8{,}6$, $k=8{,}6-3=5{,}6$.
4. $b=9\frac{1}{3}$, $k=9\frac{1}{3}-3=6\frac{1}{3}$.

1-тармақты тексереміз: $y=1{,}8\cdot(-1)+4{,}8=3$. Дұрыс.

Жауабы: 1) $y=1{,}8x+4{,}8$; 2) $y=-9{,}05x-6{,}05$; 3) $y=5{,}6x+8{,}6$; 4) $y=6\frac{1}{3}x+9\frac{1}{3}$.

№ 23.14

Графигі $y=3x+5$ функциясының графигіне параллель және 1) $A(-4;,1)$; 2) $B(1;,15)$; 3) $C\left(\frac{1}{3};,\frac{1}{16}\right)$; 4) $M(0{,}15;,-1)$ нүктесі арқылы өтетін сызықтық функцияның формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Параллель график — $k=3$ сол қалпында. Демек, функция $y=3x+b$. Нүктенің координаталарын қойып, $b=y-3x$ табамыз.

Шешуі.

1. $b=1-3\cdot(-4)=1+12=13$.
2. $b=15-3\cdot 1=12$.
3. $b=\frac{1}{16}-3\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{16}-1=-\frac{15}{16}$.
4. $b=-1-3\cdot 0{,}15=-1-0{,}45=-1{,}45$.

Жауабы: 1) $y=3x+13$; 2) $y=3x+12$; 3) $y=3x-\frac{15}{16}$; 4) $y=3x-1{,}45$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 23.15

$x+4y=5$, $3x-y=2$ теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешіңдер.

Қалай ойлаймыз. Екінші теңдеуді 4-ке көбейтейік: сонда екі теңдеудегі $y$ қарама-қарсы таңбалы болады да, қосқанда жойылады.

Шешуі.

1. Екінші теңдеуді 4-ке көбейтеміз: $12x-4y=8$.
2. Біріншісімен қосамыз: $x+12x+4y-4y=5+8$, яғни $13x=13$, $x=1$.
3. Екінші теңдеуден: $y=3x-2=3-2=1$.
4. Тексеру: $1+4\cdot 1=5$, $3\cdot 1-1=2$. Дұрыс.

Жауабы: $(1;,1)$.

№ 23.16

$5x-y=6$, $x-6y=7$ теңдеулер жүйесін алмастыру тәсілімен шешіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бірінші теңдеуден $y$-ті оңай өрнектеуге болады, сосын оны екіншіге қоямыз.

Шешуі.

1. Біріншіден: $y=5x-6$.
2. Екіншіге қоямыз: $x-6(5x-6)=7$, $x-30x+36=7$, $-29x=-29$, $x=1$.
3. Сонда $y=5\cdot 1-6=-1$.
4. Тексеру: $5\cdot 1-(-1)=6$, $1-6\cdot(-1)=7$. Дұрыс.

Жауабы: $(1;,-1)$.

Жадынама

• Алдымен $k$-ны салыстыр. Әртүрлі болса — қиылысады.
• $k$ бірдей болса, $b$-ға қара: әртүрлі болса — параллель, бірдей болса — беттеседі.
• Қиылысу нүктесі: оң жақтарын теңестір, $x$-ті тап, сосын $y$-ті.
• Нүкте арқылы өтетін параллель түзу: сол $k$-ны ал, $b$-ны қою арқылы тап.

Шағын тест