§ 24. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шешу

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 145–149-беттер.

Нені үйренесің

• Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің графигін салуды.
• Екі түзу сызып, екі сызықтық теңдеудің жүйесін шешуді.
• Шешім қашан біреу, қашан мүлде жоқ, ал қашан шексіз көп болатынын түсінуді.
• Жауапты $(x;,y)$ санды жұбы түрінде жазуды.

Ой қозғау

Өткен сабақтағы екі жаттығу (№ 23.15 және № 23.16) жүйелер туралы еді. Соларды және тағы бірнеше нәрсені еске түсірейік.

• Теңдеулер жүйесін шешу дегеніміз не? Екі теңдеуге де бірдей келетін $(x;,y)$ жұптарын табу.
• Жүйелерді шешудің қандай тәсілдерін білесің? Алмастыру және қосу тәсілдері.
• № 23.15 ($x+4y=5$, $3x-y=2$) шешімі? $(1;,1)$.
• № 23.16 ($5x-y=6$, $x-6y=7$) шешімі? $(1;,-1)$.
• $2x+y-4=0$ теңдеуінен $y$-ті қалай өрнектейміз? Қалғанын оң жаққа көшіреміз: $y=4-2x$, яғни $y=-2x+4$.

Тақырыпты талдаймыз

Идея: шешім — кездесу нүктесі

Екі айнымалысы бар әрбір сызықтық теңдеу жазықтықта түзуді береді: осы түзудің барлық нүктелері — теңдеудің шешімдері. Ал жүйенің шешімі екі теңдеуге де келуі керек. Демек, бұл — бір мезгілде екі түзудің бойында жататын нүкте. Яғни қиылысу нүктесі!

Сондықтан бұл тәсіл графиктік деп аталады: графиктер бойынша шешеміз.

📌 Алгоритм. 1) Бір координаталық жазықтықта әр теңдеудің графигін сал. 2) Графиктердің қиылысу нүктесінің (егер қиылысса) координаталарын тап. 3) Жауапты $(x;,y)$ жұбы түрінде жаз немесе жүйенің шешімі жоқ екенін, не шексіз көп шешімі бар екенін көрсет.

1-мысал. Түзулер қиылысады

$y-2x=0$ және $2x+y-4=0$ теңдеулер жүйесін шешейік.

Әр теңдеудегі $y$-ті $x$ арқылы өрнектейміз: $y=2x$ және $y=-2x+4$. Бірінші график координаталар басы арқылы өтетіні белгілі, сондықтан оған тағы бір нүкте жеткілікті: $(1;,2)$. Екінші түзу үшін $(0;,4)$ және $(2;,0)$ нүктелерін аламыз.

Түзулер $A(1;,2)$ нүктесінде қиылысты. Тексеру: $2\cdot 1=2$ және $-2\cdot 1+4=2$. Екі теңдеу де дұрыс.

Жауабы: $(1;,2)$. Шешім жалғыз.

2-мысал. Түзулер параллель

$2y-x-2=0$ және $y=0{,}5x-1$ теңдеулер жүйесін шешейік.

Біріншіден: $2y=x+2$, яғни $y=0{,}5x+1$. Сонда $y=0{,}5x+1$ және $y=0{,}5x-1$ функциялары шығады: еңкеуі $k=0{,}5$ бірдей, $b$ әртүрлі. Кесте құрамыз: $y=0{,}5x-1$ үшін $(0;,-1)$ және $(2;,0)$, ал $y=0{,}5x+1$ үшін $(0;,1)$ және $(2;,2)$.

Түзулер қиылыспайды, олар өзара параллель орналасқан. Ортақ нүкте жоқ.

Жауабы: жүйенің шешімі жоқ.

3-мысал. Түзулер беттеседі

$y+3x-2=0$ және $2y=4-6x$ теңдеулер жүйесінің қанша шешімі бар?

Біріншіден: $y=2-3x$. Екіншіні 2-ге бөлеміз: $y=2-3x$. Бұл — бір формула! Демек, түзу біреу. Мысалы, $A(0;,2)$ және $B(1;,-1)$ нүктелері арқылы жүргізуге болады, сол түзу екі теңдеудің де графигі.

$y=2-3x$ түзуінің әрбір нүктесі екі теңдеуге де келеді, ондай нүктелер шексіз көп.

Жауабы: шексіз көп шешім.

💡 Жазықтықтағы кез келген екі түзу не қиылысады, не параллель болады, не беттеседі. Сондықтан екі сызықтық теңдеу жүйесінде үш нұсқаның дәл біреуі болады: бір шешім, шешімі жоқ немесе шексіз көп шешім.

⚠️ Жиі кететін қате. Қиылысу нүктесінің координаталарын «көзбен» оқу. Қиылысу тор көздің түйініне түспесе, жауап шамамен шығады. Табылған жұпты міндетті түрде екі теңдеуге қойып тексер.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Графиктік тәсіл көрнекі, бірақ әрқашан дәл бола бермейді. Тексеру үшін баладан табылған жұпты екі теңдеуге де қойдырыңыз: осылайша ол өзін-өзі бақылауды үйренеді.

Шешімдердің санын сызбай қалай анықтаймыз

Екі теңдеуді де $y=kx+b$ түріне келтіріп, $k$ мен $b$-ны салыстыр (бұл — өткен сабақтағы ереже).

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Жүйені шешу тәсілдерінің бірін неліктен графиктік тәсіл деп атайды? Өйткені шешім графиктер бойынша табылады: түзулер салынады да, олардың қайда қиылысатыны қаралады.
• Екі айнымалысы бар екі сызықтық теңдеу жүйесін шешу үшін қанша және қандай сызық салу керек? Екі түзу, әр теңдеуге біреуден, бір координаталық жазықтықта.
• Неліктен мұндай жүйенің бір шешімі болуы, мүлде болмауы немесе шексіз көп болуы мүмкін? Жазықтықтағы екі түзу қиылысуы (бір ортақ нүкте), параллель болуы (ортақ нүкте жоқ) немесе беттесуі (барлық нүктелері ортақ) мүмкін. Басқа нұсқа жоқ.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 24.1

Теңдеу графигінің $Ox$ осімен қиылысу нүктесінің координаталарын табыңдар: 1) $x+y=8$; 2) $y-x=7$; 3) $5x-y=2$; 4) $6x-2y=1$; 5) $x+4y-5=0$; 6) $2x+3y+1=0$.

Қалай ойлаймыз. $Ox$ осінде ордината нөлге тең. $y=0$ қойып, $x$-ті табамыз.

Шешуі.

1. $x+0=8$, $x=8$.
2. $0-x=7$, $x=-7$.
3. $5x-0=2$, $x=\frac{2}{5}=0{,}4$.
4. $6x=1$, $x=\frac{1}{6}$.
5. $x-5=0$, $x=5$.
6. $2x+1=0$, $x=-\frac{1}{2}=-0{,}5$.

Жауабы: 1) $(8;,0)$; 2) $(-7;,0)$; 3) $(0{,}4;,0)$; 4) $\left(\frac{1}{6};,0\right)$; 5) $(5;,0)$; 6) $(-0{,}5;,0)$.

№ 24.2

Теңдеу графигінің $Oy$ осімен қиылысу нүктесінің координаталарын табыңдар: 1) $x+y=13$; 2) $x-y=1{,}7$; 3) $x+8y=11{,}2$; 4) $5x-y=3$; 5) $8y-7x=14$; 6) $9x+1{,}6y=3$.

Қалай ойлаймыз. $Oy$ осінде абсцисса нөлге тең. $x=0$ қойып, $y$-ті табамыз.

Шешуі.

1. $y=13$.
2. $-y=1{,}7$, $y=-1{,}7$.
3. $8y=11{,}2$, $y=1{,}4$.
4. $-y=3$, $y=-3$.
5. $8y=14$, $y=1{,}75$.
6. $1{,}6y=3$, $y=\frac{3}{1{,}6}=1{,}875$.

Жауабы: 1) $(0;,13)$; 2) $(0;,-1{,}7)$; 3) $(0;,1{,}4)$; 4) $(0;,-3)$; 5) $(0;,1{,}75)$; 6) $(0;,1{,}875)$.

№ 24.3

Теңдеудің графигін салыңдар: 1) $y=x+5$; 2) $y=x-4$; 3) $y=7-2x$; 4) $x-y=6$; 5) $3x+2y=1$; 6) $x+4y=9$; 7) $3y-18=0$; 8) $16+8x=0$; 9) $4-x-y=0$.

Қалай ойлаймыз. График — түзу, сондықтан екі нүкте жеткілікті. Кесте құрамыз: ыңғайлы $x$ аламыз да, $y$-ті есептейміз. 7 және 8-тармақтар ерекше жағдай: түзулер осьтерге параллель.

Шешуі. Салуға арналған нүктелер:

7-тармақта график — биіктігі 6 болатын горизонталь түзу. 8-тармақта — $x=-2$ арқылы өтетін вертикаль түзу. Бұл функцияның графигі емес: бір $x$-ке көп $y$ сәйкес келеді.

Жауабы: барлық тармақта кестедегі екі нүкте бойынша түзу саламыз; 7-тармақ — горизонталь түзу $y=6$, 8-тармақ — вертикаль түзу $x=-2$.

№ 24.4

Функцияның графиктерін салып, олардың қиылысу нүктелерінің координаталарын табыңдар: 1) $y=x+4$ және $y=6-x$; 2) $y=7x+9$ және $y=3+x$; 3) $x+y=3$ және $x-y=1$; 4) $3x-2y=-2$ және $7x-5y=-4$.

Қалай ойлаймыз. Екі түзуді де саламыз, олардың қайда кездескенін қараймыз да, қойып тексереміз (немесе формулаларды теңестіреміз).

Шешуі.

1. Нүктелер: $y=x+4$: $(0;,4)$, $(-4;,0)$. $y=6-x$: $(0;,6)$, $(6;,0)$. Теңестіреміз: $x+4=6-x$, $x=1$, $y=5$.
2. $y=7x+9$: $(0;,9)$, $(-1;,2)$. $y=x+3$: $(0;,3)$, $(-1;,2)$. Олар $(-1;,2)$ нүктесінде түйісті.
3. $y=3-x$: $(0;,3)$, $(3;,0)$. $y=x-1$: $(0;,-1)$, $(1;,0)$. Қиылысу нүктесі $(2;,1)$: $2+1=3$ және $2-1=1$.
4. $y=\frac{3x+2}{2}$: $(0;,1)$, $(-2;,-2)$. $y=\frac{7x+4}{5}$: $(-2;,-2)$, $(3;,5)$. Қиылысу нүктесі $(-2;,-2)$: $3\cdot(-2)-2\cdot(-2)=-6+4=-2$, $7\cdot(-2)-5\cdot(-2)=-14+10=-4$. Дұрыс.

Жауабы: 1) $(1;,5)$; 2) $(-1;,2)$; 3) $(2;,1)$; 4) $(-2;,-2)$.

B деңгейі

Теңдеулер жүйесін шешіңдер (№ 24.5–24.7).

№ 24.5

1) $y=2x$, $y=2+x$; 2) $y=-2x$, $y=x-3$; 3) $y-5x=0$, $y=x-4$; 4) $y-3x=0$, $y=-6+x$.

Қалай ойлаймыз. Әр теңдеу — түзу. Екі нүкте бойынша саламыз да, қиылысуын іздейміз. Барлық $k$ әртүрлі, сондықтан әр жүйеде шешім біреу.

Шешуі.

1. $y=2x$: $(0;,0)$, $(2;,4)$. $y=x+2$: $(0;,2)$, $(-2;,0)$. Кездесу: $2x=x+2$, $x=2$, $y=4$.
2. $y=-2x$: $(0;,0)$, $(1;,-2)$. $y=x-3$: $(0;,-3)$, $(3;,0)$. Кездесу: $-2x=x-3$, $x=1$, $y=-2$.
3. $y=5x$: $(0;,0)$, $(-1;,-5)$. $y=x-4$: $(0;,-4)$, $(4;,0)$. Кездесу: $5x=x-4$, $x=-1$, $y=-5$.
4. $y=3x$: $(0;,0)$, $(-3;,-9)$. $y=x-6$: $(0;,-6)$, $(6;,0)$. Кездесу: $3x=x-6$, $x=-3$, $y=-9$.

Жауабы: 1) $(2;,4)$; 2) $(1;,-2)$; 3) $(-1;,-5)$; 4) $(-3;,-9)$.

№ 24.6

1) $x+y=9$, $x-y=1$; 2) $3x+y=1$, $x+y=5$; 3) $y-6x=-25$, $y-x=-5$; 4) $y+7x=-18$, $y+x=0$.

Қалай ойлаймыз. Екі теңдеуден де $y$-ті өрнектеп, екі түзу саламыз. Сенімді болу үшін қойып тексереміз.

Шешуі.

1. $y=9-x$: $(0;,9)$, $(9;,0)$. $y=x-1$: $(0;,-1)$, $(1;,0)$. Қиылысуы: $(5;,4)$, себебі $5+4=9$ және $5-4=1$.
2. $y=1-3x$: $(0;,1)$, $(1;,-2)$. $y=5-x$: $(0;,5)$, $(5;,0)$. Қиылысуы: $1-3x=5-x$, $x=-2$, $y=7$. Тексеру: $3\cdot(-2)+7=1$, $-2+7=5$.
3. $y=6x-25$: $(4;,-1)$, $(5;,5)$. $y=x-5$: $(0;,-5)$, $(4;,-1)$. Қиылысуы: $(4;,-1)$. Тексеру: $-1-24=-25$, $-1-4=-5$.
4. $y=-7x-18$: $(-3;,3)$, $(-2;,-4)$. $y=-x$: $(0;,0)$, $(-3;,3)$. Қиылысуы: $(-3;,3)$. Тексеру: $3-21=-18$, $3-3=0$.

Жауабы: 1) $(5;,4)$; 2) $(-2;,7)$; 3) $(4;,-1)$; 4) $(-3;,3)$.

№ 24.7

1) $x+20y=37$, $5y+x=7$; 2) $y-8x=-33$, $7x-y=29$; 3) $17x+y=90$, $y-23x=-110$.

Қалай ойлаймыз. Сандар үлкен, сондықтан қиылысу нүктесін көзбен бірден ұстау қиын. Алдымен теңдеулерді азайту немесе қосу арқылы шешімін табамыз, сосын екі нүкте бойынша екі түзудің де сол нүкте арқылы өтетінін тексереміз.

Шешуі.

1. Біріншіден екіншіні азайтамыз: $(x+20y)-(x+5y)=37-7$, $15y=30$, $y=2$. Сонда $x=7-5\cdot 2=-3$. Түзулер: $y=\frac{37-x}{20}$ түзуі $(-3;,2)$ және $(17;,1)$ нүктелері арқылы, ал $y=\frac{7-x}{5}$ түзуі $(-3;,2)$ және $(2;,1)$ нүктелері арқылы өтеді.
2. Теңдеулерді қосамыз: $(y-8x)+(7x-y)=-33+29$, $-x=-4$, $x=4$. Сонда $y=8\cdot 4-33=-1$. Түзулер: $y=8x-33$ түзуі $(4;,-1)$ және $(5;,7)$ арқылы; $y=7x-29$ түзуі $(4;,-1)$ және $(5;,6)$ арқылы өтеді.
3. Азайтамыз: $(17x+y)-(y-23x)=90+110$, $40x=200$, $x=5$. Сонда $y=90-17\cdot 5=5$. Түзулер: $y=90-17x$ түзуі $(5;,5)$ және $(4;,22)$ арқылы; $y=23x-110$ түзуі $(5;,5)$ және $(4;,-18)$ арқылы өтеді.

Жауабы: 1) $(-3;,2)$; 2) $(4;,-1)$; 3) $(5;,5)$.

№ 24.8

Теңдеулер жүйесінің қанша шешімі болатынын анықтаңдар: 1) $6x+y=0$, $-4x+y=2$; 2) $y+x=7$, $y=-x-5$; 3) $x-y=2$, $3x-3y-6=0$.

Қалай ойлаймыз. Екі теңдеуден де $y$-ті өрнектеп, $k$ мен $b$-ны салыстырамыз. Сызудың қажеті жоқ.

Шешуі.

1. $y=-6x$ және $y=4x+2$: $k=-6$ және $k=4$ әртүрлі, түзулер қиылысады.
2. $y=-x+7$ және $y=-x-5$: екеуінде де $k=-1$, $b=7$ және $b=-5$ әртүрлі, түзулер параллель.
3. $y=x-2$. Екіншісінде: $3y=3x-6$, $y=x-2$. Бірдей, түзулер беттеседі.

Жауабы: 1) бір шешім; 2) шешімі жоқ; 3) шексіз көп шешім.

C деңгейі

Мұнда нағыз тапқырлық керек. Алдымен өзің байқап көр, сосын тексер!

№ 24.9

Егер $A(x_0;,y_0)$ нүктесі: 1) $7x-3y=-1$, $14x-2y=\frac{2}{3}$; 2) $12y+7x=-4$, $x+24y=-2\frac{5}{7}$; 3) $8y-7x=-5{,}6$, $35x+2y=7$; 4) $10x+12y=7{,}5$, $24y-5x=-5$ теңдеулер жүйесінің шешімі болса, онда $7x_0+3y_0$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $7x_0+3y_0$ өрнегі алдымен $x_0$ мен $y_0$-ді табуды талап етеді. Жүйені кез келген тәсілмен (мысалы, қосу арқылы) шығарамыз да, сосын есептейміз.

Шешуі.

1. Біріншіні 2-ге көбейтеміз: $14x-6y=-2$. Мұны екіншіден азайтамыз: $(14x-2y)-(14x-6y)=\frac{2}{3}+2$, $4y=\frac{8}{3}$, $y=\frac{2}{3}$. Сонда $7x=-1+3y=-1+2=1$, $x=\frac{1}{7}$. Демек, $7x+3y=1+2=3$.
2. Екіншіден: $x=-\frac{19}{7}-24y$ (себебі $2\frac{5}{7}=\frac{19}{7}$). Біріншіге қоямыз: $12y+7\left(-\frac{19}{7}-24y\right)=-4$, $12y-19-168y=-4$, $-156y=15$, $y=-\frac{5}{52}$. Сонда $x=-\frac{19}{7}+\frac{120}{52}=-\frac{19}{7}+\frac{30}{13}=-\frac{37}{91}$. Өрнек: $7\cdot\left(-\frac{37}{91}\right)+3\cdot\left(-\frac{5}{52}\right)=-\frac{37}{13}-\frac{15}{52}=-\frac{148}{52}-\frac{15}{52}=-\frac{163}{52}=-3\frac{7}{52}$.
3. Екіншіні 4-ке көбейтеміз: $140x+8y=28$. Біріншіні азайтамыз: $(140x+8y)-(8y-7x)=28+5{,}6$, $147x=33{,}6$, $x=\frac{8}{35}$. Екіншіден: $2y=7-35\cdot\frac{8}{35}=7-8=-1$, $y=-0{,}5$. Өрнек: $7\cdot\frac{8}{35}+3\cdot(-0{,}5)=1{,}6-1{,}5=0{,}1$.
4. Біріншіні 2-ге көбейтеміз: $20x+24y=15$. Екіншіні азайтамыз: $(20x+24y)-(24y-5x)=15+5$, $25x=20$, $x=0{,}8$. Екіншіден: $24y=-5+5\cdot 0{,}8=-1$, $y=-\frac{1}{24}$. Өрнек: $7\cdot 0{,}8+3\cdot\left(-\frac{1}{24}\right)=5{,}6-0{,}125=5{,}475$.

Жауабы: 1) $3$; 2) $-3\frac{7}{52}$; 3) $0{,}1$; 4) $5{,}475$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 24.10

24.4-кестені қолданып, сызықтық функцияның графигін салыңдар.

Кесте: $x=-1$ болғанда $y=-5$; $x=0$ болғанда $y=-3$.

Қалай ойлаймыз. Сызықтық функция $y=kx+b$. $x=0$ болғанда бірден $b=-3$. Сосын бірінші нүктеден $k$-ны табамыз.

Шешуі.

1. $x=0$, $y=-3$, демек $b=-3$.
2. $x=-1$, $y=-5$ қоямыз: $-5=-k-3$, $k=2$.
3. Формула: $y=2x-3$. График — $(-1;,-5)$ және $(0;,-3)$ нүктелері арқылы өтетін түзу (мысалы, тағы $(2;,1)$).

Жауабы: $y=2x-3$; график — $(-1;,-5)$ және $(0;,-3)$ нүктелері арқылы өтетін түзу.

№ 24.11

$y=-2x+4$ сызықтық функциясының графигін салыңдар. Графикті қолданып, $x$-тің қандай мәнінде функция теріс емес мәндерді қабылдайтынын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. «Теріс емес» дегеніміз $y\ge 0$, яғни график $Ox$ осінде немесе одан жоғары жатады.

Шешуі.

1. Нүктелер: $(0;,4)$ және $(2;,0)$. Олар арқылы түзу жүргіземіз.
2. Түзу $Ox$ осін $x=2$ нүктесінде қиып өтеді.
3. $x=2$-ден солда график ось үстінде, $x=2$ болғанда ось бойында. Оңда — осьтен төмен.
4. Тексеру: $-2x+4\ge 0$, $x\le 2$.

Жауабы: $x\le 2$, яғни $x\in(-\infty;,2]$.

Жадынама

• Теңдеулерді $y=kx+b$ түріне келтіріп, әрқайсысын екі нүкте бойынша сал.
• Қиылысу нүктесінің координаталарын міндетті түрде екі теңдеуге қойып тексер.
• Вертикаль $x=a$ және горизонталь $y=b$ түзулері де теңдеулердің графигі болады.
• Шешімдер санын сызбай-ақ $k$ мен $b$ бойынша білуге болады.

Шағын тест