§ 25. y = ax² (a ≠ 0) функциясы, оның графигі және қасиеттері

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 149–154-беттер.

Нені үйренесің

• $y = ax^{2}$ функциясының қасиеттерін атауды: анықталу облысы, мәндерінің жиыны, нөлдері, өсу және кему аралықтары.
• Мәндер кестесі бойынша парабола салуды.
• $a$ коэффициенті параболаны қалай созатынын, сығатынын және аударатынын түсінуді.
• Нүктенің параболада жату-жатпауын тексеруді және аралықтағы ең үлкен және ең кіші мәндерді табуды.
• $ax^{2} = bx + c$ түріндегі теңдеулерді графиктер арқылы шешуді.

Ой қозғау

• $(-4)^{2}$ неге тең және $-4^{2}$ неге тең? $(-4)^{2} = 16$, ал $-4^{2} = -16$: екінші жағдайда тек төртті квадраттаймыз, минус сол күйінде қалады.
• Санның квадраты теріс бола ала ма? Жоқ. Кез келген санның квадраты — нөл немесе оң сан.
• Оң санды квадратқа көбейтсе, не шығады? Тағы да нөлден кем емес сан.
• Ал теріс санды квадратқа көбейтсе ше? Нөлден артық емес сан. Мұны есте сақта, қазір керек болады.
• $y = 3x$ функциясының $x = 4$ кездегі мәнін қалай табамыз? Қоямыз: $3 \cdot 4 = 12$.

Тақырыпты талдаймыз

$y = ax^{2}$ дегеніміз не

$y = ax^{2}$ формуласы былай дейді: $x$ санын алып, квадраттап, сосын $a$ санына көбейт. $a$ саны нөлге тең болмауы керек, әйтпесе қисық орнына жай ғана $Ox$ осі шығады.

Мысалы, $y = x^{2}$ (мұнда $a = 1$), $y = -3x^{2}$ (мұнда $a = -3$) немесе $y = \frac{1}{2}x^{2}$ (мұнда $a = \frac{1}{2}$).

Қасиеттері бойынша

1) Анықталу облысы. Формулаға кез келген санды қоюға болады: бәрін де квадраттап, $a$-ға көбейте аламыз. Сондықтан $D(y) = (-\infty; +\infty)$, яғни бүкіл сан осі.

2) Мәндерінің жиыны. Мұнда $a$-ның таңбасы маңызды.

• $a > 0$ болса, $ax^{2} \ge 0$: квадрат нөлден кем емес, ал оң сан таңбаны өзгертпейді. Демек, $E(y) = [0; +\infty)$.
• $a < 0$ болса, $ax^{2} \le 0$: квадрат нөлден кем емес, ал теріс сан оны «аударып жібереді». Демек, $E(y) = (-\infty; 0]$.

Бұдан графиктің қайда жататыны көрінеді: $a > 0$ болғанда I және II ширектерде ($Ox$ осінен жоғары), $a < 0$ болғанда III және IV ширектерде ($Ox$ осінен төмен).

3) Таңбатұрақтылық аралықтары. $a > 0$ болғанда функция $x = 0$ нүктесінен басқа жерде оң. $a < 0$ болғанда $x = 0$ нүктесінен басқа жерде теріс. Аралықтар: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) Функцияның нөлдері. Нөл бір нүктеде ғана шығады: $x = 0$. Неге? $ax^{2} = 0$ болсын. $a \ne 0$ болғандықтан, $x^{2} = 0$, яғни $x \cdot x = 0$. Көбейтінді тек бір көбейткіш нөлге тең болғанда ғана нөл болады, демек $x = 0$.

📌 $y = ax^{2}$ ($a \ne 0$) функциясы: $D = (-\infty; +\infty)$, нөлі біреу — $x = 0$. $a > 0$ болғанда $y \ge 0$, $a < 0$ болғанда $y \le 0$.

Парабола саламыз

$y = x^{2}$ және $y = -x^{2}$ функцияларының кестесін алып, нүктелерді белгілейміз.

Нүктелерді майысқан тегіс сызықпен қосамыз (сынық сызықпен емес!). Парабола шықты. Графиктің нүктесін басып, оның мәнін көр.

Суреттен не көрінеді:

• $a > 0$ болғанда тармақтары жоғары қарайды. Функция $(-\infty; 0]$ аралығында кемиді, $[0; +\infty)$ аралығында өседі. $(0; 0)$ нүктесі — ең төмен нүкте.
• $a < 0$ болғанда тармақтары төмен қарайды. Функция $(-\infty; 0]$ аралығында өседі, $[0; +\infty)$ аралығында кемиді. $(0; 0)$ нүктесі — ең жоғары нүкте.

🌟 Парабола симметриялы: суретті $Oy$ осі бойымен бүксең, сол және оң тармақтар беттеседі. Себебі қарапайым: $(-x)^{2} = x^{2}$, сондықтан $(x; y)$ және $(-x; y)$ нүктелері графикте бір мезгілде жатады. $Oy$ осі — параболаның симметрия осі.

$a$ коэффициенті не істейді

Бірдей $x$ кезінде үш функцияны салыстырайық.

$2x^{2}$ функциясының әр мәні $x^{2}$-тың мәнінен 2 есе үлкен. $\frac{1}{2}x^{2}$ функциясында — 2 есе кіші.

📌 $y = 2x^{2}$ функциясының графигі $y = x^{2}$ графигін $Oy$ осі бойымен 2 есе созу арқылы алынады. $y = \frac{1}{2}x^{2}$ функциясының графигі — $Oy$ осі бойымен 2 есе сығу. $a < 0$ болса, парабола тағы аударылады: $y = -2x^{2}$ — $y = 2x^{2}$ параболасының $Ox$ осіне қатысты айна бейнесі.

Қысқаша «$y = x^{2}$ функциясының графигі болатын параболаны салу» деудің орнына «$y = x^{2}$ параболасын салу» деп айтады.

💡 Өзің байқап көр. Бір координаталар жүйесінде $y = -x^{2}$, $y = -\frac{1}{2}x^{2}$ және $y = -2x^{2}$ параболаларын сал. Күтілетін нәтиже: үш тармағы төмен қараған парабола, ең «жіңішкесі» — $-2x^{2}$, ең «кеңі» — $-\frac{1}{2}x^{2}$, барлығы $(0; 0)$ нүктесінен шығады.

⚠️ Жиі кететін қате. Параболаның нүктелерін кесінділермен қосуға болмайды: бұрыштары бар «шыршаға» ұқсас сызық шығады. Төбесінің жанында нүктелер тығыз тұрады, сондықтан онда көбірек нүкте қой, мысалы $x = \pm\frac{1}{2}$ кезінде, және сызықты тегіс жүргіз.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $y = 3x^{2}$ үшін кесте құрғызып, парабола $y = x^{2}$-қа қарағанда қайда «тіктеу» екенін өзі тапқызыңыз. Пайдалы сұрақ: «Егер $x^{2}$-тың алдындағы таңбаны минусқа ауыстырсақ, график не болады?»

Енді практикада тексер: параболаның нүктесін қой.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $y = x^{2}$ параболасынан $y = -7x^{2}$ және $y = \frac{1}{7}x^{2}$ параболаларын қалай аламыз? $y = -7x^{2}$ үшін: $Oy$ бойымен 7 есе созып, $Ox$ осіне қатысты шағылыстыру. $y = \frac{1}{7}x^{2}$ үшін: $Oy$ бойымен 7 есе сығу.
• $y = 25x^{2}$ және $y = -25x^{2}$ параболалары бір-біріне қатысты қалай орналасқан? Олар $Ox$ осіне қатысты бір-біріне симметриялы: біреуі екіншісінің айна бейнесі сияқты.
• Неліктен ордината осі $y = ax^{2}$ түріндегі параболаның осьтік симметриясы болады? Өйткені $a(-x)^{2} = ax^{2}$. Демек, $(x; y)$ нүктесі параболада жатса, $(-x; y)$ нүктесі де сонда жатады, ал бұл нүктелер $Oy$ осіне қатысты симметриялы.
• $y = 9x^{2}$, $y = -9x^{2}$ параболалары қай координаталық ширектерде орналасқан? Біріншісі — I және II, екіншісі — III және IV ширектерде.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 25.1

1) $A(1; 3)$; 2) $B(0{,}5; 0{,}75)$; 3) $C(-2; 8)$; 4) $M(-4; 48)$; 5) $P(-1; 3{,}5)$; 6) $K(\pi; 3\pi^{2})$ нүктелері $y = 3x^{2}$ функциясының графигіне тиісті ме?

Қалай ойлаймыз. Нүктенің $x$ мәнін формулаға қойғанда оның $y$ мәні шықса, нүкте графикте жатады.

Шешуі.

1. $x = 1$: $3 \cdot 1^{2} = 3$. $y = 3$-пен сәйкес келді.
2. $x = 0{,}5$: $3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75$. Сәйкес келді.
3. $x = -2$: $3 \cdot 4 = 12 \ne 8$.
4. $x = -4$: $3 \cdot 16 = 48$. Сәйкес келді.
5. $x = -1$: $3 \cdot 1 = 3 \ne 3{,}5$.
6. $x = \pi$: $3\pi^{2}$. Сәйкес келді.

Жауабы: 1), 2), 4), 6) тиісті; 3) және 5) тиісті емес.

№ 25.2

$y = -3x^{2}$ функциясының графигін салыңдар. График бойынша функцияның өсу және кему аралықтарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұнда $a = -3 < 0$, демек, тармақтары төмен. Нүктелерді кесте бойынша есептейміз.

Шешуі. Төбесінің сол жағында ($x < 0$) график жоғары өрлейді, оң жағында ($x > 0$) төмен түседі.

Жауабы: $(-\infty; 0]$ аралығында өседі, $[0; +\infty)$ аралығында кемиді.

№ 25.3

1) $y = 4x^{2}$ және $y = \frac{1}{4}x^{2}$; 2) $y = -x^{2}$ және $y = \frac{1}{3}x^{2}$; 3) $y = 2x^{2}$ және $y = 5x^{2}$ функцияларының графиктерін бір координаталық жазықтыққа салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр функция үшін кесте құрып, нүктелерді белгілейміз. $|a|$ неғұрлым үлкен болса, парабола соғұрлым жіңішке.

Шешуі.

1. Кесте:

$y = 4x^{2}$ параболасы жіңішке, ал $y = \frac{1}{4}x^{2}$ кең, екеуінің де тармақтары жоғары.

2. $y = -x^{2}$ үшін $x = 0, \pm\frac{1}{2}, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ кезінде $0, -\frac{1}{4}, -1, -4, -9$ мәндерін аламыз; $y = \frac{1}{3}x^{2}$ үшін: $x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ кезінде $0, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}, 3$ шығады. Бірінші параболаның тармақтары төмен, екіншісінікі — жоғары.

3. $y = 2x^{2}$: $x = 0, \pm 1, \pm 2$ кезінде $0, 2, 8$ аламыз. $y = 5x^{2}$: $0, 5, 20$ (тағы $x = \pm\frac{1}{2}$ алған ыңғайлы: $\frac{5}{4}$). Екеуінің де тармақтары жоғары, екіншісі жіңішкерек.

Жауабы: үш сызбадан тұратын сурет: (1) екі параболаның да тармақтары жоғары, $4x^{2}$ жіңішке; (2) $-x^{2}$ төмен, $\frac{1}{3}x^{2}$ жоғары; (3) екеуі де жоғары, $5x^{2}$ параболасы $2x^{2}$-қа қарағанда жіңішке.

№ 25.4

$y = 0{,}4x^{2}$ функциясы графигінің көмегімен берілген өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $0{,}4 \cdot 3^{4}$ және $0{,}4 \cdot 4^{4}$; 2) $0{,}4 \cdot (-2)^{2}$ және $0{,}4 \cdot (-3)^{2}$.

Қалай ойлаймыз. $0{,}4 \cdot t^{2}$ өрнегі — функцияның $t$ нүктесіндегі мәні. Төбесінің оң жағында функция өседі: нүкте неғұрлым оңда болса, соғұрлым жоғары.

Шешуі.

1. Басылғандай, мұнда төртінші дәрежелер тұр. Екі бөлігі де оң, ал $3 < 4$, сондықтан $3^{4} < 4^{4}$ және $0{,}4 \cdot 3^{4} < 0{,}4 \cdot 4^{4}$ (яғни $32{,}4 < 102{,}4$). Егер мұны $y = 0{,}4x^{2}$ функциясының 3 және 4 нүктелеріндегі мәндері деп оқысақ, жауап сол: $3{,}6 < 6{,}4$.
2. $x = -2$ және $x = -3$ төбенің сол жағында жатыр, мұнда парабола кемиді. Неғұрлым солда болса, соғұрлым жоғары: $0{,}4 \cdot (-3)^{2} = 3{,}6$ мәні $0{,}4 \cdot (-2)^{2} = 1{,}6$ мәнінен үлкен.

Жауабы: 1) біріншісі екіншісінен кіші; 2) біріншісі екіншісінен кіші.

📕 Оқулықтағы қате? Қазақша басылымда да 1-тармақта 3 пен 4 сандарының көрсеткіші 4 болып басылған, ал $y = 0{,}4x^{2}$ функциясы бойынша 2 болуы керек сияқты. Екі оқуда да жауабы бірдей («<»). Оқулықтың соңындағы жауаптарда 25.4 жоқ.

B деңгейі

№ 25.5

1) $x^{2} + 4 = 0$; 2) $4x^{2} - 3 = 5$; 3) $5 - 0{,}4x^{2} = 2$; 4) $-2^{3} + 3^{2}x^{2} = 4$ теңдеулерінің түбірлер санын графиктік тәсілмен табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Теңдеуді $x^{2} = $ сан түріне келтіреміз. Бұл — $y = x^{2}$ параболасының $y = $ сан горизонталь түзуімен қиылысуын іздеу деген сөз. Түзу $Ox$ осінен жоғары болса, параболаны екі нүктеде, осьте болса — бір нүктеде қияды, төмен болса — қиылыспайды.

Шешуі.

1. $x^{2} = -4$. $y = -4$ түзуі параболадан төмен жатыр — ортақ нүкте жоқ.
2. $4x^{2} = 8$, $x^{2} = 2$. $y = 2$ түзуі төбеден жоғары — екі нүкте.
3. $0{,}4x^{2} = 3$, $x^{2} = 7{,}5$. Екі нүкте.
4. $-8 + 9x^{2} = 4$, $9x^{2} = 12$, $x^{2} = \frac{4}{3}$. Екі нүкте.

Жауабы: 1) түбірі жоқ; 2) екі түбір; 3) екі түбір; 4) екі түбір.

№ 25.6

GeoGebra бағдарламасын қолданып, $y = 3x^{2}$ және $y = 5 - 2x$ функцияларының графиктері қиылысады ма, анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. GeoGebra-да екі формуланы да енгізу жолына жазып, суретке қараймыз. Есептеп те тексереміз: $3x^{2} = 5 - 2x$ болатын $x$-терді іздейміз.

Шешуі. $3x^{2} + 2x - 5 = 0$. Дискриминант $4 + 60 = 64$, түбірлері $x = \frac{-2 \pm 8}{6}$: $x_1 = 1$ және $x_2 = -\frac{5}{3}$. Екі қиылысу нүктесі: $(1; 3)$ және $\left(-\frac{5}{3}; \frac{25}{3}\right)$.

Жауабы: иә, қиылысады (екі нүктеде).

№ 25.7

GeoGebra бағдарламасын қолданып, $2x^{2} = 3x + 1$ теңдеуін графиктік тәсілмен шешіңдер (жауабын ондық үлеске дейін дөңгелектеңдер).

Қалай ойлаймыз. $y = 2x^{2}$ параболасын және $y = 3x + 1$ түзуін саламыз; қиылысу нүктелерінің абсциссалары — түбірлер.

Шешуі. Бағдарлама абсциссалары шамамен $-0{,}3$ және $1{,}8$ болатын екі қиылысу нүктесін көрсетеді. Тексереміз: $2 \cdot 1{,}8^{2} = 6{,}48$, ал $3 \cdot 1{,}8 + 1 = 6{,}4$. Шамамен тең, демек, түбір дұрыс табылған. Дәл есеп: $2x^{2} - 3x - 1 = 0$, $D = 17$, $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$, яғни $1{,}78\ldots$ және $-0{,}28\ldots$

Жауабы: $x \approx -0{,}3$ және $x \approx 1{,}8$.

№ 25.8

1) $[1; 4]$; 2) $[-4; -2]$; 3) $[0; 14]$ аралықтарында $y = -\frac{1}{3}x^{2}$ функциясы өспелі (кемімелі) бола ма?

Қалай ойлаймыз. $y = -\frac{1}{3}x^{2}$ функциясында $a < 0$: функция $(-\infty; 0]$ аралығында өседі, $[0; +\infty)$ аралығында кемиді. Аралықтың сан осінің қай бөлігінде толық жататынын қараймыз.

Шешуі.

1. $[1; 4]$ аралығы толығымен нөлден оң жақта — функция кемиді.
2. $[-4; -2]$ толығымен нөлден сол жақта — функция өседі.
3. $[0; 14]$ аралығы $[0; +\infty)$ ішінде жатыр — функция кемиді.

Жауабы: 1) кемімелі; 2) өспелі; 3) кемімелі.

C деңгейі

Мұнда тапсырмалар қиындау. Бірден шықпаса, қорықпа: байқап көр, талдаумен салыстыр, сонда бәрі орнына түседі.

№ 25.9

а) 1) $[0; 5]$; 2) $[-1; 2]$; 3) $[-5; -4]$; 4) $[-3; 1]$ аралықтарындағы $y = 5x^{2}$ функциясының ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңдар. ә) 1) $[-2; 0]$; 2) $[-3; 3]$; 3) $[-5; -4]$; 4) $[0; 6]$ аралықтарындағы $y = -0{,}5x^{2}$ функциясының ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Параболаның эскизін саламыз. Төбесі ($x = 0$) аралықтың ішінде болса, мәндердің бірі ($a > 0$ болғанда ең кішісі, $a < 0$ болғанда ең үлкені) төбеде болады. Екіншісі — нөлден алысырақ тұрған аралық ұшында. Нөл ішінде болмаса, функция аралықта монотонды, ал екі мән де ұштарында.

Шешуі. а) $y = 5x^{2}$:

1. $[0; 5]$: $y(0) = 0$, $y(5) = 125$.
2. $[-1; 2]$: төбесі ішінде, ең кіші мәні $0$; ұштары: $y(-1) = 5$, $y(2) = 20$; ең үлкені $20$.
3. $[-5; -4]$: нөлдің сол жағында парабола кемиді: $y(-5) = 125$, $y(-4) = 80$.
4. $[-3; 1]$: ең кіші мәні $0$, $y(-3) = 45$, $y(1) = 5$; ең үлкені $45$.

ә) $y = -0{,}5x^{2}$ (тармақтары төмен):

1. $[-2; 0]$: $y(-2) = -2$, $y(0) = 0$.
2. $[-3; 3]$: төбесі ішінде, ең үлкен мәні $0$; $y(\pm 3) = -4{,}5$, ең кіші мәні $-4{,}5$.
3. $[-5; -4]$: $y(-5) = -12{,}5$, $y(-4) = -8$.
4. $[0; 6]$: $y(0) = 0$, $y(6) = -18$.

Жауабы: а) 1) ең кіші мәні $0$, ең үлкен мәні $125$; 2) ең кіші мәні $0$, ең үлкені $20$; 3) ең кіші мәні $80$, ең үлкені $125$; 4) ең кіші мәні $0$, ең үлкені $45$. ә) 1) ең кіші мәні $-2$, ең үлкені $0$; 2) ең кіші мәні $-4{,}5$, ең үлкені $0$; 3) ең кіші мәні $-12{,}5$, ең үлкені $-8$; 4) ең кіші мәні $-18$, ең үлкені $0$. Бәрі оқулықтың соңындағы жауаптармен сәйкес келді.

Хабарлама дайындаңдар

№ 25.10

«Парабола» термині қалай пайда болғаны туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. 1–2 минуттық әңгіме: сөз қайдан келген, оны кім ойлап тапқан, не білдіреді.

Шешуі. Хабарлама үлгісі. «Парабола» сөзі грек тілінен келген және «қосу, жанастыру» деген мағына береді. Бұл атауды ежелгі грек геометрі Пергелік Аполлоний (б.з.б. III–II ғасырлар) конус қималары туралы еңбегінде бекітті. Ол қисықтың конусты оның жасаушысына параллель жазықтықпен кескенде қалай шығатынын қарастырып, «парабола», «эллипс» және «гипербола» атауларын енгізді. Кейін парабола бізге таныс $y = ax^{2}$ жазуына ие болды.

Жауабы: үлгі бойынша 5–7 сөйлемнен тұратын хабарлама; даталар мен есімдерді энциклопедиядан тексер.

№ 25.11

Парабола қасиеттерінің практикада қолданылуы туралы хабарлама дайындаңдар. 25.4-суретте параболоид кескінделген. Параболоид қалай алынады және қайда қолданылады?

Қалай ойлаймыз. Параболоид туралы және параболаның ерекше қасиеті туралы айту керек: осіне параллель түскен сәулелер шағылысқаннан кейін бір нүктеде жиналады.

Шешуі. Үлгі. Параболаны өз осінің айналасында айналдырсақ, бет шығады — айналу параболоиды. Ол тостағанға ұқсайды. Мұндай тостағанның ерекше $F$ нүктесі бар — фокус. Параболоид осіне параллель келген сәулелер беттен шағылысып, бәрі фокуста жиналады. Керісінше: фокустағы шам параллель шоқ береді.

Сондықтан спутник антенналарының және радиотелескоптардың тарелкалары (сигнал бір нүктеде — қабылдағышта жиналады), автомобиль фаралары мен прожекторлардың шағылыстырғыштары, күн концентраторлары параболоид пішінді болады.

Жауабы: үлгі бойынша хабарлама: параболоид параболаны осінің айналасында айналдырудан шығады; барлық параллель сәулелер фокуста жиналады; антенналарда, фараларда, прожекторларда және күн пештерінде қолданылады.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 25.12

1) $a = 2$ болғанда $-a^{3}$; 2) $a = -3$ болғанда $-a^{3}$; 3) $a = -1$ болғанда $-4a^{3}$; 4) $a = -2$ болғанда $5a^{3}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен текшеге шығарамыз, сосын көбейтеміз. Теріс санның кубы — теріс сан.

Шешуі.

1. $-2^{3} = -8$.
2. $(-3)^{3} = -27$, демек $-a^{3} = -(-27) = 27$.
3. $(-1)^{3} = -1$, демек $-4 \cdot (-1) = 4$.
4. $(-2)^{3} = -8$, демек $5 \cdot (-8) = -40$.

Жауабы: 1) $-8$; 2) $27$; 3) $4$; 4) $-40$.

Жадынама

• Парабола $Oy$ осіне қатысты симметриялы, себебі $(-x)^{2} = x^{2}$.
• $y = ax^{2}$ және $y = -ax^{2}$ параболалары — бір-бірінің $Ox$ осіне қатысты айна бейнесі.
• $x^{2} = c$ теңдеуі: $c > 0$ болғанда екі түбір, $c = 0$ болғанда біреу, $c < 0$ болғанда түбірі жоқ.
• Кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндер: төбесі мен ұштарына қараймыз.

Шағын тест